Versuch 6 Wechselstrom

ETEK Praktikum, Versuch 6
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Versuch 6 Wechselstrom
Lernziele
Bei diesem Versuch wird das Wechselstromverhalten diverser elementaren elektrischen Bauelementen
untersucht. Es werden rechnerische und graphische Methoden benutzt um dieses Verhalten bei einfachen
Schaltungen zu bestimmen. Ferner wird das Frequenzverhalten dieser Wechselstromgrössen betrachtet.
• Sie können die Begriffe Linearität und Superpositionsprinzip an Hand von konkreten Beispielen
erläutern.
• Sie können harmonische Signale formelmässig und mittels Zeigern beschreiben und wahlweise die eine
Darstellung in die andere überführen.
• Sie kennen die Einflüsse auf Zeigern der folgenden Operationen auf harmonische Signale im Zeitbereich:
Multiplikation mit einer Konstanten, Addition oder Subtraktion mehrerer Signale, Ableitung nach der
Zeit.
• Sie können Verhältnisse von Zeigern interpretieren und in diesem Zusammenhang unter anderem die
Begriffe Impedanz und Admittanz erläutern.
• Sie kennen die Impedanzen und Admittanzen der idealen elektrischen Bauelementen Widerstand,
Kondensator und Spule.
1 Linearität und Wechselstromverhalten
ˆ cos(ω t + ϕ ) sind durch die
Harmonische (sinusförmige) Signale1 wie z. B. die Spannung u(t) = U
u
ˆ 2 ), Nullphasenwinkel ϕ und
ˆ (oder Effektivwert2 U = U
Angabe der drei Parameter Amplitude U
u
Kreisfrequenz ω (bzw. Frequenz f = ω/2π) eindeutig und vollständig beschreiben. Bei vorgegebener
Frequenz können die Amplitude und der Nullphasenwinkel eines elektrischen Signals als Zeiger (englisch:
phasor) in Versor-Notation kompakt angegeben werden:€für eine Spannung z. B.: U = U∠ϕ u , bzw. für
€ beiden Elemente des
€ Zeigers werden als Betrag€und Argument
eine Stromstärke: I = I∠ϕ i . Die
bezeichnet.
Der Zusammenhang u(t ) ↔ U ist mathematisch betrachtet eine lineare€Abbildung. Dabei gelten die
folgenden€beiden Eigenschaften (mit u(t ) ↔ U = U∠ϕ u und i(t ) ↔ I = I∠ϕ i ):
1) u(t ) = R i(t ) ↔ U = R I
(Homogenität)
€
Das Multiplizieren €
eines Zeigers mit einer€Konstanten entspricht der Steckung dieses Zeigers um
diesen Faktor: dabei gilt U = R I und ϕ u = ϕ i
€
U = R·I
I
1
2
€
€
Unter Signal wird der zeitliche Verlauf einer physikalischen Grösse verstanden.
Der Effektivwert eines periodischen Signals (Spannung oder Stromstärke) entspricht dem konstanten
Wert der an einem Widerstand dieselbe Leistung wie die Wechselgrösse dissipiert. Mathematisch
entspricht er dem quadratischen Mittelwert des Signalverlaufs. Ingenieure geben im Allgemeinen
Signalwerte als Effektivwerte und nicht als Amplitudenwerte am.
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2) u(t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) ↔ U = U1 + U 2
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(Additivität)
Die Addition ist hier als (vektorielle) Zeiger-Addition zu verstehen:
€
(U cosϕ
dabei gilt
U=
und
ϕ u = atan
1
2
+ U 2 cosϕ u 2 ) + (U1 sinϕ u 1 + U 2 sinϕ u 2 )
U1 sinϕ u 1 + U 2 sinϕ u 2
2
u1
U1 cosϕ u 1 + U 2 cosϕ u 2
€
Ist der Nenner des atan-Ausdrucks für ϕu negativ, so muss noch der Winkel π zu ϕu addiert oder
abgezogen werden.
