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1.5. Quantenmechanische Erwartungswerte
Mit der Kenntnis eines quantenmechanischen Zustandes und der SchrödingerGleichung ist die Zeitentwicklung der Wellenfunktion im Prinzip für alle Zeiten
bekannt. In der bisherigen Diskussion haben wir uns im Wesentlichen um die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
gekümmert
und
haben
prinzipielle
quantenmechanische Phänomene wie das Auseinanderfließen am Beispiel des
Gauß-Wellenpaketes diskutiert.
Eine allgemeine Vorschrift zur Berechnung von physikalisch relevanten Größen
wurde allerdings noch nicht angegeben. Uns fehlt noch das Rüstzeug, um so
elementare Größen wie z.B. die kinetische Energie eines Elektrons zu berechnen.
Die hierfür notwendige Information wird axiomatisch über das 3. Postulat der
Quantenmechanik eingeführt:
3. Postulat der Quantenmechanik
Physikalische Messgrößen werden durch Operatoren beschrieben. Dem Teilchenort
wird der Operator x zugeordnet, der ψ ( x ) mit x multipliziert. Dem Impuls wird der
∂
Operator p = − j
zugeordnet.
∂x
Bei oftmaliger Messung einer physikalischen Größe, die sich als Funktion F ( x, p )
von
Ort und Impuls schreiben lässt, ergibt sich als Mittelwert
∫ψ
< F >=
*
( x, t )F ( x, p )ψ ( x, t )dx
*
∫ψ ( x, t )ψ ( x, t )dx
.
Als Beispiel für die Anwendung dieses Axioms kann die schon ausgiebig behandelte
ebene Materiewelle untersucht werden:
ψ ( x, t ) = A exp( j (kx − ωk t ))
1.5–1
Den Ort haben wir im Prinzip schon an Hand der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
diskutiert. Es ergab sich in (1.4-9) eine über den gesamten Raum konstante
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ρ ( x, t ) ∼ A2 .
Für den Erwartungswert des Ortes erhält man nach obiger Vorschrift:
21
∞
∫ A exp(− j (kx − ω t ))xA exp( j (kx − ω t ))dx ∫ xdx
=
=0
<x>=
dx
∫ A exp(− j (kx − ω t ))A exp( j (kx − ω t ))dx ∫
k
k
−∞
∞
k
1.5–2
k
−∞
Die zugehörige Berechnung des Erwartungswertes für den Impuls führt uns jetzt
systematisch zu der schon von Louis de Broglie 1923 vor der systematischen
Ausarbeitung der Quantentheorie vorgeschlagenen Beziehung 1.4-14 zwischen
2π
Impuls und Wellenlänge λ bzw. Wellenzahl k =
:
λ
∂
∫ A exp(− j (kx − ω t ))(− j ∂x )A exp( j (kx − ω t ))dx
ˆ
<p>=
∫ A exp(− j (kx − ω t ))A exp( j (kx − ω t ))dx
k
k
k
=
k
− j jk ∫ A exp( − j (kx − ωk t ))A exp( j (kx − ωk t ))dx
∫ A exp(− j (kx − ωk t ))A exp( j (kx − ωk t ))dx
1.5–3
= k
An diesem Beispiel wird auch wieder klar, warum die ebenen Wellen bei der
Beschreibung von quantenmechanischen Problemen eine so wichtige Rolle spielen:
Der Differentialoperator entschärft sich analog zur Elektrodynamik im Raum der
ebenen Wellen (im „k-Raum“) zu einer einfachen Multiplikation.
Weitergehend und nun die Vorgaben des 3. Postulates in ein wirklich neues Ergebnis
umsetzend ist die Berechnung der kinetischen Energie eines quantenmechanischen
Elektrons. Wir benutzen hierzu die „Quantisierungsvorschrift“, nämlich das Ersetzen
des klassischen Impulses durch den Impulsoperator.
Klassisch gilt für die kinetische Energie
1
p2
Wkin = mv 2 =
.
