FP Internspeicherung

Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Thema I
Arbeitsblatt
1
Stochastik (40+10h von 120+30h)
Inhalte
Mengenlehre, Kombinatorik, Permutationen, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Wahrscheinlichkeit, Additionssatz, Multiplikationssatz, Zufallsgrößen, Erwartungswert, Verteilungen,
Bernoulli-Ketten, Bernoulli-Formel, Binomialverteilung
1. Grundlegendes mathematisches Wissen
1.1. Mengenlehre
1.1.1 Grundbegriffe und Symbole zu Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte (Elemente
Elemente).
Elemente Mengen werden
mit Großbuchstaben benannt ( A, ℜ, ℝ ) und durch Notationen erklärt.
Wichtige Zahlenmengen sind die natürlichen Zahlen ℕ , die ganzen Zahlen ℝ , die rationalen
Zahlen ℚ, die reellen Zahlen ℝ, die komplexen Zahlen ℂ, usw…, die durch eine spezielle
Schreibweise der Buchstaben erkannt werden.
Die leere Menge Ø oder { } ist eine Menge ohne Elemente. Vorsicht, sie darf nicht mit einer Menge verwechselt werden, die nur das Element „Null“ enthält: {0}.
a∈M steht für die Aussage, dass a ein Element der Menge M ist und b∉M steht dafür, dass b
kein Element der Menge M ist. Eine Menge kann auch durch eine mathematische Erklärung
beschrieben werden. z.B.: A = { x∈
x∈ℝ|x>0 ∧ x<4} enthält als Elemente alle reellen Zahlen, die >0
und <4 sind. Eine Menge kann natürlich auch verbal beschrieben werden: z.B.: S sei die Menge
aller grünen Stühle. Aus s1∈S folgt dann, dass s1 ein grüner Stuhl ist.
1.1.2 Mengenoperationen
Vereinigung
∈A ∨ x∈
∈B}
Vereinigung:
ung A∪B = {x | x∈
enthält alle Elemente, die in A oder in B
enthalten sind. (∨
∨ steht für „oder“)
A={1,2,3,4} B={3,4,5} A∪
∪B={1,2,3,4,5}
Durchschnitt:
Durchschnitt A∩B={x | x∈A ∧ x∈B}
enthält alle Elemente, die in A und in B
enthalten sind. (∧
∧ steht für „und“)
A={1,2,3,4} B={3,4,5} A∩
∩B={3,4}
Teilmenge:
Teilmenge: B⊆A wenn gilt: x∈B ⇒ x∈A
Alle Elemente aus B, sind auch Elemente
der Menge A. A heißt Obermenge.
Obermenge
A={1,2,3,4,5}
3
1 2
45
B⊆
⊆A
B={3,4,5}
2
1
3
45
3
45
Echte Teilmenge:
Teilmenge: B⊂A: wenigstens 1 Element aus A ist nicht in B, d.h. A≠B.
Differenz:
A\B={ x | x∈A ∧ x∉B }
Differenz:
Enthält alle Elemente aus A, die nicht
in B enthalten sind. (\ steht für „nicht”)
A={1,2,3,4} B={3,4,5}
Äquivalenz:
Äquivalenz: A=B:
A=B: Die beiden Mengen sind gleich. ⇔ B⊆A ∧ A⊆B
Komplement:
Komplement: Ā : setzt eine Obermenge Ω mit A⊆Ω voraus.
Das Komplement von A⊆Ω ist die Menge Ā = Ω\A = { x∈Ω | x∉A }
A\B={1,2}
Ω
A
Ā
Disjunkte Mengen enthalten kein gemeinsames Element, d.h. es gilt: A∩B= Ø.
Wenn A⊆Ω, dann sind A und Ā disjunkte Mengen.
Mächtigkeit |A|:
|A| zeigt die Anzahl der Elemente von A an. (auch Kardinalzahl genannt)
Regeln für A⊆Ω, B⊆Ω, C⊆Ω: Die Regeln gelten auch nach Vertauschung von ∩ und ∪.
A∩B=B∩A (Kommutativität), A∩(B∩C)=(A∩B)∩C (Assoziativität), (A∪B)∩C = (A∩C)∪(A∩C)
(Distributivität), A∩A=A (Idempotenz), (A∪B)∩A = A (Absorption), A∪B =A∩B (de Morgan)
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1.1.3 Formal korrekte Notationen von Mengen
I Elementnotation
M = { Element 1; Element 2; … }
Beispiele: A = {0;1;2;3;4}, B = { rot; grün; blau }, C = { Birne; Apfel }, D = { N; Z; Q; R; C }
II Notation durch Bildungsvorschrift
M = { Bildungsvorschrift | Bedingung }
Beispiele: A = { n | n∈N ∧ n≤2 } ist identisch mit der Menge B = { 0; 1; 2 }
A = { 5n | n∈N ∧ n<2 } ist identisch mit der Menge B = { 0; 5 }
III Notation mit Verknüpfungen bekannter Mengen
Beispiele: A = C∪D, B = (C∩B)∪D , N* = N \ {0}, Q+ = Q \ { n|n∈R ∧ n<0 }
1.1.4
Einige notwendige Begriffe und Symbole
n
, z.B.: 5 mod 3 = 2, 12 mod 3 = 0 (gesprochen: „modulo“)
m
Primzahlen : Natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.
z.B.: 5 ist nur durch 1 oder 5 teilbar! P = { n∈Ν|(n mod m) ≠ 0 für m∈Ν\{ 0, 1, n }},
n mod m :
Rest der Division
n
Summe:
∑ f (i) = f (1) + f (2) + ... + f (n)
i =1
n
Beispiel: f(n)=n² :
∑ i 2 = 12 + 2 2 + ... + n 2
3
f(n)=2n:
i =1
Fakultät:
n! = 1 · 2 · 3 · … · n
∑ 2i = 2 ⋅1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 12
i =1
z.B.: 5! = 1 · 2 · 3 · … · n = 120
Aufgaben zu Mengen, Summenformeln, Primzahlen und Modulo
1. Gegeben ist die Menge K = {r,g,b,s,w}, die als Elemente fünf unterschiedlich gefärbte Kugeln (rot, gelb, blau,
schwarz, weiß) enthält. Gib in aufzählender Schreibweise zwei Mengen A und B an, die beide echte Teilmengen von K sind und deren Durchschnittsmenge die leere Menge ist!
2. Bilde für folgende Mengen jeweils A ∪ B, A ∩ B, A\B und B\A:
a) A = { x∈Z| x≤4 };
b) A = { x∈Z| x≥-1 , x<2};
c) A = { (x, y)| x∈R, y∈R, x² + y² ≤ 25 };
B = { x∈Z| x>1},
B = { x∈Z| x≥0, x≤2 },
B = {(x; y)| x∈R, y∈R, x² + y² ≥9 } !
