Corioliskraft und Zentrifugalkraft

Zur Erinnerung
Stichworte aus der Kepler Gesetze
6. Vorlesung:
Effektives Potential
Planetenbewegung
Inertialsysteme
Galilei-Transformation
Experimentalphysik I SS 2010
Bewegte Bezugssysteme:
gleichförmig
beschleunigt
Scheinkräfte
Linearbewegung
Trägheitskraft
7-1
Rotierende Bezugssysteme
Ruhende Körper: Zentrifugalkraft
FZF
Bewegte Körper: Corioliskraft
FC
Stufenweise Betrachtung:
1. Beobachtungen,
2.„einfache“ Erklärung,
3. weitere Versuche,
4. mathematische Darstellung
Experimentalphysik I SS 2010
7-2
Scheinkraft bei der Kreisbewegung
Beschleunigte Bewegung, da
v  const. 
dv
 a Z aber
dt
Zentripetalbeschleunigung:
und
Zentripetalkraft
v  const.
a Z   2 r
FZ  ma Z   m 2 r
Rotierende Masse an Schnur betrachtet:
FZ = Spannkraft der Schnur vom ruhenden Beobachter aus
gesehen (K): P bewegt sich auf Kreisbahn
beschleunigte Bewegung, FZ ≠ 0

Aber vom mit P bewegten Beobachter aus gesehen (K´ in P
verankert): stationäre Situation, keine Abstandsänderung
!!
dr
Zentrifugalkraft FZF:
0 
dt
Experimentalphysik I SS 2010
F
i
 0  FZP  FZF  0
7-3
Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft FZF muss Beobachter in K´
(bewegtes System) als Scheinkraft deshalb einführen,
weil er - in K´ ruhend - die Rotation seines Bezugssystems
nicht berücksichtigt.
er schließt daraus:
dr
0
dt
 Fi  0
er merkt aber:
FZP  0
Beobachter in K‘: im „stationären“ Zustand erkennt er:
Zentrifugalkraft: also schließt er:
Experimentalphysik I SS 2010
F??  FZP  0  F??  FZF   FZP
7-4
Zentrifugalkraft
Warum ist die z. B.: eine an einem Faden rotierende Kugel der Masse m
Zentrifugalkraft ein
Scheinkraft? Beobachtet von außen:
Kreisbewegung = beschleunigte Bewegung
Zentripetalkraft = „Fadenspannung“
Beobachtet vom (drehenden = beschleunigten) System
(auf der Kugel verankert):
Keine Bewegung der Masse m, vor allem KEINE Änderung
des Abstands
dr
0 
dt
Forderung
d 2r
0  F 0
2
dt
„Fzentrifugal“ = - Fzentripetal
dann (und nur dann):
F
i
0
i
Experimentalphysik I SS 2010
7-5
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Konsequenzen für die
Gravitationsbeschleunigung
durch Rotation der Erde:
aZF(r, )
r
g
RE
Experimentalphysik I SS 2010
geff
7-6
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Konsequenzen für die
Gravitationsbeschleunigung
durch Rotation der Erde:
An den Polen:
FZF = 0
Betrag und Richtung von FG bzw. g nicht beeinflusst
Am Äquator:
FZF  FG
Betrag (aber nicht die Richtung) geändert
In Kaiserslautern:
Betrag und Richtung geändert
Experimentalphysik I SS 2010
7-7
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Einfluß der Erdrotation In Zeichnung: Größe von aZF stark übertrieben
auf die Größe von g:
aZF(Äquator) = RE ω2 = 6.37 106 [m/s] (2π/Tag) [1/s]
1 Tag = 86400 s
aZF(Äquator) = 3.37 10-2 [m/s2]  g = 9.81 [m/s2]
aZF(K´l) = aZF (Äquator) sin 49.5° = 2.5 10-2 [m/s2]
aZF(Pol) = aZF (Äquator) sin 0° = 0 [m/s]
Erdbeschleunigung g am Äquator kleiner (%-Effekt) als an
den Polen, da
(a) reduziert durch Zentrifugalkraft und
(b) Abstand vom Erdmittelpunkt größer (wegen
Erdabplattung)
Experimentalphysik I SS 2010
7-8
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Zentrifugalkräfte auf
der Erde:
aZF,Pol(r, ) = 0
gPol
aZF(r, )
r
g
RE geff
gÄq
Experimentalphysik I SS 2010
aZF,Äq.(r, )
7-9
Zentrifuge
Prinzip: Räumliche Trennung von Material unterschiedlicher Dichte
durch Zentrifugalkräfte.
FZF  mr 2
Material 1
Material 2
Zentrifugalkraft auf Masse im Volumenelement dV:
dFZF    dV r 2

m
Material 1:
dFZF  1  dV  r 2
Material 2:
dFZF   2  dV  r 2
Wenn
1   2
dann dFZ 1  dFZ 2
Material höherer Dichte wird nach außen gedrängt.
Experimentalphysik I SS 2010
7-10
Satellitenbahn
Zentripetalkraft: .a   r 2
 ma  mR 2 rˆ
2
v2
v
FZP  ma  m  R  rˆ   m  rˆ
R
R
v2
FZF  m  rˆ  0
R
Physikalische Ursache
mM E
(
)
R


