ExPhys 1, Vorlesung 7, 11.05.2009

Zur Erinnerung
Stichworte aus der Kepler Gesetze
6. Vorlesung:
Effektives Potential
Planetenbewegung
Inertialsysteme
Galilei-Transformation
Experimentalphysik I SS 2009
Bewegte Bezugssysteme:
gleichförmig
beschleunigt
Scheinkräfte
Linearbewegung
Trägheitskraft
7-1
Rotierende Bezugssysteme
Ruhende Körper: Zentrifugalkraft
FZF
Bewegte Körper: Corioliskraft
FC
Stufenweise Betrachtung:
1. Beobachtungen,
2.„einfache“ Erklärung,
3. weitere Versuche,
4. mathematische Darstellung
Experimentalphysik I SS 2009
7-2
Scheinkraft bei der Kreisbewegung
Beschleunigte Bewegung, da
v ≠ const. ⇒
dv
= a Z aber
dt
Zentripetalbeschleunigung:
und
Zentripetalkraft
v = const.
a Z = −ω 2 r
FZ = ma Z = − mω 2 r
Rotierende Masse an Schnur betrachtet:
FZ = Spannkraft der Schnur vom ruhenden Beobachter aus
gesehen (K): P bewegt sich auf Kreisbahn
beschleunigte Bewegung, FZ ≠ 0
⇒
Aber vom mit P bewegten Beobachter aus gesehen (K´ in P
verankert): stationäre Situation, keine Abstandsänderung
!!
dr
Zentrifugalkraft FZF:
=0 ⇒
dt
Experimentalphysik I SS 2009
∑F
i
= 0 ⇒ FZP + FZF = 0
7-3
Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft FZF muss Beobachter in K´
(bewegtes System) als Scheinkraft deshalb einführen,
weil er - in K´ ruhend - die Rotation seines Bezugssystems
nicht berücksichtigt.
er schließt daraus:
dr
=0
dt
∑ Fi = 0
er merkt aber:
FZP ≠ 0
Beobachter in K‘: im „stationären“ Zustand erkennt er:
Zentrifugalkraft: also schließt er:
Experimentalphysik I SS 2009
F?? + FZP = 0 ⇒ F?? = FZF = − FZP
7-4
Zentrifugalkraft
Warum ist die z. B.: eine an einem Faden rotierende Kugel der Masse m
Zentrifugalkraft ein
Scheinkraft? Beobachtet von außen:
Kreisbewegung = beschleunigte Bewegung
Zentripetalkraft = „Fadenspannung“
Beobachtet vom (drehenden = beschleunigten) System
(auf der Kugel verankert):
Keine Bewegung der Masse m, vor allem KEINE Änderung
des Abstands
dr
=0 ⇒
dt
Forderung
d 2r
=0 ⇒ F =0
2
dt
„Fzentrifugal“ = - Fzentripetal
dann (und nur dann):
∑F
i
=0
i
Experimentalphysik I SS 2009
7-5
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Konsequenzen für die
Gravitationsbeschleunigung
durch Rotation der Erde:
aZF(r, ω)
r
g
RE
Experimentalphysik I SS 2009
geff
7-6
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Konsequenzen für die
Gravitationsbeschleunigung
durch Rotation der Erde:
An den Polen:
FZF = 0
Betrag und Richtung von FG bzw. g nicht beeinflusst
Am Äquator:
FZF ↑↓ FG
Betrag (aber nicht die Richtung) geändert
In Kaiserslautern:
Betrag und Richtung geändert
Experimentalphysik I SS 2009
7-7
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Einfluß der Erdrotation In Zeichnung: Größe von aZF stark übertrieben
auf die Größe von g:
aZF(Äquator) = RE ω2 = 6.37 106 [m/s] (2π/Tag) [1/s]
1 Tag = 86400 s
aZF(Äquator) = 3.37 10-2 [m/s2] ⇔ g = 9.81 [m/s2]
aZF(K´l) = aZF (Äquator) sin 49.5° = 2.5 10-2 [m/s2]
aZF(Pol) = aZF (Äquator) sin 0° = 0 [m/s]
Erdbeschleunigung g am Äquator kleiner (%-Effekt) als an
den Polen, da
(a) reduziert durch Zentrifugalkraft und
(b) Abstand vom Erdmittelpunkt größer (wegen
Erdabplattung)
Experimentalphysik I SS 2009
7-8
Zentrifugalkraft und Gravitationskraft
Zentrifugalkräfte auf
der Erde:
aZF,Pol(r, ω) = 0
gPol
aZF(r, ω)
r
g
RE geff
gÄq
Experimentalphysik I SS 2009
aZF,Äq.(r, ω)
7-9
Zentrifuge
Prinzip: Räumliche Trennung von Material unterschiedlicher Dichte
durch Zentrifugalkräfte.
