Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
15.11.2013
Alexander Lytchak
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Erinnerung
I
Eine Abbildung f : V → W zwischen reellen Vektorräumen ist linear,
wenn für alle v1 , v2 ∈ V und alle λ1 , λ2 ∈ R die Gleichheit gilt:
f (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 )
I
Für eine lineare Abbildung sind das Bild und Urbild von
Untervektorräumen Untervektorräume.
I
Insbesondere ist das Bild im(f ) = f (V ) ein Untervektorraum von W ;
und der Kern ker (f ) := f −1 (0) ist ein Untervektorraum von V .
I
im(f ) misst die Surejktivität von f : Sei W endlich-dimensional. Die
Abbildung f surjektiv, genau dann wenn dim(im(f )) = dim(W ).
Alexander Lytchak
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Wir zeigen nun, dass der Kern von f für die Injektivität verantwortlich ist.
Proposition
Sei f : V → W linear. Die Abbildung f genau dann injektiv, wenn
ker f = {0} ⊂ V .
Alexander Lytchak
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Das Beispiel
Für V = Rn und W = Rm sei f : V → W eine lineare Abbildung. Für
1 ≤ j ≤ n seien ej ∈ Rn die Elemente der Standardbasis. Sei wj := f (ej ).
Die Abbildung f ist eindeutig durch die Vektoren wj ∈ Rm bestimmt: Für
einen Vektor x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn gilt
f (x) = f (
n
X
j=1
xj ej ) =
n
X
xj wj
j=1
Andererseits ist für beliebige w1 , ..., wn ∈ Rm die oben definierte Abbildung
f linear.
Schreiben wir die Koordinaten dieser n Vektoren wj ∈ Rm als Spalten einer
Matrix, so erhalten wir eine (m × n)-Matrix A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤n .
Damit haben wir einer linearen Abbildung f : Rn → Rm eine
(m × n)-Matrix A nach der folgenden Regel zugeordnet:
Die j-te Spalte von A ist das Bild von ej .
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Das Beispiel. Fortsetzung
Die obige Zuordnung ist eineindeutig. Die Umkehrabbildung dieser
Zuordnung definiert zu einer (m × n)-Matrix A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Rm×n
eine lineare Abbildung fA : Rn → Rm , die den Vektor ej auf den j-ten
Spaltenvektor von A schickt.
Die Abbildung fA : Rn → Rm ist wie folgt gegeben:
(x1 , . . . xn ) 7→
n
X
a1j xj , . . . ,
j=1
n
X
amj xj
j=1
Um es gelehrter auszudrücken, führen wir folgende Bezeichnung ein:
Für reelle Vektorräume V , W bezeichnen wir als
Hom(V , W )
die Menge aller linearen Abbildungen V → W .
Wir haben soeben eine bijektive Abbildung A → fA zwischen der Menge
der reellen (m × n)-Matrizen und Hom(Rn , Rm ) definiert.
Alexander Lytchak
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Das Beispiel. Fortsetzung
I
Der Nullmatrix 0 ∈ Rm×n wird die Nullabbildung f0 = 0 : Rn → Rm
zugeorndet, die alles auf den Nullvektor in Rm schickt.
I
Sei m = n. Die Diagonaleinträge der quadratischen Matrix
(aij ) ∈ Rn×n sind die Einträge (aii )1≤i≤n . Die (n × n)-Einheitsmatrix
En hat alle Diagonaleinträge gleich 1 und alle übrigen gleich 0. Die
entsprechende lineare Abbildung fEn : Rn → Rn ist idRn .
I
Sei m = n. Die Matrix (aij ) ∈ Rn×n heißt eine Diagonalmatrix, wenn
alle Einträge außerhalb der Diagonalen gleich 0 sind. Sei A eine
Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen λj = (ajj )1≤j≤n . Dann gilt
fA (x1 , ..., xn ) = (λ1 x1 , λ2 x2 , ...., λn xn ).
I
Sind im obigen Beispiel alle λj = λ, so ist fA : Rn → Rn eine
Streckung um λ.
I
Jede lineare Abbildung f : R → R ist eine Streckung.
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Das Beispiel. Fortsetzung
I
Sei m < n. Sei A ∈ Rm×n mit Einträgen aii = 1 für 1 ≤ i ≤ m und
allen anderen Einträgen gleich 0. Dann ist fA : Rn → R m die
kanonische Projektion fA (x1 , ..., xm , ..., xn ) = (x1 , ..., xm ).
I
Sei m > n. Sei A ∈ Rm×n mit Einträgen aii = 1 für 1 ≤ i ≤ n und
allen anderen Einträgen gleich 0. Dann ist fA : Rn → R m die
kanonische Einbettung fA (x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xn , 0, 0, ....., 0)
I
Sei m = n = 2. Die (2 × 2)-Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und −1
definiert eine Spiegelung an der e1 -Achse. Die Diagonalmatrix mit
Einträgen −1 und 1 definiert eine Spiegelung an der e2 -Achse.
I
Sei m = n = 2. Die Matrix
cos t − sin t
sin t cos t
definiert eine Drehung des R2 um den Winkel t gegen den
Uhrzeigersinn.