G
F
rˆ
für FZP :
ZP
2
R

FZP ( RE )  G
FZP ( R )  FZF ( R )
1. Fluchtgeschwindigkeit:
Experimentalphysik I SS 2010
 FZP ( RE )   mg
mM E
RE2
Kreisbahn
R  RS
vS2
mM E
M
 G 2 m
 G E  vE2  RE g
RS
RS
RE
R  RE
 vE  RE g
 vS  v E
 2 11,2 kms 1
7-11
Corioliskraft
Definition: .Scheinkraft auf bewegte Objekte in rotierendem
Bezugssystem.
Anschauliche Rollende Kugel auf
Erklärung: drehender Scheibe:
1.Rotation 
2. radiale Bewegung v,
3. erwarteter Einschlag bei P‘1,
4. beobachteter Einschlag bei P2
Wegdifferenz:


s  P1 (t  t ), P2 (t  t )
v

Geschwindigkeit tangential: u2    ( r  r ),
Wegstrecke tangential: s2    ( r  r )  t
Experimentalphysik I SS 2010
dr
dt
u1    r
s1    r  t
7-12
Corioliskraft
In
. der Zeit t zurückgelegter tangentialer Weg:
1
s  rt  ac t 2
2
!!
Newton!!
r
 2  v
Coriolisbeschleunigung:  aC  2
t
v
dr
dt
Mit Richtungsbeziehungen:
aC  2ω  v
Corioliskraft (vektoriell):
Experimentalphysik I SS 2010
FC  2m  ω  v
7-13
Corioliskraft
Spuren von ebenem .Von der (rotierenden) Scheibe aus gesehen, erscheint die
Pendel Pendelbewegung (im ruhenden System in einer Ebene
auf rotierender ablaufend) als Bewegung längs einer gekrümmten Bahn
Scheibe:
Experimentalphysik I SS 2010
7-14
Richtungsbeziehungen
Corioliskraft: .
aC  2ω  v

FC  2m  ω  v
Zentrifugalkraft:
a ZF  ω  ω  r
a ZF  ω  r  ω
aZF  ω 2 r

FZF  m 2 r
Experimentalphysik I SS 2010
7-15
Dire Erde als rotierendes Bezugssystem
Ebene
parallel zur Oberfläche betrachtet (z.B. Standfläche
.
im Hörsaal)
Vektorielle Zerlegung von :
  t   s
 s  Drehung der Oberfläche um die Achse
Erdmittelpunkt -- Mittelpunkt der Ebene
(diese Drehung verantwortlich für Coriolis-Kraft)
Zentrifugalkraft: t
Experimentalphysik I SS 2010
 Drehung der Oberfläche um eine Achse
senkrecht zu s
(diese Drehung verantwortlich für Zentrifugal-Kraft)
Am Nordpol:
t  0  FZF  0
Am Äquator:
 s  0  FC  0
7-16
Komponenten der Winkelgeschwindigkeit 

Zerlegung der
Drehung 
in Komponenten am
Punkt P:

Tangential-Ebene TE in P
(an Oberfläche der Erde)
S

t
S = Drehung um
Achse  TE
S
zu jedem Zeitpunkt muss
gelten: S + t = 
Experimentalphysik I SS 2010
7-17
Foucault-Pendel
Nachweis der
Erddrehung:
typische Zahlenwerte zum Versuch im Hörsaal:
Gewicht der Kugel 14 kg, Länge des Strahldrahtes: ca. 10 m
Abstand Ruhelage - Wand: 440 cm, Drehgeschwindigkeit α der
Schwingungsebene 20 - 25 cm/30 Min. bzw. ≈ 11°/Stunde
am Pol würde man beobachten:
360°/24 Std oder 15°/Stunde
Experimentalphysik I SS 2010

aus dα/dt kann Breitengrad
ermittelt werden
7-18
Corioliskraft
Abweichung von Zahlenbeispiel:
gradliniger Strömung:
Windgeschwindigkeit: v  20 km / h  5 m / s
2
s 1  7,3 10 5 s 1
86400
aC  2v  10 3 ms 2 g  9,81ms  2 
 Nordpol 
t  60 s, s  v  t  s  300 m
1
2
s  aC t 
 s  1,8 m
2
Experimentalphysik I SS 2010
7-19
Corioliskraft
Wolkenbildung bei
einem extremen
Tiefdruckgebiet
(Hurrikan):
Experimentalphysik I SS 2010
7-20
Corioliskraft
Wolkenbildung bei
einem extremen
Tiefdruckgebiet
(Hurrikan):
Experimentalphysik I SS 2010
7-21
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Mathematischer
Zugang zur
Beschleunigung in
rotierenden
Bezugssystemen:
System O‘ rotiert um
System O (gemeinsamer
Ursprung des
Koordinatensystems)
Bahngeschwindigkeit u
Geschwindigkeit des Punktes A, gemessen als v im System
O und als v’ im System O’
v  v  u
r  r ,
Einheitsvektoren
Einheitsvektoren
O  O
eˆk liegen fest in K‘
êk liegen fest in K
Aber: von K aus gesehen ändern sich die Einheitsvektoren
in K‘
deˆ  d  eˆ
eˆk (t  dt )
d
Experimentalphysik I SS 2010
k
deˆk
eˆk (t )
k
deˆk d

