ETEK Wechselstrom

Elektrotechnik und Elektronik
1/18
ETEK Wechselstrom
1
Einleitung
In der Energietechnik (elektrische Energiewandlung und -verteilung) hat sich der sinusförmige
Wechselstrom, kurz Wechselstrom (alternating current, AC) auf Grund seiner technischen Vorteile
gegenüber dem Gleichstrom (direct current, DC) durchgesetzt. Dessen Vorteile liegen in der relativ
einfachen technischen Realisierbarkeit der Wechselstrom-, bzw- Drehstromerzeugung1 (Generator als
drehende Maschine) und in der ebenfalls einfachen Realisierbarkeit der Spannungstransformation ohne
beweglichen mechanische Teile (Transformatoren).
Die Berechnung von elektrischen Schaltungen bei Wechselstrom ist natürlich um einiges komplizierter
als bei Gleichstrom. Zum Beispiel:
• Bei der Addition von Wechselgrössen müssen zwei sinusförmige Signale2 zu jedem Zeitpunkt addiert
werden.
• Der Begriff elektrischer Widerstand eines Zweipols, definiert als Verhältnis von Spannung zu
Stromstärke, ergibt bei Wechselstrom nicht notwendigerweise eine (zeitunabhängige) feste Zahl wie
dies bei Gleichstrom der Fall ist.
• Bei Wechselstrom kommen zusätlich zur Eigenschaft Widerstand (resistance) zwei weitere
Eigenschaften der elektrischen Komponenten, nämlich die Kapazität (capacitance) und die Induktivität
(inductance) dazu.
Die Wechselstromlehre, wie sie heute immer noch hochaktuell ist, wurde durch Charles Steinmetz
(1865-1923) ausgearbeitet und Ende des neunzehnten Jahrhunderts anlässlich eines Internationalen
Elektrischen Kongresses in Chicago der Fachwelt präsentiert3. Die Leistung von Charles Steinmetz
bestand in der Erkenntnis, dass durch Benutzen von komplexen Zahlen die Berechnung von elektrischen
Wechselstromschaltungen auf die Berechnungsmethoden von Gleichstromschaltungen zurückgeführt
werden konnte. Steinmetz erkannte auch, dass diese Methode nicht nur für die Berechnung von
Wechselstromschaltungen angewendet, sondern auch bei allen physikalischen Aufgaben eingesetzt
werden konnte, bei denen stationäre sinusförmige Schwingungen auftreten.
Die Theorie der Wechselstromlehre ist demzufolge eine Methode, die beim Auftreten von sinusförmigen
Signalen mit Vorteil zum Einsatz kommt.
Damit in einem System wie eine elektrische Schaltung „rein“ sinusförmige oder harmonische Signale
auftreten, müssen folgende drei Bedingungen erfüllt sein:
1. Einheitliche, sinusförmige Anregung der Schaltung mit einer festen Frequenz
In der Schaltung befinden sich eine oder mehrere Wechselstromquellen (Spannungs- oder
Stromquellen) die alle mit derselben konstanten (nicht zeitabhängigen) Frequenz schwingen. Die
1
2
3
Drehstrom ist eine besondere Form von Wechselstrom: er besteht aus drei zeitlich versetzten
Wechselstromspannungen.
Unter Signal wird hier der zeitliche Verlauf einer physikalischen Grösse (hier Spannung oder
Stromstärke) verstanden.
Charles Steinmetz, Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering, 1893. „We are
coming more and more to use complex quantities instead of using sines and cosines, and we find
great advantage in their use for calculating all problems of alternating currents, and throughout the
whole range of physics. Anything that is done in this line is of great advantage to science.“
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
27. August 2005, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
2/18
Quellen müssen dabei nicht synchron arbeiten, d. h. die Nulldurchgänge der sinusförmigen
Grössen müssen nicht gleichzeitig sein.
2. Lineare Schaltung
Die Schaltung enthält nur lineare Komponenten (Spannungs- und Stromquellen, R,L,C).
3. Stationärer Zustand erreicht (Einschwingphasen abgeklungen)
Nach dem Dazuschalten einer sinusförmigen Quelle stellen sich nicht sofort sinusförmige
Spannungen und Stromstärken in der Schaltung ein. Dieser sogenannt stationäre Zustand stellt sich
erst nach einer bestimmten Zeit ein: Die Dauer dieses Einschwingvorgangs oder
Einschwingtransiente4 hängt nur von der Schaltung ab und nicht von der anregenden Frequenz.