€
U2
U
U1
Im Weiteren gilt für die zeitliche Ableitung eines harmonischen Signals:
3) v(t ) =
dx(t )
↔ V =V∠ϕ v = ω X∠(ϕ x + π 2)
dt
Das Ableiten eines Signals nach der Zeit, entspricht für den entsprechenden Zeiger einer Steckung
um die Kreisfrequenz ω und einer positiven3 Drehung um π/2.
€
V
X
Superpositionsprinzip
Bedeutung der Linearität: Bei Systemen bei denen zwischen Eingangs- und Ausgangsgrössen (bzw.
Ursache und Wirkung) eine lineare Beziehung herrscht, gilt das Superpositionsprinzip: Die Wirkungen
einzelner Ursachen können addiert werden, um die gemeinsame Wirkung aller Ursachen zusammen zu
bestimmen. Dies ist bei nichtlinearen Systemen nicht möglich.
Beispiel für das Superpositionsprinzip
Kondensatoren weisen einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke auf.
• Ein auf die Spannung U1 geladener Kondensator wird über einen Widerstand entladen. Der
Entladevorgang erzeugt die Stromstärke i1 (t).
• Ein ungeladener Kondensator wird über denselben Widerstand an ein Netzgerät der Spannung U2
geschaltet. Der Ladevorgang erzeugt die Stromstärke i2 (t).
—> Wird nun der geladene Kondensator an das Netzgerät geschaltet, so kann die resultirende
Stromstärke als Summe der einzelnen Stromstärken bestimmt werden:
i(t) = i1 (t) + i2 (t)
Ende des Beispiels
3
d. h. im Gegenuhrzeigersinn
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2 Verhältnisse von Zeigern
Bei linearen Systemen sind bei einheitlicher harmonischer Anregung4 und im eingeschwungenen
Zustand5 sämtliche Signale harmonisch6. Die Signale unterscheiden sich in diesem Fall nur durch ihre
Amplituden und Nullphasenwinkel.
Das Verhältnis eines Spannungs- zu einem Stromzeiger kann als „Widerstandzeiger“ oder Impedanz wie
folgt definiert werden:
Z=
U U
= ∠(ϕ u − ϕ i )
I
I
Analog gilt für das reziproke Verhältnis „Leitwertzeiger“ oder Admittanz:
€
Y=
I
I
= ∠(ϕ i − ϕ u )
U U
Die resultierenden Zeiger beschreiben mit ihrem Betrag das Verhältnis der Amplituden oder der
Effektivwerte der betrachteten Grössen und mit dem Argument deren Nullphasenwinkeldifferenz.
€
Offensichtlich gilt Y = 1/Z. Beim Bestimmen des reziproken Wertes eines Zeigers gelten folgende zwei
Regeln:
i) der Betrag wird durch seinen reziproken Wert ersetzt
ii) das Argument ändert sein Vorzeichen
€
Zeiger und Verhältnisse von Zeigern sind im Allgemeinen frequenzabhängig7. Diese Abhängigkeit von der
Kreisfrequenz, bzw. der Frequenz wird Frequenzgang des betrachteten Zeigers genannt. Die
Abhängigkeit des Betrags von der Frequenz heisst Amplitudengang, die des Arguments Phasengang.
Der Amplituden- und der Phasengang beschreiben die Frequenzabhängigkeit des Zeigers eindeutig.
Der Zusammenhang zwischen der Spannung und der Stromstärke bei einem harmonisch angeregten
idealen Kondensator der Kapazität C, kann also wie folgt beschrieben werden (Eigenschaften 1 und 3 der
Abbildung):
i(t ) = C
du(t )
↔ I = I∠ϕ i = ω CU∠(ϕ u + π 2)
dt
mit Betrag I = ωCU und Argument ϕ i = ϕ u + π /2
€
I
€
U
4
5
6
7
Dazu gehören auch zeitlich konstante Signale. Letztere können als Sonderfall eines sinusförmigen
Signals mit Frequenz Null betrachtet werden.
d.h. nach Abklingen der Einschwingphasen oder Transienten
mit der selben Frequenz wie die durch die Quellen eingeprägte Anregung
Dies ist immer dann der Fall, wenn ein Energiespeicherelement sich in der Schaltung befindet. Die
konstitutiven Gesetze dieser Elemente enthalten immer eine zeitliche Änderungsrate (zeitliche
Ableitung). Gemäss der Eigenschaft (3) werden die Zeiger entsprechend um die Frequenz gestreckt.
