Aufgabe 1 2 3 4 5 ∑ max. Punkte 6 6 6 6 6 30 err. Punkte

25.03.2010
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Achim Schädle
2. Klausur zur Vorlesung “Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra”
Name:
.......................................................
Vorname:
.......................................................
Geburtsdatum und -ort:
.......................................................
Matrikelnummer:
.......................................................
Hiermit melde ich mich zu dieser Klausur an und bestätige, dass ich mich nicht im
Urlaubssemester befinde.
Mit der Veröffentlichung der Ergebnisse im Internet bin ich einverstanden:
Unterschrift:
ja / nein
.......................................................
Aufgabe
1
2
3
4
5
P
max. Punkte
6
6
6
6
6
30
err. Punkte
1
Hinweise:
WICHTIG !
• In Ihrem Home-Verzeichnis befinden Sie die Dateien WerBinIch.txt, sowie
aufgabe1a.m, aufgabe1b.m, aufgabe2a.m, aufgabe2b.m, aufgabe3.m,
aufgabe4.m, und aufgabe5.m.
• Ergänzen Sie zuerst die Datei WerBinIch.txt mit Ihrem Namen, Vorname,
usw.
• Es werden nur Lösungsvorschläge gewertet, die in Dateien mit dem jeweils
in der Aufgabe angegebenen Namen in Ihrem Home-Verzeichnis gespeichert sind. Speichern Sie daher in kurzen Abständen Ihre Lösungen, um
ggf. den Verlust von Daten zu vermeiden, falls Matlab einmal abstürzt.
• Es werden nur Lösungsvorschläge gewertet, bei denen der Lösungsweg (mit
Matlab) klar zu erkennen ist.
• Zum Bestehen dieser Klausur sind 15 Punkte hinreichend.
2
Aufgabe 1:
(a) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion [f] = aufgabe1a(x,N), die für einen Vektor x ∈
Rm und einen reellen Parameter N die Funktionswerte
fN (x) = sin(N · x) · cos(x/N );
berechnet.
(b) Schreiben Sie ein Matlab-Script aufgabe1b.m, welches mit Hilfe von aufgabe1a für
N = 2 und N = 3 die Funktionen fN in einem gemeinsamen Fenster auf dem Intervall
[−π, π] graphisch darstellt. Für jedes N soll dabei eine andere Farbe verwendet werden.
Aufgabe 2:
(a) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion [r] = aufgabe2a(x,N), welche für einen Vektor
x ∈ Rm und eine natürliche Zahl N das Element rN (x) der Folge (rn (x))n berechnet. Die
Folge der rn (x) ist als Quotient pn (x)/qn (x) durch die Rekursion
p−1 (x) = 1;
q−1 (x) = 0;
p0 (x) = 1 + x/2;
q0 (x) = 1;
pn+1 (x) = (2 + x) · pn (x) − pn−1 (x)
qn+1 (x) = (2 + x) · qn (x) − qn−1 (x)
rn+1 (x) = pn+1 (x)/qn+1 (x)
geben.
(b) Schreiben Sie ein Matlab-Script aufgabe2b.m das mit Hilfe der Funktion aufgabe2a
die Funktion r5 (x) auf dem Interval [0, 3] graphisch darstellt.
Aufgabe 3:
Eine Wählerbefragung in NRW hat ergeben, dass 210 Wähler die SPD, 330 die CDU und 310
andere Parteien favorisieren. 150 Wähler haben sich noch nicht entschieden.
Im Wahlkampf ist die SPD sehr erfolgreich und gewinnt jede Woche 6% der Unentschiedenen,
4% der CDU Wähler. Die CDU gewinnt 5% derer die andere Parteien favorisieren und 3% derer
die noch unentschieden sind. Die anderen Parteien gewinnen 2% der SPD Wähler und 1% der
Nichtwähler. Sonst gibt es keine Wählerbewegungen.
Schreiben Sie ein MatlabScript aufgabe3.m, mit folgendem Inhalt:
(a) Definieren Sie die Übergangsmatrix A und die Anfangsverteilung u.
(b) Stellen Sie die Stimmanteile nach 5 Wochen graphisch in einem Tortendiagramm dar.
Hinweis: Verwenden Sie den Matlab-Befehl pie.
3
8%
25%
33%
34%
Abbildung 1: Wählerverteilung nach 5 Wochen.
Aufgabe 4:
Gegeben sind die Daten:
ym −2.3 16 36 36 64 −6 −13 −14
x1,m 1.1 3.2 4.2 4.3 5.4 0.3 0.2 −0.2
x2,m 0.2 0.3 −0.2 0.3 0.4 2.5 4.6 5.1
Es wird angenommen, dass diese Daten für 4 Parameter a, b, c und d folgende Gesetzmässigkeit
erfüllen:
f (x1 , x2 ) = a + b · cos(x2 ) + c · (x21 − x2 ) + d · x1
Schreiben Sie ein Matlab-Script aufgabe4.m, welches
(a) die Parameter a, b, c und d bestimmt, sodass die Funktion f in den Punkten (x1,m , x2,m )
im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate die Werte yi bestmöglich approximiert und
(b) den Fehler
err =
X
8
2
|ym − f (x1,m , x2,m )|
m=1
1/2
berechnet.
Aufgabe 5:
Schreiben Sie eine Matlabfunktion [x] = aufgabe5(u), die für einen Vektor u ∈ Rn
(a) den Wert 2 zurück gibt, falls ein Eintrag in u mehrfach vorkommt,
(b) den Wert 1 zurück gibt, falls kein Eintrag mehrfach vorkommt und jeder Eintrag eine
ganze Zahl ist,
(c) den Wert 0 zurück gibt, falls kein Eintrag mehrfach vorkommt, jeder Eintrag eine ganze
Zahl ist und die Einträge eine Menge aufeinanderfolgender Zahlen bilden (Die Einträge
von [1, 3, 2, 0] bilden eine Menge aufeinanderfolgender ganzer Zahlen, die Einträge von
[1, 3, 4, 0] jedoch nicht.)
(d) und in allen anderen Fällen den Wert −1 zurück gibt.
Hinweis: Sie könnten den Matlab-Befehl unique verwenden.
4