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Das Beispiel. Fortsetzung.
I
Sei m = n = 2. Betrachte die (2 × 2)-Matrix A mit a11 = a22 = 0 und
a12 = a21 = 1. Der entsprechende Endomorphismus von R2 ist die
Spiegelung an der Geraden {(x1 , x2 )|x1 = x2 }.
I
Sei n = 1. Eine (m × 1)-Matrix A ist durch einen Spaltenvektor w
gegeben. Die entsprechende lineare Abbildung fA : R → Rm ist durch
fA (t) = tw definiert.
I
Sei m = 1. Eine (1 × n)-Matrix A ist ein Zeilenvektor (a1 , a2 , ...., an ).
Die entsprechende lineare Abbildung fA : Rn → R ist gegeben durch
(x1 , ...., xn ) → a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn .
I
Sei n = 2, m = 3. Seien w1 , w2 ∈ R3 zwei linear unabhängige
Vektoren. Sei A die (3 × 2)-Matrix, mit Spaltenvektoren w1 , w2 . Dann
ist fA : R2 → R3 die Abbildung (λ1 , λ2 ) → λ1 w1 + λ2 w2 . Das Bild
von fA ist der von w1 , w2 aufgespannte Unterraum von R3 , also eine
Ebene.
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Das Beispiel. Fortsetzung.
Sei ein lineares Gleichungssystem Ax = b gegeben. Sei (A|b) die erweiterte
Koeffizientenmatrix. Betrachte die entsprechende lineare Abbildung
fA : Rn → Rm und fasse b als ein Element aus Rm auf. Die Menge L der
Lösungen des Gleichnugssystems ist genau das Urbild fA−1 (b). Ist b = 0, so
ist L genau der Kern von fA .
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Lineare Abbildungen und Basen
Proposition
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung und (vi )i∈I eine Familie von
Vektoren in V . Dann gilt span(f (vi )i∈I ) = f (span(vi )i∈I ).
Folgerung
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung. Ist U ein endlich-dimensionaler
Unterraum von V , so gilt dim(f (U)) ≤ dim(U). Ist V endlich-dimensional,
so auch f (V ) und es gilt dim(f (V )) ≤ dim(V ).
Proposition
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung. Sei (v1 , ..., vn ) eine Basis von V
und sei wj = f (vj ) für alle i. Die Abbildung f ist surjektiv genau dann,
wenn (w1 , ..., wn ) ein Erzeugendensystem von W ist. Die Abbildung f ist
injektiv genau dann, wenn (w1 , ..., wn ) linear unabhängig sind. Die
Abbildung f ist bijektiv genau dann, wenn (w1 , ..., wn ) eine Basis von W
ist.
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Lineare Abbildungen und Basen (Fortsetzung)
Proposition
Es sei (v1 , ...., vn ) eine Basis des Vektorraumes V und W ein beliebiger
Vektorraum. Seien w1 , ..., wn ∈ W beliebig. Dann existiert genau eine
lineare Abbildung f : V → W , so dass f (vj ) = wj für 1 ≤ j ≤ n gilt.
Mit anderen Worten:
I
Eine lineare Abbildung kann auf einer Basis beliebig definiert werden.
I
Jede solche Definition legt die lineare Abbildung eindeutig fest.
Proposition
Endlich-dimensionale Vektorräume V und W sind isomorph genau dann,
wenn dim V = dim W .
Folgerung
Jeder reelle Vektorraum V der Dimension n ist isomorph zu Rn .
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Sei V ein reeller Vektorraum. Zu jeder Basis B = (v1 , ..., vn ) von V gibt es
genau einen Isomorphismus ΦB : Rn → V mit ΦB (ej ) = vj für 1 ≤ i ≤ n.
Wir nennen ΦB das zur Basis B gehörende Koordinatensystem. Die
Umkehrabbildung Φ−1
B schickt einen Vektor v ∈ V auf das eindeutige
n-Tupel reeller Zahlen (λ1 , ..., λn ), so dass v = λ1 v1 + ... + λn vn . Die
Koeffizienten (λ1 , . . . , λn ) heißen die Koordinaten von v bezüglich der
Basis B.
Die Koordinaten von v ∈ V hängen von der Wahl der Basis B ab!
Sei C = (w1 , ..., wn ) eine andere Basis von V . Hat v ∈ V , bezüglich B die
Koordinaten (λ1 , ..., λn ) und bezüglich C die Koordinaten (µ1 , ..., µn ), so
gilt ΦB ((λ1 , ...., λn )) = v = ΦC ((µ1 , ..., µn )).
Folglich ist Φ−1
C ◦ ΦB ((λ1 , ...., λn )) = (µ1 , ..., µn ).
n
n
Die Abbildung Φ−1
C ◦ ΦB ist ein linearer Isomorphismus R → R , der die
Transformation der Koordinaten beschreibt.
Die diesem Isomorphismus entsprechende (n × n)-Matrix hat als j-ten
Spaltenvektoren die Koordinaten von vj bezüglich der Basis C. Sie heißt
die Transformationsmatrix des Basiswechsels und wird mit TCB bezeichnet.
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