Formeln und Gleichungen

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Formeln und Gleichungen
Wichtige Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Wichtige Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Wichtige Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Magnetische Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Gleichungen zu Drehstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Leistungs- und Drehmomentverhältnisse polumschaltbarer Motoren . . 10
Gleichungen zu Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Gleichungen zu Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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Stern-Dreieck-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
2
Wichtige Größengleichungen
Translation
v=
s
t
F=m·a
s=v·t
a=
Rotation
W=F·s
v
ta
W=
m·
2
P=M·ω
v = ω · r = 2π · n · r
M=J·α
ϕ = ω · t = 2π · n · t
W=M·ϕ
v2
Wpot = m · g · h
P=F·v
ω=2·π·n
α=
ω
ta
M=F·r
W=
J·ω2
2
J = m · r2
Wichtige Definitionen
Wirkungsgrad
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Übersetzung
P
P
P –V
η = ab = zu
=1– V
Pzu
Pzu
Pzu
i=
n1
n2
Pzu Aufnahme
Pab Abgabe
PV Verluste
n1 Eingangsdrehzahl
n2 Ausgangsdrehzahl
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
3
Wichtige Zahlenwertgleichungen
Bei Zahlenwertgeichungen oder zugeschnittenen Größengleichungen sind
die jeweis vorgegebenen Einheiten zu beachten. Gewichte sind im SI stets
im Sinne einer Masse in kg anzugeben.
Leistung
Hubbewegung
Translation
m·g·v
η · 1 000
F ·v
P= R
1 000
P=
FR = µ · m · g
Rotation
P=
M·n
9 550
P
FR
m
g
Leistung in kW
Reibwiderstand in N
Masse (Gewicht) in kg
Fallbeschleunigung
(9,81) in m/s2
v Geschwindigkeit in m/s
η Wirkungsgrad ab Dezimalbruch
µ Reibungszahl
M Moment in Nm
n Drehzahl in 1/min
Drehmoment
M=F·r
9 550 · P
M=
n
M
FR
r
P
n
Drehmoment in Nm
Reibwiderstand in N
Hebelarm (Radius) in m
Leistung in kW
Drehzahl in 1/min
W
F
s
m
g
Arbeit (Energie) in Nm = Ws = J
Kraft in N
Weg in m
Masse (Gewicht) in kg
Fallbeschleunigung
(9,81) in m/s2
Masseträgheitsmoment in kgm2
Drehzahl in 1/min
Arbeit
W=F·s=m·g·s
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W=
J · n2
182,5
J
n
Beschleunigungs- oder Bremszeit
ta =
J·n
9,55 · Ma
ta
Beschleunigungs- oder Bremszeit in s
J
Masseträgheitsmoment in kgm2
n Drehzahl in 1/min
Ma Beschleunigungs- oder Bremsmoment in Nm
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
4
Massenträgheitsmoment und Schwungmoment
Der früher im technischen Maßsystem üliche Begriff „Schwungmoment
GD 2“ wurde nicht in das SI übernommen. Für Berechnungn mit dem
Massenträgheitsmoment mr 2 sind daher nicht nur die unterschiedlichen
Einheiten, sondern auch die anderen Definitionen zu beachten.
Vollzylinder
1
1
· 1000 · π · ρ · l · da4 = 98 · ρ · l · da4
J=
· m · ra2 =
2
32
Hohlzylinder
1
1
· 1000 · π · ρ · l · (da4 – di4)
· m · (ra2 + ri2) =
2
32
= 98 · ρ · l · (da4 – di4)
J=
Linearbewegung als Tangente am Kreis
G
m
d
r
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J=m·
r2
d 2
m · d2
=m·( ) =
2
4
GD 2 = G · d 2
Da hier das Gewicht G als Masse in kg verstanden wird, sind die Zahlenwerte von m und G gleich. Für die Umrechnung von Schwungmomenten gilt
daher
J=
GD 2
.
4
Das heißt, die Zahlenwerte des GD 2 (in kpm2) sind durch 4 zu teilen und ergeben so die Zahlenwerte von J (in kgm2).
