Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 7
01. Juni 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik
und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
Hausaufgabe
Bis 12:00Uhr, 08. Juni 2016
3+3+3+5 = 14 Punkte
H 7.1 Ehrenfest Theorem und Variationsrechnung
(a) Das Ehrenfest Theorem verbindet die klassische Mechanik mit der Quantenmechanik; die
klassischen Bewegungsgleichungen gelten bedingt für die Mittelwerte der Quantenmechanik.
(i) Zeige, dass die zeitliche Ableitung eines Operatorerwartungswert hAi folgendes ergibt,
i
d
hAi = h[H, A]i +
dt
~
∂A
∂t
(1)
,
wobei H der Hamilton Operator ist. Der Operator wirke auf einen Zustand ψ . ψ genüge
der Schrödingergleichung.
(ii) Zeige, dass für den Ortsoperator und Impulsoperator für ein Teilchen der Masse m in
einem Potential V (r), dass der Schrödingergleichung genügt, folgendes gilt,
d
hpi
hri =
,
dt
m
d
hpi = −h∇V (r)i.
dt
(2)
(3)
(b) Variationsrechnung
(i) Beschreibe das Hamiltonsche Prinzip mit eigenen Worten.
(ii) Die Wirkung S ist gegeben durch,
Z
t2
S=
(4)
dt L(q, q̇, t).
t1
Hierbei ist q die generalisierte Koordinate und q̇ dessen zeitliche Ableitung. Bestimme die
Variation δS = 0 und leite hieraus die Euler Lagrange Gleichung her. Hinweis: Variiere L
für
q
und
q̇ .
Die Variation für
x
einer Funktion
f (x)
erhält man aus
δf (x)
δx
dx.
6 Punkte
H 7.2 Laplace Operator in Kugelkoordinaten
(a) Im Folgenden wollen wir zu Kugelkoordinaten wechseln. Die Parametrisierungen zu Kugelkoordinaten seien gegeben durch,
  p

r
x2 + y 2 + z 2
 ϑ  =  arccos( z )  .
r
ϕ
arctan( xy )
 


x
sin(ϑ) cos(ϕ)
y  = r  sin(ϑ) sin(ϕ)  ,
z
cos(ϑ)
1
(5)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass daraus folgt,
∂
∂
cos(ϑ) cos(ϕ) ∂
sin(ϕ) ∂
= sin(ϑ) cos(ϕ)
+
−
∂x
∂r
r
∂ϑ r sin(ϑ) ∂ϕ
∂
∂
cos(ϑ) sin(ϕ) ∂
cos(ϕ) ∂
= sin(ϑ) sin(ϕ)
+
+
∂y
∂r
r
∂ϑ r sin(ϑ) ∂ϕ
∂
∂
sin(ϑ) ∂
= cos(ϑ)
−
∂z
∂r
r ∂ϑ
(6)
(7)
(8)
Bestimme hieraus den Laplace Operator ∆ = ∇2 in Kugelkoordinaten.
2+2+2+2+2 = 10 Punkte
H 7.3 Spinoperatoren
Betrachtet man die Spektrallinien des Wasserstoatoms, welches sich innerhalb eines externen Magnetfeldes bendet, macht sich eine Aufspaltung der Spektrallinien bemerkbar; wo ohne externem
Magnetfeld nur eine Spektrallinie zu sehen war, sind es nun zwei, die je nach stärke des Magnetfeldes unterschiedlich weit auseinander liegen. Eine konsistente Erklärung gaben 1925 Goudsmith
und Uhlenbeck, indem sie eine Ergänzung des quantenmechanischen Modells durch den Spin vorschlugen. Kern dieses Konzeptes ist es, dass Elektronen eine intrinsische Eigenschaft haben, die
dafür sorgt, dass diese unterschiedlich mit dem externen Magnetfeld wechselwirken.
(a) In den mathematischen Ergänzungen ist der Spin bereits über die Zustände Spin-Up χ 12 =
1
0
|↑i =
und Spin-down χ− 12 = |↓i =
eingeführt worden. Die beiden Zustände bilden
0
1
somit eine Basis des C2 .
Möchte man beschreiben, wie sich der Spin in einem System ändert, kann man eine lineare
Abbildung C2 −→ C2 heranziehen. Solche Abbildungen werden durch 2 × 2 Matrizen beschrieben.
Seien σk für k = 1, 2, 3 die sogenannten Pauli-Matrizen, die durch
σ1 =
0
1
1
0
, σ2 =
0
i
−i
1
, σ3 =
0
0
deniert sind. Die zugehörigen Spinoperatoren sind durch ŝk =
0
−1
· σk deniert.
ψ
Die neuen Wellenfunktionen im Orts- und Spinraum Ψ haben nun die Form 1 . Basisfunkψ2
tionen dieses neuen Raumes sind durch ψn · χ± 12 gegeben, wobei ψn Basis-Wellenfunktionen
~
2
des Ortsraumes darstellen.
(i) Zeige σm σn = δm,n 1 + i
nest.
P3
k=1 mnk σk
, indem du alle Kombinationen von σm σn berech-
(ii) Zeige (z.B. mit Hilfe von (i)), dass gilt: [ŝm , ŝn ] = i~mnk · ŝk .
(iii) Zeige |ŝ |2 :=
P3
2
k=1 ŝk
= 34 ~2 · 1.
(iv) Es wird nun ein Gesamtdrehimpulsoperator deniert, der sowohl auf den Ortsraum als
auch auf den Spinraum einwirkt.
Sei hierzu Jˆk := L̂k ⊗ 1 + 1 ⊗ ŝk der Gesamtdrehimpulsoperator, der auf eine BasisFunktion (ψn · χ± 12 ) folgendermaÿen wirken soll:
Jˆk (ψn · χ± 12 ) = (L̂k ψn ) · (1χ± 12 ) + (1ψn ) · (ŝk χ± 21 )
= (L̂k ψn ) · χ± 12 + ψn · (ŝk χ± 21 )
h
i
Zeige Jˆi , Jˆj = i~ijk · Jˆk .
2
(v) Zeige |Ĵ |2 , Jˆk = 0 und |L̂|2 , Jˆk = 0. Was hat das für eine Konsequenz?
h
i
h
i
(b) Zeige, dass {1, σ1, σ2 , σ3} eine Basis des Matrizenraumes C2×2 darstellen. Weise also nach,
a b
dass jede Matrix
als Linearkombination der 4 Matrizen dargestellt werden kann und
c d
diese 4 Matrizen zusammen linear unabhängig sind.
3