Lineare Algebra – ¨Ubungsteil 01

Lineare Algebra – Übungsteil 01
WS 2009/10
Herbert J. Muthsam
1. Stellen Sie fest, ob (und wenn ja, in welchen Punkten) die folgenden Paare von
Geraden g, h einander schneiden:
a)g = (1, 2) + R(3, 5),
b)g = (1, 3) + R(2, 4),
c)g = (2, 0) + R(1, 3),
h = (−1, 3) + R(2, 4)
h = (3, 7) + R(1, 2)
h = (3, 4) + R(−2, −6)
2. Stellen Sie die Geradengleichung für (1, 4) + R(3, 2) auf!
3. Geben Sie die Ebene in Gleichungsform sowie in Parameterdarstellung an, die
durch den Punkt v = (1, 1, 1) geht und normal auf den Vektor a = (5, 0, 12)
steht!
4. Zeigen Sie an Hand konkreter Beispiele, daß für x, y, z ∈ R3 im Allgemeinen
(x ∧ y) ∧ z 6= x ∧ (y ∧ z) ist. Können Sie Vektoren angeben, sodaß die Ungleichheit
sich unmittelbar anschaulich aus Richtungsbetrachtungen ergibt?
5. Es seien w1 , w2 ∈ Rn linear abhängige Vektoren, v ∈ Rn beliebig.
Welches Gebilde stellt v + Rw1 + Rw2 dar? Dabei sind v, w1 , w2 ∈ Rn vorgegeben.
(Man veranschauliche sich den Sachverhalt zunächst in R2 . Versuchen Sie dann,
einen strengen Beweis für Ihre Vermutung zu geben, und vergessen Sie dabei auch
möglichst keinen Fall in Hinblick auf w1 , w2 .)
v + Rw1 + Rw2 steht dabei für {x = v + λw1 + µw2 : λ, µ ∈ R}.
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6. Welche der folgenden Mengen in R3 sind Ebenen?
(0, 2, 0) + R(1, 4, 1) + R(2, 2, 0)
(0, 4, 3) + R(2, 0, 2) + R(−1, 0, −1)
(3, 3, 3) + R(3, 3, 3) + R(2, 7, 4) + R(5, 2, 0) + R(10, 4, 0)
7. Überprüfen Sie rechnerisch, welche der durch ihre Eckpunkte a, b, c in Räume
gegebenen Dreiecke rechtwinkelig sind:
(a) a = (−1, 1, 2), b = (−2, 2, 4), c = (0, 3, 4)
natürlich wäre die Schulnotation: A(−1, 1, 2), B(−2, 2, 4), C(0, 3, 4)
(b) a = (1, 2, 3),
b = (4, 5, 3),
c = (3, 3, 5)
(c) a = (−1, 1, 2),
b = (2, 1, 5),
(d) a = (4, −1, 2),
b = (7, −3, 4),
c = (1, −1, 3)
c = (−5, 7, 13)
8. Es ist die Ebene gesucht, die durch den Punkt (1, 0, 1) geht und zur Geraden
(4, 1, 2) + R(1, 2, −1) orthogonal steht.
9. In einem Lagerhaus sei es möglich, 2 Arten von Gütern zu Lagern. Das Gesamtvolumen des Lagerhauses sei V0 = 1 (in passenden Einheiten). Es mögen nun 2
Arten von Gütern zur Lagerung anstehen, u. zw. Ware 1 mit einem Maximalvolumen von 0,8, Ware 2 in einem Maximalvolumen von 0,5. Der pro Volumeneinheit
erzielbare Gewinn durch Lagerung betrage bei Ware 1: 80 T (=Taler), bei Ware
2 aber 60 T.
Wieviel (in Volumenseinheiten) von Ware 1 bzw. 2 muß man lagern, um den
Gewinn zu maximieren?
(a) Beantworten Sie diese Frage direkt, d. h. ohne Zuhilfenahme mathematischer
Überlegungen i. e. S.
Im Folgenden soll versucht werden, die Aufgabe mehr mathematisch zu formulieren bzw. mathematische Eigenschaften zu erblicken.
(b) Jede mögliche Wahl (v1 , v2 ), v1 bzw. v2 Volumseinheiten für die erste bzw.
zweite Ware liefert einen Punkt der (v1 , v2 )-Ebene. Auf welchen Teilbereich
(die sog. zulässige Teilmenge) wird nun die (v1 , v2 ) Ebene durch die Forderungen eingeschränkt, wonach Volumina nichtnegativ sein müssen, die Gesamtkapazität des Lagerhauses nicht überschritten werden darf und nicht
mehr gelagert werden kann, als von jeder Ware vorhanden ist? (Erfüllen Sie
die Forderungen. Eine nach der Anderen; Zeichnung).
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(c) Es sei b irgendeine reelle Zahl, hier als Gewinn gedeutet.
Wie sieht die Gesamtheit aller Punkte der (v1 , v2 ) Ebene aus, sodaß der
Gewinn genau b beträgt?
(d) Wie verändert sich die Menge aller in c genannten Punkte, wenn man b
variiert.
(e) Lösen Sie daher die Aufgabe und finden Sie die (für den Gewinn) optimale
Lösung (v̄1 , v̄2 ), indem Sie bedenken, daß in Wirklichkeit (v1 , v2 ) ja in der
zulässigen Menge liegen muß. Liegt (v̄1 , v̄2 ) ”irgendwo” in der zulässigen
Menge, oder ist es ein spezieller Punkt?
10. Zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Es sei im Folgenden x, y ∈ Rn (wenn
gewünscht, n = 2) x 6= 0 und y 6= 0.
(a) Zeigen Sie: gilt x = λy(λ ∈ R, passend), so gilt in der Ungleichung sogar
das Gleichheitszeichen.
(b) Zeigen Sie: gilt in der Ungleichung sogar Gleichheit, so ist x = λy. (Betrachten Sie dazu die Herleitung der Ungleichung und achten Sie darauf, wo
möglicherweise echte Ungleichheit auftritt).
(c) Untersuchen Sie jetzt anschließend noch, welche Aussage im Fall x = 0 oder
y = 0 gemacht werden können.
11. Zeigen Sie: ein Vektor a ∈ R3 der Gestalt (n, n+1, n(n+1)) mit beliebigen n ∈ N
besitzt stets eine ganzzahlige (euklidische) Norm.
12. Für X, Y ⊆ Z verstehen wir unter X + Y = {z : ∃x ∈ X, y ∈ Y mit z = x + y}.
Es sei nun m ≥ 1, ganz, im Folgenden fest.
Für k ∈ Z setzen wir [k]m = {s : ∃j ∈ Z mit s = k + jm}.
(a) Geben Sie für m = 5 die möglichen Mengen [k]m (”graphisch” auf der Zahlengeraden) an
(b) Zeigen Sie (m jetzt wieder beliebig, fest): Für k, l ∈ Z ist entweder [k]m ∩
[l]m = ∅ oder [k]m = [l]m .
(c) Zeigen Sie: [k]m +[l]m = [k +l]m . (Die Addition links des Gleichheitszeichens
ist die zu Beginn der Aufgabe angegebene, diejenige rechts davon ist die
übliche Addition ganzer Zahlen).
(d) Wir bezeichnen Zm := {[k]m : k ∈ Z}. Wie groß ist ]Zm , d.h. wieviele [k]m
gibt es bei festem m?
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(e) Zeigen Sie: (Zm , +) ist eine abelsche Gruppe, wobei [0]m das Nullelement ist
(sog. Restklassengruppe modulo m). Die Addition ist natürlich wieder die
zu Beginn erklärte.
13. Wir führen jetzt noch eine Multiplikation in Zm ein. Zunächst wieder X · Y =
{z : ∃x ∈ X, y ∈ Y mit z = x · y} Demgemäß ist [k]m · [l]m erklärt.
(a) Zeigen Sie: [k]m · [l]m = [k · l]m , die Multiplikation rechts wieder im Sinne
der ganzen Zahlen.
(b) Zeigen Sie ferner, daß (Zm , +, ·) alle (wichtige Ausnahme s.u.) Körpereigenschaften erfüllt. Als neutrales Element bzgl. der Multiplikation stellt sich
[1]m heraus.
(c) Es gibt aber im Allgemeinen nicht zu jedem von [0]m verschiedenen Element
ein Inverses im Sinne der multiplikativen Struktur. Tun Sie dies dar, indem
Sie im Falle m = 4 explizit untersuchen, für welche [k]m (k = 1, 2, 3) es ein
[l]m gibt (1 ≤ l ≤ 3, also insbesondere l 6= 0!) mit [k]m · [l]m = [0]m .
BEMERKUNG: Mann kann zeigen, daß genau für den Fall, daß m eine Primzahl ist, für jedes Element 6= [0]m ein (multiplikatives) Inverses existiert, sohin
also genau im Primzahlfall wirklich ein Körper vorliegt (sog. Restklassenkörper
modulo der Primzahl m).
14. Mit Sn bezeichnen wir die Menge aller Permutationen in n Elementen. Dabei ist
eine solche Permutation eine bijektive Abbildung der Menge {1, 2, . . . , n} in sich.
Die Permutation π ∈ S4 beispielsweise, die zuordnet wie folgt:
1 → 2, 2 → 1, 3 → 4, 4 → 3
schreiben wir in der Form
π=
1234
2143
.
Berechnen Sie π −1 und π ◦ π!
15. X sei eine beliebige nichtleere Menge. Mit F(X, X), kurz F, bezeichnen wir die
Menge
F = {f : X → X, f bijektiv},
also die Menge aller bijektiven Abbildungen von X in sich selbst.
Als Multiplikation“ in F führen wir die Zusammensetzung von Abbildungen ein.
”
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Zeigen Sie, dass die Gruppenaxiome G0–G3 erfüllt sind, also F mit dieser Multiplikation zu einer Gruppe wird.
Hinweis: das neutrale Element ist die identische Abbildung ι : x → x. Das inverse
Element zu f ist f −1 , die Inversion im Sinne der inversen Abbildung. (Schreiben
Sie daher für das Inverse im Sinne der Gruppentheorie zunächst f?−1 . Sobald
gezeigt ist, das Invertierung im Abbildungssinn und im Sinne der Gruppentheorie
das selbe bedeutet, ist diese Unterscheidung eben gerade nicht mehr nötig!)
16. (Zum vorigen Beispiel): Es sei f ∈ F; für ein g ∈ F wisse man, dass f ◦ g = ι
(die identische Abbildung). Weshalb weiss man dann bereits, dass g = f −1 (im
Sinne der inversen Abbildung)?
17. Zeigen Sie, dass S3 nicht kommutativ ist, indem Sie ein π und ein σ in S3 angeben
mit π ◦ σ 6= σ ◦ π. Somit ist i.A. F eine nicht kommutative Gruppe. Zeigen Sie,
dass dies immer dann zutrifft, wenn #X ≥ 3.
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