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
5
Umrechnung einer Massenwirkung von Tranlation auf Rotation
J = 91,2 · m ·
v2
n2
J
Massenträgheitsmoment
in kgm2 in kW
m Masse in kg
r Radius in m
da Außendurchmesser in m
di Innendurchmesser in m
ra Außenradius in m
ri Innenradius in m
l
Länge in m
r Radius in m
ρ Dichte in kg/dm3
v Geschwindigkeit in m/s
n Drehzahl in 1/min
Trägheitsfaktor
Der Trägheitsfaktor FI (Factor of Inertia) ist das Verhältnis sämtlicher auf die
Drehzahl des Motors umgerechneter und von ihm angetriebener Massen
einschließlich des Motorläufers zum Trägheitsmoment des Motorläufers,
also
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FI =
Jtotal
Jrotor
=
Jextern1 + Jrotor
Jrotor
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
6
Magnetische Größengleichungen
Größe
Formel
Einheit/Erläuterung
Durchflutung
(Magnetische Spannung)
Θ=I·w
A
Teilspannungen
bei Luft
Vδ =
bei Eisen
VFe = HFe · lFe
Magnetische Feldstärke
H=
Magnetischer Fluss
Φ=B·A=
Magnetische Flussdichte
(Induktion)
B=
Magnetischer
Widerstand
Rm =
Absolute Permeabilität
µ = µ0 · µr
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Permeabilitätszahl
(Magnetische
Durchlässigkeitszahl)
µr =
Bδ
µ0
Θ
· δ = Hδ · δ
=
l
Φ
A
I·w
A
l
m
Φ
Vs
Rm
= µ0 · µr · H
A
Θ
=
Φ
A
Vs
=T
m2
l
A
µ0 · µr · A
Vs
1
=
Ωs
Vs
Am
ohne Einheit
δ = bezogen
auf denLuftspalt
BFe
Bδ
Magnetische
Feldkonstante
µ0 = 4 · π · 10 –7
Erzeugte Spannung
in mehreren Leitern
U0 = B · l · v · z
V
Kraftwirkung
auf mehrere Leiter
F=B·l ·I ·z
N
Vs
Am
Kraftwirkung
eines Magneten
– für Gleichstrom
F=
– für Wechselstrom
F=
– für Drehstrom
F=3·
Bδ2 · A
2 · µ0
Bδ2 · A
4 · µ0
Bδ2 · A
4 · µ0
Bδ Luftspaltinduktion
in Vs/m2
A
Querschnitt
pro Polfläche in m2
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
7
Gleichungen zu Drehstrommaschinen
Umrechnung von Drehmoment und Spannung
von Asynchronmaschinen
M1
M2
=
2
( )
U1
U2
Formeln zur Umrechnung für Arbeitsmaschinen
mit quadratischem Drehmoment
a) M ≈ n 2
P
b) 2 ~
=
P1
P
3
( )
n2
Leistung
n1
Wicklungsumrechnung
Alle Berechnungen bei Beibehaltung des Drehmoments!
Spannung
U1
U2
=
z1
A2
z2
A1
=
z1
d22
z2
d12
=
z1
=
z1
=
z1
z2
Drehzahl
s1 = s2 (Schlupf bleibt erhalten)
z
A2
p1
z
= 1
= 1
z2
A1
p2
z2
d22
d12
p
z
Polpaarzahl
Leiterzahl
z2
s1 ≈ s2 (Schlupf ändert sich)
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n2
n1
=
z1
A2
z2
A1
=
z1
d22
z2
d12
z2
für beide Fälle gilt:
n
P2
= 2 (Leistung ändert sich)
n1
P1
Frequenz
f2
f1
=
z1
A2
z2
A1
=
z1
d22
z2
d12
=
z1
z2 (Leistung ändert sich)
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
8
Wirkungsgradbestimmung
Pzu = 100 %
PCu1
PFe
PZ1
Pd
PCu2
Scheinleistung
S1 =
3 · U1 · I1
VA
Blindleistung
Q1 =
3 · U1 · I1 · sin ϕ
var