3. Gegeben ist A={0,1,2,3}. Gib zwei Mengen B und C an, die beide disjunkt zu A sind.
4. Gibt es die „Menge ohne Eigenschaften“? Begründe deine Antwort!
5. Es gelte i,n∈
∈N. Beweisen Sie, dass die Summe aller Quadratzahlen i² mit i ≤ n durch die Formel
1² + 2² +…+ (n-1)² + n² = n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2 n + 1) errechenbar ist!.
6
6. Es sei S die Menge der Schüler der Schule und K die Menge der Schüler einer Klasse. Beschreibe die Elemente der Menge S\K! Beweise, dass die Menge (S\K)∪(K∩(S\K)) disjunkt zur Menge K ist!
7. Gegeben ist A={0,1,2,3} und B={x∈N|x<6 ∧ x≥2 }. Benennen Sie alle Elemente der Mengen:
a) A\B
b) A∩B
c) A∩B
d) A∩R
e) A∪R
f) (A∩B)\A
g) A\{1,2}
8. Gib eine Definition in formal korrekter Notation für folgende Mengen an:
a)
c)
e)
f)
g)
Die Zahlen 4, 8, 16, 32, 64, …
b) Die Zahlen 4, 7, 10, 13, 16, …
Alle ungeraden Zahlen
d) Alle negativen Zahlen
Alle ganzen Zahlen, deren Betrag kleiner als 5 und größer als 1 ist.
Die Menge aller möglichen Zahlenpaare, die zwei reguläre Würfel zeigen können.
Die Menge aller rationalen Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind.
9. Berechne die Mengen A∪B, A∩B, A\B, B\A, Ā, B, Ā ∪Ø , Ā ∩Ø für folgende Fälle:
a) Ω = N, A = {1; 2; 3}, B = {1; 3; 5}
b) Ω = N, A = { n²|n∈N }, B = { 2n|n∈N }.
h) ∅∪B
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10. Bestimme die Kardinalzahlen/ Mächtigkeiten der folgenden Mengen:
e) { x∈Q | x>5, x≤6 }.
a) Ø
b) { rot; grün; blau }
c) N
d) { 2n | n∈N, n>5 }
11. Gib an, welche der folgenden Mengen gleich, oder echte Teilmengen voneinander sind:
A = {1}, B = {1;2}, C = {2;1}, D = {1;2;2}, E = {1;{2}}, F = {1;{2}}∪Ø, G = {1;{2}}∪{Ø}.
12. Die folgenden Mengen seien Teilmengen der Menge Ω={ n∈N|n≤10 }. Nenne alle Elemente der Mengen:
a) A = { x|3x≤12 }, b) B = { x|3x=12 }, c) C = { u|u²-8u+15=0 }, d) D = { y|2y²+32=0 }.
13. Sind die Mengen A und B gleich, besteht eine Teilmengenrelation oder sind sie disjunkt?
a) A = { x|x ist ein Trapez }, B = { x|x ist ein Parallelogramm }
b) A = { u∈N|u ist durch 4 teilbar }, B = { u∈N |u ist durch 2 und durch 3 teilbar }
c) A = { z | z ist ein Viereck }, B = { z | z ist ein Würfel }
14. Es gelte A={r;s;t;u}, B={q;r;s,t}, C={t;u}, D={4;5;6}, Ω={n∈N |n≤10}, A⊆Ω, B⊆Ω, C⊆Ω, D⊆Ω. Notiere folgende
Mengen in Elementnotation ( z.B. Ma={ 2; 3 } ):
a) A∪B, A∩B, A\B, B\A
b) A∪C, A∩C, A\C, C\A
c) A∪D, A∩D, A\D, D\A
15. Die Mengen der Auto- und Motorradhersteller sind nicht disjunkt. Was folgt daraus?
16. Zeichne Venn-Diagramme, die die folgenden Mengen veranschaulichen:
a) (A\B)∪(A∩B)∪(B\A) b) (A\B) ∩(B\A)
c) A∪(A∩B)
d) B∩(A∪B)
17. Sei K={m;n;o;p;q}, M={n;o;p;r;s}, N={o;p;q;s;t}, L={o;p;q}, Ω={ x|x ist Kleinbuchstabe }. Benenne die Elemente
der folgenden Mengen:
a) K∩(M\N)
b) K∪(M\L)
c) K\(M∪N)
d) K\(L∩N)
e) K∩L
f) K∪L
18. Die Mengen A = {2;3;4} und B = {2;4;6} seien Teilmengen der Obermenge Ω={n∈|n≤10}. Gib folgende Mengen in Elementnotation ( z.B. Ma={2;3} ) an!
a) A
b) B
c) A∪B
d) A∩B
e) A∪(A∩B)
f) (A∪A)∪(A∪B)
19. B sei die Menge der Bücher, die Lisa besitzt. Die Menge M⊂B sind Lisa’s Bücher, die sich mit Mathematik
beschäftigen. Schreibe alles auf, was du über die Menge N = B\M weißt!
20. Definiere eine Menge M deren Elemente die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlenmengen sind!
21. Welche Kardinalitäten (Mächtigkeiten) besitzen die folgenden Mengen?
a) N \{ n∈N |n>8 } b) N \{ n²|n∈N, n≤5 } c) Q\N
d) N \{ x∈Q|x>0 }
e) ∅ \{ 0;1}
22. Definiere für die gegebenen Mengen A und B die Mengen A⊕B und B⊕A! Ersetze vorher das Operatorzeichen „⊕“ nacheinander durch einen der Mengenoperatoren zur Vereinigung, Durchschnitt und Differenz! Notiere weiter A und B für Ω={n∈N |n≤10}!
a) A = { n∈Ν|n≤10 ∧ n>0 }, B = { 2n|n∈Ν }
b) A = { x∈Ρ|x≤10 ∧ x>0 }, B = { 2x|x∈Ρ }
23. Bestimme den ganzzahligen Wert der folgenden Ausdrücke, welche sind Primzahlen?
a) 53 mod 3
b) (9 mod 3)·(1557369 mod 1571)
c) (17777 mod 3) + (17777 : 3)
5
e)
∑ i mod 3
3
3
f) 47 mod
i =0
∑i
3
i =1
g)
2
∑∑ i ⋅ j
i =1 j =1
3
h)
∑ i!
i) (
i =1
4
3
i =1
i =1
∑ i!) : (∑ i!)
24. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) Das Produkt zweier Primzahlen ist niemals eine Primzahl.
b) Die Summe einer geraden und einer durch 3 teilbaren Zahl ist immer durch 6 teilbar.
c) Der Quotient zweier gerader Zahlen ist immer eine gerade Zahl.
d) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist immer ein ungerade Zahl.
e) Es gilt für alle n∈N: n2 mod n = n. f) Es gilt für alle x∈R: 2x2 - 2x = x.
n −1
f) Es gilt für alle n∈N:
∑ 2i = 2 n − 1
g) Es gilt für alle n∈N:
i =0
n
n
i =0
i =0
∑ 2n = 2 ⋅ ∑ n
h) Die Summe einer durch 6 und einer durch 12 teilbaren Zahl ist immer durch 6 teilbar.
i) Für jede Zahl m∈{ n2 | n∈N ∧ n≤3} ist
m eine Primzahl.
d) 8!