Sind die obigen Bedingungen erfüllt, so sind sämtliche Spannungen und Stromstärken der
Schaltung sinusförmig, bzw. harmonisch!
4
Transiente Phase bedeutet wörtlich Übergangsphase.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
2
3/18
Harmonische Signale und ihre Darstellung
2.1
Sinusförmige Signale
Signale die mit der folgenden Formel5 dargestellt werden können, heissen sinusoidal (sinusförmig) oder
harmonisch:
x(t ) = Ax cos(ω t + ϕ x )
Bezeichnungen:
Ax
Amplitude (Scheitelwert)
ω
Kreisfrequenz mit ω = 2πf = 2π/T, [ω] = s-1 = rad/s
f
Frequenz, [f] = Hz (Hertz)
T
Periodendauer, [T] = s
ϕx
Nullphasenwinkel auch kurz Phase, üblicher Definitionsbereich: (-π, π], d.h. -π < ϕx ≤ π
ωt+ϕx
Phasenwinkel oder kurz Phase
Beispiele:
x(t ) = Ax sin(ω t ) = Ax cos(ω t − π 2)
x(t ) = −Ax cos(ω t + ϕ x ) = Ax cos(ω t + ϕ x ± π )
Ein Vorzeichenwechsel wird durch eine Veränderung des Phasenwinkels um + π oder – π
erreicht.
Das Vorzeichen von π wird so gewählt, dass der Nullphasenwinkel in Definitionsbereich (-π, π]
liegt.
x(t ) = −Ax sin(ω t ) = Ax cos(ω t + π 2)
x(t ) = −Ax sin(ω t + ϕ x ) = Ax cos(ω t + ϕ x + π 2)
5
Diese Form heisst allgemeine Cosinusfunktion. Sinusförmige Signale könnten ebensogut mit der
allgemeinen Sinusfunktion x(t) = Ax·sin(ωt+φx) dargestellt werden.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
4/18
ETEK Wechselstrom
2.2
Darstellung mit Zeiger
Drehzeiger
Ein sinusförmiges Signal kann als Projektion eines mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω drehenden6 Zeigers (phasor) auf eine Projektionsachse
Projektionsachse
Ax
x(t1 )
Drehzeiger
x(t1 )
Ax
ωt1 +ϕx
0
-Ax
0
t1/T
1
1.2
Zeit in Anzahl Perioden t/T
betrachtet werden:
Figur 1.1 Drehzeiger und Interpretation
Festzeiger
Bei fester (konstanter) Kreisfrequenz ω ist die gesamte Information über das Signal x(t) in
den Parametern Ax und ϕx enthalten. Dies kann als Bild des Drehzeigers bei t = 0
Ax
Festzeiger
ϕx
Projektionsachse
dargestellt werden:
Figur 1.2 Festzeiger
Summe von sinusförmigen Signalen gleicher Frequenz
Behauptung: Die Summe (oder Differenz) zweier sinusförmigen Signalen mit gleicher Kreisfrequenz
ergibt wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz.
x(t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) = A1 cos(ω t + ϕ1) + A2 cos(ω t + ϕ 2 ) = Acos(ω t + ϕ)
A=
(A1 cosϕ1 + A2 cosϕ 2 ) + (A1 sinϕ1 + A2 sinϕ 2 )
2
2
= A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ 2 )
⎛ A sinϕ1 + A2 sinϕ 2 ⎞
ϕ = atan⎜ 1
⎟
⎝ A1 cosϕ1 + A2 cosϕ 2 ⎠
6
Im mathematisch positiven Sinn drehend, d.h. im Gegenuhrzeigersinn.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
5/18
ETEK Wechselstrom
Interpretiert man diese Ergebnisse geometrisch, so kann man zeigen, dass der Zeiger der Summe, bzw.
der Differenz zweier sinusförmigen Signalen gleicher Frequenz, sich durch vektorielle Addition, bzw.
Subtraktion der Zeiger der Summanden bestimmen lässt.