2
2m
1.5–4
Quantenmechanisch ergibt sich durch Ersetzen des
Impulsoperator für den Operator für die kinetische Energie:
Impulses
durch
den
2
W kin
p
− 2 ∂2
=H =
=
2m 2m ∂x 2
1.5–5
22
Für die kinetische Energie (sauberer: den Erwartungswert der kinetischen Energie)
einer ebenen Welle ergibt sich damit:
<W kin >=
∂2
)A exp( j (kx − ωk t ))
2m ∂x 2
∫ dxA exp(− j (kx − ωk t ))A exp( j (kx − ωk t ))
∫ dxA exp(− j (kx − ωk t ))(−
2
∂
∫ dxA exp(− j (kx − ω t ))( ∂x )A exp( j (kx − ω t ))
−
=
jk
2m
exp(
(
))
exp(
(
))
−
−
−
dxA
j
kx
t
A
j
kx
t
ω
ω
∫
2
k
k
k
k
1.5–6
2
2
k
2m
Der Vergleich mit der schon bekannten Dispersionsrelation für das freie Teilchen
k2
ω=
(Glg. 1.4-8) zeigt den direkten Zusammenhang zwischen der Energie eines
2m
Teilchens und der Kreisfrequenz der Materiewelle:
Wˆ kin ≡ W = ω
1.5–7
Als Dispersionsrelation bezeichnet man daher nicht nur den Zusammenhang
zwischen k und ω sondern auch zwischen Wellenvektor k und Energie W.
W, ω
Abbildung
1.5-1:
Die
Dispersionsrelation
gibt
den
Zusammenhang
zwischen
Wellenzahl/vektor und Kreisfrequenz
bzw. Energie des Teilchens an.
23
2.
Elektronische Zustände
2.1. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Eine starke Vereinfachung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich, wenn das
Potential zeitunabhängig ist:
j
2
⎫
∂ψ ( x, t ) ⎧
∂2
= ⎨−
+ V ( x )⎬ψ ( x, t )
2
∂t
⎩ 2m ∂x
⎭
2.1–1
Liegt diese Situation vor, so kann die Wellenfunktion als Produkt eines
zeitabhängigen Phasenfaktors und einer zeitunabhängigen Funktion angesetzt
werden:
2.1–2
ψ ( x, t ) = φ ( x )e − jωt
Aus der linken Seite der Glg. (2.1-1) wird dann
j
2.1–3
∂ψ ( x, t )
∂
=j
(φ ( x )exp(− jωt )) = j φ ( x )exp(− jωt )(− jω ) = exp(− jωt ) ωφ ( x ),
∂t
∂t
und aus der rechten Seite in Glg. (2.1-1) wird
2
⎧
⎫
∂2
−
+ V ( x )⎬ φ ( x )exp( − jωt ).
⎨
2
⎩ 2m ∂x
⎭
2.1–4
Nach Division durch die Exponentialfunktion erhalten wir:
2
⎧
⎫
∂2
V
(
x
)
+
⎨−
⎬ φ ( x ) = ωφ ( x ) .
2
⎩ 2m ∂x
⎭
2.1–5
Nachdem wir uns schon daran gewöhnt haben, dass das Symbol für eine
Wellenfunktion ein Ψ und nicht ein φ ist, ersetzen wir nun das φ wieder durch ein Ψ,
meinen aber nun im Gegensatz zum bisherigen Gebrauch des Symbols (meistens)
nur noch den zeitunabhängigen Teil der Wellenfunktion.
Zudem wissen wir schon, dass ω = W gilt. Damit können wir Glg. 2.1-5 in eine
prägnantere Form umschreiben und wir erhalten die zeitunabhängige SchrödingerGleichung in ihrer weit verbreiteten Form:
24
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
∂
⎪
⎪
−
+
V
(
x
)
⎨
⎬ψ ( x ) = Wψ ( x ) .
2
⎪ 2m ∂x
W pot ⎪
⎪ W kin
⎪
⎪⎩
⎪⎭
W ges
2.1–6
Insgesamt stellt sich damit die zeitunabhängige Schrödinger-Glg. als ein durchaus
greifbares Gebilde dar: Auf der linkes Seite steht neben dem Operator für die
kinetische Energie noch das Potential bzw. der Operator für die potentielle Energie.
