Quantenmechanik, Sommersemester 2011, ¨Ubung 10

Quantenmechanik, Sommersemester 2011, Übung 10
Christof Gattringer, Florian Hebenstreit
Aufgabe 10.1
In der Vorlesung haben wir das Ehrenfest’sche Theorem kennen gelernt,
b angibt,
das die Zeitentwicklung eines Erwartungswertes hAi
i h̄
Dh
iE
D ∂A
bE
d D bE
b H
b
A =
A,
+ i h̄
.
dt
∂t
(1)
Für einen Hamiltonoperator der Form
b =
H
1 b2
p~ + V ( ~br ) ,
2m
(2)
kann man das spezielle Ehrenfest’sche Theorem zeigen:
m
D
E
d2 Db E
~
r
=
−
∇V
(~
r
)
,
dt2
(3)
wobei der Impulsoperator wie immer durch b
p~ = h̄/i ∇ gegeben ist. Gehen
Sie wie folgt vor, um Gleichung (3) zu beweisen:
b für die Komponenten rbn ,
• Berechnen Sie die Kommutatoren [rbn , H]
n = 1, 2, 3, des Ortsoperators und bestimmen Sie unter Verwendung
von Gleichung (1) den Ausdruck dh~br i/dt.
• Leiten Sie die so erhaltene Gleichung noch einmal nach t ab.
b für die Komponenten
• Bestimmen Sie nun die Kommutatoren [pbn , H]
des Impulsoperators, und verwenden Sie diese in der letzten Gleichung
gemeinsam mit Gleichung (1) um das Endresultat (3) zu erhalten.
Aufgabe 10.2
In der Vorlesung wurde der Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten abgeleitet,

∂
∂ 
− sin ϕ ∂θ
− cot θ cos ϕ ∂ϕ

∂
∂
~b = h̄ 
L
(4)
 cos ϕ ∂θ − cot θ sin ϕ ∂ϕ  .
i
∂
∂ϕ
1
Zeigen Sie mit dieser Gleichung, dass das Quadrat des Drehimpulsoperators,
2
b2 + L
b2 + L
b 2 , in Kugelkoordinaten die Darstellung
~b = L
L
x
y
z
~b
L
2
Ã
2
= −h̄
∂
1
∂2
1 ∂
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
!
(5)
hat. Beweisen Sie dann die folgenden Kommutatorrelationen
b2
b2
bz, L
b z , H]
b = 0 , [L
b = 0,
~ ] = 0 , [L
~ , H]
[L
(6)
b der Hamiltonoperator für eine Teilchen im Zentralpotential ist,
wobei H
b = −
H
h̄2
4 + V (r) .
2m
(7)
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung des Laplace Operators in Radialkomponente und Quadrat des Drehimpulses.
2
b L
b z einen vollständigen Satz
~b und L
Die Gleichungen (6) zeigen, dass H,
kommutierender Operatoren bildet.
Aufgabe 10.3
In der Vorlesung wurde bereits diskutiert, dass die Lösungen für das Problem
des Teilchens im Zentralpotential auch Eigenzustände des Paritätsoperators
Pb sind. Insbesondere gilt:
Pb ψn,l,m (~r) = ψn,l,m (−~r) = (−1)l ψn,l,m (~r) .
(8)
Das bedeutet, dass die Drehimpulsquantenzahl l die Parität bestimmt.
Um die Gleichung (8) zu beweisen sollen Sie zuerst überlegen welche
Transformation der Winkel θ und ϕ in den Kugelkoordinaten Sie durchführen
müssen um die Spiegelung ~r → −~r zu bewirken. Wenden Sie diese Transformation nun auf die Kugelflächenfunktionen Yl,m (θ, ϕ) ∝ Plm (cos θ)eimϕ an,
und verwenden Sie die folgende Eigenschaft der zugeordneten Legendrepolynome,
Plm (−x) = (−1)l+m Plm (x) .
(9)
2