FZF = mrω 2
Material 1
Material 2
Zentrifugalkraft auf Masse im Volumenelement dV:
dFZF = ρ ⋅ dV ⋅rω 2
123
m
Material 1:
dFZF = ρ1 ⋅ dV ⋅ rω 2
Material 2:
dFZF = ρ 2 ⋅ dV ⋅ rω 2
Wenn
ρ1 > ρ 2
dann dFZ 1 > dFZ 2
Material höherer Dichte wird nach außen gedrängt.
Experimentalphysik I SS 2009
7-10
Satellitenbahn
Zentripetalkraft: .a = − rω 2
⇒ ma = − mRω 2 rˆ
2
v2
⎛v⎞
FZP = ma = − m⎜ ⎟ R ⋅ rˆ = − m ⋅ rˆ
R
⎝R⎠
v2
FZF − m ⋅ rˆ = 0
R
Physikalische Ursache
mM E
(
)
R
=
−
G
F
rˆ
für FZP :
ZP
2
R
⇒
FZP ( RE ) = G
FZP ( R ) = FZF ( R )
1. Fluchtgeschwindigkeit:
Experimentalphysik I SS 2009
⇒ FZP ( RE ) = − mg
mM E
RE2
Kreisbahn
R = RS
vS2
mM E
M
⇒ G 2 =m
⇒ G E = vE2 = RE g
RS
RS
RE
R = RE
⇒ vE = RE g
⇒ vS > v E
≈ 2 ⋅11,2 kms −1
7-11
Corioliskraft
Definition: .Scheinkraft auf bewegte Objekte in rotierendem
Bezugssystem.
Anschauliche Rollende Kugel auf
Erklärung: drehender Scheibe:
1.Rotation ω,
2. radiale Bewegung v,
3. erwarteter Einschlag bei P‘1,
4. beobachteter Einschlag bei P2
Wegdifferenz:
[
′
Δs = P1 (t + Δt ), P2 (t + Δt )
v=
]
Geschwindigkeit tangential: u2 = ω ⋅ ( r + Δr ),
Wegstrecke tangential: s2 = ω ⋅ ( r + Δr ) ⋅ Δt
Experimentalphysik I SS 2009
dr
dt
u1 = ω ⋅ r
s1 = ω ⋅ r ⋅ Δt
7-12
Corioliskraft
I.n der Zeit Δt zurückgelegter tangentialer Weg:
1
Δs = ωΔrΔt = ac Δt 2
2
!!
Newton!!
Δr
= 2ω ⋅ v
Coriolisbeschleunigung: ⇒ aC = 2ω
Δt
v=
dr
dt
Mit Richtungsbeziehungen:
aC = −2ω × v
Corioliskraft (vektoriell):
Experimentalphysik I SS 2009
FC = −2m ⋅ ω × v
7-13
Corioliskraft
Spuren von ebenem .Von der (rotierenden) Scheibe aus gesehen, erscheint die
Pendel Pendelbewegung (im ruhenden System in einer Ebene
auf rotierender ablaufend) als Bewegung längs einer gekrümmten Bahn
Scheibe:
Experimentalphysik I SS 2009
7-14
Richtungsbeziehungen
Corioliskraft: .
aC = −2ω × v
⇔
FC = −2m ⋅ ω × v
Zentrifugalkraft:
a ZF = −ω × ω × r
a ZF = ω × r × ω
aZF = ω 2 r
⇔
FZF = mω 2 r
Experimentalphysik I SS 2009
7-15
Dire Erde als rotierendes Bezugssystem
Ebene
parallel zur Oberfläche betrachtet (z.B. Standfläche
.
