IngenieurmathematikIV | Statistik | Wintersemester 1996/97 Umfang
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anstaltung
Skript von
Ingenieurmathematik IV
| Statistik |
Wintersemester 1996/97
Umfang: 2V + 2U
Dr. Rainer Schmidt
Technische Universitat Clausthal
Dr. Stefan Rettig
Technische Hochschule Darmstadt
Literatur
Lehrbucher
hoeck & Ruprecht 1979.
Lehn, J., Wegmann, H.: Einfuhrung in die Statistik. 2. Auage, Teubner 1992.
Kreyszig, E.: Statistische Methoden und ihre Anwendungen. 7. Auage, Vanden-
Ang, A. H.{S.; Tang, W. H.: Probability Concepts in Engineering Planning and
Design. Volume I: Basic Principles, Volume II: Decision, Risk, and Reliability.
Wiley & Sons 1975 bzw. 1984.
Heinhold, J.; Gaede, K.{W.: Ingenieur{Statistik. 4. Auage, Oldenbourg 1979.
Plate, E. J.: Statistik und angewandte Wahrscheinlichkeitslehre fur Bauingenieure. Ernst & Sohn 1993.
Ruegg, A.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik { Eine Einfuhrung fur
Ingenieure. Oldenbourg 1994.
Weber, H.: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik fur
Ingenieure. Teubner 1992.
Nachschlagewerke
Hartung, J.: Statistik. 9. Auage, Oldenbourg 1993.
Hartung, J.; Elpelt, B.: Multivariate Statistik. Oldenbourg 1984.
Sachs, L.: Angewandte Statistik. 7. Auage, Springer 1992.
Aufgabensammlungen
Oldenbourg 1973.
Lehn, J.; Wegmann, H.; Rettig, S.: Aufgabensammlung zur Einfuhrung in die Statistik. 2. Auage, Teubner 1994.
Heinhold, J.; Gaede, K.{W.: Aufgaben und Losungen zur Ingenieur{Statistik.
Sonstige Literatur
Dutter, R.: Geostatistik. Teubner 1985.
Chatterjee, S.; Handcock, M. S.; Simono, J. S.: A Casebook for a First Course in
Statistics and Data Analysis. Wiley & Sons 1995.
Kramer, W.: So lugt man mit Statistik. 4. Auage, Campus 1992.
2
2.2.2 Unabhangigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.4 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.5 Poisson{Verteilung und Poissonscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . 51
2 Zweidimensionale Mereihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Streuungsmazahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Lagemazahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Graphische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Eindimensionale Mereihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eschreibende Statistik
8
7
7
2.4.2 Erwartungswert einer stetig verteilten Zufallsvariable . . . . . . . . . . . 69
2.4.1 Erwartungswert einer diskret verteilten Zufallsvariable . . . . . . . . . . 67
2.4 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.6 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.5 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Rechteckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.3 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 Stetig verteilte Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 Diskret verteilte Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
haltsverzeichnis
1.2.1 Punktediagramm und Kontingenztafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Varianz einer Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 Zufallsvariable und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.2 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4
2.5 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.6 Summen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.5 Tschebyschesche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.4 Rechenregeln fur Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
28
1.2.3 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Wahrscheinlichkeitstheorie
1 Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Laplace { Annahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
chlieende Statistik
84
1 Schatzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1 Erwartungstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.2 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.3 Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.4 Maximum{Likelihood{Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Kondenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1 Kondenzintervalle bei Binomialverteilungsannahme . . . . . . . . . . . 98