X2
X1
X2
X=X1 +X2
X=X1 –X2
X1
Figur 1.3 Summe und Differenz zweier Signale in Zeigerdarstellung
Ableitung nach der Zeit eines sinusförmigen Signals
Die Ableitung nach der Zeit7 eines sinusförmigen Signals ist wiederum sinusförmig. Die Amplitude der
Ableitung wird dabei um die Kreisfrequenz ω und die Phase um π/2 grösser.
x1 (t) =
dx(t) d(A ⋅ cos(ωt + ϕ))
π
⎛
=
= −ωA ⋅ sin(ωt + ϕ) = ωA ⋅ cos ωt + ϕ + ⎞
⎝
dt
2⎠
dt
<—>
Der Zeiger des abgeleiteten Signals wird um ω "gestreckt" und um +π/2 gedreht.
Figur 1.4 Zeiger eines Signals (X) und der zeitlichen Ableitung dieses Signals (X1)
X1
X
7
Die Ableitung ist eine lineare Operation.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
6/18
ETEK Wechselstrom
3
Wechselstrom - Widerstände
3.1
Verhältnisse von Zeigern
Unter den Voraussetzungen lineare Bauelemente, sinusförmiger Anregung und eingeschwungener
Zustand, kann der Zusammenhang zwischen Spannungs- und Stromverlauf an den Klemmen eines
Zweipols durch das Verhältnis der Zeiger8 von Spannung und Stromstärke dargestellt werden.
Beispiel 1.1: Widerstand
Es ist üblich, die zeitliche Grösse uR(t) bzw. iR(t) mit dem Zeiger UR bzw. IR darzustellen.
uR(t) <—> UR
iR(t) <—> IR
Widerstand: uR(t) = R·iR(t)
bzw.
<—> UR = R·IR
IR
UR
UR
=R,
∠(ϕ u − ϕi ) = R∠0
IR
IR
UR
Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist konstant und beide Signale verlaufen
zeitlich synchron, sie sind phasengleich.
IC
Beispiel 1.2: Kapazität
uC(t) <—> UC
Kapazität:
iC(t) <—> IC
i C (t) = C
du C
dt
<—>
UC
IC
π
∠(ϕ i − ϕ u ) = ωC∠
UC
2
Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist invers proportional zur Frequenz: bei
der Frequenz Null verschwindet die Stromstärke (Leerlauf), bei unendlich hoher Frequenz die Spannung
(Kurzschluss). Spannung und Stromstärke verlaufen zeitlich um den Phasenwinkel π/2 verschoben. Die
Stromstärke eilt der Spannung um π/2 voraus.
Beispiel 1.3: Induktivität
uL(t) <—> UL
UL
iL(t) <—> IL
di
Induktivität: u L (t) = L L
dt
U
π
<—> L ∠(ϕ u − ϕ i ) = ωL∠
IL
2
IL
Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist proportional zur Frequenz: bei der
Frequenz Null verschwindet die Spannung (Kurzschluss), bei unendlich hoher Frequenz die Stromstärke
(Leerlauf). Die Spannung eilt der Stromstärke um π/2 voraus.
8
Drehzeiger und Festzeiger führen auf das gleiche Ergebnis da sich der zeitabhängige Term e jωt
herauskürzt.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
7/18
ETEK Wechselstrom
Beispiel 2: RC-Glied
Ri
uq(t)
R
u(t)
i(t)
u R(t)
uC (t)
C
Figur 1.5 RC-Glied mit linearer Quelle
Im eingeschwungenen Zustand, ist bei sinusförmiger Anregung der Verlauf von allen Signalen der
Schaltung sinusförmig. Der zeitliche Verlauf der Quellenspannung sei uq(t) = Ûq·cos(ωt). Gesucht
werden der Strom i(t) sowie die Spannungen uR(t) und uC(t).