Insgesamt ist dies dann der Operator für die Gesamtenergie.
Dieser Operator, den man mit der Gesamtenergie eines Teilchens verbindet, wird in
Anlehnung an die theoretische Mechanik als Hamilton1-Operator (engl.
„Hamiltonian“) Ĥ bezeichnet.
Wie stellt sich damit die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung dar ? Ein Operator
wird auf eine Funktion angewendet und soll ein Skalar multipliziert mit der Funktion
selbst ergeben. Es ergibt sich damit eine sehr einfache symbolische Darstellung für
die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
Hˆψ ( x ) = Wψ ( x ) .
2.1–7
Mathematisch sollte uns das mächtig an die lineare Algebra erinnern. Wir wenden
einen Operator auf eine Funktion an und es ergibt sich wieder die Funktion selbst
multipliziert mit einem Skalar. Das Ganze ist vollkommen analog zum
Eigenwertproblem, bei dem eine Matrix auf einen Eigenvektor angewendet wieder
den Vektor selbst multipliziert mit einem Eigenwert ergibt. Mathematisch gesprochen
suchen wir also bei der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Glg. die
Eigenfunktionen und (Energie-)Eigenwerte zum Hamiltonoperator.
1
Sir William Rowan Hamilton, irisch-englischer Mathematiker und Physiker. (* 4. August 1805 in
Dublin; † 2. September 1865 bei Dunsink).
25
Abbildung 2.1-1: Visualisierung einer
linearen Abbildung. Für
⎛ 1 0⎞
Ae = ⎜
⎟ e = Eλ e
⎝0 2⎠
ergeben sich die beiden Eigenwerte
E1=1 und E2=2. Graphisch heißt das,
dass nach dem Anwenden der Matrix
auf den Vektor ein Vielfaches des
Vektors herauskommt.
2.2. Der unendlich hohe Potentialtopf
Der unendlich hohe Potentialtopf ist der Klassiker der Probleme der
Quantenmechanik und wird in vielen Lehrbüchern der Halbleiterelektronik als
Einstieg genutzt. Am unendlich hohen Potentialtopf kann man exemplarisch viele
Prinzipien der Quantenmechanik studieren.
Der Potentialtopf ist aber auch ein wichtiger Baustein der modernen Halbleiter- und
hierbei insbesondere der Optoelektronik. Beispiele sind in Abbildung 2.2-1 und
Abbildung 2.2-2 dargestellt. Die beiden Abbildungen zeigen links ein Bild einer violett
strahlenden Laserdiode und ein Schema eines Halbleiterlasers und auf der rechten
Seite einen Querschnitt durch den Schichtaufbau einer AlGaN-basierten Laserdiode.
Hocheffiziente hochfrequente und optoelektronische Bauelemente benutzen alle den
Trick, Elektronen mittels Potentialtöpfen „einzusperren“. Man setzt die Elektronen dar
fest, wo sie gebraucht werden. Für seine bahnbrechenden (theoretischen) Arbeiten
zu diesem Thema bekam der deutschstämmige Heribert Kroemer im Jahre 2000 den
Physik-Nobelpreis [siehe http://nobelprize.org/physics/laureates/2000/].
26
Abbildung 2.2-1: Bild einer violetten Laserdioden
der
Fa.
Nichia
(oben).
Schema
einer
Halbleiterlaserdiode. In einer Halbleiterschichtstruktur wird ein Strom injiziert und Lasertätigkeit
im Festkörper wird angeregt.
Abbildung 2.2-2: Schemabild des Schichtaufbaus
in einer blauen/violetten Laserdiode. Die
einzelnen Halbleiterschichten sind nur wenige
Nanometer dünn und bilden Potentialtöpfe für die
Ladungsträger (Quelle: FhG IAF Freiburg).
27
V
∞
∞
eAbbildung 2.2-3: Schemabild des unendlich
hohen Potentialtopfes für ein Elektron.
