¨Ubungen zur Vorlesung ” ELEMENTARE STOCHASTIK“
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Prof. Dr. G. Kersting
”
Blatt 7
SS 2012
Übungen zur Vorlesung
ELEMENTARE STOCHASTIK “
Abgabetermin: 1.6.2012
Aufgabe 25. Es wird n mal eine Münze geworfen. Ei , i = 1, . . . , n sei
das Ereignis, dass beim i-ten Wurf Kopf fällt, und En+1 das Ereignis, dass
insgesamt eine gerade Zahl von Köpfen fällt. Zeigen Sie, dass diese n + 1
Ereignisse nicht unabhängig sind, dass jedoch jeweils n von ihnen unabhängig
sind.
Aufgabe 26. Eine Zahl X wird rein zufällig aus S = {1, 2, . . . , n} gezogen.
Sei Ek das Ereignis, dass die Zahl k ein Teiler von X ist.
(i) Zeigen Sie: Ep , Eq , . . . sind für die verschiedenen Primteiler p, q, . . . von
n unabhängige Ereignisse.
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass X und n
teilerfremd sind, und daraus die Anzahl φ(n) der Elemente von S, die
teilerfremd zu n sind (φ heißt Eulersche Funktion).
Aufgabe 27. Sei (Z1 , Z2 , . . .) ein p-Münzwurf und seien X := Z1 +· · ·+ZN
und Y := N − X die Anzahl der Erfolge bzw. Misserfolge bis zum zufälligen Zeitpunkt N . Zeigen Sie: Ist N Poissonverteilt und unabhängig von
Z1 , Z2 , . . ., so sind X und Y unabhängige, Poissonverteilte Zufallsvariable.
Aufgabe 28: Regression zur Mitte. In der Zeitung lesen Sie die Überschrift: Pfunde verlieren durch Senderwechsel: Übergewichtige, die ihren Radiosender wechseln, verlieren im Mittel ca. 5 kg nach 6 Monaten!
Der Hintergrund ist die folgende Studie: Es wurden 200 Männer, die mehr
als 100 kg wogen, untersucht. Alle gaben an, dass sie beim Autofahren immer
einen bestimmten Radiosender hörten. Ihr Gewicht wurde zu Beginn der
Studie gemessen, dann sollten sie für 6 Monate den Radiosender wechseln.
Ansonsten gab es keine Anweisungen. Nach 6 Monaten wurde ihr Gewicht
erneut gemessen. Es stellte sich heraus, dass die Personen im Mittel etwa 5 kg
abgenommen hatten. Daraus wurde gefolgert, dass Personen, die abnehmen
möchten, nur ihren Radiosender wechseln brauchen.
Sie hegen Zweifel an diesem Ergebnis.
Machen Sie mit Hilfe einer R Simulation plausibel, dass der Wechsel des
Radiosenders keinen Einfluss auf die Gewichtsabnahme bei übergewichtigen
Personen hat.
Wir nehmen an, dass das Körpergewicht von Männern (annähernd) normalverteilt ist mit Mittelwert 82 kg und Standardabweichung 8. Außerdem
gehen wir davon aus, dass das Körpergewicht einer Person vor und nach 6
Monaten korreliert ist (κ = 0.7). Für jeden Mann ergibt sich so ein korreliertes Paar von Zufallszahlen (X, Y ).
(i) Simulieren Sie das Körpergewicht von 10000 Männern mit den Vorgaben von oben und stellen Sie die Daten mit einem Streudiagramm
dar.
(ii) Stellen Sie die Werte xi der schweren Männer (über 100 kg) in einem Histogramm dar und vergleichen Sie es mit einem Histogramm der Werte
yi . Was können Sie schlussfolgern?
(iii) Was sollte man am Aufbau der Studie ändern, um wirklich herausfinden
zu können, ob der Wechsel des Radiosenders einen Einfluss auf das
Gewicht hat?