Unter Benutzung der Linearität der Abbildung und des Gesetzes für die Ableitungsbildung ergibt sich
Widerstand
uR(t) = R·i(t)
<—>
UR = R ⋅ I
Kapazität
i(t) = C·duC/dt
<—>
I = U C ⋅ ω ⋅ C∠
π
2
UC =
;
Maschensatz uq(t) = (Ri+R)·i(t) + uC(t) <—> U q = (R i + R) ⋅ I + U C
I
ω ⋅C
Die Festzeiger dieses Beispiels können im sogenannten Zeigerdiagramm dargestellt werden:
U Ri +UR
I
Uq = URi+UR +UC
UC
Figur 1.6 Zeigerdiagramm: Festzeiger der Schaltung
Damit ergibt sich für das Amplitudenverhältnis Ûq/Î sowie die Phasenwinkeldifferenz ϕUq - ϕI zwischen
den Signalen uq(t) und i(t):
Uˆ q Uq
=
=
ˆI
I
(R i + R)2 +
1
2
ω C
2
⎛
⎞
1
⎟
ϕ u q − ϕ i = −a tan⎜⎜
⎟
⎝ ωC ⋅ (R i + R)⎠
Der Strom und die Spannungen über den Widerständen sind dabei Phasengleich. Die Spannung über
dem Kondensator eilt dem Strom um den Winkel π/2 nach. Das Verhältnis der Amplituden von UC und I
ist abhängig von der Frequenz. Demzufolge ist auch der Phasenwinkel zwischen den Grössen Uq und I,
bzw. Uq und UC frequenzabhängig.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
8/18
ETEK Wechselstrom
4
Leistung bei Wechselstrom
4.1
Effektivwerte und mittlere Leistung
Gesucht werden die Gleichspannung U und der Gleichstrom I die dieselbe Leistung an einem Ohmschen
Widerstand R wie die sinusförmigen Wechselspannungsgrössen im Mittel (Zeitmittel) abgeben.
i(t) = ˆI ⋅ cos(ωt + ϕ i )
ˆ ⋅ cos(ωt + ϕ )
u(t) = U
u
Offensichtlich muss zu jedem Zeitpunkt u(t)/i(t) = Û/Î = R gelten und die Nullphasenwinkel von
Spannung und Strom müssen identisch sein: ϕu = ϕi
Momentan verbrauchte Leistung (Wahl von t so, dass ϕu=ϕi=0):
Uˆ ⋅ ˆI
p(t) = u(t) ⋅ i(t) = Uˆ ⋅ ˆI ⋅ cos2 (ωt) =
(1 + cos(2 ωt))
2
Im Mittel im Widerstand verbrauchte Leistung (Periodendauer: T=2π/ω):
T
1
1ˆ ˆ
P = ∫ p(t) ⋅ dt = U
⋅I
T0
2
Für die Effektivwerte U und I gilt gemäss Definition:
2
P = U ⋅ I = U R = R⋅ I
2
Der Vergleich der Ausdrücke führt zu
U=
1 ˆ
U
2
bzw.
I=
1 ˆ
I
2
Der Effektivwert einer zeitlich abhängigen, periodischen Grösse entspricht ihrem quadratischen
Mittelwert. Er entspricht dem zeitlich konstanten Signal (Gleichspannung, -strom) das dieselbe
Leistung an einen Widerstand abgeben würde, wie im Mittel das veränderliche Signal.
Bemerkungen:
• Der Effektivwert entspricht dem quadratischen Mittelwert eines Signals.
Effektivwerte machen demzufolge nur bei periodischen Signalen einen Sinn.
• Effektivwerte beschränken sich nicht auf sinusförmige Signale, sondern können für beliebige
periodische Signale angegeben werden. In diesem fall spricht man eher vom quadratischen Mittelwert.
• Wechselstromgrössen werden in der Praxis fast ausschliesslich als Effektivwerte angegeben ohne, dass
dies ausdrücklich vermerkt wird.
• Auch bei Zeigern wird im Allgemeinen nicht der Scheitelwert, sondern der Effektivwert des
sinusförmigen Signals als Betrag für den Zeiger angegeben (Effektivwertzeiger).
Ohne gegenteilige und ausdrückliche Angabe, werden in diesem Skript Zeiger als Effektivwertzeiger verstanden.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
4.2
9/18
Wirk-, Blind- und Scheinleistung
Der zeitliche Verlauf des Energiestroms an den Klemmen eines beliebigen Zweipols wird
Momentanleistung genannt. Diese kann aus den zeitlichen Verläufen der Spannung und der
Stromstärke wie folgt bestimmt werden:
p(t) = u(t)·i(t)
Ob der Zweipol zu einem bestimmten Zeitpunkt Energie Aufnimmt oder abgibt, hängt vom Vorzeichen
der Momentanleistung und vom gewählten Bezugspfeilsystem ab. Wir werden für die folgenden
Überlegungen ein Verbraucherpfeilsystem voraussetzen: Bei einem positiven Wert der
Momentanleistung wirkt der Zweipol passiv (nimmt Energie auf), bei einem negativen aktiv.