0
L
x
Der unendlich hohe Potentialtopf wird durch das folgende Potential beschrieben:
⎧0 : 0 < x < L
V (x) = ⎨
⎩ ∞ : sonst
2.2–1
Klassisch betrachtet ist die Situation nahezu trivial. Ein klassischer Massepunkt liegt
im einfachsten Fall ruhend auf dem Boden. Dies ist der Fall, wenn seine kinetische
Energie gleich Null ist. Ist die kinetische Energie ungleich Null, so bewegt sich der
klassische Massepunkt wie ein Ping-Pong-Ball im Potentialtopf hin und her. Jeweils
am Rand des Topfes stößt das Teilchen mit der Wand und Impuls und
Geschwindigkeit kehren ihr Vorzeichen um.
Quantenmechanisch ergibt sich eine komplett andere Situation. Wir müssen uns mit
der Lösung der Differential(=Schrödinger)-Gleichung
⎧ 2 ∂2
⎫
+ V ( x )⎬ψ ( x ) = Wψ ( x )
⎨
2
⎩ 2m ∂x
⎭
2.2–2
für das Potential in Glg. 2.2-2 kümmern. An dieser Stelle sei schon erwähnt, dass wir
als Lösungen stehende Materiewellen erhalten werden, die sich vollkommen analog
zum ideal leitenden Hohlraumresonator verhalten.
In der Elektrodynamik ist für die konkrete Rechnung die Kenntnis der
Stetigkeitsbedingungen entscheidend. Zunächst fordern wir Stetigkeit der
Wellenfunktion selbst und das Verschwinden der Wellenfunktion in Bereichen, in
28
denen V=∝ ist. Wäre dies nicht so, so ergeben sich pathologische divergierende
Energiedichten. Es muss also gelten:
Ψ(0)= Ψ (L)=0.
2.3. Lösung durch scharfes Hingucken
Zur Lösung von 2.1-7 suchen wir eine Funktion, die zweimal nach dem Ort abgeleitet
wieder sich selbst multipliziert mit einer Konstanten ergibt. Da kommt einem z.B. eine
Sinusfunktion in den Sinn:
Wie wäre es also mit dem Ansatz : ψ ( x ) = A sin ( kx ) ?
Setzen wir das ein, so ergibt 2.2-2
−
2
∂2
ψ
(
x
)
k 2 A sin(kx ) = WA sin(kx ) .
=
2
2m ∂x
2m
2
Die Schrödinger-Glg. SGL ist damit gelöst, falls W =
2
k2
.
2m
Aus den Randbedingungen ψ(0)=ψ(L)=0 folgt: sin ( kL ) = 0 ⇒ kL = nπ , wobei n eine
ganze Zahl sein muss.
Hier tritt eine ganz wichtige Eigenheit vieler quantenmechanischer Phänomene zu
Tage. Es sind nicht alle möglichen Lösungen der Schrödinger-Gleichungen erlaubt,
sondern es ergeben sich durch die Randbedingungen nur bestimmte diskrete
Lösungen. In diesem Fall nur die Sinusfunktionen A sin( kx ) , die sich für die diskreten
Wellenzahlen
nπ
⎛ nπ ⎞
bzw. k 2 = ⎜
⎟ mit n=1,2,3....
L
⎝ L ⎠
2
k =
2.3–1
ergeben.
2.4. Lösungen für die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte
Die Lösungen haben damit die Form:
⎛ nπ x ⎞
ψ n ( x ) = An sin ⎜
⎟
⎝ L ⎠
2.4–1
Für die zugehörigen Energieeigenwerte gilt:
29
⎛ nπ ⎞
k =
Wn =
⎜
⎟
2m
2m ⎝ L ⎠
2
2
2
2
n
2.4–2
Die nachfolgende Abbildung veranschaulicht die Lösungen.
E
W
∞
∞
Ψ3
WE33
Abbildung 2.4-1: Visualisierung der drei
Wellenfunktionen Ψ1, Ψ2 und Ψ3 mit den
niedrigsten Energieeigenwerten W1, W2 und W3
beim Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden.
Ψ2
WE22
Ψ1
WE11
x
0
L
Die Eigenschaften der Lösungen bei diesem Problem sind von grundsätzlicher Natur
und sind immer dann zu finden, wenn es „gebundene“1 Zustände gibt:
•
•
•
•
•
•
Es gibt nur bestimmte diskrete Energieeigenwerte; es sind nicht alle Energien
erlaubt („Quantelung“).