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2. Kombinatorik
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Fragen folgender Art:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
META TEA
AMTE
ETAM
E
M
T
A
MEAT
ATEM MATE TEMA
ATME
Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs verschiedene natürliche Zahlen aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
2.1. Permutationen
2.1.1 Kombinationen ohne Wiederholung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander zu legen?
Fall n=1 :
Es gibt 1 Möglichkeit
→ 1! = 1
Fall n=2 :
Es gibt 2 Möglichkeiten
→ 1! ⋅ 2 = 2!
Die zusätzliche Kugel kann vor- oder nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.
Fall n=3:
Es gibt 6 Möglichkeiten:
→ 2! · 3 = 3!
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und zwischen den
zwei bisher benutzten Kugeln angeordnet werden.
Fall n+1
Annahme: n! = 1⋅ 2 ⋅ …⋅ n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → (n+1)⋅ n! = (n+1)! Die n+1-te Kugel wird
vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln
(also insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Antwort: Es existieren
2.1.2
Pn = n!
„n fakultät“ Permutationen für n verschiedene Elemente.
Permutationen mit Wiederholung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge gleichgefärbter Kugeln untereinader sei gleichgültig.
Lösung :
Es gibt
10 !
3 !⋅ 3 !⋅ 3 !⋅ 1 !
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1
= 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen 1…m zu je pi (Anzahl der Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist,
bilden
n!
p1! · p2! · … · pm!
= WPn Permutationen.
Es gilt: p1+p2+…+pm = n.
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2.2. Kombinationen
2.2.1 Kombinationen ohne Wiederholung (Urne: ohne Zurücklegen)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5 verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt
werden?
5
5!
120
Lösung: C53 =   =
=
= 10 Möglichkeiten
 3  ( 5 − 3 )!⋅ 3! 2 ⋅ 6
n
n!
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k ⋅ ( k + 1)... ⋅ n
( k + 1)... ⋅ n
=
=
Cnk =   =
 k  k !⋅( n − k )! 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( n − k ) 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( n − k )
Schreibweise:
Binomialkoeffizient „n über k“.
Sprechweise:
Intuitiv lässt sich die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten dadurch begründen,
dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k) nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)
Gruppe 2 zugeordnet werden.
Die Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel zur Gruppenlösung
der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten überein.
2.2.2
Kombinationen mit Wiederholung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln nacheinander aus 5 verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden und bei jeder Wahl wieder 5 Farben gewählt werden können?
Lösung:
Schreibweise:
W
W
 5 + 3 − 1   7  7 ⋅ 6 ⋅ 5 6 ⋅ 35
 =   =
C53 = 
=
= 35
3
6

  3  1⋅ 2 ⋅3
Möglichkeiten
 n + k − 1  ( n + k − 1)!
 =
Cnk = 
k
k !⋅( n − 1)!


Der binomische Lehrsatz
Wie kann man den Term (a+b)n einfach ausmultiplizieren?
(a + b) n =
n
n
k =0
 
∑  k  a
n−k
n
n
 n 
n
 a ⋅ b n − k +  b n
⋅ b k =   a n +   a n −1 ⋅ b + ... + 
0
1
 n − 1
n
1
Die Koeffizienten entsprechen den Positionen im „Pascalschen Dreieck“,
bei dem sich die Werte der Folgezeile aus der Summe der beiden darüber
stehenden Werte der vorangehenden Zeile errechnen.
1
Beispiele:
(a +
b)4
-
b)5
(a
=
a4
+
4a3b
=
a5
-
5a4b
+
6a2b2
+
10a3b2
+
4ab3 +
b4
- 10a b + 5ab - b
2 3
4
5
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
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Aufgaben zur Kombinatorik
25. Anlässlich eines Fototermins überlegt eine 8-köpfige Familie, wie sich die einzelnen Familienmitglieder nebeeinader aufstellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es denn?
26. Es sollen 6 von 17 Schülern einer Klasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Volleyballmannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11 Spielern ebenso viele Varianten?
27. Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26 Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit 4 Buchstaben? Wie viele sind es, wenn
Buchstaben im Codewort mehrfach auftreten dürfen?
28. Ein Bankkunde hat seinen ec-Kartencode vergessen. Wie viele Möglichkeiten gibt es eigentlich für die vierstellige Zahl, die nur aus Ziffern besteht, die auch mehrfach auftreten können?
29. a) Wie viele Tippmöglichkeiten bietet die Lotterie „Tele-Lotto“ mit 5 von 35 Zahlen?
b) Wie viele Möglichkeiten erfreuen Tipper mit dem Gewinn eines „Dreiers“ (3 Richtige)?
30. Multipliziere die folgenden Terme mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus:
a) (2+m)7
b) (5-2m)11
c) (a²+b²)4
d) (2a²-b³)6
e) (a-1+b-2)5
31. Erkläre die Rolle von Binomialkoffizienten beim Aufbau des Pascalschen Dreiecks! Wie lautet die 12. Zeile
des Pascalschen Dreiecks?
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3. Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten
3.1. Zufallsexperimente
Zufallsversuch
Stufe 1
Stufe 2
Das Ergebnis setzt sich aus
den Teilergebnissen der Stufen (s1, s2, …, sn) zusammen.
n - s t u fi g
…
SSttuuffee nn
Das Ergebnis ω1 ist
ein Element der Ergebnismenge Ω .
Ergebnis ω1
Ω
ω3
ω6
E2
E3
ω2
ω1
ω1=(s1, s2, …,sn)
E1
Ergebnismenge Ω
ω4
ω5
Die Ereignismenge ist die
Menge aller Ereignisse
(Teilmengen von Ω ).
E
Ø
Ereignis E
{ ω1; ω2; ω3 }
Ω
Ereignismenge 2Ω
ω7
Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit mindestens zwei möglichen Ergebnissen ωi, die nicht vorhergesagt werden können. Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ ω1; ω2;…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse
ein, so tritt das Ereignis E ein.
Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs, wenn jedem möglichen Ergebnis
E genau ein Element ω∈Ω zugeordnet ist. Ein solches Element (Ereignis) ω wird Elementarereignis
genannt. Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø heißt unmögliches Ereignis. Das Ereignis Ω heißt
sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge (-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Besitzt die Ergebnismenge n =
|Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
3.2. Relative Häufigkeit
Wird ein Zufallsexperiment (z.B. Werfen eines Würfels) 30 mal (n-mal) hintereinander ausgeführt
und tritt dabei ein bestimmtes Ergebnis ω (z.B. 4) genau 7 mal (k-mal) auf, so hat dieses Ergebnis die
absolute Häufigkeit „7“ und die relative Häufigkeit (also die Häufigkeit in bezug auf die Anzahl
der vorgenommenen Experimente):
h(4) =
7
30
allgemein:
h(ω) =
k
n
mit (1) 0 ≤ h(ω
ω) ≤ 1 und (2) h(E) =
Die relative Häufigkeit wird oft in % angegeben:
Tritt (6) 3 mal auf, ist h(E) des Ereignisses E={4;6}
∑ h(ω )
i
ωi ∈E
7/30 = 0,233 (x100) = 23,3%
h(E)= h(4)+h(6) = 0,233+0,1 = 0,333 = 33,3%
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3.3. Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die jedem möglichen Ergebnis ω1, ω2,…, ωn eines Zufallsexperimentes die gleiche Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Gleichverteilung. Das Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsmaß P(E), stellt für eine Gleichverteilung ein Verhältnis zwischen den „günstigen“
Ereignissen und allen möglichen Ereignissen her.
P(E) =
Anzahl der zu E gehörenden Ereignisse =|E|
Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Eine Funktion P, die jeder Teilmenge Ei einer endlichen Ergebnismenge Ω eine reelle Zahl P(Ei) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (-funktion) und die Zahlen P(Ei) heißen Wahrscheinlichkeiten, wenn sie dem folgenden Axiomensystem von Kolmogoroff genügen:
Axiom 1 (Nichtnegativität): P(Ei) ≥ 0
Axiom 2 (Normiertheit):
P(Ω) = 1
Axiom 3 (Additivität):
P(E1∪E2) = P(E1)+P(E2), falls E1∩E2 = Ø
(d.h. E1, E2 sind disjunkt)
3.4. Wahrscheinlichkeiten n-stufiger Zufallsexperimente
Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten zusammen, ist k =|Ω| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist εi das Ergebnis des
Teilexperimentes i.
Dann gilt ( 1.Pfadregel, Produktregel ):
P(ε1, ε2 , …, εk) = P(ε1) · P(ε2) · … · P(εk)
2/5 · 1/4 = 1/10
1/4
2/5
3/4
2/4
3/5
Baumdiagramm
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die
„durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden.
2/5 · 3/4 = 3/10
3/5 · 2/4 = 3/10
2/4
3/5 · 2/4 = 3/10
Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 · 2/4 = 2/10 = 0,3
Ein Ereignis E = { ω1; ω2; …; ωk } tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse { ωi } eintritt. Für die
Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E gilt (2.Pfadregel, Summenregel):
P(E) = P({ω1; ω2 ; …;ωk}) = P(ω1) + P(ω2) + … + P(ωk)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt also
E={(r,r); (g,r)} und damit: P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
3.5. Additions- und Multiplikationssatz
Der Additionssatz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der Ereignisse A oder B
mit folgender Formel errechnet werden kann:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩
∩B)
Der Multiplikationssatz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B mit folgender Formel errechnet werden kann:
P(A∩B) = P(A|B) · P(B)
P(A|B) =
P( A ∩ B)
ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von der Bedingung, dass
P( B)
das Ereignis B eingetreten ist.
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3.6. Bernoulliketten
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω= { 0; 1 }. Das Ergebnis
ω1=1 tritt im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit p, ω2=0 tritt sonst ein.
Eine n-fache und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines Bernoulli-Experiments
heisst Bernoulli-Kette der Länge n. Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Bernoulli-Kette der Länge n,
genau ein Experiment Erfolg hatte, ist P(A) = pk·(1-p)n-k .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich groß,
deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der möglichen Erfolge zu multiplizieren.
Bernoulli-Formel:
n
Bn;p({k}) = P(X=k) = k ⋅ pk ⋅ (1-p)n-k
Faktor 1:
Binomialkoeffizient zur Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus insgesamt
n Elementen zu erwählen.
Faktor 3:
(n-k)-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit 1-p für das Erreichen eines Nicht-Erfolgs
Faktor 2:
k-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit p für das Erreichen
eines Erfolges
Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau 2-mal die Augenzahl 6, wenn genau 3-mal
geworfen wird?
Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3 mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6.
Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten stellen wir die drei-stufige
Wurffolge als 1-0-Folge dar (1: Erfolg, 0: kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist ein insgesamt erfolgreicher Versuch.
Erfolg/Nichterfolg: 000-001-010-011-100-101-110-111
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge 011 errechnet sich durch Multiplikation der ErDurch bloße Vertauschung der
folgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) · p · p
Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Anzahl aller Erfolgsfälle wird mit dem Binomialkoeffizienten
Es gilt also: P(Erfolg) = 
3

2
n 3
  =   = 3
k  2
· p2 · (1-p)3-2 = 3 · 1/36 · 5/6 = 5/72 = 0,06944
bestimmt.
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Arbeitsblatt
10
Aufgaben zu Häufigkeiten, Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten
32. Im Fernsehprogramm der Woche finden sich 30 Jugendsendungen, 12 Spielfilme, 11 Sportsendungen, 7 Krimis, 6 Magazine und 4 Serien. Berechne die relative Häufigkeit
a) der Jugendsendungen, b) der Filme, c) der Krimis, d) zeichne ein Stabdiagramm dazu!
33. Anna, Betty, Carla und Diana bestreiten die Endrunde eines Schwimmwettkampfs. Die Siegchancen von Anna und Carla sind gleich groß, und zwar doppelt so hoch wie die von Betty und dreimal so hoch wie die von Diana. Berechne die
Siegwahrscheinlichkeiten!
34. Aus den Urnen 1,2,3 wird nacheinander je eine Kugel gezogen. Es gilt für die Urnen:
1: P(rot) = 0,2
P(weiß) = 0,3
P(schwarz) = 0,5
1: P(rot) = 0,5
P(weiß) = 0,1
P(schwarz) = 0,4
1: P(rot) = 0,3
P(weiß) = 0,4
P(schwarz) = 0,3
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden a) 3 rote, b) 3 gleichfarbige, c) genau eine rote, d) höchstens eine rote,
e) mindestens eine rote, f) nur aus Urne 1 eine rote Kugel gezogen?
35. Herr Seltsam ist ein leidenschaftlicher Spieler und betätigt daher alle vier nebeneinander hängenden Spielautomaten,
d.h. er wirft bei jedem „Durchgang“ der Reihe nach in jeden Automaten die erforderliche Summe ein. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten der einzelnen Automaten betragen 1: 0,1 2: 0,3 3: 0,1 4: 0,2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er
bei einem Durchgang a) keinen, b) genau einen, c) höchstens einen, d) mindestens einen, e) höchstens drei, f) nur an
den beiden ersten Automaten einen, g) am 1.Automaten einen Gewinn(e)?
