Mathematik IV - TU Darmstadt/Mathematik

A
Prof. Dr. Jürgen Bokowski
Jon Nedelmann
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Sommersemester 2000
17. Mai 2000
4. Übung zur
Mathematik IV
für ET
Test
( T 7) Es sei X eine N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable. Dann gilt für das p · 100%Quantil xp
P (X ≤ xp ) = p
xp = σup + µ mit up = Φ−1 (p)
xp = Φ−1 (p)
( T 8) Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 wird eine Stichprobe gezogen. Die Zufallsvariablen X bzw. S 2 seien die Schätzfunktionen für µ und σ 2 . Dann gilt
X−µ
√
S/ n
ist N (0, 1)-verteilt.
X−µ
√
S/ n
ist t-verteilt vom Freiheitsgrad n.
X−µ
√
S/ n
ist t-verteilt vom Freiheitsgrad n − 1.
Gruppenübungen
( G 10) Gegeben seien die beiden folgenden (bereits geordneten) Messreihen M1 und
M2:
5.7
7.55 8.80 9.85 12.25 14.20 14.60 17.00 19.10 20.20
M1
20.95 22.00 22.35 24.00 25.15 27.05 29.10 31.35 35.05 36.00
6.50 7.20 8.35 10.90 11.25 12.80 14.15 18.20 22.35 24.40
28.90 29.05 29.15 30.45 30.90 31.05 32.40 32.85 33.55 35.65
(a) Trage die relativen Summenhäufigkeiten jeder der beiden Messreihen in das Wahrscheinlichkeitspapier ein.
(b) Für welche der Messreihen ist es sinnvoll, sie als Realisierungen
von 20 unabhängigen, identisch N (µ, σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen
aufzufassen? Bestimme aus dieser Messreihe Schätzwerte für µ und
σ2.
M2
( G 11) Zwölf Versuchsflächen wurden mit einer neuen Weizensorte bestellt. Diese
Flächen erbrachten folgende Hektarerträge (in 100kg):
35.6 33.7 31.2 37.2 34.1 35.8 36.6 37.1 34.9 35.6 34.0 37.8
Aus Erfahrung weiss man, dass die Hektarerträge als eine Realisierung unabhängiger, N (µ, 3.24)-verteilter Zufallsvariablen angesehen werden können.
Gib für den Erwartungswert µ ein Vertrauensintervall zur statistischen Sicherheit von 95% an.
( G 12) Der Hersteller einer bestimmten Zigarettenmarke weist auf der Verpackung
einen Nikotingehalt von 0.75 [mg] pro Zigarette aus. Zur Überprüfung dieser Angabe wurde für 70 Zigaretten dieser Sorte jeweils ihr Nikotingehalt bestimmt. Die einzelnen Werte ergaben ein arithmetisches Mittel von x̄ = 0.79
und eine empirische Streuung von s = 0.15. Es wird angenommen, dass der
Nikotingehalt der Zigaretten durch unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen beschrieben werden kann.
(a) Bestimme das einseitige nach oben begrenzte Vertrauensintervall
für µ zur statistischen Sicherheit 1 − α = 95%.
(b) Die Zufallsvariable n−1
S 2 ist χ2 (n − 1)-verteilt. Begründe damit,
σ2
dass
"
#
2
2
(n − 1)S
(n − 1)S
, 2
I(X1 , . . . , Xn ) =
2
χ(1−α/2) (n − 1) χα/2 (n − 1)
(c)
ein zweiseitiges Vertrauensintervall für σ 2 zur statistischen Sicherheit 1 − α ist.
Berechne das Vertrauensintervall für σ 2 zur statistischen Sicherheit
1 − α = 95%.
Hausübungen
( H 13) Bei einer Untersuchung über das Verhalten von Schulkindern im Straßenverkehr interessiert sich ein Psychologe für die Reaktionszeit von
zehnjährigen Schülern. Aus Erfahrung weiss er, dass sich der Messvorgang durch eine N (µ, 0.04)-verteilte Zufallsvariable beschreiben läßt. Bei
51 Messungen, die daher als Realisierungen von 51 unabhängigen identisch N (µ, 0.04)-verteilten Zufallsvariablen betrachtet werden sollen, ergab sich der Mittelwert x̄ = 0.8[sec]. Berechne daraus ein Vertrauensintervall für den Erwartungswert µ zur statistischen Sicherheit 95%.
( H 14) Wir beziehen uns auf Aufgabe H 13. Wir nehmen jetzt an, dass dem
Psychologen die Varianz nicht bekannt gewesen wäre. Dafür ergab sich die
Stichprobenvarianz s2 = 0.04. Bestimme nun nocheinmal das zweiseitige
Vertrauensintervall zur statistischen Sicherheit 95%.
( H 15) Bei der Bestimmung des Inhalts von 20 verschiedenen 90g-Packungen
ergaben sich die folgenden Werte xi (in Gramm), i = 1, . . . , 20:
92 96 95
96 94 93
(a)
(b)
94 96 98 96 91 87
97 92 93 94 89 92
95
90
Berechne das arithmetische Mittel x̄ und die Stichprobenvarianz s2 .
P20
1
Bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen X = 20
i=1 Xi , unter der Annahme, dass die Zufallsvariablen Xi , die den Inhalt einer Packung beschreiben, unabhängig und normalverteilt sind mit
µ = 93 [g] und σ = 3 [g 2 ].
( H 16) Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch N (µ, 25)verteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ ∈ R.
(a) Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit für den Parameter µ zur statistischen Sicherheit 0.9 ein Vertrauensintervall
entsteht, dessen Länge nicht größer als 1.25 ist?
(b) Welche statistische Sicherheit haben wir, wenn bei n = 200 ein
Vertauensintervall der Länge 1.15 entsteht?
(c) Welche Länge besitzt ein Vertauensintervall, das bei n = 150 mit
statistischer Sicherheit 0.8 für das Schätzen des Parameters µ entsteht?