Wirkleistung
Der lineare Mittelwert der Momentanleistung heisst Wirkleistung und beträgt:
T
P=
1
p(t)⋅ dt =U ⋅I ⋅ cos(ϕ u − ϕ i ) = U ⋅ I ⋅cos(ϕ)
T ∫0
• Für P > 0, bzw. für |ϕ| < π/2, entspricht die Wirkleistung der im Zeitmittel im Zweipol dissipierten9
Leistung.
Bei P < 0, bzw. für π/2 < |ϕ| < π, entspricht die Wirkleistung dem mittleren vom Zweipol gelieferten
Energiestrom.
Bei |ϕ| = 0 nimmt der Zweipol die maximal mögliche Wirkleistung auf, bei |ϕ| = π gibt er sie ab.
Bei |ϕ| = π/2 ist P = 0, d.h. es wird keine Wirkleistung aufgenommen oder abgegeben, auch wenn die
Momentanleistung verschieden von Null ist.
• Einheit der Wirkleistung: [P] = W (Watt)
• P kann positiv sein, obschon p(t) zeitweise negativ wird und umgekehrt.
• Der Winkel ϕ = ϕu - ϕi wird Phasenverschiebungswinkel genannt.
Scheinleistung
Die Amplitude des Wechselanteils der Momentanleistung wird Scheinleistung genannt und mit dem
Symbol S bezeichnet.
S = U·I
• Die Einheit der Scheinleistung wird zur Unterscheidung von der Wirkleistung nicht mit Watt
angegeben, sondern mit Volt-Ampère: [S] = VA (Volt-Ampère)
• Da die Scheinleistung einer Amplitude entspricht, ist sie immer positiv, auch wenn P < 0 ist.
Mit der Scheinleistung kann für die Wirkleistung geschrieben werden:
P = U·I·cos(ϕ)= S·cos(ϕ)
Ferner wird das Verhältnis P/S Leistungsfaktor genannt und mit dem Symbol λ (griechischer Buchstabe
Lambda) bezeichnet.
λ
9
= P/S = cos(ϕ)
in Wärmeenergie umgewandelt
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
10/18
Blindleistung
Bei einem Zweipol, der fähig ist Energie zu speichern10, setzt sich der Wechselanteil der
Momentanleistung zusammmen aus einem dissipierten Wirkanteil und einem Energieanteil der nicht
dissipiert, sondern periodisch umgespeichert wird.
Die Grösse Q = U·I·sin(ϕ) heisst Blindleistung. Ihre Einheit wird in var (Volt-Ampère reaktiv)
angegeben. Das Verhältnis Q/S = sin(ϕ) wird Blindfaktor genannt.
Die Grössen Wirk- Blind- und Scheinleistung sind unten illustriert.
10
d.h. der Zweipol weist die Eigenschaft Kapazität oder Induktivität auf
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
5
11/18
Dreispannungsmesser-Verfahren
Beispiel 3: Dreispannungsmesser-Verfahren zur Bestimmung der Serieersatzgrössen Widerstand RS
und Induktivität LS einer Spule
I
Rm
Um
U
RS
UR
LS
UL
US
Gemessen werden die drei Effektivwerte U, Um und US der entsprechenden Spannungen. Die
Spannungen UR und UL können nicht gemessen werden. Der Messwiderstand Rm ist frei wählbar und
daher bekannt und ermöglicht es den Effektivwert I der Stromstärke zu bestimmen.