36. Aus den 4 Buchstaben des Worts „SCHULZEIT“ wird ein neues „Wort“ (muss keinen Sinn ergeben) gebildet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) enthält es nur Konsonanten,
b) beginnt und endet es mit einem Konsonanten,
c) beginn es mit einem Vokal, d) enthält es das „S“, e) beginnt es mit „T“ und enthält es das S, f) enthält es drei Vokale?
37. Ein Würfel und zwei Münzen werden geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) zeigen beide Münzen dasselbe,
b) zeigt der Würfel 1 oder 6,
c) zeigen beide Münzen dasselbe und der Würfel 1 oder 6?
38. Eine Familie hat 5 Kinder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
b) haben das erste und das letzte Kind das gleiche Geschlecht,
d) sind nur die ersten zwei Kinder Söhne,
f) sind mindestens zwei Kinder Söhne,
wenn die Wahrscheinlichkeit für Sohn und Tochter gleich sind?
a) ist das erste und das letzte Kind ein Sohn,
c) sind die ersten zwei Kinder Söhne,
e) sind genau zwei Kinder Söhne,
g) sind höchstens zwei Kinder Söhne,
39. Frau Jubel feiert ihren Geburtstag mit 7 Freundinnen. Beim Eintreffen schreibt jede ihren Geburtstag in eine Liste.
(29.Februar ist nicht dabei!) Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) haben nur die als zweite und letzte eintreffende Freundin den gleichen Geburtstag wie Frau Jubel,
b) haben die als erste und dritte eintreffende Freundin zwar den gleichen Geburtstag, der jedoch nicht mit dem von Frau
Jubel zusammenfällt?
40. Eine Münze wird 50 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man
a) genau 30 mal Zahl,
b) höchstens 30 mal Zahl, c) mindestens 30 mal Zahl, d) mehr Zahl als Kopf, e) 10 bis 40 mal Zahl?
41. Bei einer Prüfung mit 50 Fragen sind zu jeder Frage vier Antworten gegeben, von denen nur jeweils eine
richtig ist. Der Schüler Horst hat keine Zeit gefunden, sich vorzubereiten und kreuzt daher wahllos an. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit „beantwortet“ er
a) genau 12 Fragen richtig,
b) höchstens 12 Fragen richtig, c) mehr als 12 Fragen richtig, d) mehr als die Hälfte richtig?
42. 15% aller Menschen sind Linkshänder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 Personen
a) genau 25 Linkshänder,
b) weniger als 25 Linkshänder, c) 10 bis 30 Linkshänder?
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Thema II
Arbeitsblatt
11
Variablen, Gleichungen und Ungleichungen (30+8 h
von 120+30 h)
4. Grundbegriffe
4.1. Variablen und Terme
In vielen mathematischen Anwendungen stehen abstrakte Symbole für konkrete Zahlenwerte. Symbole (oft Buchstaben wie x, y, α oder β), die in einer solchen Eigenschaft auftreten, nennen wir Variablen. Variablen können genauer erklärt werden, indem man sie bestimmten Zahlenmengen zuordnet. z.B. n∈N, x∈R, q∈Q, z∈Z oder i∈{x∈R, x∉Q}.
Operatoren sind besondere Symbole für mathematische Operationen. Sie verknüpfen eine oder zwei
Zahlen oder Variablen zu einem arithmetischen Ausdruck. Beispiele:
3,24 + 2,1 (Addieren), a – b (Subtrahieren), β ⋅ ⅜ (Multiplizieren), a : b (Dividieren)
-b
(Negieren), xn
(Potenzieren), n b (Radizieren),
log10b (Logarithmieren)
Zahlen, Variablen, arithmetischen Ausdrücke werden Term genannt, wenn Sie mit Operatoren verknüpft und/oder mit Klammern zusammengefasst wurden. Beispiele für Terme sind:
x, 32, ⅞, a + b, -(-s), aber auch kompliziertere Ausdrücke wie x2, a2⋅(x - y), 3 1 − b oder a2 + b3.
4.2. Rechengesetze
∏
a2 = a ⋅ a
a3 = a ⋅ a ⋅ a
an =
a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( n mal) Produktzeichen
n
a und –a
a + (-a) ist = 0.
1 sind entgegen gesetzte Zahlen, ihre Summe
1
a und
sind reziproke Zahlen, ihr Produkt a ⋅
ist = 1.
a
a
Grundrechenoperationen:
Operanden
Ergebnisse
Addition:
Summand + Summand
= Summe
Subtraktion:
Minuend
– Subtrahend = Differenz
Multiplikation:
Faktor
⋅ Faktor
= Produkt
Division:
Dividend
: Divisor
= Quotient
Grundrechenoperationen mit 0 :
x+0=x
x–0=x
0⋅x=0
0 : x = 0 (x≠0)
Grundrechenoperationen mit 1 :
x⋅1=x
x:1=x
x : x = 1 (x≠0)
a+b=b+a
a⋅b=b⋅a
a + (b + c) = (a + b) + c
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
a : b ≠ b : a (a≠b, a≠0, b≠0)
a – b ≠ b – a (a≠b)
a : (b : c) ≠ (a : b) : c (b≠0, c≠0)
a – (b – c) ≠ (a - b) - c
Ein Produkt ist gleich Null, g.d.w. mindestens ein Faktor gleich Null ist: a ⋅ b=0 ⇔ a=0 ∨ b=0
Kommutativgesetz:
Assoziativgesetz:
Distributivgesetz:
Hinweis auf Ungleichheiten:
+a ⋅ -a= -(a ⋅ a)
-a ⋅ +a= -(a ⋅ a)
+a : -a= -(a : a)
-a : +a= -(a : a)
a + (b – c) = a + b – c
a – (b – c) = a – b + c
(a + b) : c = a : c + b : c
Binomische Formeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Brüche addieren:
a c a+c
+ =
b b
b
kürzen:
a a:c
=
b b:c
multiplizieren:
-a ⋅ -a= +(a ⋅ a)
+a ⋅ +a= +(a ⋅ a)
-a : -a= +(a : a)
+a : +a= +(a : a)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc +bd
a : b = c : d (b≠0, d≠0) ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2(a + b)(a – b) = a2 - b2
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
erweitern:
dividieren:
a a⋅c
=
b b⋅c
a c a⋅d
: =
b d b ⋅c
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Arbeitsblatt
12
4.3. Gleichungen
Eine Gleichung in einer Variablen x ist eine ''Behauptung'' der Form
LinkeSeite = RechteSeite
(1)
wobei LinkeSeite und RechteSeite Terme sind, die von x∈G abhängen. Wird die Zahlenmenge G von x
nicht extra erklärt, so wird angenommen, dass G=R (reelle Zahlen) ist.
Eine Lösung der Gleichung ist ein xi∈G, für welches (1) eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird mit L bezeichnet. L kann ein, mehrere oder
unendlich viele Elemente enthalten. L kann aber auch auch leer sein.