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Für dieses Bauelement beträgt die Impedanz Z = Z∠ϕ =
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U
1
∠(ϕ u − ϕ i ) =
∠−π 2
I
ωC
I
∠(ϕ i − ϕ u ) = ω C∠π 2
U
€
analog gilt für eine ideale Spule der Induktivität L:
und die Admittanz Y = Y∠ − ϕ =
€ di(t )
u(t ) = L
↔ U = U∠ϕ u = ω L I∠(ϕ i + π 2)
dt
mit Betrag U = ω L I und Argument ϕ u = ϕ i + π /2
€
U
€
€
I
Für dieses Bauelement beträgt die Impedanz Z = Z∠ϕ =
und die Admittanz Y = Y∠ − ϕ =
U
∠(ϕ u − ϕ i ) = ω L∠π 2
I
I
1
∠(ϕ i − ϕ u ) =
∠−π 2
U
ωL
€
€
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3 Beispiele
3.1 RC-Glied als Tiefpassfilter
Das folgende RC-Glied kann als einfaches Tiefpassfilter verwendet werden. Ein Tiefpassfilter lässt
harmonische Signale mit tiefen Frequenzen mehr oder weniger unverändert durch, dämpft hingegen die
Amplituden von Signalen mit höheren Frequenzen so, dass diese am Filterausgang nur noch geschwächt
erscheinen.
Ri
i(t) R
uq(t)
u1(t)
C
u2(t)
Figur 1 RC-Glied als Tiefpassfilter an linearer Wechselspannungsquelle
Die Spannung u1 (t) ist das Signal am Filtereingang und u2 (t) entspricht dem gefilterten Signal am
Filterausgang. Bei sinusförmiger Anregung können die Spannungen und die Stromstärke mit Zeigern
bezeichnet werden:
Ri
R
I
Uq
U1
C
U2
Figur 2 Tiefpassfilterschaltung mit eingetragenen Wechselstromzeigern
Unter der Annahme, dass ϕ u 2 = 0 ist, kann das Zeigerdiagramm aller Grössen der Schaltung gezeichnet
werden:
Uq
Ri·I
€
U1
R·I
I
U2
Figur 3 Zeigerdiagramm der Schaltung
Dabei gelten I = ω CU 2 ∠(ϕ u 2 + π /2) und U1 = R I + U 2 . Daraus ergibt sich für das Amplitudenverhältnis
U
U2
1
1
=
=
der Spannungen 2 =
2
2
2
2
U1
RI
1+ (ω R C)
(R I) + U 2
  +1
€
€
 U2 
RI
und für den Phasenwinkelunterschied ϕ u 2 − ϕ u1 = −atan  = −atan(ω R C) .
 U2 
€
€
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Die Frequenz bei der die Filterwirkung einsetzt, wird als Bandbreite des Tiefpassfilters bezeichnet. Diese
wird als die Frequenz definiert, bei der die Amplitude des Signals am Filterausgang um den Faktor √2
gegenüber der Amplitude des Signals am Filtereingang abgenommen hat. Dies ist in diesem Beispiel bei
ω = 1/RC der Fall. Diese Kreisfrequenz heisst Grenzkreisfrequenz ωg bzw. Grenzfrequenz fg des Filters.
fg =
1
U2
1
π
ϕ u 2 − ϕ u1 ω= ω = −atan(1) = −
—>
=
und
2π RC
g
U1 ω= ωg
2
4
3.2 RLC-Serieschwingkreis
€
Interessant sind Schaltungen, die kapazitive und induktive Elemente enthalten. Je nach Frequenz überwiegt
das kapazitive oder das induktive Verhalten. Bei einer bestimmten Frequenz, der sogenannten
Resonanzfrequenz, heben sich der kapazitive und der induktive Effekt auf, so dass die Schaltung an ihren
Klemmen betrachtet sich wie ein reiner Widerstand verhält, d. h. der Phasenwinkelunterschied zwischen der
Spannung u(t) und der Stromstärke i(t) Null beträgt.