Wirkleistung
Pzu =
3 · U · I · cos ϕ
= 3 · UStr1 · IStr1 · cos ϕ W
Ständerkupferverluste
2 ·R
PCu1 = 3 · IStr
1
Str 1
W
Eisenverluste
ca. 6 W/kg bei 50 Hz
W
Ständerzusatzverluste
0,005 · Pzu
W
Drehfeldleistung
Pd = Pzu – (PCu1 + PFe + PZ1) W
Läuferverluste
PCu2 = Pd · s = Pd – Pmech
2 ·R
= 3 · IStr
2
Str 2
W
Näherungsformel:
PRotor = s % · 10,75
PZ2
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% · kW
· Pab [kW]
W
Läuferzusatzverluste
sehr gering
bei Nennbetrieb
Mechanische Leistung
Pmech = Pd – PCu2 (1 – s)
Reibungsverluste
PRbg messtechn. ermitteln
Abgegebene Leistung
Pab = Pmech – PRbg
Pmech
PRbg
W
W
Pab = M · ω
Pab =
η=
M·ω
9,55
Pzu – PVges
Pzu
= 1–
W
PVges
Pzu
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FORMELN UND GLEICHNUNGEN
9
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
10
Leistungs- und Drehmomentverhältnisse
polumschaltbarer Motoren
Schaltung n1/n2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
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/
/
/
/
/
/
Leistungsverhältnis
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
≈1
≈
≈
≈
3
M2
1
M1
4
M2
1
M1
12
M2
M2
M1
M2
M1
4
M2
3
M1
4
M2
M1
M2
4
M1
3
M2
≈4
≈
M1
1
≈1
≈
M2
M1
≈3
≈
M1
1
≈1
≈
Drehmomentverhältnis
M1
M2
1
M1
3
M2
≈1
≈ 12
≈4
≈ 12
M1
M2
M1
M2
M1
M2
M1
M2
≈2
≈
≈
≈
2
3
1
2
1
6
≈2
≈6
≈
≈
1
2
5
4
≈2
≈
8
3
≈8
≈
2
3
≈2
≈ 24
≈8
≈ 24
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
11
Gleichungen zu Gleichstrommaschinen
Eingängige Schleifenwicklung
Zahl der parallelen Ankerstromkreise gleich Polzahl
2 a = 2 p ; (a = p)
Anzahl der Kommutatorsegmente
K=Q·u
K=S
K
Q
S
u
Kommutator
Nuten
Spulenzahl
Spulenseitenzahl pro Nut und Schicht
z
Leiterzahl
Y1
Y2
YQ
YC
Spulenschritt
Schaltschritt
Nutschritt
Kollektorschritt
Spulenzahl
S=
ztotal
2 · wTeilspule
Wickelschritte
Durchmesserwicklung
Y1 =
K
2p
Sehnenwicklung
Y1 =
K
2p
·ε
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Sehnung
ε=
YQ gesehnt
YQ ungesehnt
Nutenschritte
YQ =
YQ =
Y1
u
Y1
u
YQ ≈ τp ≈
(ganze Zahl – normale Wicklung)
(gebrochene Zahl – Treppenwicklung)
Q
2p
; τp =
dA · π
2p
(Polteilung)
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
12
Gesamt- bzw. Kollektorschritt (Kommutatorschritt)
YK = Y1 – Y2
YK = + 1 (ungekreuzte Wicklung)
YK = ± 1
YK = – 1 (gekreuzte Wicklung)
Y2 = Y1 – 1
(ungekreuzt)
Y2 = Y1 + 1
(gekreuzt)
Eingängige Wellenwicklung
2 a = 2 (a = 1)
Kollektorschritt
YK = Y1 + Y2
YK =
YK =
K–1
p
K+1
p
(ganzzahlig)
(ungekreuzte Wicklung)
(gekreuzte Wicklung)
Durchmesserwicklung
Y1 = Y2 =
YK
2
=
K
2p
Sehnenwicklung
Y1 =
K
2p
·ε
Nutenschritte
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YQ =
YQ ≈
Y1
u
Q
2p
(ganze Zahl – normale Wicklung)
· ε (gebrochene Zahl – Treppenwicklung)