 eˆk    eˆk
dt
dt
7-22
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Betrachte den Punkt A von KS K aus und beschreibe ihn
mit Koordinaten aus K‘:
r ( x, y, z )  xeˆx  yeˆy  z eˆz
Wenn das KS‘ nicht rotiert, dann gilt für die
Geschwindigkeit des Massenpunktes von K aus betrachtet:
dr d
 xeˆx  yeˆy  z eˆz   x eˆx  y eˆy  zeˆz
dt dt
Wenn K‘ rotiert, dann ändert sich eˆk von K aus gesehen
(Produktregel bei der Ableitung!!):
dr
 xeˆx  y eˆy  zeˆz
dt

xeˆx  yeˆy  z eˆz

u
Vergleiche mit
v 
Experimentalphysik I SS 2010
v
7-23
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Damit ergibt sich für u:
u  x  eˆx  y  eˆy  z   eˆz
mit
eˆk    eˆk
u    xeˆx    yeˆy    z eˆz
u    r    r
Also: v  v     r
Ziel: Bestimmung der Beschleunigung
dv d
 v     r 
dt dt
dv 
 vx eˆx  v y eˆy  vz eˆz
dt
dv 
 a    v 
dt
d
a  a    v     r
dt
a
Experimentalphysik I SS 2010
 v x eˆx  v y eˆy  v z eˆz
7-24
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Damit ergibt sich für a:
a  a    v  
Mit
d
  r  a    v    v
dt
v  v    r
a  a     v     ( v     r)
a  a    v    v      r
Auflösen nach a 
a   a  2  v       r
a   a  2v       (r  ω)
a   a  aC

a ZF
Beschleunigung in K‘ = Beschleunigung des KS K‘ +
Coriolis-Beschleunigung + Zentrifugalbeschleunigung
Experimentalphysik I SS 2010
7-25
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
a   a  aC
 a ZF
Coriolis-Kraft: FC  2m  v    
Wenn v   0 oder v  
Zentrifugal-Kraft: FZF  m    r   
dann nur Zentrifugalkraft
Experimentalphysik I SS 2010
7-26
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Anmerkungen zur Galilei-Transformation v  v   u
speziellen
Relativitätstheorie: beobachtet aus K:
Addition der
Geschwindigkeiten u des
Koordinatensystems K’ und
Geschwindigkeit v’ in K’
Licht von Stern betrachtet:
Lichtgeschwindigkeit
unterschiedlich im Frühjahr
und Herbst?
Michelson-Morley- Die Lichtgeschwindigkeit c ist in
Experiment: ALLEN Koordinatensystemen
gleich
(für materielle Körper gilt: v < c)
Experimentalphysik I SS 2010
7-27
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Ergebnisse:
(Details
s. Demtröder S. 93)
LorentzTransformation:
um c = c’ „realisieren“ zu können muss die Längen- und
Zeitskala variiert werden und zwar abhängig von v/c
x 
x  vt
,
2
v
1 2
c
v
x
2
c
t 
v2
1 2
c
t
v2
v  c 
0 
2
c
Lorentztransformation
Abkürzungen:
Experimentalphysik I SS 2010
v2
 2
c
v2
1 2 1
c

Galilei-Transformation
und  
1
v2
1 2
c
7-28
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
“Beweis“:
Geschwindigkeit eines Massenpunktes P, gemessen im
Koordinatensystem
K: u  (u x ,0,0) mit u x 
dx 
dx
, K‘: u  (u x ,0,0) mit u x 
dt 
dt
Umformen:
dx dx dt d
d
vx


  ( x  vt )   (t   2 )
dt  dt dt  dt
c
dt 
dx
v dx 

u x   (  v)   (1  2
)

dt
c
d
t
v



u


(
u

v
)


(
1

u )

x
x
ux
u x
2 x
c
u v
Auflösen nach u x  x
v
1  ux 2
c
cv
Annahme: u x  c  u x 
q.e.d.
 ux
v
1 c 2
c
u x 
Experimentalphysik I SS 2010
7-29
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
“Beweis“:
Geschwindigkeit eines Massenpunktes P, gemessen im
Koordinatensystem
K: u  (u x ,0,0) mit u x 
dx 
dx
, K‘: u  (u x ,0,0) mit u x 
dt 
dt
Umformen:
dx dx dt d
d
vx


  ( x  vt )   (t   2 )
dt  dt dt  dt
dt 
c
dx
v dx 

u x   (  v)   (1  2
)

dt
c
d
t
v



u


(
u

v
)


(
1

u )

x
x
ux
u x
2 x
c
u v
Auflösen nach u x  x
v
1  ux 2
c
cv
Annahme: u x  c  u x 
q.e.d.
 ux
v
1 c 2
c
ux 
Experimentalphysik I SS 2010
7-30
Zusammenfassung
Experimentalphysik I SS 2010
7-31