3.2.2 2 {Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.3 t{Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.4 Kondenzintervalle bei Normalverteilungsannahmen . . . . . . . . . . . . 103
3 Empirische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.1 Zentralsatz der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.2 Wahrscheinlichkeitspapier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.3 Kolmogoro{Smirnov{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Tests bei Normalverteilungsannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.1 Einstichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.2 Operationscharakteristik und Gutefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4.3 Zweistichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 2{Anpassungstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.1 Prufen bei endlich vielen Merkmalswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.2 Prufen auf eine bestimmte Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5.3 Prufen auf einen Verteilungstyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5
Themen:
1. Beschreibende (deskriptive) Statistik
Aufbereitung von Daten
Darstellung und Analyse von Mereihen
Daten ordnen, praphisch aufbereiten, Kennzahlen berechnen
2. Wahrscheinlichkeitstheorie
Mathematische Modelle fur zufallige Vorgange
3. Schlieende (induktive) Statistik
Beurteilung von statistischen Daten
Schlufolgerungen aus statistischen Daten
Quantizierung der Risiken fur Fehlschlusse aus statistischen Daten
6
apitel 1
eschreibende Statistik
male:
qualitative Merkmale
z.B. Geschlecht, Familienstand, Religionszugehorigkeit, Wohnort
Rangmerkmale
z.B. Grad des Interesses am technischen Fortschritt
quantitativ{diskrete Merkmale
z.B. Anzahl defekter Stucke in einem Los, Kettenlange (Anzahl Kohlenstoatome) von
n{Alkanen in Dieselol
Merkmalsauspragungen entstehen in der Regel durch Zahlen
quantitativ{stetige Merkmale
z.B. Korperlange, Temperatur, Druck, Spannung
Merkmalsauspragungen entstehen in der Regel durch Messen
Eindimensionale Mereihen
n = Anzahl der Mewerte (Stichprobenumfang)
x1; : : :; xn (reelle Zahlen)
reihe (Merkmalsauspragungen)
i
7
1.1.1 Graphische Darstellungen
Stabdiagramm (bei quantitativ{diskreten Merkmalen)
j
j
#
h
s"
1
s
s
s
s
s
s
s
s
9
10
zeigt die relative Haugkeit einer Merkmalsauspragung innerhalb der beobachteten Mereihe
Beispiel
9
>
=
> n = 20
;
Anzahl defekter Stucke in Losen aus jeweils 1000 gleichartigen Bauteilen
3 1 0 0 2 2 0 5 4 7
0 1 6 9 0 4 2 1 0 2
s
0
8
Anzahl defekter Stucke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
relative Haugkeit in % 30 15 20 5 10 5 5 5 0 5
zugehoriges Stabdiagramm
40
30
relative
Haugkeit 20
[%]
10
0
2 3 4 5 6 7
Anzahl defekter Stucke
Darstellung einer Mereihe durch ein Stabdiagramm nicht sinnvoll bei quantitativ{stetigen
Merkmalen, denn meist alle Werte x1 ; :::; xn verschieden, d.h. alle Stabe hatten Hohe n1 .
8
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
j
#j
h
s"
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H : R! [0; 1]
s
.
.
.
.
s
.
.
.
.
.
.
.
s
.
.
.
.
.
.
.
.
s
.
.
.
.
3 4 5 6 7
Anzahl defekter Stucke
8
empirische Verteilungsfunktion
2
s
9
.... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .
.
.
.
.
s
H (x) = n1 (Anzahl der Mewerte x)
ive Summenhaugkeit
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
H (x) 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
10
eis: Die empirische Verteilungsfunktion spielt eine entscheidende Rolle in der Schlieenden
stik
9
Histogramm (bei quantitativ{stetigen Merkmalen)
Einteilung des Wertebereichs in k Klassen: (a0 ; a1 ]; (a1; a2 ]; : : :; (ak;1 ; ak]
Abtragen von Rechtecken uber den einzelnen Klassen, wobei
Breite eines Rechtecks = Klassenbreite
Klassenhaugkeit
Hohe eines Rechtecks = relativeKlassenbreite
Fazit: Die Flache des Rechtecks entspricht der relativen Klassenhaugkeit
Beispiel
1.000
20.0
absolute relative relative Klassenhaugkeit
Klasse
Klassenh. Klassenh.