im Hörsaal)
Vektorielle Zerlegung von ω:
ω = ωt + ω s
ω s ⇒ Drehung der Oberfläche um die Achse
Erdmittelpunkt -- Mittelpunkt der Ebene
(diese Drehung verantwortlich für Coriolis-Kraft)
Zentrifugalkraft: ωt
Experimentalphysik I SS 2009
⇒ Drehung der Oberfläche um eine Achse
senkrecht zu ωs
(diese Drehung verantwortlich für Zentrifugal-Kraft)
Am Nordpol:
ωt = 0 ⇒ FZF = 0
Am Äquator:
ω s = 0 ⇒ FC = 0
7-16
Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω
ω
Zerlegung der
Drehung ω
in Komponenten am
Punkt P:
ω
Tangential-Ebene TE in P
(an Oberfläche der Erde)
ωS
ω
ωt
ωS = Drehung um
Achse ⊥ TE
ωS
zu jedem Zeitpunkt muss
gelten: ωS + ωt = ω
Experimentalphysik I SS 2009
7-17
Foucault-Pendel
Nachweis der
Erddrehung:
typische Zahlenwerte zum Versuch im Hörsaal:
Gewicht der Kugel 14 kg, Länge des Strahldrahtes: ca. 10 m
Abstand Ruhelage - Wand: 440 cm, Drehgeschwindigkeit α der
Schwingungsebene 20 - 25 cm/30 Min. bzw. ≈ 11°/Stunde
am Pol würde man beobachten:
360°/24 Std oder 15°/Stunde
Experimentalphysik I SS 2009
⇒
aus dα/dt kann Breitengrad
ermittelt werden
7-18
Corioliskraft
Abweichung von Zahlenbeispiel:
gradliniger Strömung:
Windgeschwindigkeit: v = 20 km / h ≈ 5 m / s
2π
s −1 = 7,3 ⋅10 −5 s −1
86400
aC = 2ωv ≈ 10 −3 ms −2 (g = 9,81ms − 2 )
ω Nordpol =
Δt = 60 s, s = v ⋅ Δt ⇒ s = 300 m
1
2
Δs = aC (Δt )
⇒ Δs = 1,8 m
2
Experimentalphysik I SS 2009
7-19
Corioliskraft
Wolkenbildung bei
einem extremen
Tiefdruckgebiet
(Hurrikan):
Experimentalphysik I SS 2009
7-20
Corioliskraft
Wolkenbildung bei
einem extremen
Tiefdruckgebiet
(Hurrikan):
Experimentalphysik I SS 2009
7-21
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Mathematischer
Zugang zur
Beschleunigung in
rotierenden
Bezugssystemen:
System O‘ rotiert um
System O (gemeinsamer
Ursprung des
Koordinatensystems)
Bahngeschwindigkeit u
Geschwindigkeit des Punktes A, gemessen als v im System
O und als v’ im System O’
v = v′ + u
r = r ′,
Einheitsvektoren
Einheitsvektoren
O = O′
eˆ′k liegen fest in K‘
êk liegen fest in K
Aber: von K aus gesehen ändern sich die Einheitsvektoren
in K‘
deˆ′ = dϕ ⋅ eˆ′
eˆ′k (t + dt )
dϕ
Experimentalphysik I SS 2009
k
deˆ′k
eˆ′k (t )
k
deˆ′k dϕ
=
⋅ eˆ′k = ω × eˆ′k
dt
dt
7-22
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Betrachte den Punkt A von KS K aus und beschreibe ihn
mit Koordinaten aus K‘:
r ( x′, y′, z ′) = x′eˆ′x + y′eˆ′y + z ′eˆ′z
Wenn das KS‘ nicht rotiert, dann gilt für die
Geschwindigkeit des Massenpunktes von K aus betrachtet:
dr d
= (x′eˆ′x + y′eˆ′y + z ′eˆ′z ) = x& ′eˆ′x + y& ′eˆ′y + z&′eˆ′z
dt dt
Wenn K‘ rotiert, dann ändert sich eˆ′k von K aus gesehen
(Produktregel bei der Ableitung!!):
dr
= x&′eˆ′x + y& ′eˆ′y + z&′eˆ′z
dt
+
x′eˆ&′x + y′eˆ&′y + z ′e&ˆ′z
+
u
Vergleiche mit
v =
Experimentalphysik I SS 2009
v′
7-23
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Damit ergibt sich für u:
u = x′ω × eˆ′x + y′ω × eˆ′y + z ′ω × eˆ′z
mit
eˆ&′k = ω × eˆ′k
u = ω × x′eˆ′x + ω × y′eˆ′y + ω × z ′eˆ′z
u = ω × r′ = ω × r
Also: v = v ′ + ω × r
