ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE

ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE
MECANIQUE GENERALE II
SECTIONS EL, GC, GM, IN, MA, MT, MX, SC, SIE
09.05.2007, Test 2, Lösungen
Aufgabe 1: Drehstuhl
Im Moment, in dem Herr Meier sein Rad in Bewegung setzt, beginnt er sich auf seinem Stuhl zu
drehen. Dies folgt aus der Drehimpuls-Erhaltung. Die Drehrichtung des Stuhls ist der Drehrichtung
des Rades entgegengesetzt.
Nun dreht er sein Rad in die horizontale Drehachse. In diesem Moment bremst der Stuhl ab und
dreht sich nicht mehr. Jedoch muss Herr Meier recht viel Kraft aufwenden, um das Rad zu drehen.
Wenn er nun in die gleiche Richtung weiter dreht (Drehachse ist nun gegen unten gerichtet), dreht
sein Stuhl gerade in die andere Richtung wie ursprünglich.
Aufgabe 2:
a) Der Schwerpunkt berechnet sich wie folgt:
~S = 1
R
M
Z
~r dm
wobei dm = ρdV und dV = r dr dθ dz (Zylinderkoordinaten) ist. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass die z- und θ-Achse gerade durch den Schwerpunkt gehen. Daraus folgt, dass die
Komponente des Schwerpunktes sind: Rz = z2 , Rθ = 0. Rr berechnen wir wie folgt:
z
1
Rr =
M
Z2 Zα ZR
r cos (θ) ρ r dr dθ dz =
z
− 2 −α 0
2ρR3 z sin (α)
1 R3
ρ 2 sin (α) z =
M 3
3M
2
Wir können nun die Masse ersetzen durch M = ρπR2 z 2α
2π = ρR zα, wodurch wir für den Schwerpunkt erhalten:
Rr =
2ρR3 sin (α)
2R sin (α)
=
3ρR2 zα
3α
b) Das Trägheitsmoment wird berechnet durch
z
Z
IS =
Z2 Zα ZR
r2 dm =
r2 ρr dr dθ dz = ρzα
z
− 2 −α 0
R4
R2
=M
2
2
c) In der vertikalen Position besitzt unser System ausschliesslich potentielle Energie: Epot =
M gh, wobei der Schwerpunkt als Massenpunkt betrachtet werden kann. Daraus folgt, dass die
. Die x-Achse wird durch die Drehachse gelegt.
Höhe h = 2R sin(α)
3α
Epot =
2M gR sin (α)
3α
Diese potentielle Energie wird in horizontaler Position vollständig in kinetische, sprich Rotationsenergie, umgesetzt:
1
2M gR sin (α)
horizontal
vertikal 1
Ekin
= Epot
IS ω 2 =
2
3α
daraus folgt:
r
ω=
8 sin (α) g
3Rα
d) Um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, benutzen wir wie gewöhnlich Newton:
X
F = ma
, wobei die Beschleunigung a in Zylinderkoordinaten geschrieben werden muss:
³
´
³
´
a = r̈ − rθ̇2 ~er + 2ṙθ̇ + rθ̈ ~eθ + z̈~ez
Die einzige externe Kraft, die auf unser System wirkt, ist die Schwerkraft:
F~g = (mg cos θ) ~er + (mg sin θ) ~eθ
Daraus leiten wir die Bewegungsgleichungen her:
=
³
´
m r̈ − rθ̇2
³
´
m 2ṙθ̇ + rθ̈
~eθ
=
z̈
~ez
mg cos θ + N
=
mg sin θ
0
~er
Unsere Randbedingungen sind: z̈ = 0, r̈ = ṙ = 0 und somit werden die Bewegungsgleichungen:
g cos θ + N = rθ̇2
g sin θ = rθ̈
0 = z̈
~er
~eθ
~ez
Aus der Gleichung ~eθ folgt die Bewegungsgleichung:
g sin θ = rθ̈
Die Anfangsbedingungen lauten: θ(0) = 0, θ̇(0) = 0.
Aufgabe 3: Maxwellsches Rad
a) Das Objekt muss so orientiert werden, dass seine z-Achse parallel zu ω ist.
b) Durch das Fallen der Masse ergibt sich eine Kraft auf das Verbindungsseil zu F = m(g − a).
~ auf das
Hierbei ist a die Beschleunigung der Masse. Diese Kraft bewirkt ein Drehmoment D
Schwungrad
~ = F~ × ~r
D
⇒
D = mr(g − a).
Wegen L̇ = D folgt mit L = Iω
I ω̇ = mr(g − a).
2
Aus ω =
I
v
r
ergibt sich
v̇
a
= I mr(g − a)
r
r
⇒
a=
I
r2
mg
.
+m
Durch diese Beschleuningung ist die Zeit, die die Masse braucht, um die Distanz h zu durchlaufen
t2 = 2h/a = 2h/
2h( rI2 + m)
mg
=
.
I
mg
r2 + m
Das Trägheitsmoment des Systems ergibt sich also aus der Zeit zu
µ
I=
¶
gt2
− 1 mr2
2h
Zur Bestimmung des Trägheitsmoments des Objektes werden zwei Messungen gemacht, einmal
ohne und einmal mit dem Objekt.
³ 2
´
gt
Das Trägheitsmoments ohne Objekt (IS ) ergibt sich aus der Fallzeit t1 zu IS = 2h1 − 1 mr2 .
³ 2
´
gt
Im zweiten Experiment mit dem Objekt ergibt sich IG = 2h2 − 1 mr2 Hierbei ist das gesamte
Trägheitsmoment IG = IS + IO + M R2 .
IO wiederum ist das Trägheitsmoment des Objektes (der Term M R2 ergibt sich aus dem Satz von
Steiner). Somit folgt
IO =
¢
mgr2 ¡ 2
t1 − t22 − M R2 .
2h
Aufgabe 4:
a)
1/2 Punkte
l - l cosq
q
l
eq
ej
er
b) Zahl der Freiheitsgrade: 2
Für die kinetische Energie gilt:
T =
1
mv 2
2
(1)
mit
v 2 = r2 ϕ̇2 sin2 θ + r2 θ̇2
(2)
3
Für die potentielle Energie gilt:
V = mgl(1 − cosθ)
(3)
Der Lagrange-Funktion lautet:
L=T −V =
m 2 2
l (θ̇ + ϕ̇2 ) + mglcosθ − mgl
2
(4)
δL
= ml2 θ̇
δ θ̇
(5)
δL
= ml2 sin2 θϕ̇
δ ϕ̇
(6)
d δL
= ml2 θ̈
dt δ θ̇
(7)
d δL
= ml2 sin2 θϕ̈ + 2ml2 ϕ̇sinθcosθθ̇
dt δ ϕ̇
(8)
δL
=0
δϕ
(9)
δL
= ml2 ϕ̇2 sinθcosθ + mglsinθ
δθ
(10)
Bewegungsgleichungen:
g
θ̈ − sinθcosθϕ̇2 − sinθ = 0
l
ϕ̈ + 2ϕ̇θ̇
(11)
cosθ
=0
sinθ
(12)
4