Einführung in die Wahrheitsbedingungensemantik, Aussagenlogik

Wahrheitsbedingungen
Sie haben sich in der ersten Sitzung mit verschiedenen Aspekten
von Bedeutung auseinandergesetzt. Ein Aspekt, der dabei eine Rolle
spielte, sind die Wahrheitsbedingungen eines Satzes:
Die Bedeutung eines Satzes zu kennen heißt, notwendige und
hinreichende Bedingungen für die Wahrheit bzw. Falschheit des
Satzes (= seine Wahrheitsbedingungen) zu kennen.
Diese Auffassung von Bedeutung hat sich als sehr erfolgreich
erwiesen. Man nennt diesen Ansatz auch Wahrheitsbedingungensemantik (o. modelltheoretische Semantik). Er geht auf Gottlob
Frege zurück:
Begriffsschrift 1879
Über Sinn und Bedeutung 1892
Grundlagen der Arithmetik 1884
Der Gedanke 1918
Wahrheitswertesemantik
Einführung
Aussagenlogik
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Wahrheitsbedingungen
Jenseits von Wahrheitsbedingungen
Mit den Wahrheitswerten kann man nicht alle Aspekte der Bedeutung
greifen.
Wenn man sagt, die Bedeutung eines Satzes zu kennen heißt, seine
Wahrheitsbedingungen zu kennen, bedeutet dass konkret:
Man muss wissen, wie die Welt aussehen muss, wenn ein
bestimmter Satz wahr ist, nicht ob sie auch wirklich so aussieht, vgl.:
Gestern hat Angela Merkel geniest.
→ Man kann diesen Satz auch verstehen, ohne zu wissen, ob er
wahr ist.
Die Situationen, in der ein Satz wahr oder falsch ist, werden auch als
mögliche Welten bezeichnet (Leibniz). Ein Satz hat in einer
möglichen Welt einen bestimmten Wahrheitswert.
Man unterscheidet i.a. die Wahrheitswerte wahr (1, w, t) und falsch
(0, f).
Ist dieser Satz wahr?
„Der Pinguin angelt.“
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Der Ausdruck der Pinguin ist nicht angemessen.Voraussetzung, um
diesen Ausdruck zu benutzen, ist, dass es nur einen eindeutig
identifizierbaren Pinguin in der Situation gibt. Diese Voraussetzung
nennt man auch Präsupposition.
Präsuppositionen sind Bedingungen an die jeweilige Situation, die
gegeben sein müssen, bevor ein Satz als wahr oder falsch beurteilt
werden kann. Wenn eine Präsupposition nicht erfüllt ist, dann hat der
jeweilige Satz keinen Wahrheitswert (oder einen Wert wie
„unbestimmt“ – je nach Theorie)
Präsuppositionen
Implikaturen
Untersuchen Sie die Präsuppositionen in den folgenden Sätzen, d.h.
prüfen Sie, was gegeben sein muss, damit diese Sätze als wahr oder
falsch beurteilt werden können:
a. Maria ist auch nach TIBLISSI gefahren.
b. Karl ist wieder durch die Führerscheinprüfung gefallen.
c. Die meisten Rhinozerosse im Zoo sind erkältet.
Dass eine Präsupposition nicht dasjenige ist, was ein Satz mitteilen
will, erkennt man u.a. daran, dass ein negierter Satz die gleichen
Präsuppositionen hat wie ein nicht-negierter:
d. Karl ist wieder durch die Führerscheinprüfung gefallen.
e. Karl ist nicht wieder durch die Führerscheinprüfung gefallen: diesmal hat er
bestanden.
a. Karl hat sieben Pfannkuchen gegessen.
Ist dieser Satz auch wahr, wenn Karl
i. genau acht
ii. genau sechs
Pfannkuchen gegessen hat?
Im Falle (i) ist der Satz wahr, im Falle (ii) nicht.
Wichtig ist, dass ein Sprecher, der den Satz (a) äußert, damit meint,
dass Karl genau sieben Pfannkuchen gegessen hat. Dies ist eine sog.
Implikatur. Implikaturen werden durch Wahrheitsbedingungen
nicht abgedeckt. Deswegen ist (b) im Ggs. zu (c) nicht
widerprüchlich:
b. Karl hat sieben Pfannkuchen gegessen, wenn nicht acht.
c. #Karl hat genau sieben Pfannkuchen gegessen, wenn nicht acht.