Ziel: Bestimmung der Beschleunigung
dv d
= (v ′ + ω × r )
dt dt
dv ′
= v&x eˆ′x + v& y eˆ′y + v&z eˆ′z
dt
dv ′
= a′ + ω × v ′
dt
d
a = a′ + ω × v ′ + ω × r
dt
a=
Experimentalphysik I SS 2009
+ v x eˆ&′x + v y eˆ&′y + v z e&ˆ′z
7-24
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
Damit ergibt sich für a:
a = a′ + ω × v ′ +
Mit
d
ω × r = a′ + ω × v′ + ω × v
dt
v = v′ + ω × r
a = a ′ + ω × v ′ + ω × ( v ′ + ω × r)
a = a′ + ω × v′ + ω × v′ + ω × ω × r
Auflösen nach a ′
a ′ = a − 2ω × v ′ − ω × ω × r
a ′ = a + 2v ′ × ω + ω × (r × ω)
a ′ = a + aC
+
a ZF
Beschleunigung in K‘ = Beschleunigung des KS K‘ +
Coriolis-Beschleunigung + Zentrifugalbeschleunigung
Experimentalphysik I SS 2009
7-25
Corioliskraft und Zentrifugalkraft
a ′ = a + aC
+ a ZF
Coriolis-Kraft: FC = 2m ⋅ (v ′ × ω )
Wenn v ′ = 0 oder v ′ ω
Zentrifugal-Kraft: FZF = m ⋅ ω × (r × ω )
dann nur Zentrifugalkraft
Experimentalphysik I SS 2009
7-26
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Anmerkungen zur Galilei-Transformation v = v ′ + u
speziellen
Relativitätstheorie: beobachtet aus K:
Addition der
Geschwindigkeiten u des
Koordinatensystems K’ und
Geschwindigkeit v’ in K’
Licht von Stern betrachtet:
Lichtgeschwindigkeit
unterschiedlich im Frühjahr
und Herbst?
Michelson-Morley- Die Lichtgeschwindigkeit c ist in
Experiment: ALLEN Koordinatensystemen
gleich
(für materielle Körper gilt: v < c)
Experimentalphysik I SS 2009
7-27
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Ergebnisse:
(Details
s. Demtröder S. 93)
LorentzTransformation:
um c = c’ „realisieren“ zu können muss die Längen- und
Zeitskala variiert werden und zwar abhängig von v/c
x′ =
x − vt
,
2
v
1+ 2
c
v
x
2
c
t′ =
v2
1− 2
c
t−
v2
v << c ⇒
→0 ⇒
2
c
Lorentztransformation
Abkürzungen:
Experimentalphysik I SS 2009
v2
β= 2
c
v2
1− 2 →1
c
⇒
Galilei-Transformation
und γ =
1
v2
1− 2
c
7-28
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
“Beweis“:
Geschwindigkeit eines Massenpunktes P, gemessen im
Koordinatensystem
K: u = (u x ,0,0) mit u x =
dx ′
dx
, K‘: u′ = (u ′x′ ,0,0) mit u ′x′ =
dt ′
dt
Umformen:
dx′ dx′ dt d
d
vx′
=
⋅
= γ ( x − vt ) ⋅ γ (t ′ + 2 )
dt ′ dt dt ′ dt
c
dt ′
dx
v dx ′
′
u x′ = γ ( − v) ⋅ γ (1 + 2
)
′
dt
c
d
t
v
{
{
′
u
=
γ
(
u
−
v
)
⋅
γ
(
1
+
u′ )
⇒
x
x
ux
u ′x
2 x
c
u −v
Auflösen nach u ′x = x
v
1 − ux 2
c
c−v
Annahme: u x = c ⇒ u ′x =
q.e.d.
= ux
v
1− c 2
c
u ′x′ =
Experimentalphysik I SS 2009
7-29
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
“Beweis“:
Geschwindigkeit eines Massenpunktes P, gemessen im
Koordinatensystem
K: u = (u x ,0,0) mit u x =
dx ′
dx
, K‘: u′ = (u ′x′ ,0,0) mit u ′x′ =
dt ′
dt
Umformen:
dx′ dx′ dt d
d
vx′
=
⋅
= γ ( x − vt ) ⋅ γ (t ′ + 2 )
dt ′ dt dt ′ dt
dt ′
c
dx
v dx ′
′
u x′ = γ ( − v) ⋅ γ (1 + 2
)
′
dt
c
d
t
v
{
{
′
u
=
γ
(
u
−
v
)
⋅
γ
(
1
+
u′ )
⇒
x
x
ux
u ′x
2 x
c
u −v
Auflösen nach u ′x = x
v
1 − ux 2
c
c−v
Annahme: u x = c ⇒ u ′x =
q.e.d.
= ux
v
1− c 2
c
u′x′ =
Experimentalphysik I SS 2009
7-30
Zusammenfassung
Experimentalphysik I SS 2009
7-31