Klassenbreite
(14:10; 14:15]
2 0.010
0.2
(14:15; 14:20]
4 0.020
0.4
(14:20; 14:25]
12 0.060
1.2
(14:25; 14:30]
23 0.115
2.3
(14:30; 14:35]
39 0.195
3.9
(14:35; 14:40]
42 0.210
4.2
(14:40; 14:45]
36 0.180
3.6
(14:45; 14:50]
24 0.120
2.4
(14:50; 14:55]
12 0.060
1.2
(14:55; 14:60]
6 0.030
0.6
Klassen
(14:10; 14:60] = (14
| :10; 14:15] [ (14:15; 14{z:20] [ : : : [ (14:55; 14:60]}
200 Nietkopfdurchmesser [mm] x1; : : :; x200 , alle im Intervall
Daten:
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
200
10
gramm:
lt stets:
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
i=1
k
X
14.6
14.7
Klassenhaugkeit = 1
Klassenbreite relativeKlassenbreite
14.2 14.3 14.4 14.5
Nietkopfdurchmesser
rel. Klassenhaugkeit
Klassenbreite
14.1
Histogrammache =
hte: Nicht die Hohen, sondern die Flachen der Histogrammrechtecke charakterisieren die
ven Klassenhaugkeiten. Wichtig insbesondere bei nicht aquidistanten Klasseneinteilun-
11
1.1.2 Lagemazahlen
Mereihe x1; ::; xn
arithmetisches Mittel
x7 x1
x2
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x = n1
i=1
n
X
x5
xi
Beachte: x ist im allgemeinen kein beobachteter Wert
x4
geordnete Mereihe
x6
x~ = x(4)
x(5)
x(5)
x(6) x(7)
x(6)
x(8)
x(7)
x3
x(2) x(3)
x~ = x(4)
fur n gerade
fur n ungerade
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
Median (mittlerer Wert)
8
>
x
>
n + 1!
>
<
2
x~ =
> >
x
n
>
:
2
x(1)
x(2) x(3)
Beachte: x~ ist stets ein beobachteter Mewert !
Beispiele
n=7
n=8
x(1)
-x
-x
-x
Interpretation: Mindestens 50% der Mewerte sind x~ und mindestens 50% der Mewerte sind
x~
12
3 Streuungsmazahlen
groe Streuung: Lagemazahl hat geringe Aussagekraft
x
kleine Streuung: Lagemazahl hat hohe Aussagekraft
x
er: Angabe einer Streuungsmazahl zu einer Lagemazahl
nnweite
d = x(n) ; x(1)
n
X
i=1
1
1
n ; 1 und nicht n !
s2 = n ;1 1
(xi ; x)2
x(n)
;;;;;;;;;;;;;;;;;;; d ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!
x(1)
irische Varianz
hte: Der Vorfaktor ist
13
-x
-x
-x
i=1
v
u
n
p
X
u
s = t n ;1 1 (xi ; x)2 = s2
empirische Streuung oder Standardabweichung
Es gilt die folgende Formel:
=nx
nx2
n
X
s2 = 1
(xi ; x)2
n
;
1
i=1
n
X
= 1
(xi2 ; 2xxi + x2 )
n
;
1
i=1
n
n
n
X
X
X
= n ;1 1 ( xi2 ; 2x xi + x2 )
|i=1{z } |i=1{z }
i=1
n
X
= n ;1 1 ( xi2 ; nx2 )
i=1
Beachte: Anfalligkeit gegen Rundungsfehler bei groen Mewerten !