I
R
L
U
UR
UL C
UC
Figur 3 Schaltung eines RLC-Serieschwingkreises mit Wechselstromzeigern
UL
U =U R + U L + U C
UL
I
ϕ
UR = U = R·I
UC
I
UR = R·I
UC
Figur 4 Zeigerdiagramme des Serieschwingkreises bei Resonanz (ω = ωr) und bei ω > ωr
Aus dem Zeigerdiagramm ergeben sich die folgenden Beziehungen:
1
ωL −
2


UL − UC
1
ωC
2
= atan
U = U 2R + (U L − U C ) = I R 2 + ω L −
 , sowie ϕ = ϕ U − ϕ I = atan
UR
R
ωC

Bei Resonanz heben sich die Spannungszeiger der Kapazität und der Induktivität auf. Dafür müssen ihre
Beträge gleich gross sein:
1
1
ωL =
, daher ergibt sich für die Resonanzkreisfrequenz
des Serieschwingkreises ω r =
€
ωC
LC
Unterhalb der Resonanzfrequenz überwiegt die kapazitive Spannung, oberhalb die induktive.
€
€
€
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Vorbereitung
RC-Glied als Tiefpassfilter
• Zeichnen Sie den Amplitudengang U2 /U1 des Spannungsübertragungsverhältnisses (Zeigerverhältnisses)
U2 /U1 in linearer und in doppeltlogarithmischer Darstellung.
• Zeichnen Sie den Phasengang ϕ = ϕ u 2 – ϕu 1 des Übertragungsverhältnisses in linearer und in
halblogarithmischer Darstellung (Frequenz logarithmisch, Phase linear).
RLC-Serieschwingkreis
• Zeichnen Sie den Amplitudengang Z = U/I der Impedanz Z in linearer und in doppeltlogarithmischer
Darstellung.
• Zeichnen Sie den Phasengang der Impedanz ϕ = ϕ u – ϕi in linearer und in halblogarithmischer
Darstellung (Frequenz logarithmisch, Phase linear).
• Bestimmen Sie formal und zeichnen Sie den Amplitudengang UC/U des Spannungsübertragungsverhältnisses (Zeigerverhältnisses) UC/U in linearer und in doppeltlogarithmischer
Darstellung.
Messaufgaben
RC-Glied als Tiefpassfilter
• Nehmen Sie einige Punkt des Frequenzgangs (Amplituden- und Phasengang) des RC-Tiefpassfilters im
Frequenzbereich fg /10 bis 10·fg auf und tragen Sie die gemessenen Werte in die vorbereitete Graphik ein.
RLC-Serieschwingkreis
• Nehmen Sie einige Punkt des Frequenzgangs des RLC-Serieschwingkreises im Frequenzbereich fr/10
bis 10·fr, insbesondere in der Nähe der Resonanzfrequenz fr auf und tragen Sie die gemessenen Werte in
die vorbereitete Graphik ein.
Inventar
1
2
1
1
2
2
6
Funktionsgenerator (HM 8030)
Multimeter (HM 8011)
Kathodenstrahloszillograph (Hameg HM 1507) mit 2 Sonden (10:1 Tastkopf)
LC-Meter (HM 8018), nur an einigen Messplätzen vorhanden
Widerstandsdekaden (1 Ω … 11 MΩ), Genauigkeit 1 %, Belastbarkeit 1 W
Luftspulen: ca. 3 mH / 13 Ω und 8 mH / 27 Ω, Imax = 50 mA
Polyester-Folienkondensatoren 10, 47, 100, 220, 470, 1000 nFarad
Nennwert in nF
Max. Spannung in V
Bezeichnung
Farbe
10
630
10n MKT
blau
47
250
.047
beige
100
250
u1
hellblau
220
63
u22
hellblau
470
100
u47
blau
1000
250
1u MKT
blau
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Tabelle der zur Verfügung stehenden Polyester-Folienkondensatoren
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