1 Funktionen und Mengen (23 Punkte)

Seminar: Formale Semantik
Modul 04-006-1006: Grammatiktheorie
Seminarleiter: Anke Assmann
Institut für Linguistik
Universität Leipzig
Übungsblatt 1 (16.04.2013)
Abgabe bis 26.04.2013
1
Funktionen und Mengen
(23 Punkte)
(a) Sind folgende Mengen gleich, wobei a , b? Begründe.
(1)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
(8 Punkte)
{a} = {a, ∅}
{x : a = b} = ∅
∅ = {∅}
{x : x ∈ ∅} = ∅
{x : x schläft} = {x : x ∈ {x : b schläft}}
{a} - {b} = {b} - {a}
{x : {x} ⊆ P({x})} = {x : {a} ⊆ P({a})}
(“P(M)” steht für “Potenzmenge” von M: die Menge aller Teilmengen von M)
h.
{x : x ∈ {y : y ∈ {a,b}}} = {y : x ∈ {a,b} }
(b) Ermittle die Funktionswerte.
(9 Punkte)
(2)
Sei F die Funktion f so dass
f : IN → IN, und für jedes x ∈ IN gilt: f(x) = x2
a. F(5) =
b. F(300) =
c. F(–5) =
(3)
Sei L B {x : x ist ein Land}.
Sei H B {x : x ist eine Hauptstadt}.
Sei F die Funktion f so dass
f : L → H , und für jedes x ∈ L gilt: f(x) = Hauptstadt von x
a. F(Deutschland) =
b. F(Osttimor) =
c. F(Luxemburg) =
(4)
Sei I B {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}}.
Sei F die Funktion f so dass
f : I → {0,1}, und für jedes x ∈ I gilt: f(x) = 1 gdw ∃y ∈ D, so dass g(y) = 1.
a. F(gFrau ) =
b. F(gEinhorn ) =
c. F(gspeu ) =
gFrau : D → {0,1} und für jedes x ∈ D gilt, gFrau (x) = 1 gdw x eine Frau ist.
gEinhorn : D → {0,1} und für jedes x ∈ D gilt, gEinhorn (x) = 1 gdw x ein Einhorn ist.
gspeu : D → {0,1} und für jedes x ∈ D gilt, gspeu (x) = 1 gdw x speu ist.
1
(c) Ermittle die Funktion anhand von Argument und Funktionswert. Nenne sie in
Prosa und beschreibe sie formal.
(6 Punkte)
(5)
a.
b.
c.
2
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4, f(5) = 5,
f(6) = 6, f(7) = 7, f(8) = 8, f(9) = 9, f(10) = 10, . . .
f(0) = 0, f(1) =1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 5, f(6) = 8, f(7) = 13, f(8)
= 21, f(9) = 34, f(10) = 55, . . .
f(Charles) = Elisabeth, f(William) = Charles,
f(Victoria) = Silvia, f(Hakon) = Harald, . . .
Wahrheitsbedingungen
(24 Punkte)
(a) Beweise die folgende Behauptung. Nutze für den Beweis die Regeln (S1)-(S6)
aus den Folien zu Heim & Kratzer 1998:Kapitel 2 (Folie 11, 32; Heim & Kratzer
1998:S.16, 27).
(14 Punkte)
(6)
~Ann helps Jan. = 1 gdw Ann hilft Jan.
(b) Erweitere/ändere das Regelinventar (S1) - (S6) so ab, dass folgende Struktur interpretiert werden kann. Gib den Lexikoneintrag für will an. Von welchem semantischen Typ ist will?
(10 Punkte)
(7)
S
NP
AuxP
N
Aux
Ann
will
VP
V
NP
help
N
Jan
3
Semantische Typen
(6 Punkte)
(a) Sind folgende Ausdrücke semantische Typen gemäß der Definition aus Heim &
Kratzer 1998:Kapitel 2, S. 28?
