1.¨Ubung: Kontrolltheorie I

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. G. Dirr
Wintersemester 2014/2015
Würzburg, den 13.10.2014
1. Übung: Kontrolltheorie I
1.1. Betrachten Sie das lineare diskrete System
t ∈ N0
xt+1 = At xt + bt ,
(1)
sowie das entsprechende homogene System
xt+1 = At xt ,
t ∈ N0
(2)
mit At ∈ Rn×n und bt ∈ Rn für alle t ∈ N0 und zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Der Lösungsraum L0 := {(xt )t∈N0 ∈ (Rn )N0 | (xt )t∈N0 erfüllt (2)} des homogenen
Systems ist ein Unterraum des Vektorraums (Rn )N0 aller Rn -wertigen Folgen.
(b) Der Lösungsraum L := {(xt )t∈N0 ∈ (Rn )N0 | (xt )t∈N0 erfüllt (1)} des inhomogenen
Systems ist ein affiner Unterraum des Vektorraums (Rn )N0 aller Rn -wertigen Folgen.
(c) Es gilt dim L0 = n.
[Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass das “Anfangswertproblem” xt+1 = At xt , x0 = ξ für
alle ξ ∈ Rn genau eine Lösung besitzt.]
(d) Finden Sie eine explizite Form der Lösung von (1) zum Anfangswert x0 ∈ Rn .
[Hinweis: Nehmen Sie an, dass At für alle t ∈ N0 invertierbar ist; und multiplizieren die
−1
−1
Gleichung xt+1 − At xt = bt mit dem integrierenden“ Faktor A−1
0 A1 · · · At .]
”
(2+2+3+3 Punkte)
1.2. Beweisen Sie das diskrete Gronwall-Lemma:
Seien xt , at , bt , t ∈ N0 Folgen reeller Zahlen mit at ≥ 0 für alle t ∈ N0 . Ferner sei die
implizite Abschätzung
xt+1 ≤ at xt + bt
für alle t ∈ N0 erfüllt. Dann gilt für alle t ∈ N0 die explizite Abschätzung
xt+1 ≤
t
Y
s=0
erfüllt, wobei Konvention
Qt
r=t+1
as x 0 +
t Y
t
X
s=0
ar b s ,
r=s+1
ar := 1 vorausgesetzt wird.
(2 Punkte)
1.3. Sei X eine beliebige nicht-leere Menge und sei f : N0 × X → X eine beliebige Abbildung.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die Folge (xt )t≥0 ist genau dann eine Lösung des diskreten Systems
xt+1 = f (t, xt ),
t ≥ 0,
wenn (x̂t := xt−s )t≥s eine Lösung des Systems
xt+1 = f (t − s, xt ),
ist.
t ≥ s,
(b) Falls f zeit-unabhängig ist, also f : X → X gilt, so ist (xt )t∈Z genau dann eine
Lösung von
xt+1 = f (t, xt ), t ∈ Z ,
wenn (x̂t := xt−s )t∈Z eine Lösung ist.
(2+2 Punkte)
1.4. Sei X eine beliebige nicht-leere Menge und sei f : N0 × X → X eine beliebige Abbildung.
Zeigen Sie, dass es eine Abbildung F : N0 × X → N0 × X gibt, so dass das zeit-abhängige
diskrete System
xt+1 = f (t, xt ), t ∈ N0
(3)
und das zeit-unabhängige diskrete System
x̂t+1 = F (x̂t ),
t ∈ N0
(4)
im folgenden Sinne äquivalent sind:
(a) Falls (xt )t∈N0 eine Lösung von (3) zum Anfangswert x0 ist, so ist (t, xt )t∈N0 eine
Lösung von (4) zum Anfangswert (0, x0 ).
(b) Falls x̂t = (τt , xt ) t∈N0 eine Lösung von (4) zum Anfangswert (0, x0 ) ist, so ist (xt )t∈N0
eine Lösung von (3) zum Anfangswert x0 .
(4 Punkte)
1.5. Sei X eine beliebige nicht-leere Menge und sei f : X × X → X eine beliebige Abbildung.
Zeigen Sie, dass es eine Abbildung F : X × X → X × X gibt, so dass das diskrete System
zweiter Ordnung
xt+2 = f (xt+1 , xt ), t ∈ N0
(5)
und das diskrete System erster Ordnung
x̂t+1 = F (x̂t ),
t ∈ N0
(6)
im folgenden Sinne äquivalent sind:
(a) Falls (xt )t∈N0 eine Lösung von (5) zum den Anfangswerten x0 , x1 ist, so ist x̂t :=
(xt , xt+1 ) t∈N0 eine Lösung von (6) zum Anfangswert x̂0 = (x0 , x1 ).
(b) Falls x̂t := (xt , yt ) t∈N0 eine Lösung von (6) zum Anfangswert (x0 , y0 ) ist, so ist
(xt )t∈N0 eine Lösung von (5) zum den Anfangswerten x0 , x1 = y0 .
(4 Punkte)
1.6. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden linearen diskreten Systeme
(a)
xt+2 = xt+1 + 6xt + 1,
t ∈ N0
(b)
xt+2 = 2xt+1 − xt + 1,
t ∈ N0
(c)
xt+2 = −xt + λt ,
t ∈ N0 ,
λ ∈ R \ {0}
(2+2+2 Punkte)
Weitere Übungsblätter und Hinweise zur Vorlesung finden Sie auf
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=ws1415&type=soverview
unter dem Link Regelungstheorie.