Variationskoezient
v = s=x
Weitere Streuungsmazahlen, die im Vergleich zur Standardabweichung weniger empndlich
auf extrem hohe bzw. niedrige Werte in der Mereihe reagieren:
8
n
X
dx = n1 jxi ; xj
i=1
durchschnittliche Mittelwertabweichung
Dabei ist
>
< y falls y 0
jy j = >
: ;y falls y < 0
durchschnittliche Medianabweichung
n
X
dx~ = n1 jxi ; x~j
i=1
14
4 Quantile
antil
i0<p<1
i ist
falls np nicht ganzzahlig
falls np ganzzahlig
[a] = grote ganze Zahl a
8
>< x
xp = ([np+1])
:> x(np)
iele: [3.5] = 3, [0.7] = 0
x(21)
x(20)
-x
-x
xp Schranke fur die unteren 100 p% der beobachteten Werte
pretation: Mindestens 100 p% der Mewerte sind xp und mindestens 100 (1 ; p)% der
werte sind xp.
iele:
:1; n = 20 ) n p = 2 ganzzahlig
x(2) = x0:1
0.1{Quantil
x(5) = x0:2
:2; n = 21 ) n p = 4:2 nicht ganzzahlig, [4:2 + 1] = [5:2] = 5
x(1)
0.2{Quantil
lt:
x0:5 = x~ ;
das 0:5{Quantil ist gerade der Median der Mereihe
15
Bezeichnungen:
x0:25 = unteres Quartil
x0:75 = oberes Quartil
x(12) = x0:75
x(16)
-x
Ein mit Hilfe von Quantilen deniertes Streuungsma ist der Quartilabstand:
q = x0:75 ; x0:25
Beispiel
x(4) = x0:25
;;;;;;;;; q ;;;;;;;;;!
n = 16 ) n 0:25 = 4 und n 0:75 = 12 ) q = x(12) ; x(4)
x(1)
x(8)
x
x0:75
x(12)
x(16)
r
x(16)
Interpretation: Zwischen x0:25 und x0:75 liegen die mittleren 50% der Mewerte.
1.1.5 Boxplots
x(4)
x0:25 x~ = x0:5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Verwendung insbesondere zum Vergleich von Mereihen
Es sei n = 16.
x(1)
r
x(1)
x x~
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x~ ; x0:25 x0:75 ; x~
x0:25
x0:75
x(n)
r
; untere 25% ;! ;;;;;;;; mittlere 50% ;;;;;;;;! ;;; obere 25% ;;;!
symmetrisches Datenmaterial:
r
x(1)
16
-x
iel
25:4
24:6
26:5
27:1
24:7
21:8
23:5
24:6
25:5
26:7
27:0
26:1
24:5
23:4
26:3
22:8
24:0
24:7
25:5
27:0
25:5
24:7
24:3
24:1
21:8
22:8
24:1
24:8
25:6
27:1
20:9
26:5
24:5
26:7
23:2
22:9
24:1
24:9
26:0
27:3
24:0
27:5
27:0
24:9
24:3
23:2
24:3
25:0
26:1
27:4
25:1
25:6
27:3
23:5
24:5
23:4
24:3
25:1
26:3
27:5
22:2
22:9
25:0
27:4
26:0
23:5
24:5
25:1
26:4
27:5
24:8
25:5
22:8
25:5
24:1
23:5
24:5
25:1
26:5
28:3
25:1
23:5
23:5
22:8
27:5
9
>
>
>
>
>
>
>
=
> n = 50
>
>
>
>
>
>
;
9
>
>
>
>
>
>
=
> n = 50
>
>
>
>
>
>
;
x~ x
...
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
28.0
r
x = 501 (20:9 + 21:8 + : : : + 28:3) = 501 1247:3 = 24:946
x~ = x(25) = 24:8
x0:25 = x([12:5+1]) = x(13) = 23:9
x0:75 = x([37:5+1]) = x(38) = 26:3
r
22.0
30.0
22:2
23:9
24:7
25:5
27:0
ergehalte in 25 Bodenproben [ppm]
28:3
23:5
23:9
26:4
25:1
20:9
23:5
24:5
25:4
26:5
nete Mereihe:
zahlen:
lot:
20.0
24.0
26.0
Kupfergehalt
17
1.2 Zweidimensionale Mereihen
Mereihe
(x1 ; y1); : : : ; (xn; yn)
fur 2 Merkmale x und y, wobei die beiden Merkmalswerte jeweils an derselben Beobachtungseinheit (Person, : : :) erhoben werden.