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Implikaturen / Deiktische Ausdrücke
Implikaturen werden durch Wahrheitsbedingungen nicht abgedeckt.
Sie sind durch die Sprachverwendung gesteuert, genauer von
bestimmten Konversationskonventionen. Diese gehören in den
Bereich der Pragmatik. Die Pragmatik erforscht die Sprache in ihrer
Verwendung, sie betrachtet Sprache in Bezug auf Handlungen.
Es gibt noch weitere Phänomene, die der Annäherung über Wahrheitswerte nicht direkt zugänglich sind:
a. Angelika Merkel arbeitet im Kanzleramt.
b. Ich arbeite im Kanzerlamt.
Der Wahrheitswert in (b) ist strikt situationsabhängig. Personalpronomina wie ich sind sog. deiktische oder indexikalische Ausdrücke. Um einen Satz wie in (b) zu beurteilen, muss erst in Abhängigkeit von der Situation die Bedeutung der indexikalischen
Ausdrücke festgelegt werden.
Jenseits von Wahrheitsbedingungen
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Sie haben jetzt einen kleinen Einblick bekommen in den Bereich
derjenigen Phänomene, die in Bezug auf Wahrheitswerte einer
besonderen Behandlung bedürfen. Wir müssen unterscheiden,
zwischen:
• der Bedeutung eines Satzes und den Voraussetzungen, die erfüllt sein
müssen, um diese Bedeutung überhaupt beurteilen zu können
(Präsuppositionen)
• der Bedeutung eines Satzes und dem, was mit dem Satz pragmatisch
gemeint ist (Implikaturen)
• der Sprech- oder Kontextsituation der Auswertungssituation,
wobei sich letztere auf die Situation bezieht, in der die Bedeutung
indexikalischer Ausdrücke geklärt ist und in der wir den
Wahrheitswert eines Satzes bestimmen können.
Siehe: Skripte Nr. 2 „Aspekte der Bedeutung“.
Logik: Einführung
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Logik: Einführung
Modus Tollens :
Über die Wahrheit von Sätzen hat man sich schon in der Antike
Gedanken gemacht, und zwar in der Logik.
Begründer der Logik ist Aristoteles.
Den meisten sind wohl die sog. Syllogismen (Schlussfiguren)
bekannt, d.h. Prinzipien logischen Schließens.
a→b
¬b
¬a
Alle Menschen sind sterblich.
Der Stein ist nicht sterblich.
Der Stein ist kein Mensch.
Klassisches Dilemma:
Modus Ponens (häufigster logischer Schluss):
a→b
a
b
a→b
¬a → b
b
Alle Menschen sind sterblich.
Aristoteles ist ein Mensch.
Aristoteles ist sterblich.
Wenn Paul geht, verlässt Maria ihn.
Wenn Paul nicht geht, verlässt Maria ihn.
Maria verlässt ihn (Paul).
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Logik: Einführung
Aussagenlogik
Es gibt nun auch Sätze, die immer (das heißt aus rein logischen
Gründen) wahr sind. Diese heißen Tautologien:
a. Jedes Buch ist ein Buch.
b. Zwei plus zwei ist vier.
c. Ein Junggeselle ist ein unverheirateter Mann.
Andererseits gibt es Sätze, die immer falsch sind, die Kontradiktionen:
d. Ein Buch ist kein Buch.
e. Zwei plus zwei ist fünf.
f. Ein Junggeselle ist ein verheirateter Mann.
Schließlich gibt es noch kontingente Sätze, deren Wahrheitswert von
der Beschaffenheit der Welt abhängt:
g. Die meisten Bücher sind Romane.
h. Ein Wal ist ein Säugetier.
Wie eben gesehen, stellt man eine Aussage mit Variablen dar, oft
griechische Buchstaben:
Ψ (Phi)
Φ (Psi)
Es werden auch gern die lateinischen Buchstaben p und q verwendet.
Die Negation einer Aussage stellt man mit dem Zeichen ¬ dar.
Also:
p: Der Stein ist sterblich.
¬ p: Der Stein ist nicht sterblich.
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UND
Beziehungen zwischen Sätzen kann man mit Junktoren darstellen.
