Geometrie für L2/L5

SS 2014
Frankfurt/M., 12.5.2014
Abgabetermin: 19.5.2014
Dr. Patrik Hubschmid
Quentin Gendron
Geometrie für L2/L5
Übungsblatt 2
Aufgabe 1
Berechnen Sie mit Hilfe von Trigonometrie die Längen aller Diagonalen:
i) des regelmäßigen in den Einheitskreis einbeschriebenen Sechsecks.
ii) des regelmäßigen in den Einheitskreis einbeschriebenen Fünfecks (die Lösung darf
Sinus und Kosinus enthalten).
Aufgabe 2
Gegeben sei ein ebenes Dreieck mit den Seitenlängen a = 3, b = 5, c = 7. Berechne alle
Winkel und die Längen aller Höhenlinien.
Aufgabe 3
Finde alle Lösungen mit 0 ≤ ϕ < 2π der folgenden Gleichungen:
i) sin 2ϕ + 2 sin ϕ = 0
ii) 1 + cos ϕ + cos 2ϕ + cos 3ϕ = 0
Aufgabe 4
Seien T ein ebenes Dreieck, A sein Flächeninhalt, a, b und c die p
Länge der Seiten von T
und s = 12 (a+ b+ c). Das Ziel dieser Aufgabe ist die Formel A = s(s − a)(s − b)(s − c)
zu zeigen.
i) Sei γ der Winkel zwischen den Kanten mit Länge a und b. Zeige, dass A = 21 ab sin γ
gilt.
ii) Benutze die Formel cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 und den Cosinussatz, um die Formel
s
1
a2 + b2 − c2
a2 + b2 − c2
A = ab
1−
1+
2
2ab
2ab
zu zeigen.
1
ab
2
a2 +b2 −c2
2ab
1
ab
2
a2 +b2 −c2
2ab
1+
= s(s − c) und
1−
= (s − a)(s − b)
iii) Zeige, dass
gelten. Folge daraus, dass die Formel gegeben in der Einleitung gilt.