¨Ubungen zu T2, Sommersemester 2012, Blatt 6 41) Feynmanregeln

Übungen zu T2, Sommersemester 2012, Blatt 6
41) Feynmanregeln
Gegeben ist der Hamiltonoperator
h̄2 d2
+ λ1 δ(x − x1 ) + λ2 δ(x − x2 ), 0 < x1 < x2 .
2m dx2
Die Energieeigenfunktion (E = h̄2 k 2 /2m) für ein von links mit Impuls
h̄k > 0 einlaufendes Teilchen hat die Form
H=−
(eikx +Re−ikx )θ(x1 −x)+(Aeikx +Be−ikx )θ(x−x1 )θ(x2 −x)+T eikx θ(x−x2 ).
Bestimmen Sie die störungstheoretische Entwicklung der Amplituden
R, T, A, B bis inkl. Terme quadratisch in λ1,2 durch Anwendung der folgenden Feynmanregeln:
(a) Die Amplitude für die freie Bewegung eines Teilchens mit Impuls p =
h̄k vom Ort xi zum Ort xf ist durch exp(ik|xf − xi |) gegeben.
(b) Die Amplitude für eine einmalige Wechselwirkung mit dem am Ort x1,2
befindlichen Deltapotential ist −iα1,2 , wobei αn = mλn /h̄2 k (n = 1, 2)
ist.
Hinweis: Unterscheiden Sie die drei Fälle 0 < x < x1 (Bestimmung von
R), x1 < x < x2 (Bestimmung von A, B) und x > x2 (Bestimmung von
T ). Zeichnen Sie die entsprechenden Diagramme! Sie können o. B. d. A.
annehmen, dass das Teilchen bei x = 0 startet.
42) Entwicklung der vollständigen Lösungen
Die vollständigen Lösungen für die vier Amplituden von Bsp. 41 lauten:
R =
−iα1 e2ikx1 − iα2 e2ikx2 − α1 α2 (e2ikx2 − e2ikx1 )
,
1 + iα1 + iα2 + α1 α2 (e2ik(x2 −x1 ) − 1)
T =
1
,
(1 + iα1 )(1 + iα2 ) + α1 α2 e2ik(x2 −x1 )
A =
1 + iα2
,
(1 + iα1 )(1 + iα2 ) + α1 α2 e2ik(x2 −x1 )
B =
−iα2 e2ikx2
.
(1 + iα1 )(1 + iα2 ) + α1 α2 e2ik(x2 −x1 )
(a) Überprüfen Sie diese Behauptung durch Betrachtung der folgenden
Spezialfälle und Vergleich mit dem Ergebnis von Bsp. 40:
(i) λ1 = 0,
(ii) λ2 = 0,
(iii) x1 = x2 .
(b) Entwickeln Sie die Amplituden R, T, A, B bis zur quadratischen Ordnung in α1,2 und vergleichen Sie mit dem Ergebnis von Bsp. 41.
Quantenmechanik in einem endlichdimensionalen Zustandsraum:
43) Reiner Zustand auf L(H)
Geg.: |ψi ∈ H, hψ|ψi = 1. Zeigen Sie, dass durch
ω(A) = hψ|Aψi,
A ∈ L(H)
ein Zustand definiert wird.
Zur Erinnerung: Eine Abbildung ω : L(H) → C heißt Zustand, falls sie die
folgenden Eigenschaften erfüllt:
a) ω(c1 A1 + c2 A2 ) = c1 ω(A1 ) + c2 ω(A2 ) ∀c1,2 ∈ C, ∀A1,2 ∈ L(H)
b) ω(A† A) ≥ 0 ∀A ∈ L(H)
c) ω(1) = 1
44) Allgemeine Form eines Zustands auf L(H)
Geg.: ρ ∈ L(H) mit ρ ≥ 0 und Tr ρ = 1. Zeigen Sie, dass durch ω(A) =
Tr(ρA), A ∈ L(H) ein Zustand definiert wird.
45) Maximale Mischung
dim H = N . Überzeugen Sie sich, dass der Operator ρ = 1/N ein Dichteoperator ist. Was ist der Erwartungswert
Tr(ρA) der Observablen A mit
P
der Spektraldarstellung A =
an |nihn|, an ∈ R?
n
46) Allgemeine Form der Unschärferelation
Das Schwankungsquadrat (∆ω A)2 einer Observablen A im Zustand ω ist
durch
(∆ω A)2 = ω (A − ω(A))2
definiert.
A, B ∈ L(H) seien zwei hermitesche Operatoren. Zeigen Sie, dass für einen
beliebigen Zustand ω stets die folgende Ungleichung erfüllt ist:
i
∆ω A∆ω B ≥ |ω( [A, B])|.
2
Hinweis: Bilden Sie den (nichthermiteschen) Operator
A − ω(A)
B − ω(B)
+i
∆ω A
∆ω B
und die (wegen der Nichtnegativität des Zustands erfüllten) Ungleichungen
C=
ω(C † C) ≥ 0,
ω(CC † ) ≥ 0.