Analyse der jeweiligen eindimensionalen Mereihen:
v
u
n
n
X
X
u
x1; : : :; xn ) x = n1 xi ; sx = t n ;1 1 (xi ; x)2
i
=1
i
=1
v
u
n
n
X
X
u
y1 ; : : :; yn ) y = n1 yi ; sy = t n ;1 1 (yi ; y)2
i=1
i=1
Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen x und y der folgenden Form:
"je groer x, desto groer y\
oder
"je groer x, desto kleiner y\ ,
d. h. ist die Tendenz "steigend\ oder "fallend\ ?
genauer: Besteht ein linearer Zusammenhang der Form
y = ax + b
d. h. lassen sich die Datenpunkte naherungsweise durch eine Gerade beschreiben ?
1.2.1 Punktediagramm und Kontingenztafel
Beispiel
x = Alter gesunder Manner
y = systolischer Blutdruck
18
0
10
s
s
s
70
s
ss
s s
s s s
s
s
s
s s ss
s s
sss
s
s
60
(qualitatives Merkmal)
(Rangmerkmal)
30
40
50
Alter [Jahre]
s ss
20
ss
Alter und systolischer Blutdruck bei gesunden Mannern
eihe
(x1 ; y1); : : :; (x30 ; y30 )
e ermittelt an 30 gesunden Mannern
140
160
180
200
ktediagramm
Blutdruck
[mbar]
120
100
tingenztafel
iel
mbefall bei Zuchtpferden
x = Rassenzugehorigkeit
y = Wurmbefall
n in Form einer Kontingenztafel
19
80
x
y Rasse 1 Rasse 2 Rasse 3
gering
28
19
17
mittel
9
6
35
stark
13
14
20
50
39
72
64
50
47
161
Hinweis : Bei quantitativen Merkmalen erhalt man eine Kontingenztafel durch eine Klasseneinteilung
1.2.2 Korrelation
empirische Kovarianz
sxy
n
X
(x ; x)(yi ; y)
= 1
n
;
1 i=1 i
n
X
= 1
n ; 1 i=1 (xi yi ; xi y ; x yi + x y)
0
1
B
C
B
C
B
C
B
C
n
n
n
n
X
X
X
X
B
C
B
C
= n ;1 1 B
C
Bi=1 xi yi ; i=1 xi y ; i=1 x yi + i=1 x y}C
C
B
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
B
C
@
=ynx
=xny
=nxy A
{z
}
|
=;nxy
!
n
1 X
n ; 1 i=1 xi yi ; nx y
=
empirischer Korrelationskoezient
r = s sxy s
x y
20
y
6
;m
r>0
pretation von sxy :
y
+m
x
+m
sxy = n ;1 1
;m
i=1
y
y
6
;m
r<0
x
+m
;m
- x
viele Produkte negativ, wenige Produkte
positiv ) sxy < 0
negative Korrelation
+m
(xi ; x)(yi ; y)
n
X
- x
;1 r 1
viele Produkte positiv, wenige Produkte
negativ ) sxy > 0
positive Korrelation
lt:
rr
r
r
r
-
6 r r r = ;1
rr
r
-r
......
......
......
......
......
...
.
.
.
.
.....
......
.....
......
......
......
.....
......
......
.
.
.
.
.
......
......
......
.....
......
......
.....
......
....
.
.
.
.
.
......
.....
......
......
......
......
..
r
pretation : jrj ist ein Ma fur die "Tendenz\ zu einem linearen Zusammenhang der x- und
erte.
6 r=1
r r
.
.......
......
......
.....
......
......
.....
.....
......
......
.....
......
.......
......
......
......
......
......
.....
.....
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
.....