Beispiel 1:
x + 2 = 5 über G=R = Menge der reellen Zahlen.
Bedeutung: Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die
(einzige) Lösung. (Die kurze Schreib- oder Sprechweise dafür ist: ''Die Lösung der Gleichung ist x =
3.'') Die Lösungsmenge ist L = {3}.
Beispiel 2:
n + 1 = n über G=N = Menge der natürlichen Zahlen.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl ist,
deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist für keine Zahl der Fall: die ''Behauptung'' ist
immer falsch. Die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }.
Beispiel 3:
r2 = 4 über G=R.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn r eine reelle Zahl ist, deren
Quadrat 4 ist. Das ist für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2. Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Kurzschreibweise: r = ±2 ). Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Beispiel 4:
2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 über G=R.
Bedeutung: Nach Ausmultiplizieren der Klammer ist ersichtlich, daß diese "Behauptung" immer, d.h.
für alle x ∈ G, eine wahre Aussage ist.
Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge, L = G. Es handelt sich um eine Identität. So betrachtet,
ist eine Identität eine Gleichung, die immer eine wahre Aussage darstellt.
5. Terme umformen
5.1. Rechnen mit Klammern - ausmultiplizieren und herausheben
Oft ist es nützlich oder notwendig, mehrere Umformungs-Schritte hintereinander auszuführen. Beginnen wir etwa mit dem Term 3 (x + 2) - 2 x. Eine Möglichkeit, ihn zu vereinfachen, besteht darin,
zuerst die Klammer aufzulösen (die 3 „hineinzumultiplizieren“ - die Anwendung des Distributivgesetzes), dann die Reihenfolge der Bestandteile zu vertauschen (Kommutativgesetz der Addition) und
schließlich Vielfache von x zusammenzufassen (Distributivgesetz). Die ausführliche Rechnung sieht
dann so aus:
3 (x + 2) - 2 x
=3x+6-2x
=3x-2x+6
= (3 - 2) x + 6
= x + 6.
All diese Ausdrücke ergeben denselben Wert, wenn für x eine Zahl eingesetzt wird. (Machen Sie die
Probe mit x = 4 !) Der letzte ist ohne Zweifel der einfachste (der ''schönste''). Manchmal - so wie im
gerade betrachteten Beispiel - vereinfachen sich Terme, wenn alle Klammern ausmultipliziert werden.
In anderen Fällen ist es günstiger, das Gegenteil zu erreichen.
Falls ein Term eine Summe darstellt, deren Bestandteile (Summanden) einen gemeinsamen Faktor
besitzen, kann man diesen „herausheben“. Beispiel: Die Summanden des Terms x + x y + x2 haben x
als gemeinsamen Faktor. Daher können wir schreiben
x + x y + x2
= x (1 + y + x)
wodurch eine Vereinfachung eingetreten ist. (Der zweite Term kann in Worten so beschrieben werden: ''Addiere x und y, zähle 1 hinzu, und multipliziere das Resultat mit x !'' Versuchen Sie, auch den
ersten Term in Worten zu beschreiben, und Sie werden den Unterschied merken!)
In der Praxis wird uns oft das Gefühl sagen müssen, welche Umformungen eines Terms die sinnvollsten sind. Beispiel: 2 x + 2 y + 2 z + 1 = 2 (x + y + z) + 1 .
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Arbeitsblatt
13
Klammern ausmultiplizieren und herausheben können also auch auf Teile eines Terms angewandt
werden. Hier bleibt es Geschmackssache, welcher der beiden Terme ''schöner'' ist.
Ein wichtige, sehr oft auftretende Situation besteht, wenn zwei Klammerausdrücke multipliziert
werden, wie z.B. im Fall des Terms (a + b) (x + y).
Auch hier können die Klammern ausmultipliziert werden. Belassen wir den Term (x + y) zunächst als
Klammerausdruck stehen und wenden die Regel für das Klammern-Ausmultiplizieren auf (a + b) an.
Wir erhalten (a + b) (x + y) = a (x + y) + b (x + y), was durch weiteres Klammern-Ausmultiplizieren
zu a x + a y + b x + b y führt. Wir erhalten also die Identität (a + b) (x + y) = a x + a y + b x + b y.
Betrachten wir sie einen Moment: Sie besagt, daß beim Berechnen des Produkts von Summen jeder
Summand aus der ersten Klammer mit jedem Summand aus der zweiten Klammer multipliziert
werden muß. Diese Regel sollten Sie sich merken!
Drei Aufgaben für diese Regel: a) (3a+w) (b+2a), b) (3a+w) (b-2a), c) (3a-1) (3a-2).
Beachten Sie, wie mit den Minuszeichen umgegangen wird. Sie sollten generell bei derartigen Rechnungen so viele Zwischenschritte anschreiben, wie Sie benötigen, um den Überblick nicht zu verlieren. Im Laufe der Zeit werden sich viele Rechenregeln soweit automatisieren, daß Sie mehrere Schritte im Kopf durchführen und nur wenig hinschreiben werden.
5.2. Polynomdivision (Partialdivision)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Dividend und Divisor ordnen (fallende Potenzen einzelner Variablen, alphabetisch).
Erstes Dividendenglied durch erstes Divisorglied teilen, Quotient notieren.
Quotient aus (2) mit gesamtem Divisor multiplizieren und unter passendes Glied setzen.
Produkt aus (3) vom Dividenden subtrahieren und Differenz notieren.
Wenn Differenz aus (4) gleich Null ist, endet Verfahren, ansonsten wird mit (1) fortgesetzt.
Das Verfahren wird fortgesetzt, bis die Differenz gleich Null ist oder die Division (2) nicht mehr ausführbar ist. Die berechnete Differenz ist dann der Divisionsrest.
Beispiel: (2x3+2x2-3x+2):(2+x)=?
(1) geordnet, (2)dividiert: (2x3+2x2-3x+2) : (x+2) = 2x2 -2x+1
(3) multipliziert:
- (2x3+4x2)
(4) subtrahiert:
-2x2-3x
Nicht Null→ (2) dividiert,(3)multipliziert: - (-2x2-4x)
(4) subtrahiert:
x+2
Nicht Null→ (2) dividiert, (3) multipliziert:
- (x+2)
(4) subtrahiert:
0
Fertig!
2
3
2
2
3
2
Probe des Ergebnisses: (2x -2x+1)(x+2) = 2x -2x +x+4x -4x+2 = 2x +2x -3x+2 o.k. !
Aufgaben zum Probieren: a) (x3 -13x +x2 +4) : (-3+x) = ?
b) (4 -2x2 +8x -4x3) : (2x -1) = ?
Hier noch ein Beispiel mit Divisionsrest:
Beispiel: (x3-3x2-x+2):(1+x)=?