Gesucht werden die Effektivwerte UR und UL der entsprechenden Spannungen mit denen die
Ersatzgrössen RS und LS bestimmt werden können:
RS =
UR UR
U
U R
=
R m , LS = L = L m
I
Um
ω I Um ω
Zeigerdiagramm:
U
UL
US
Um
I
UR
Aus dem Zeigerdiagramm lassen sich folgende Beziehungen herauslesen:
US = U R + U L
→ US2 = U 2R + U 2L
U = Um + UR + UL
→ U 2 = (U m + U R ) + U 2L
2
Die gesuchten Ersatzgrössen können nun durch Auflösen dieser Gleichungen (Elimination der
Grössen UR und UL) rechnerisch ermittelt werden.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
12/18
ETEK Wechselstrom
6
Drehstromsysteme
Drehstromsysteme (siehe Figur 1.7) weisen gegenüber Wechselstromsystemen (siehe Figur 1.8) mit
unabhängigen Strängen wesentliche praktische Vorteile auf. Unter anderem
• Die von einem Drehstromsystem übertragene Momentanleistung ist bei symmetrischer Belastung
(Verbraucher) zeitlich konstant.
—> Die den Synchrongenerator antreibende Maschine (z. B. Turbine) wird mit einem zeitlich
konstanten Drehmoment belastet.
• Auf der Verbraucherseite kann ein magnetisches Drehfeld mit drei (räumlich stationären) Spulen
erzeugt werden.
• Das Drehstromsystem liefert sechs verschiedene Spannungen die sich bezüglich Effektivwert und
Phasenlage unterscheiden.
• Die Übertragungsverluste bei gleicher übertragener Energie sind geringer als bei einem
Wechselstromsystem mit drei unabhängigen Strängen (drei, bzw. vier anstelle von sechs Leitern).
Für die Bezeichnungen der Drehstromsystemen sollte die Norm DIN 40'108, Ausgabe April 1978
benutzt werden, die in entscheidenden Punkten von der vorher gültigen Norm mit Ausgabe Juni 1966
abweicht.
Erzeuger (Synchrongenerator)
U1
Aussenleiter L1
U1N = UY ∠0°
U12
Aussenleiter L2
U31
V1
U2N = UY ∠-120°
U23
Aussenleiter L3
W1
U3N = UY ∠+120°
U2
V2
W2
Sternpunktleiter N
Sternpunkt N
Figur 1.7 Drehstromsystem (drei Aussenleiter ohne Last)
Erzeuger
Übertragungsleitung
U = U ∠ϕu
Verbraucher
Z
Figur 1.8 Wechselstromsystem (ein einziger Strang mit Last)
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
13/18
Glossar (nach DIN 40'108)
Aussenpunkte
U1, V1, W1
Wicklungsenden des Synchrongenerators U2, V2, W2 in einem Knotenpunkt verbunden, Sternpunkt N
Strangspannungen
U1N = U1N ∠ 0˚
(willkürliche Festlegung des Nullphasenwinkels)
U2N = U2N ∠ –120˚
U3N = U3N ∠ 120˚
Sternspannung
UY = U1N = U2N = U3N (Effektivwert der Strangspannungen, falls
Strangspannungen symmetrisch)
Aussenleiterspannungen
U12 = U1N – U2N = U∆ ∠ 30˚
U23 = U2N – U3N = U∆ ∠ –90˚
U31 = U3N – U1N = U∆ ∠ 150
L2
U12
L1
U2N
U1N
U31
U23
U3N
L3
Figur 1.9 Zeigerdiagramm der Spannungen
Dreieckspannung
U∆ = U12 = U23 = U31 (Effektivwert der Aussenleiterspannungen falls
symmetrisch)
Es gilt: U ∆ = 3 U Y
In Europa gilt insbesondere: U∆ = 400 V, UY = 230 V, f = 50 Hz
Aussenleiter
Leiter des Drehstromsystems L1, L2 und L3. Früher wurden diese mit
R, S und T bezeichnet und als Phasen bezeichnet (siehe unten).
Sternpunktleiter
Leiter der im Sternpunkt eines Drehstromsystems angeschlossen ist.
Mittelleiter
Leiter der im Mittelpunkt eines symmetrischen Gleichstrom- oder
Wechselstromsystems angeschlossen ist.
Neutralleiter
Gemeinsame Bezeichnung für Sternpunktleiter und Mittelleiter.
Vierleitersystem
Leitersystem mit drei Aussenleitern und einem Sternpunktleiter.
Dreileitersystem
Leitersystem mit nur drei Aussenleitern.
starres Netz
Netz bei dem die Aussenleiterspannungen lastunabhängig sind (ideale
Generatoren, keine Leitungsverluste).