(5 Punkte)
(8)
a.
b.
c.
d.
e.
< t, e >
< p, e >
<< e, < e, t >>, << e, t >, e >>
<<< e, t >, t >>
<< e, t >, < e, t >, < e, t >>
2
(b) Gebe zu folgender Funktion den semantischen Typ an. (1 Punkt)
(9)
4
~give = f : D → {g : g ist eine Funktion von
D in {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}}}, so dass
∀x ∈ D, f(x) = gx : D → {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}},
so dass
∀y ∈ D . gx (y) = hx,y : D → {0,1}, so dass
∀z ∈ D . hx,y (z) = 1 gdw z gibt an y x.
Charakteristische Funktionen
(a) Schreibe zu folgenden Mengen die charakteristischen Funktionen.
(10)
a.
b.
c.
(7 Punkte)
(3 Punkte)
{x : x ist ein Schwein}
{x : {y : y likes x} = ∅}
{x : ∃ y ∈ IN . x = y2 }
(b) Schreibe zu folgenden Funktionen die Mengen, die sie charakterisieren und beschreibe
die Mengen in Prosa.
(4 Punkte)
(11)
a.
f : IN → IN
für jedes x ∈ IN, f(x) = 1 gdw x mod 2 = 0
“mod” steht für “modulo”, also für den Rest der bei der Division von natürlichen
Zahlen durch natürliche Zahlen entsteht.
b.
5
f: D → {0, 1}
für jedes x ∈ D, f(x) = 1 gdw Delphine sind Fische.
Currying
(6 Punkte)
(a) Sei D = {Ann, Jan, Maria}. Schreibe zu folgenden Mengen die charakteristischen
Funktionen (in Tabellennotation). Wende Currying darauf an. Beachte dabei die
Richtung.
(6 Punkte)
(12)
a.
b.
c.
Links-nach-Rechts:
Rdislikes = {<Ann, Jan>, <Jan, Ann>, <Maria, Maria>}
Rechts-nach-Links:
Rdislikes = {<Ann, Jan>, <Jan, Ann>, <Maria, Maria>}
Rechts-nach-Links:
Rintroduces to = {<Ann, Ann, Maria>, <Jan, Ann, Maria>, <Maria, Jan,
Ann>}
3
6 λ-Notation
(19 Punkte)
(a) Schreibe folgende Funktionen in λ-Notation um.
(13)
a.
b.
c.
f : IN → IN:
∀x ∈ IN . f(x) = x2
f : D → {g : g ist eine Funktion von D in {h: h ist eine Funktion von D
in {0,1}}}
∀x ∈ D . f(x) = gx : D → {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}}
∀y ∈ D . gx (y) = hx,y : D → {0,1}
∀z ∈ D . hx,y (z) = 1 gdw z gibt an y x.
Sei I B {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}}.
f : I → {0,1}
∀x ∈ I . f(x) = 1 gdw ∃y ∈ D . so dass g(y) = 1.
(b) Vereinfache folgende Ausdrücke.
(14)
a.
b.
c.
d.
(10 Punkte)
[λx ∈ De . [λy ∈ De . y hasst x]](Ann)(Jan)
[λx ∈ De . [λy ∈ De . y hasst x](Ann)](Jan)
[λ f ∈ D<e,t> . [λx ∈ De . f(x) = 1 und x ist groß ]]([λx ∈ De . x ist ein
Elefant])(Dumbo)
[λ f ∈ D<e,<e,t>> . [λx ∈ De . f(x)(Jan) = 1]] ([λx ∈ De . [λy ∈ De . y mag
x]])
(c) Beschreibe folgende Funktionen in Prosa.
(15)
a.
b.
c.
(3 Punkte)
[λx ∈ IN . x mod 2 = 0]
[λx : x ist ein Tier . x’s natürlicher Feind]
[λX ⊆ IN . [λy ∈ IN . y < X]]
4
(6 Punkte)