Auch der energetisch günstigste Zustand hat – im Gegensatz zum klassischen
Verhalten – eine Minimalenergie W1≠0 („Nullpunktsenergie“).
Das Elektron ist über den ganzen Topf „verschmiert“, allerdings nicht
gleichmäßig.
Der energetisch günstigste Zustand hat keinen Nulldurchgang
Je größer der Energieeigenwert ist, desto mehr Knoten (Nulldurchgänge)
besitzt die Wellenfunktion.
Es gibt in einem symmetrischen Potential abwechselnd symmetrische und
antisymmetrische Wellenfunktionen.
1
Die mathematische Unterscheidung zwischen gebundenen und nicht gebundenen Zuständen erfolgt
weiter unten.
30
2.5. Die konventionelle Lösung
Da die Lösung durch genaues Hingucken nicht immer anwendbar ist, brauchen wir
noch das Handwerkszeug, quantenmechanische Zustände für Potentialverläufe, wie
in Abbildung 2.5-1 gezeigt, allgemein zu bestimmen.
V
x
Abbildung 2.5-1: Visualisierung einer Abfolge von Potentialtöpfen.
Für den unendlichen Potentialtopf geht das wie folgt:
Im Inneren des Topfes (0<x<L) erwarten wir ebene Wellen (freies Teilchen),
allerdings müssen wir zulassen, dass nach links und nach rechts laufende
Materiewellen sich überlagern. In der Tat erhalten wir erst durch die Überlagerung
von laufenden Wellen (genau wie beim Hohlraumresonator in der Elektrodynamik
oder beim beidseitig eingespannten elastischen Seil in der Mechanik) die stehende
Welle, die das Problem bei vorgegebenen Randbedingungen löst.
In der zeitabhängigen Betrachtung gilt für die nach rechts bzw. links laufende Welle:
ψ + ( x, t ) = A + exp( j ( kx − ωk t )); ψ − ( x, t ) = A − exp( j ( −kx − ω− k t )) .
2.5–1
Da wir hier aber den zeitunabhängigen Fall betrachten, interessiert uns nur die
Ortsabhängigkeit.
ψ + ( x ) = A+ exp( jkx ); ψ − ( x ) = A− exp( − jkx ) .
2.5–2
Weiterhin haben wir als Randbedingung:
ψ (0) = ψ (L ) = 0 .
2.5–3
Daher muss gelten:
ψ (0) = A+ exp( jk 0) + A− exp( − jk 0) = A+ + A− = 0
31
und
2.5–4
ψ (L ) = A + exp( jkL ) + A− exp( − jkL ) = 0
Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten A+ und A- der
Wellenfunktion, welches wir irgendwie lösen müssen. Bleiben wir weiter auf der
formalen (und damit verallgemeinerbaren und programmierbaren) Schiene, so
können wir das Ganze in Matrixform schreiben:
1
1
⎛
⎞ ⎛ A+ ⎞
⎜
⎟⎜ − ⎟ = 0 .
⎝ exp( jkL ) exp( − jkL ) ⎠ ⎝ A ⎠
2.5–5
Eine nichttriviale Lösung ergibt sich, falls die Determinante der Matrix verschwindet:
det (...) = exp( − jkL ) − exp( jkL) = −2 j sin(kL ) = 0 .
2.5–6
Erfreulicherweise erhalten wir für k dasselbe Ergebnis wie in 2.3:
⇒ kn = n
π
L
, wobei n=1,2,3,….
2.5–7
Wegen A+=-A lauten die Lösungen also:
-
ψ n ( x ) = A + n exp( jk n x ) − A + n exp( − jk n x ) = −2 jA + n sin( k n x ) .
2.5–8
Da der Vorfaktor einstweilen vollkommen frei wählbar ist, entscheiden wir uns ohne
Beschränkung der Allgemeinheit für
Bn = 2An+ j .
2.5–9
Dieser Weg erscheint hier zwar umständlich, funktioniert aber (im Prinzip) ganz
allgemein und führt zu demselben Ergebnis wie der intuitive Ansatz in Kapitel 2.3.
32