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
6.1
14/18
Symmetrische Belastung
Sternschaltung der Verbraucher (Drei- oder Vierleitersystem)
L1
I1
N
L3
L2
Z
IN
I3
Z
Z
I2
Figur 1.10 Symmetrische Sternschaltung der Verbraucher
Last: Z = Z ∠ ϕ
( induktiv: 0 < ϕ ≤ π/2, kapazitiv: -π/2 ≤ ϕ < 0 )
Aussenleiterstromstärken
U1N U Y
=
∠−ϕ
Z
Z
U
U
I 2 = 2N = Y ∠ − ϕ − 120Þ
Z
Z
U
U
I 3 = 3N = Y ∠ − ϕ + 120Þ
Z
Z
I1 =
Für den Sternpunktleiter gilt: I N = I1 + I 2 + I 3 = 0
Wirkleistung
P = 3U Y Icos(ϕ)
Momentanleistung
p(t ) = P = 3U Y Icos(ϕ) = konstant (ohne Herleitung)
Blindleistung
Q = 3U Y Isin(ϕ), induktiv für ϕ > 0, bzw. Q > 0, kapazitiv für ϕ < 0, bzw. Q < 0
Scheinleistung
S = P + jQ = 3U Y I ∠ϕ = 3
U 2Y
U2
∠ϕ = ∆ ∠ϕ
Z
Z
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
6.2
15/18
Dreieckschaltung der Verbraucher
L1
I1
I3
L3
U 31
Z
I2
L2
Z
Z
U 12
U23
Figur 1.11 Symmetrische Dreieckschaltung der Verbraucher
Last: Z = Z ∠ ϕ
( induktiv: 0 < ϕ ≤ π/2, kapazitiv: -π/2 ≤ ϕ < 0 )
Laststromstärken
U 12 U ∆
=
∠ − ϕ + 30˚
Z
Z
U
U
= 23 = ∆ ∠ − ϕ − 90˚
Z
Z
U
U
= 31 = ∆ ∠ − ϕ + 150˚
Z
Z
I 12 =
I 23
I 31
Aussenleiterstromstärken
U∆
∠ −ϕ
Z
U
= 3 ∆ ∠ − ϕ − 120˚
Z
U
= 3 ∆ ∠ − ϕ + 120˚
Z
I 1 = I 12 − I 31 = 3
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
allgemein: I ∆ =
I
U
= ∆
Z
3
Für den Aussenleiterstromstärken gilt: I1 + I 2 + I 3 = 0
Wirkleistung
P = 3U ∆ I ∆ cos(ϕ) = 3 U ∆ Icos(ϕ)
Momentanleistung
p(t ) = P = 3 U ∆ Icos(ϕ) = konstant
Blindleistung
Q = 3 U ∆ Isin(ϕ)
Scheinleistung
S = P + jQ = 3U ∆ I ∆ ∠ϕ = 3
U 2∆
∠ϕ = 3 U ∆ I ∠ϕ = 3U Y I ∠ϕ
Z
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
16/18
ETEK Wechselstrom
6.3
AC-Generatoren
AC-Generatoren können als Asynchron- oder Synchrongeneratoren ausgelegt werden. Die nachfolgende
kurze Ausführung beschreibt nur die Funktionsweise eines Synchrongenerators. Die Maschinen
erzeugen alle ein Drehfeld mit 3 Phasen, wobei in Europa 50Hz und in den USA 60Hz erzeugt werden.
Lokale Netze wie beispielsweise dasjenige eines Airbus A380 kann andere Frequenzen aufweisen, dort
sind es 400 Hz.
U1
U2
W2
U2
V2
U1
V1
W1
S
N
W2
W1
V1
V2
Figur 1.11 Prinzipskizze (links) und Klemmenkasten (rechts) eines Synchrongenerators
Alle 3-Phasen-Maschinen verwenden ein rotierendes Magnetfeld. Dieses kann wie auf dem Bild mit
einem Permanentmagneten ausgeführt sein. Bei grösseren Generatoren wird das Feld mit einer
rotierenden Spule ausgeführt. Die DC-Versorgung dieser Spule wird über Schleifringe realisiert.