Ausgleichswicklungen
Eingängige Schleifenwicklungen
Ya =
K
a
Ya
(ganze Zahl)
Symmetriebedingungen:
K
p·u
=
Q
P
(ganze Zahl)
Ausgleichsschritte
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
13
Zweigängige Schleifenwicklungen
S
Aa =
K
=
p
(ungerade ganze Zahl bevorzugt)
p
Eingängige Wellenwicklungen
eingängige Wellenwicklungen benötigen keine Ausgleichswicklung
Mehrgängige Wellenwicklungen
K
Ya =
K
=
a
(ganze Zahl)
n
Lamellenspannung (Steg- oder Kollektorspannung)
u0L =
U0 · 2 p ~ Ukl · 2 p
=
in V
K
K
Urspannung der Gleichstrommaschine
U0 =
p · Φ · n · ztotal
a · 60
in V
U0 = Ukl ± URi (+Generator / – Motor)
Aktive Ankerwindungen
K · w Teilspule
w aktiv =
2a
Mittlere Ankerleiterlänge
lm= lFe + 1,5 · τp
Gesamte Ankerleiterlänge
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lges = lm · ztotal
Kupfergewicht (Drahtgewicht)
lges · A · ρ
m=
1000
Ankerwiderstand
RA =
lges
χ · A · (2 a)2
2·w·S·
=
(
Da · π
χ · A · (2 p · n)2
Stromdichte der Ankerwicklungen
S=
Ia
2a · A
2p
· 1,5 + lFe
)
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
14
Gleichungen zu Transformatoren
Größe
Formel
Spannungsgleichung
U0str = 4,44 · Φ · wstr · f
U0str = 4,44 · B · AFe · wstr · f
U0str = 4,44 · B · A · kFe · wstr · f
Windungsspannung
bei 50 Hz
u0 = 2,22 · Φ ·102
Übersetzungsverhältnis
ü=
U01
U02
=
w1
w2
=
I2
I1
Z1
=
Z2
Kurzschlussbedingungen
U · 100 %
a) Relative Kurzschluss- uK = K
UN
spannung
b) Dauerkurzschlussstrom
IKD =
Einheit / Erläuterung
V Φ in VS
V wstr aktive Windungszahl
V
pro Strang
f in Hz; 1/s
B in Vs/m2; T
A, AFe in m2
kFe Stapel- oder Eisenfüllfaktor in
Dezimalangabe
V
U0 = U bei η = 1
% UK absolute Kurzschlussspannung
UN Nennspannung
A IN Nennstrom
IN · 100 %
uK
Parallelschaltung
a) Mittlere Kurzschlussspannung
uK =
SN
SN1
uK1
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b) Lastverteilung
S1 = SN1 ·
Wirkungsgrad
a) Leistungswirkungsgrad bei Nennlast
η=
=
+
SN2
uK2
V Sn
Summe der Nennscheinleistungen
SN1; SN2; Nennscheinleistungen
in VA
uK1; uK2; Kurzschlussspannungen
in %
uKm mittlere Kurzschlussspannung
in %
+…
u Km
uK1
S2 · cos ϕ2
S2 · cos ϕ2 + PFe + PCu
Pab
Pab + PFe + PCu
=
Pab
Pzu
Pzu zugeführte
Leistung
Pab abgegebene
Leistung
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
Größe
15
Formel
Erläuterung
n · S2 · cos ϕ2
b) Leistungswirkungs- η =
n · S2 · cos ϕ2 + PFe + n2 · PCu
grad bei Teillast
=
c) Jahreswirkungsgrad bei Nennlast
ηJ =
n · Pab
n · Pab + PFe + n2 · PCu
Pab
Pab · tB + PFe · tE + PCu · tB
Wab · tB
=
=
Wab + WFe + WCu
Wab
Wzu
d) Jahreswirkungsgrad bei Teillast
ηJ =
PFe Leerlaufverluste
(Eisenverluste)
PCu Kurzschlussverluste
(Kupferverluste)
Wzu zugeführte Energie
Wab abgegebene Energie
tE Einschaltzeit
365 Tage x 24 Std.
= 8 760 Std.