Dabei ist zu beachten, dass die logische Bedeutung nicht unbedingt
mit der natürlichsprachlichen übereinstimmt (z.B.bei ODER, s.u.):
• und: ∧
p ∧ q = 1,
wenn p = 1 und q = 1.
p ∧ q = 0,
wenn p = 1 und q = 0
p ∧ q = 0,
wenn p = 0 und q = 0
p ∧ q = 0,
wenn p = 0 und q = 1
Also p∧q ist genau dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind,
sonst ist es falsch.
In der Aussagenlogik wird ∧ auch für die Konjunktion aber benutzt:
Klaus hat Maria versucht anzurufen, aber er hat sie nicht erreicht.
ODER
• ODER:
∨ (hier
Darstellunginineiner
einersog.
sog.Wahrheitswerttabelle):
Wahrheitswerttabelle):
oder: ∨ (hier
diedie
Darstellung
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p∨q
p
q
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
Also: p ∨ q ist genau dann wahr, wenn entweder p, oder q, oder
beide wahr sind, sonst nicht. Das logische ∨ (das sog. einschließende ODER) entspricht nicht immer dem natürlichsprachlichen,
welches meist ausschließend gemeint ist:
Ich gehe ins Kino oder ich besuche meine Oma.
(Dieses ist aber eine Implikatur: ... vielleicht mache ich auch beides)
Implikation
Implikation
• impliziert
materiale Implikation):
→
impliziert (wenn-dann,
(wenn-dann,Konditional,
materiale Implikation):
→
p→q
p
q
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
Also, p → q ist genau dann falsch, wenn aus etwas wahrem etwas
falsches folgt, sonst wahr.
Es regnet stark → Es regnet. (Wenn es stark regnet, regnet es.)
Heute ist Montag → Heute ist nicht Mittwoch. (Wenn heute Montag
ist, ist heute nicht Mittwoch).
Die materiale Implikation stimmt mit dem natürlichsprachlichen
wenn-dann allerdings relativ wenig überein.
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1.Wenn es regnet, wird die Straße nass.
p=1
(1)
(2)
(3)
(4)
q=1
p → q =1
p→q
1
0
1
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
2.Wenn die Sonne scheint, wird die Straße nass.
p=1
q=0
p → q =0
3.Wenn der Mond aus rotem Käse ist, ist die Erde eine Kugel.
Wahr?
4.Wenn der Mond aus rotem Käse ist, ist die Erde eine Scheibe. Wahr?
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Äquivalenz
Implikation
• ist material
äquivalent
(genau (genau
dann wenn
Bikonditional)
äquivalent,
bikonditional
dann- dann
wennauch,
- dann
auch) ≡, ⇔
≡, ↔
Sätze, in denen schon der Vordersatz falsch ist, sind scheinbar ein
Problem. Betrachten Sie auch folgende sog. kontrafaktischen Sätze:
Wenn ich zaubern könnte, wäre immer Frieden auf der Welt.
Wenn ich zaubern könnte, könnte ich nichts gegen den Krieg tun.
Man hat sich trotzdem aus systeminternen Gründen dazu
entschieden, die Wahrheitswerte für die Implikation so festzulegen
wie oben angegeben.
p↔q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
Also: wenn p und q identische Wahrheitsbedingungen haben, ist
p ↔ q wahr, sonst falsch.
Er ist der Vater meiner Mutter ↔ Er ist mein Großvater mütterlicherseits.
Die Flasche ist halbvoll ↔ Die Flasche ist halbleer.
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Komplexe Sätze
Wenn Sie einen komplexen Satz haben, können Sie den
Wahrheitswert des Gesamtsatzes aus den Wahrheitswerten der
Teilsätze berechnen:
[[A ∧ B] ↔ [C ∨ A]]
1 0
1 1
0
1
0
Beachten Sie: Mit der Syntax der Aussagenlogik legt man fest,
welche Ausdrücke wohlgeformt sind (es gilt Rekursivität):
Jeder atomare Satz ist wohlgeformt.
Wenn A und B wohlgeformt sind, sind auch wohlgeformt: [A ∨ B], [A ∧ B],
[A ↔ B], [A → B], ¬ A.
Nicht wohlgeformt sind damit: → B, A → ↔ B u.ä.
Übung
Aus Schwarz & Chur (2004: 138):
Wie lautet die Formel für den folgenden Satz?
