Stochastik I – Zusatzübung Lehramt

Dr. T. Camps
Ausgabe: 26.06.2009
Stochastik I – Zusatzübung Lehramt
Übungsblatt 10
Konvergenz von Zufallsvariablen
Aufgabe 1
In einem Gefäß befinden sich 1022 Gasmoleküle, die sich (nach einer gewissen Zeit) mit Wahrscheinlichkeit
1
2 in der linken bzw. rechten Seite des Behälters befinden. Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Anzahl der Moleküle in den beiden Seiten um mehr als 10−9 % der Gesamtzahl
unterscheidet. Verwenden Sie dazu
a) den ZGWS,
b) die Tschebyscheff–Ungleichung.
Aufgabe 2
Bei einer Wahl treten zwei Kandidaten an. Angenommen, die Wähler sind indifferent und entscheiden sich
in der Wahlkabine zufällig und gleichverteilt für einen der beiden Kandidaten: Wie viele Wähler muss ein
Kandidat bestechen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% die Mehrheit der Stimmen
bekommt? Verwenden Sie den ZGWS und unterstellen Sie, dass der andere Kandidat keine Wähler besticht.
Aufgabe 3 (Gesetz der großen Zahl von Bernoulli)
Ein Naturforscher beobachtet die Lebensdauer einer Mäuseart und möchte die Verteilungsfunktion F bestimmen. Die ersten 10 Mäuse seiner Beobachtung leben 687, 912, 517, 745, 900, 478, 1025, 988, 652 bzw.
789 Tage.
In Abhängigkeit der Größe n der Stichprobe bezeichne Fn die entsprechende Verteilungsfunktion. D.h. mit
5
= 12 .
den obigen Werten ist F10 (750) = 10
Im Laufe der Zeit erweitert der Forscher den Umfang seiner Stichprobe. Zeigen Sie mit dem starken Gesetz
der großen Zahlen, dass für jede Lebensdauer x gilt:
Fn (x) → F (x) P –fast–sicher.
Aufgabe 4
Es seien (Xn )n∈N unkorrelierte ZV mit EW E[Xn ] = 10 für alle n. Weiter sei Var(Xn ) = 19 + n−1
n . Wie
muss man die Größe N einer Stichprobe wählen, damit das arithmetische Mittel der ersten N ZV mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% um höchstens 4 vom EW abweicht? Verwenden Sie dazu das starke
Gesetz der großen Zahlen.
Aufgabe 5
Bei einem fairen Münzwurf verliert der Spieler bei Kopf“ 50% seines Kapitals und gewinnt bei Zahl“ 70%
”
”
hinzu. Am Anfang habe er ein Kapital von Y0 = 1. Bestimmen Sie den erwarteten Kapitalstand für n → ∞.