......
jrj = 1: Mewerte liegen auf einer Geraden
21
Beispiel
;1
r
positive Korrelation
r
;2
r
0
r
r
r
2
r
3
r
4
5
x = 11
9
y = ; 3 = ; 31
v9
u
2 !
u
= 1:922
sx = t 1 43 ; 9 119
8
v
u
2 !
u
sy = t 81 91 ; 9 ; 13 = 3:354
sxy = 81 32 ; 9 119 ; 31 = 4:458
1
r
4:458 = 0:692
r = 1:922
3:354
yi xi2 yi 2 xi yi
-3 4 9 6
-7 1 49 7
0 0 0 0
-2 1 4 -2
0 4 0 0
2 4 4 4
4 4 16 8
3 9 9 9
0 16 0 0
-3 43 91 32
Stichprobenumfang n = 9; Mereihe (x1 ; y1); : : :; (x9; y9 )
xi
-2
-1
0
1
2
2
2
3
4
Summe 11
Man erhalt:
;3
Punktediagramm:
4
2
0
;2
;4
;6
;8
Achtung : Korrelation nicht "blind\ ausrechnen !
Beispiel: 2 Untergruppen im Datenmaterial (Manner/Frauen)
insgesamt: r > 0
aber: in den Untergruppen jeweils r < 0
22
3 Regression
arer Zusammenhang der Form
unterstellt !
yi
6
s
y = ax + b
"
j
j
s
ax + b
Losung: a^; ^b
Regressionsgerade
y = ^ax + ^b
wird oft fur Prognosezwecke benutzt ! ("Schlu von x auf y\)
Bestimmung von a^ und ^b
i=1
n
X
@S (a; b)
@b = i=1 2(yi ; axi ; b)(;1)
n
X
=! 0
= ;2 (xi yi ; axi2 ; bxi)
n
@S (a; b) = X
2(yi ; axi ; b)(;xi )
@a
i=1
n
X
Nullsetzen des Gradienten von S :
also gilt
und man erhalt
Daraus folgt
i=1
ny ; anx ; nb = 0 ;
b = y ; ax
(xi yi ; axi2 ; yxi + axxi) = 0
i=1
n
X
xiyi ; nx y = a( xi2 ; nx2 ) ;
24
n
X
xiyi ; n x y
Kovarianz
a^ = i=1X
= sxy2 = empirische
n
empirische Varianz
sx
xi2 ; nx2
i=1
n
X
i=1
Einsetzen von b = y ; ax in die erste Gleichung liefert
n
X
i=1
= ;2 (yi ; axi ; b)
j
j
}
Aus der zweiten Gleichung folgt
ri
-
=! 0
xi
{z
=! minimal
s#
.
....
....
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
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...
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...
....
...
....
....
lem: Bestimmung von a und b ?
rium:
i ist
n
X
|i=1
(yi ; axi ; b)2
ri = yi ; (axi + b) ; i = 1; : : :; n
Werte heien Residuen.
n
X
i=1
ri2 =
hode der kleinsten Quadrate\:
S (a; b) =
Summe der vertikalen
Abstandsquadrate
23
t ergibt sich ^b zu
^b = y ; ^ax
Untersuchung der zweiten partiellen Ableitungen zeigt, da die Funktion S an der Stelle
tatsachlich ein Minimum besitzt !
y = ^ax + (y ; a^x) = ^a(x ; x) + y
;
;
^b = ; 1 ; 1:207 11 = ;1:809
3
9
x = 119 ; y = ; 13 ; sx = 1:922; sxy = 4:458
458 = 1:207
a^ = 14::922
2
(siehe oben)
hte : Der Punkt (x; y) liegt stets auf der Regressionsgeraden, wegen
iel
us folgt:
iel
^a = 1:493
{ Blutdruck bei gesunden Mannern; aus den Daten ergibt sich
^b = 80:7
formel:
Blutdruck 1.5 Alter + 80
Approximation kann zur Prognose herangezogen werden.
tediagramm mit Regressionsgerade:
25
Blutdruck
[mbar]
200
180
160
140
120
100
0
s ss
ss
20
n
X
ri2 =
s
s
ss
s s
s s s
s
s
s
s s ss
s s
ss
s s
s
30
40
50
Alter [Jahre]
s
70
(|yi ; ^a{zxi ; ^b})2 = (n ; 1) (1 ; r2 ) sy2
Residuum
n
X
i=1
B = r2
1 ssr
B = 1 ; n ; s12
y
i=1
60
80
....
