¨Ubungen Brückenkurs Mathematik, Blatt 5

Übungen Brückenkurs Mathematik, Blatt 5
Wintersemester 2015/16
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Die üblichen Zahlenmengen
1.1
Komplexe Zahlen
a) Seien z1 = 8 − 7i und z2 = −3 − i komplexe Zahlen. Berechne Sie
z1 + z2 ,
z1
.
z2
z1 z2 ,
z1 + z2 = (8 − 7i) − (3 − i) = 5 − 8i.
z1 z2 = (8 − 7i)(3 − i) = · · · = 17 − 29i.
z1
1
3+i
31
13
z2 = z1 · z2 = (8 − 7i) 32 +13 = 10 − i 10 .
b) Zeigen Sie, dass für z = a + ib mit a, b ∈ R gilt:
p
√
z z̄ = a2 + b2 .
p
√
√
√
z z̄ = (a + ib)(a − ib) = · · · = a2 + iab − iab + b2 = a2 + b2 .
c) Berechen Sie i2 ,i3 ,i4 ,i5 , sowie −i2 , (−i)2 und (−i)3 .
i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, −i2 = 1, −1, i.
d) Zeigen Sie, dass
3i30 − i19
=1+i.
2i − 1
3i30 −i19
2i−1
=
3i2·15 −i4·4+3
2i−1
=
3(i2 )15 −((i4 )4 ·i3
2i−1
=
3(−1)15 −(1)4 ·i3
2i−1
=
−3+i
2i−1
= ··· = 1 + i
e) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Ebene C:
K = {z ∈ C | |z − i| < 2} .
Hinweis: Erinnern Sie sich nach dem Umformen an die Kreisgleichung!
Sei z ∈ C mit z = x + iy, x, y ∈ R.
Dann gilt
|z − i| < 2 ⇔ |x + iy − i| < 2 ⇔ |x + i(y − 1)| ⇔
p
x2 + (y − 1)2 < 2 ⇔ x2 + (y − 1)2 < 4
√
(Weil
positiv ist, bleibt die Äquivalenz beim Quadrieren erhalten.) Wir erkennen die
Kreisgleichung (x − xM )2 + (y − yM )2 = r2 .
1
Abbildung 1: Teilmenge zu 12i)
1.2
Vollständige Induktion
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion nach n die Ungleichung von Bernoulli:
(∀n ∈ N)(∀x ∈ R) : [x ≥ −1 ∧ n ≥ 1] ⇒ [(1 + x)n ≥ 1 + nx] .
Proof. Wir führen einen Induktionsbeweis nach n. Wir nehmen lt. Voraussetzung an, dass x ≥ −1.
a) n = 1:
(1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1 · x
Insbesondere gilt also auch
(1 + x)1 ≥ 1 + 1 · x
b) n → n + 1. Es gelte die Behauptung für n, also es gelte
(1 + x)n ≥ 1 + nx .
Dies ist unsere Induktionsvoraussetzung (IV) mit der wir zeigen, dass
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x .
Wir betrachten nun (1 + x)n+1 :
IV
z}|{
(1+x)n+1 = (1+x)n (1+x) ≥ (1+nx)(1+x) = 1+nx+x+nx2 = 1+(n+1)x+|{z}
n |{z}
x2 ≥ 1+(n+1)x .
≥1
≥0
| {z }
≥0
Also gilt
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x .
2
1.3
Zahlendarstellung, Stellenwertsystem
Theorem 1 (Zahlendarstellung). 1
Sei b ∈ N, b ≥ 2 und sei a ∈ N.
Dann gibt es eindeutig bestimmte n ∈ N und ai ∈ {0, ..., b − 1}, i = 0, .., n, sodass
a=
n
X
ai bi .
i=0
Ohne Beweis.
Bemerkung: Stillschweigend haben wir in der Schule (und auf der Universität) immer vorausgesetzt, dass wir mit dem dekadischen Zahlensystem rechnen.
a) Beispiel 1: Dekadisches System (b = 10): (203)(10) = 2 · 102 + 0 · 101 + 3 · 100 .
b) Beispiel 2: Binärsystem (b = 2): (1011)(2) = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = (11)(10) .
Aufgabe:
a) Überlegen Sie, wie die Zahl 10(10) im Binärsystem dargestellt wird.
b) Überlegen Sie sich nun einen Algorithmus (ohne Beweis), mit dem Sie die binäre Darstellung
für die Zahl 10(10) ohne Probieren bestimmen können. (Tipp: Sukzessives dividieren durch
2. Betrachten Sie den jeweiligen Rest).
c) Bestimmen Sie nun die oktale Darstellung (b = 8) der Zahl 42433(10) .
d) Bestimmen Sie nun die oktale Darstellung von (11011)(2) .
1 Diese
Aufgabe ist keine Pflichtübung
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