tB Belastungszeit
Lastfaktor:
n=
S2Teilleistung
S2Nennleistung
n · S2 · cos ϕ2 · tB
n · S2 · cos ϕ2 · tB + PFe · tB+ n2 · PCu · tB
Spartransformator
(ohne Eisen- und
Kupferverluste)
U1 > U2
(
U2
(
U1
SB = SD · 1 –
U1
1
) ( )
= SD · 1 –
ü
U1
U2
SD
SB
Primärspannung in V
Sekundärspannung in VA
Durchgangsleistung in VA
Bauleistung in VA
U2 > U1
SB = SD · 1 –
AFe
( )
U2
)
2
Leistungsbestimmung S2 =
·n·f
CFe
aus mechanischen
Abmessungen
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= SD · (1 – ü)
Kerntyp n
(Anzahl bewickelter Kerne)
n = 1 Einphasen-Manteltrafo
n = 2 Einphasen-Kerntrafo
n = 3 Dreiphasentrafo
S2 Sekundärscheinleistung in VA
AFe Eisenkernquerschnitt
in cm2
CFe Konstruktionskonstante
(4 … 8) cm2 (VAs)–1/2
kleiner Wert für hohe
Flussdichten
f
Netzfrequenz
in 1/s = Hz
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
16
Größe
Formel
Einheit
Erläuterung
Einphasentransformator
S2 ≈ Q · AFe
VA
S2
Q
Drehstromtransformator
S2 ≈ 1,5 · Q · AFe
VA
AFe
Sekundärscheinleistung
in VA
Fensterquerschnitt
in cm2
Eisenkernquerschnitt
in cm2
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Tabelle zum Transformator
Querschnitts- und Windungszahländerung bei gleicher Ausgangsspannung und gleicher Ausgangsleistung für Stern-, Dreieck- und Zick-ZackSchaltung für Drehstromtransformatoren auf der Sekundärseite.
Umwandlung der Schaltung von
Querschnitte
Windungszahlen
Stern- auf Zick-Zack-Schaltung
Az = AY
WzStr = 1,16 · WYStr
Stern- auf Dreieck-Schaltung
A∆ =
Zick-Zack- auf Dreieck-Schaltung
A∆ =
AY
3
Az
3
W∆Str =
3 · WYStr
W∆Str = 1,5 · WzStr
W∆Str
Dreieck- auf Stern-Schaltung
AY =
3 · A∆
WYStr =
Dreieck- auf Zick-Zack-Schaltung
Az =
3 · A∆
WzStr = 0,67 · W∆Str
3
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
17
Lastaufteilung parallelgeschalteter Transformatoren
Um einzelne parallel geschaltete Transformatoren nicht zu überlasten, dürfen die relativen Kurzschlussspannungen (uk ) maximal 10% voneinander abweichen.
Beispiel zur Lastverteilung bei unterschiedlichen Kurzschlussspannungen:
Trafo 1:
ST1 = 1000 kVA
uK = 6 %
Trafo 1:
ST2 = 1000 kVA
uK = 4 %
T1
uKm =
SΣ
ST1
ST2
+
uK
uK
T1
uKm =
T2
T2
2000 kVA
= 4,8 %
1000 kVA
1000 kVA
+
6%
4%
uKm
4,8 %
= 800 kVA
= 1000 kVA ·
ST1* = ST1 u
6%
KT1
ST2* = ST2
uKm
4,8 %
= 1200 kVA
=
1000
kVA
·
uK
4
%
T2
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Parallelschaltbedingungen für Drehstromtransformatoren:
1. gleiche Bemessungsfrequenz
2. gleiche Bemessungsspannung
3. annähernd gleiche Kurzschlussspannung
(Abweichungen ≤ 10% sind zulässig)
4. gleiche Schaltgruppen
5. Verhältnis der Bemessungsleistung maximal 3:1
6. phasenrichtiger Anschluss
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
18
Stern-Dreieck-Transformation
Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation (engl.:
Star-Delta-Transformation bzw. Delta-Star-Transformation) bedeutet in der
Elektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elektrischen Widerständen, die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwerken, z. B. den Wicklungen in elektrischen Maschinen, dient. Zur Verdeutlichung soll die Darstellung in den Bildern 1 und 2 dienen.
Bei der Stern-Dreieck-Transformation wird die sternförmige ( ) Anordnung der Widerstände in eine äquivalente dreieckförmige ( ) Widerstandsanordnung umgeformt. Die Dreieck-Stern-Transformation bildet das Gegenstück dazu und ermöglicht die umgekehrte Umformung. Absolute Bedingung
dabei ist, dass die elektrischen Anschlusswerte, z. B. die Widerstandswerte
oder die Spannungsfälle zwischen den Anschlussklemmen 1, 2 und 3 exakt
gleich bleiben. Folgend den Regeln für Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen werden bei dieser Transformation nur die drei
Widerstandswerte durch geeignete Ersatzwerte für die neue Schaltungsanordnung umgerechnet bzw. ausgetauscht.
