Lineare Algebra I und II (1999/2000) Beispielklausur Erst denken

Lineare Algebra I und II (1999/2000)
Beispielklausur
Erst denken, dann schreiben! Notieren Sie nur die jeweils verlangten Rechnungen,
Beweise und Antworten, und diese bitte leserlich.
1. Welche der folgenden Polynome in R[T ] sind irreduzibel (nur ankreuzen)?
X3 − 4
X2 + 5
X1 + 6
X 4 + 3X 3 + 1
X2 − 4
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Nein
Nein
Nein
Nein
Nein
2. Schreiben Sie den ggT der Zahlen 221 und 1649 als ganzzahlige Linearkombination
dieser beiden Zahlen. (Rechnung und Antwort)
3. Ist die Menge der invertierbaren Matrizen in M (4 × 4, Q) bezüglich der Addition
eine Gruppe? (Antwort und Begründung)
4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren
(Rechnung und Antwort.)
1
2
3
und
1
−2
1
im R3 .
5. Geben
# Sie das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von A =
"
11
1
an. (Nur Antwort).
2
2
6. Bestimmen Sie die Eigenwerte der reellen Matrix
einen Eigenvektor. (Rechnung und Antwort)
h
11
00
i
und zu jedem Eigenwert
h i
7. Sei g die Ursprungsgerade im R2 durch den Punkt 12 , sei σ : R2 → R2 die Spiegelung an dieser Geraden. Geben Sie alle Eigenvektoren von σ und die zugehörigen
Eigenwerte an. (Nur Antwort, keine Begründung).
8. Sei K ein Körper, sei A ∈ M (4 × 4, K) nilpotent mit dim Ker fA = 2 . Welche
Möglichkeiten gibt es für die Jordan’sche Normalform von A ? (Nur Antwort).
9. Sei u1 , . . . , u5 ein Erzeugendensystem von R4 . Die Folgen (u1 , u2 , u3 ) und (u3 , u4 , u5 )
seien linear unabhängig. Sei U = span{u1 , u2 , u3 }, sei U 0 = span{u3 , u4 , u5 }. Berechnen Sie die Dimension von U ∩ U 0 . (Antwort mit Begründung).
1
10. Sei K ein Körper. Seien V, W K -Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung. Sei U ⊆ V ein Unterraum. Zeigen Sie: f −1 f (U ) = U + Ker f.
(Durchführung des Beweises).
11. Sei K ein Körper, V ein K -Vektorraum, sei f : V → V ein Endomorphismus.
Sei v Eigenvektor für f mit Eigenwert λ , sei w Eigenvektor für f mit Eigenwert µ.
Zeigen Sie: Ist v + w Eigenvektor für f , so ist λ = µ. (Durchführung des Beweises)
12. Welche Quadriken Q in R3 haben die folgende Eigenschaft: Schneidet man
Q mit einer beliebigen Ebene, die zur x - y -Ebene parallel ist, so erhält man einen
Kreis, dessen Mittelpunkt auf der z -Achse liegt. (Nur Antwort: Bezeichnungen und
definierende Gleichungen.)
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
13. Berechne die Determinante der Matrix  3 4 5 6 7  . (Antwort mit Begründung).
45 67 8
56 78 9
14. Bestimmen Sie die Hauptachsen der Ellipse, die durch die Gleichung
4X 2 + 4Y 2 − 7XY = 4
gegeben ist. (Antwort mit Rechnung. Skizze).
15. Bestimme c ∈ R , so daß die Matrix
"
√1
2
√1
2
√1
2
c
#
orthogonal ist. (Antwort mit
Begründung).
1 i
16. Sei A =
∈ M (2 × 2, C) . Bestimme eine unitäre Matrix S , so daß
−i 1
S −1 AS eine Diagonalmatrix ist. (Antwort mit Begründung).
2