(1) geordnet, (2)dividiert: (x3 -3x2 -x+2) : (x+1) = x2-4x+3 R-1
(3) multipliziert:
- (x3 + x2)
(4) subtrahiert:
- 4x2 -x
Nicht Null→ (2) dividiert,(3)multipl.: - (- 4x2-4x)
(4) subtrahiert:
3x+2
Nicht Null→ (2) dividiert, (3) multipliziert: - (3x+3)
(4) subtrahiert:
-1
Das ist der Rest!
2
3
2
2
3
2
Probe des Ergebnisses: (x -4x+3)(x+1)-1 = x -4x +3x+x -4x+3 -1 = x -3x -x+2 o.k. !
b) (2x2+ 8 - 4x3) : (x2+3) = ?
Aufgaben zum Probieren: a) (x3+5-13x+2x2) : (-3+x2) = ?
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
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14
5.3. Faktorisierung von Termen
Das Zerlegen eines Terms in mehrere Faktoren, nennt man Faktorisieren.
Beispiel 1:
2x3 –18x
2
x –9
1.Idee: 2x ausklammern = 2x⋅⋅(x2 –9)
2.Idee: 3.Binomische Formel
= 2x⋅⋅(x –3)(x +3)
Es wird die 3.Binomische Formel am Muster a2-b2 erkannt.
Beispiel 2:
3x3–48x2+192x 1.Idee: 3x ausklammern
= 3x⋅⋅(x2 –16x +64)
x2 –16x +64
2.Idee: 2.Binomische Formel
= 3x⋅⋅(x -8)(x -8)
Die Anwendungsmöglichkeit der 2.binomischen Formel wird
nicht so rasch sichtbar. Zunächst werden wieder die beiden
Quadrate a2 und b2 gesucht. Danach werden die beiden Wurzeln ermittelt und auf Übereinstimmung mit dem Restausdruck
geprüft.
Drei Übungsaufgaben zum Probieren: a) 32x2 +160x +200
b) 900u2 -256v2
c) 12x2 -2x +1/12
Beispiel 3:
Idee: Plus-Faktoren suchen
= (x+7)(x+4)
2
x +11x +28 Man testet den 3.Wert auf die Möglichkeiten zur Produktbildung.
Hat man zwei Faktoren gefunden, die passen, wird geprüft, ob
deren Summe mit dem 2.Wert übereinstimmt. Falls das so ist,
hat man eine Faktorisierung gefunden!
2
x -11x +28
Idee: Minus-Faktoren suchen = (x-7)(x-4)
Mit einem Minuszeichen klappt es genauso!
Drei Übungsaufgaben zum Probieren: a) x2 +20x +64
b) x2 -19x +90
c) x2 -30x +216
Beispiel 4:
x2 +4x -96
Idee: Minus- und Plus-Faktor suchen
= (x+12)(x-8)
Man testet wieder den 3.Wert auf die Möglichkeiten zur Produktbildung. Findet man eine Faktorkombination, so muss auch
hier die Summe der beiden Faktoren zum zweiten Wert führen.
Im Beispiel 4 sind das die Faktoren -8 und +12.
x2 -4x -96
Idee: Vorzeichen tauschen = (x-12)(x+8)
Die Lösung für das Minuszeichen im 2.Wert ist die umgekehrte
Faktorkombination die Lösung.
Drei Übungsaufgaben zum Probieren: a) x2 +x -20
b) u2 +25u +100
c) x2 -7x -60
Einige gemischte Aufgaben zur Faktorisierung für zu Hause:
a) 8x2 +22x +192
f) 169u2v4 -64
Aufgabe 1
b) x2 +9x +18
g) x2 +30x +200
c) x2 +25x +84
h) 4x2 +64x +252
d) x2 -15x +50
i) ¼ x2 -5x +9
e) x2 -10x +21
k) 5x2 -50x -195
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Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
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15
Die in den drei unteren Zeilen zur Auswahl stehenden Kästchen sind so zu positionieren, dass die
sechs Terme richtig charakterisiert werden. Dabei ist keinerlei größere Umformung nötig, sondern
lediglich `richtiges Hinschauen´ und simples Einsetzen (das im Kopf durchgeführt werden kann).
Die Variable x steht dabei für eine beliebige reelle Zahl (außer im Fall des Terms, der 1/x enthält: dort
steht x für eine reelle, von Null verschiedene Zahl).
Aufgabe 2
Die in den drei unteren Zeilen zur Auswahl stehenden (frei beweglichen) Kästchen sind so zu positionieren, dass die sechs Terme richtig charakterisiert werden. Dabei ist keinerlei Rechnung oder Umformung nötig, sondern lediglich `richtiges Hinschauen´.
Aufgabe 3
Cassebaum
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16
Die in den beiden unteren Zeilen zur Auswahl stehenden (frei beweglichen) Kästchen sind so zu positionieren, dass eine Reihe wahrer Aussagen entsteht. Dabei geht es darum, die Struktur von Termen
zu erkennen. Es ist keinerlei Rechnung, sondern vielmehr „richtiges Hinsehen“ nötig, um diese Aufgabe zu lösen.
Cassebaum
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17
6. Mathematische Beweisformen
Kurz: Mathematische Beweise haben den Zweck, die Gültigkeit oder die Ungültigkeit einer mathematischen Aussage aufzuzeigen.
Ein mathematischer Beweis liefert eine Argumentation, mit deren Hilfe man den Wahrheitsgehalt
einer mathematischen Behauptung überprüft und belegt. In der modernen Mathematik beginnt der
Beweis mit einer oder mehreren Aussagen, den Prämissen. Mit den Regeln der Logik überprüft man,
ob eine bestimmte Folgerung wahr ist, wenn die vorher getroffenen Prämissen wahr sind. (Quelle:
Microsoft® Encarta® Enzyklopädie Professional 2003)
Es kommen folgende Beweisarten zum Einsatz:
• Direkter Beweis
• Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)
• Beweis durch Gegenbeispiel
• Beweis durch vollständige Induktion
6.1. Allgemeiner Aufbau eines mathematischen Beweises
•
•
•
•
Formulierung der zu beweisenden mathematischen Aussage
Voraussetzungen zur Aussage
Behauptung
Beweis
6.1.1 Direkter Beweis
Der direkte Beweis basiert darauf, dass die Behauptung durch geschickte Umformung so verwandelt
wird, dass die logische Wahrheit der mathematischen Aussage unter den vorgegebenen Voraussagen
erkennbar wird.
Beispiel 1: erweitertes Distributivgesetz
Aussage:
Das Distributivgesetz gilt auch für drei eingeklammerte Operanden
Voraussetzung:
a, b, c, d ∈ℝ, Assoziativ-, Distributivgesetz
Behauptung:
a·(b+c+d) = ab + ac + ad
Beweis:
a·(b+c+d) = a(b+(c+d))
Assoziativgesetz
= ab + a(c+d) = ab + ac +ad Distributivgesetz (2 mal) q.e.d.