Wenn ich glücklich bin, bin ich nicht unglücklich.
Tun wir so als wenn unglücklich das Gegenteil von glücklich wäre:
[p →[¬[¬p]]]
Handelt es sich bei dem Satz
um eine Tautologie, d.h. ist er
in jeder möglichen Welt wahr?
[p →[¬[¬p]]]
1
1
1
0
1
1
1
[p →[¬[¬p]]]
0
0
0
1
0
0
1
Der Satz ist in jeder möglichen Welt wahr, d.h. es ist eine Tautologie.
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Grenzen der Logik
Grenzen der Aussagenlogik
Es gibt Sätze, mit denen die klassische Logik nicht umgehen kann.
Diese Sätze sagen etwas über Wahrheit und Falschheit aus:
a. Satz a ist falsch.
Wenn Satz a wahr ist, dann ist er falsch, was ihn wahr macht.
Wenn Satz a falsch ist, dann ist er wahr, was ihn aber wiederum
falsch macht.
Dieses Problem ist schon seit der Antike als das Lügnerparadox
bekannt: Wenn ein Lügner sagt, er lügt, sagt er etwas wahres oder
falsches?
Der Logiker Alfred Tarski hat 1933 daraus geschlussfolgert, dass
man strikt zwischen Objekt- und Metasprache unterscheiden muss.
Man kann mit einem Satz also nicht gleichzeitig etwas über diesen
Satz sagen.
Ein Problem der Aussagenlogik ist es, dass sie sich für den
eigentlichen Inhalt der Sätze nicht interessiert. Im folgenden ein
Beispiel aus Schwarz & Chur (2004: 134):
Der Weihnachtsmann ist verheiratet, aber: Semantik ist sehr interessant oder es
gibt Einhörner. Wenn das alles stimmt, dann ist Semantik sehr interessant oder
auch nicht, oder es stimmt nicht, dass der Weihnachtsmann verheiratet ist und es
keine Einhörner gibt.
Formel?
Benutzen Sie folgende Variablen:
p: der Weihnachtsmann ist verheiratet
q: Semantik ist sehr interessant
r: es gibt keine Einhörner [p∧[q∨¬r]] → [[q ∨ ¬ q] ∨ [¬ [p ∧ r]]
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Kompositionalität
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Kompositionalität
Wie Sie sehen, hat die Aussagenlogik ihre Grenzen. Außerdem
haben wir in der Syntax schon gesehen, dass wir uns in der
Linguistik nicht nur für Sätze als ganzes interessieren, sondern auch
(und insbesondere) dafür, wie Sätze aufgebaut sind.
Sie haben auch schon gelernt, dass einzelne Wörter Bedeutungen
haben. Kann man aber sagen, dass Wörter wie Tisch, 20, nur wahr
oder falsch sind?
Nein. Da man aber Sätze nun aus Wörtern kombiniert, muss es da
einen Zusammenhang geben. Dieser wird durch das Fregesche
Kompositionalitätsprinzip postuliert:
Die Bedeutung eines komplexen Ausdrucks ergibt sich aus der
Bedeutung seiner unmittelbaren syntaktischen Teile und der Art und
Weise, wie sie sich syntaktisch zusammensetzen.
Beispiel:
Das kleine Mädchen liebt Bonbons.
Die Bedeutung des linken Ausdrucks im folgenden ergibt sich aus
der Bedeutung der beiden rechten Ausdrücke:
kleine Mädchen = kleine + Mädchen
das kleine Mädchen = das + kleine Mädchen
liebt Bonbons = liebt + Bonbons
Das kleine Mädchen liebt Bonbons = das kleine Mädchen + liebt Bonbons
Mehr dazu in späteren Sitzungen.
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Hausaufgabe
Bilden Sie für folgende Satzfolge eine aussagenlogische Formel mit:
p = ich spiele Lotto
q = ich kann eine Million gewinnen
Wenn ich Lotto spiele, kann ich eine Million gewinnen. Daraus folgt, wenn ich
gar nicht Lotto spiele, kann ich keine Million gewinnen.
Ende
Prüfen Sie für folgende Welten, ob der Satz wahr ist:
Welt A: p = 1, q = 1
Welt B: p = 0, q = 1
Kann der Satz eine Tautologie sein?
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