Algorithmische Kommutative Algebra ¨Ubungsblatt 8

Universität Kassel
FB 10, AG Computational Mathematics
Prof. Dr. Werner M. Seiler
Matthias Seiß
21.12.2016
Algorithmische Kommutative Algebra
Übungsblatt 8
Aufgabe 1
Es seien V ein K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Weiter bezeichnen wir
mit mf (t) ∈ K[t] das Minimalpolynom von f , d.h., das normierte Polynom kleinsten Grades,
welches mf (f ) = 0 erfüllt. Man zeige, dass λ ∈ K genau dann ein Eigenwert von f ist, wenn λ
eine Nullstelle von mf (t) ist.
Aufgabe 2
Es sei I das nulldimensionale Radikalideal in C[x, y, z], welches durch die folgenden Polynome
erzeugt wird:
x − 3y − z + 9, z 2 − 3z + 2, yz − 2y − 3z + 6, y 2 − 5y + 6.
Man bestimme V(I) mit den drei in der Vorlesung behandelten Methoden.
Hinweise: Das Polynom l(x, y, z) = x besitzt die Eigenschaften aus Lemma 3. Sie dürfen ein
Computeralgebrasystem zur Unterstützung verwenden.
Aufgabe 3
Es sei I ein nulldimensionales Radikalideal und es sei V(I) = {p(1) , . . . , p(d) }. Weiter bezeichnen
wir mit l das Polynom aus Lemma 3 und mit g1 , . . . , gd die Polynome aus Korollar 4. Es sei
B = {[xµ1 ], . . . , [xµd ]} eine Basis von K[x1 , . . . , xn ]/I.
1. Man zeige, dass [g1 ], . . . , [gd ] eine Eigenbasis des Endomorphismus µl ist.
Was sind die zugehörigen Eigenwerte?
P
2. Es sei [h] ein Eigenvektor von µl zum Eigenwert λ. Man kann dann h als h = dj=1 hj xµj
schreiben, wobei (h1 , . . . , hd ) ein Eigenvektor zum Eigenwert λ der Abbildungsmatrix von
µl ist. Man zeige, dass ein p(k) ∈ V(I) existiert, so dass h(p(k) ) 6= 0 und h(p(i) ) = 0 für
alle p(i) ∈ V(I) mit i 6= k sind. Man zeige, dass wir für gk das Polynom h(p1(k) ) · h wählen
können.
3. Man benutze 1. und 2. um für die Varietät aus Aufgabe 2 die Polynome g1 , g2 und g3 zu
berechnen. Man nehme p(1) , p(2) und p(3) aus Aufgabe 2 und konstruiere ein Polynom f
mit f (p(i) ) = i.
Aufgabe 4
1. Es sei I ein nulldimensionales Ideal in K[x1 , . . . , xn ] und es sei f ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Man
zeige, dass [f ] genau dann ein multiplikatives Inverse in K[x1 , . . . , xn ]/I ist, wenn f (p) 6= 0
für alle p ∈ V(I).
2. Es sei ≺ eine Termordnung und es gelte x1 · · · xn . Es sei g ∈ K[x1 , . . . , xn ] mit
lt≺ (g) = xj . Man zeige, dass g = xj + g̃ mit g̃ ∈ K[xj+1 , . . . , xn ] ist.