Ubungen zu Analysis II - Heinrich-Heine

SS 2007
11. Mai 2007
Blatt 6
Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
Prof. Dr. F. Grunewald
Übungen zu Analysis II
1. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn )n∈IN von Elementen von X heisst
Cauchy Folge falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ IN gibt so dass d(xn , xm ) < ε für
alle n, m ≥ N gilt. Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge von Elementen von X
auch eine Cauchyfolge ist. Ein metrischer Raum heisst vollständig falls jede Cauchy
Folge auch konvergiert. Geben Sie ein Beispiel für einen vollständigen und einen
nicht vollständigen metrischen Raum.
2. Sei
CF (X, d) := { A = (xn )n∈IN A ist eine Cauchyfolge }
die Menge der Cauchy Folgen, die aus Elementen von X gebildet werden können.
Seien A = (xn )n∈IN , B = (yn )n∈IN zwei Elemente von CF (X, d). Zeigen Sie, dass
(d(xn , yn ))n∈IN eine Cauchyfolge von reellen Zahlen ist. Definieren Sie
c
D(A,
B) := lim d(xn , yn ).
n→∞
3. Wir sagen, dass zwei Elemente A, B von CF (X, d) Nullabstand haben (in Zeichen
c
A ∼0 B) genau wenn D(A,
B) = 0 gilt. Zeigen Sie, dass Nullabstand eine Äquivalenzrelation auf CF (X, d) ist. Für A ∈ CF (X, d) sei [A] die Äquivalenzklasse zu A.
Sei C(X, d) die Menge der Äquivalenzklassen von Nullabstand.
4. Wir definieren für a, b ∈ C(X, d):
c
D(a, b) := D(A,
B)
wenn a = [A], b = [B] für A, B ∈ CF (X, d) gilt. Zeigen Sie, dass diese Definition
unabhängig von der Auswahl von A, B ist. Zeigen Sie weiter, dass (C(X, d), D) ein
metrischer Raum ist.
5. Zeigen Sie, dass (C(X, d), D) vollständig ist. Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
η : X → C(X, d),
η(x) := [(x)n∈IN ],
die ein x ∈ X auf die Klasse der konstanten Folge (x)n∈IN abbildet, injektiv und
stetig ist und d(x, y) = D(η(x), η(y)) für alle x, y ∈ X erfüllt.
6. Man nennt (C(X, d), D) die Vervollständigung von (X, d). Man stellt sich vor, dass
(X, d) in C(X, d), D) (via η) liegt. Der metrische Raum (C(X, d), D) ist in dem
folgenden Sinn der kleinste vollständige metrische Raum der (X, d) enthält:
Ist τ : X → Y eine Abbildung von X in einen vollständigen metrischen Raum
(Y, d0 ), die d(x, y) = d0 (τ (x), τ (y)) für alle x, y ∈ X erfüllt, so gibt es eine Abbildung
ρ : C(X, d) → Y , die D(a, b) = d0 (ρ(a), ρ(b)) für alle a, b ∈ C(X, d) und auch ρ◦η = τ
erfüllt. Beweisen Sie diese Aussage.
Abgabe: Freitag, den 18. Mai 2007, 11.10 Uhr