Im Bild sind drei ortsfeste Spulen je 120° verschoben angeordnet. Jede dieser Spulen wird auf den
Klemmenkasten geführt.
Das rotierende Magnetfeld erzeugt durch Induktion immer abwechselnd einen Nord- und einen
Südpol auf der nach innen gerichteten Seite der Spulen. Der zeitliche Verlauf der Magnetfelder auf den
Spulen entspricht dem zeitlichen Verlauf der Spannung jeder Phase. Dieser ist snusförmig. Wenn eine
Phase auf ihrem Maximum steht, läuft in den beiden anderen Phasen ein Strom in die andere Richtung,
mit jeweils halber Spannung. Die drei Phasen weisen zueinander eine Phasenverschiebung von einem
Drittel der Periode auf (jeweils 120°). Auf dem Klemmenkasten können die Spulen ebenfalls in Stern
oder Dreieck zusammengeschaltet werden.
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
17/18
Anhang 1.1 Zeitliche Mittelwerte
Linearer Mittelwert einer periodischen Funktion x(t) mit Periodendauer T:
X lin =
1
x(t) ⋅ dt
T ∫T
Bemerkungen:
• Der lineare Mittelwert entspricht der mittleren x-t-Fläche unter dem Funktionsverlauf. Anteile für die
x < 0 ist, zählen negativ.
• Der lineare Mittelwert einer ungeraden Funktion ( x(-t) = -x(t) ) ist immer gleich Null.
• Bei periodischen Signalen hängt das Ergebnis des bestimmten Integrals nicht von der Wahl der
unteren Integrationsgrenze ab, sofern das Integral über die Periodendauer T gebildet wird.
Quadratischer Mittelwert einer periodischen Funktion x(t) mit Periodendauer T:
X quad =
1 2
x (t) ⋅dt
T ∫T
Bemerkung:
• Ist die Grösse x(t) eine Spannung oder eine Stromstärke, so spricht man vom Effektivwert.
• Bei periodischen Signalen hängt das Ergebnis des bestimmten Integrals nicht von der Wahl der
unteren Integrationsgrenze ab, sofern das Integral über die Periodendauer T gebildet wird.
• Das es sich bei einem Mittelwert um einen quadratischen Mittelwert handelt, wird im Allgemeinen
nicht durch eine Bezeichnung wie z.B. in der obigen Formel mit den Index „quad“ hervorgehoben.
Mischsignale
Jedes periodische Signal kann als Summe seines linearen Mittelwertes Xlin = X0 und eines
mittelwertfreien Wechselterms xw(t) dargestellt werden:
x(t) = X0 + xw(t)
Ein Signal bestehend aus einem konstanten Term und einem mittelwertfreien, periodischen Wechselterm
heisst Mischsignal.
Der quadratische Mittelwert eines Mischsignals X lässt sich aus dem linearen und dem quadratischen
Mittelwert des Wechselterms Xw einfach berechnen. Dabei gilt folgender Zusammenhang (Beweis durch
einsetzen der Mischsignalformel in die Formel für den quadratischen Mittelwert):
X 2 = X20 + X2w
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup
ETEK Wechselstrom
18/18
Verhältniszahlen
Für periodische Signale11, insbesondere für Mischsignale, sind folgende Begriffe im Zusammenhang mit
den Mittelwerten definiert:
11
Scheitelwert (peak value, crest val.)
≡
maximaler Betrag
Gleichwert (direct component)
≡
linearer Mittelwert
Effektivwert (root mean square val., RMS)
≡
quadratischer Mittelwert
Gleichrichtwert (rectified value)
≡
linearer Mittelwert des gleichgerichteten Signals
Scheitelfaktor (crest factor)
≡
Scheitelwert
Effektivwert
Formfaktor (form factor)
≡
Effektivwert
Gleichrichtwert
Schwingungsgehalt
≡
Effektivwert des Wechselanteils
Effektivwert der Mischgrösse
effektive Welligkeit
≡
Effektivwert des Wechselanteils
Gleichwert der Mischgrösse
Riffelfaktor
≡
Scheitelwert des Wechselanteils
Gleichwert der Mischgrösse
Signal: zeitlich veränderliche physikalische Grösse
——————————————————————————————————————————————————
Zürcher Hochschule Winterthur, Departement T
1. Oktober 2006, © M. Schlup