6.1.2
Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)
Ein indirekter Beweis ist ein Beweis nach folgendem Schema:
Es wird angenommen, die zu beweisende Aussage A sei falsch. Aus dieser sogenannten indirekten
Annahme wird ein Widerspruch gefolgert. Damit ist die Behauptung A bewiesen.
Beispiel 2: Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl?
Aussage:
Die Quadratwurzel aus 2 ist keine rationale Zahl.
Voraussetzung: rationale Zahlen lassen sich in der Form z/n mit z, n∈ℤ, n≠0 darstellen.
Behauptung:
Wurzel aus zwei ist rational (d.h., die Aussage sei falsch!).
Beweis:
Wurzel aus 2 lässt sich als Bruch z/n schreiben, wobei z,n∈ℤ teilerfremd sind, d.h.
der Bruch gekürzt ist. Quadriert folgt: 2 = z²/n² ⇒ 2n² = z². Also muss z² und somit
auch z eine gerade Zahl sein. Ist jedoch z gerade, so folgt wegen der Teilerfremdheit, dass n ungerade ist. Teilt man nun die Gleichung 2n² = z² durch 2, so erhält
man, dass n² gleich einer geraden Zahl und somit auch n gerade sein muss. Dies ist
jedoch ein Widerspruch.
q.e.d.
Cassebaum
6.1.3
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
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18
Beweis durch Gegenbeispiel
Diese Beweisart ist interessant, wenn bewiesen werden soll, dass eine bestimmte Aussage nicht gilt.
Hier genügt es, ein einziges Gegenbeispiel aufzuführen.
Beispiel 3: Ganze Zahlen sind natürliche Zahlen?
Aussage:
Die Zahlenmengen der ganzen und der natürliche Zahlen sind identisch.
Voraussetzung: Definitionen der Zahlenmengen Z= ganze Zahlen, N= natürliche Zahlen.
Behauptung:
Es gibt keine ganze Zahl, die keine natürlichen Zahl ist.
Beweis:
Doch! z.B. -1 ist keine natürliche, aber eine ganze Zahl.
q.e.d.
6.1.4
Beweis durch vollständige Induktion
Der Beweis durch vollständige Induktion wird immer dann angewendet, wenn Aussagen für natürliche Zahlen gemacht werden. A(n) sei eine Aussage über natürliche Zahlen, weiter sei A(0) wahr und
dann folgt: Ist A(n) wahr für ein beliebiges n, so ist auch A(n+1) wahr.
1. Induktionsanfang: A(0)
2. Induktionsbehauptung: Man beschreibt A(n) als wahre Aussage.
3. Induktionsbeweis (oder –schritt): Es wird A(n+1) aus A(n) durch Fortführung der Schrittfolge entwickelt. Damit wird bewiesen, dass A(n) für alle n gilt.
Beispiel 3: Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n?
Aussage:
1+2+3+...+n = n(n + 1)/2
Induktionsanfang: n=1 ⇒ 1 = 1(1+1)/2 (richtig!)
n(n + 1)
2
Behauptung:
A(n) =
Induktionsbeweis:
1+2+…+n+(n+1)=
n(n + 1)
n(n + 1) + 2(n + 1) (n + 2)(n + 1)
+(n+1)=
=
2
2
2
Somit gelingt der Induktionsschritt, also gilt A(n) für alle n.
Aufgaben:
1. Lösen Sie folgende Gleichungen:
q.e.d.
a) x(x - 4) = 0
2. Multiplizieren Sie die folgenden Terme aus:
a) (2x – 3y)2
b) (-3u2v – 5uv2)2
b) (x + 2)(2x – 6)(x – 4) = 0
c) (8xy + 2)(8xy – 2)
3. Zerlegen Sie die folgenden Terme in einfache Faktoren:
b) ac –bc +3a – 3b c) 16p2 – 9q2
a) 15a2 – 30ab + 5a
d) 2a2 – 5ab -12b2
d) (-3a + 2b)(-3a – 2b)
e) 16x2 - 36y2
4. Errechnen Sie die Ergebnisterme der folgenden Polynomdivisionen:
a) (9a3 – 10ab2 – 9a2b) : (3a + 2b)
b) (x3 – y3) : (x – y)
c) (2x3 - 5x + 3) : (4x + 8)
5. Multiplizieren (Dividieren) Sie die folgenden Bruchterme:
42 x 2 y 44a 2
a)
⋅
55ab 35 xy
a
+ 2c
d) b
a
c−
2b
6. Die Gleichung
6a 2 + 9ab
7bc
⋅ 2
b)
2
4b
4a − 9b 2
p q
+ +2
q p
e)
p q
−
q p
m 2 − 4mn + 4n 2 4m − 8n
c)
:
10 y − 5 x
3 x 2 +6 xy
a
f)
1−
g)
a
a+
1
a
1
1
1
=
+
ist nach RG aufzulösen.
RG R1 R 2
4u 2 − 9v 2
: (2u + 3v)
5uv
Cassebaum
Mathematik, 11. Schuljahr Fachgymnasium
Arbeitsblatt
Potenzen
(„Basis hoch Exponent“) Es gelten für reelle Zahlen a:
1. Der Exponent ist eine natürliche Zahl:
Für jede natürliche Zahl m (m =1, 2, 3,...) ist am das m-fache Produkt von a mit sich selbst.
(kurz: die m-te Potenz von a):
a = a × a × ... × a (m-fach).
∏
m
2. Der Exponent ist Null: In diesem Fall wird a0 = 1 definiert. (Ausnahme: für a=0 ist a0 n.d.)
1
a mdie q-te
4. Der Exponent ist Kehrwert einer natürlichen Zahl: Für jede natürliche Zahl q ist a1/q
Wurzel aus a, d.h. jene positive Zahl, deren q-te Potenz a ist.
3. Der Exponent eine negative ganze Zahl: Für jede natürliche Zahl m ist a-m =
5. Der Exponent ist eine positive rationale Zahl:
Für zwei natürliche Zahlen p und q ist a p/q = (a p)1/q =
q
.
ap .
6. Der Exponent ist eine negative rationale Zahl:
Für jede positive rationale Zahl x ist a-x = 1/ax, wobei ax gemäß 5 definiert ist.
Potenzgesetze
Für alle m, n ∈ℤ und a, b ∈ℝ\{0} gilt:
(1) am• an =am+n
(2) an•bn = (a•b)n
Wurzeln („e-te Wurzel aus r“, e-Wurzelexponent, r-Radikand) Es gilt w = e r g.d.w. we = r
Die Wurzel ist die 1.Umkehrrechnung der Potenz zur Bestimmung des Radikanden.
Logarithmus (x = logbn, l-Logarithmus, a-Basis, n-Numerus) Es gilt x = logbn g.d.w. bx = n
Der Logarithmus ist die 2.Umkehrrechnung der Potenz zur Bestimmung des Exponenten.
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