1
1
R10 (Z10)
R30 (Z30)
R31 (Z31)
R20 (Z20)
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3
3
R12 (Z12)
2
Bild 1: Drei ohmsche Widerstände R10 – R30 bzw. komplexe
Widerstände Z10 – Z30
in Sternschaltung
R23 (Z23)
2
Bild 2: Drei ohmsche Widerstände R10 – R30 bzw. komplexe
Widerstände Z10 – Z30
in Dreieckschaltung
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
19
Die Bedingungen sind für folgende Verknüpfungen erfüllt:
Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2
R12 · (R23 + R31)
R10 + R20 = R12( R23 + R31) =
R12 + R23 + R31
Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 2 und 3
R23 · (R31 + R12)
R20 + R30 = R23( R31 + R12) =
R12 + R23 + R31
Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 3 und 1
R31 · (R12 + R23)
R30 + R10 = R31( R12 + R23) =
R12 + R23 + R31
(Gl. 1)
(Gl. 2)
(Gl. 3)
Addiert man Gl. 1 und Gl. 3 und subtrahiert gleichzeitig Gl. 2
bleibt ausmultipliziert
R10 + R20 + R30 + R10 – R20 – R30 =
R12 · R23 + R12 · R31 + R31 · R12 + R31 · R23 – R23 · R31 – R23 · R12
R12 + R23 + R31
und zusammengefasst
2 · R10 =
2 · R31 · R12
R12 + R23 + R31
→ R10 =
R31 · R12
R12 + R23 + R31
(Gl. 4)
Analog gilt für R20 und R30
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München/Heidelberg
R20 =
R30 =
R12 · R23
R12 + R23 + R31
R23 · R31
R12 + R23 + R31
und
(Gl. 5)
(Gl. 6)
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
20
Transformationsregel
Der Sternwiderstand ergibt sich aus dem Produkt der anliegenden Dreieckwiderstände, geteilt durch die Summe aller Dreieckwiderstände.
Umwandlung Stern in Dreieck
Aus den Gleichungen 4, 5 und 6 ergibt sich nach Umstellung
R31 · R12
R12 + R23 + R31 =
R10
R12 + R23 + R31 =
R12 + R23 + R31 =
R12 · R23
(Gl. 8)
R20
R23 · R31
(Gl. 9)
R30
Jetzt lassen sich Gl. 7 und Gl. 8 gleichsetzen
R31 · R20
R31 · R12
R12 · R23
=
→ R23 =
R10
R10
R20
und ebenso Gl. 8 und Gl. 9
R12 · R23
R23 · R31
R31 · R20
=
→ R12 =
R20
R30
R30
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Setzt man Gl. 10 und Gl. 11 in Gl. 7 ein, folgt
R31 · R12
R31 · R20
R31 · R20
=
+
+ R31
R10
R30
R10
und nach der Zusammenfassung
R10 · R20
+ R20 + R10
R12 =
R30
R12 =
R12 =
R10 · R20
R30
+
R20 · R30
R30
+
(Gl. 10)
(Gl. 11)
(Gl. 12)
(Gl. 13)
R10 · R30
R30
R10 · R20 + R20 · R30 + R10 · R30
R30
(Gl. 7)
FORMELN UND GLEICHNUNGEN
Allgemein gilt für die Umwandlung Stern in Dreieck
Dreieckswiderstand =
Produkt der Anliegerwiderstände
gegenüberliegender Widerstand
+ Summe der Anliegerwiderstände
Aus Gleichung 13 lassen sich die Zusammenhänge auch als Kehrwerte
der Widerstände, also als Leitwerte darstellen:
G12 =
G23 =
G31 =
G10 · G20
G10 + G20 + G30
G20 · G30
G10 + G20 + G30
G30 · G10
G10 + G20 + G30
Allgemein formuliert:
Dreiecksleitwert =
Produkt der Anliegerleitwerte
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Knotenleitwert
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