....
...
....
....
...
....
...
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....
...
....
....
....
...
....
....
....
....
....
...
....
....
....
s
Alter und systolischer Blutdruck bei gesunden Mannern
10
=
Zusammenhang mit Korrelationskoezienten
ssr
|{z}
Summe der
Residuenquadrate
Bestimmtheitsma
Es gilt
26
pretation
und
1.Fall: B = 0
Wegen r = 0 gilt fur die Parameter der Regressionsgerade
^b = y
a^ = 0
Die Regressionsgerade hangt somit nicht von x ab:
y ( x) = y
Es gilt insbesondere
1
2
n ; 1 ssr = sy ;
d. h. kein Anteil der Varianz der y{Werte kann durch einen linearen Zusammenhang
erklart werden.
2. Fall: B = 1
Wegen r2 = 1 gilt ssr = 0, d. h. alle vertikalen Abstande verschwinden und somit liegen
alle Punkte auf der Regressionsgeraden.
Fazit: Die gesamte Varianz der y{Werte ist in diesem Fall durch den linearen Zusammenhang erklart.
gressionsgeraden
Schlu von x auf y
Prinzip: Summe der quadrierten senkrechten Abstande minimal !
y ; y = ssxy2 (x ; x)
x
Schlu von y auf x
Prinzip: Summe der quadrierten waagrechten Abstande minimal !
;
;
x ; x = ssxy2 (y ; y)
y
Geraden fallen genau dann zusammen, falls
sxy = sy2
sx2 sxy
falls
2
sxy
sx2 sy2 = 1
B = r2 = 1
27
Kapitel 2
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufalligkeiten beeinussen Experimente und damit auch Meergebnisse; Versuchsergebnisse in
diesen Fallen meist nicht reproduzierbar; mogliche Ursachen:
gleich)
technische Variabilitat (keine zwei Untersuchungsgegenstande in ihrer Struktur vollig
Anderung
der Versuchsbedingungen (z. B. Ort und Zeit der Messung)
Mefehler (Storeekte uberlagern den wahren Wert)
Folge : Daten sind mit Streuung behaftet (Restvariabilitat)
stochastische Vorgange oder Zufallsexperimente
Vorgange, bei denen Ergebnis nicht aus Versuchsbedingungen vorhersagbar:
Beispiele
(Probenvariabilitat + Mefehler)
Messung des Spannungszustands einer Werkstoprobe in einem Zugversuch
(raumliche Variabilitat)
Anteil des Kupfergehalts in Bodenproben
(Variabilitat durch Zeitpunkt der Messung + Mefehler)
Verkehrsdichte an einer Kreuzung
Bestimmung der Nahrstokonzentration im Ablauf von Abwasserbehandlungsanlagen
(variierende Versuchsbedingungen [Industrie, Landwirtschaft, Haushalte] + zeitliche Abhangigkeiten + Mefehler)
28
monatliche Bestimmung der Biomasse in einem Wald
(variierende Versuchsbedingungen [Klima] + Probleme der Stichprobenauswahl)
Glucksspiele (Wurfeln, Roulette, Lotto, : : : )
rscheinlichkeitstheorie: mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten
! Ergebnis !
Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit
1 Grundbegrie
hfuhrung eines Zufallsexperiments
ebereich oder Ergebnismenge: (! 2 )
iele
Wurfelwurf: = f1; 2; 3; : : :; 6g
Werfen zweier unterscheidbarer Wurfel:
= f(i; j ) j i; j = 1; : : :; 6g = f(1; 1); (1; 2); (2; 1); : : :g 36 Elemente
Werfen zweier nicht unterscheidbarer Wurfel:
= f(i; j ) j i; j = 1; : : :; 6 ; i j g
= f(1; 1); (1; 2); (2; 2); (1; 3); : : :g 21 Elemente
Lebensdauer eines Systems: = f! 2 Rj ! 0g = R+
Gerat defekt oder intakt: = f0; 1g ; 0 =b defekt, 1 =b intakt
gnisse: Teilmengen von (A )
(siehe oben)
hweise : Ereignis A tritt ein, falls Ergebnis ! 2 A beobachtet wird
iele
A = f1; 3; 5g beim Wurfelwurf
"ungerade Zahl\
A = f(1; 1); (1; 2); (2; 1)g "Summe 3\
29
3. A = f(1; 1); (1; 2); (2; 2); (1; 3); (2; 3); (3; 3)g "beide Augenzahlen 3\
4. A = f! 2 Rj ! > 100g = (100; 1) "langer als 100 Stunden\
5. A = f0g "Gerat defekt\
Zusammengesetzte Ereignisse
Es seien A und B Ereignisse
A\B = ; :
:
;:
Elementarereignis
unvereinbare oder disjunkte Ereignisse
sicheres Ereignis
leere Menge; unmogliches Ereignis
"A oder B\ : mindestens eines tritt ein , ! 2 A [ B
"A und B\ : beide treten gleichzeitig ein , ! 2 A \ B
Ac , "nicht A\ : komplementares Ereignis
f!g; ! 2 :
Ai
Ai
: "mindestens eines davon\
: "alle Ereignisse gleichzeitig\
sei A1 ; A2; : : : eine Folge von Ereignissen
1
\
i=1
1
[
i=1
Frage: Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da die Betriebsdauer eines Gerates exakt
100 Stunden betragt ?
Antwort: praktisch = 0
besser: Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da die Betriebsdauer eines Gerates
zwischen 90 und 100 Stunden liegt ?
also: Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten des Ereignisses A = [90; 100]
Fazit : Ereignisse haben Wahrscheinlichkeiten !
30
P (A) = Wahrscheinlichkeit von A pretation : Bewertung des Ereignisses A nach dem Grad, wie sehr mit seinem
Eintreten zu rechnen ist.
A = System der Ereignisse, die betrachtet werden
P (f!g) = Wahrscheinlichkeit dafur, da ! auftritt
(Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses f!g)
nschaften
je zwei unvereinbar
9
>
P (A ) 0 ;
fur A 2 A
>
>
>
P (
) = 1;
hundertprozentig sicher\ =
"
1 1
> Kolmogoro 1933
>
P S Ai = P P (Ai ); falls A1 ; A2; :::: 2 A;
i=1
i=1
>
>
>
;
enregeln
P (A c ) = 1 ; P ( A )
P (;) = 0
0 P (A) 1 "Grad des Eintretens\
A B ) P (A) P (B )
Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses "A oder B\:
P (A [ B ) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B )
Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses "A oder B oder C\:
P (A [ B [ C ) = P (A) + P (B ) + P (C )
; P (A \ B ) ; P (A \ C ) ; P (B \ C )
+ P (A \ B \ C )
[ : : : [ An )
1in
+
P (Ai \ Aj \ Ak )
1i<j<kn
; : : : + (;1)n+1 P (A1 \ : : : \ An )
X
X
=
P (Ai ) ;
P (Ai \ Aj )
1i<jn
X
allgemein: Wahrscheinlichkeit fur die Vereinigung endlich vieler Ereignisse
P (A1
lem: Festlegung von P
31
2.1.2 Laplace { Annahme
Falls = f!1 ; : : :; !ng eine endliche Menge ist und alle Elementarereignisse f!i g; i = 1; ::; n;
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, so gilt:
P (f!i g) = n1 ; i = 1; ::; n
der fur A gunstigen Ergebnisse
P (A) = Anzahl
Anzahl der moglichen Ergebnisse
in A = jAj
P (A) = Anzahl der Elemente
n
j
j
Aus der Laplace-Annahme folgt fur ein Ereignis A :
Interpretation
Beispiele
Werfen eines Wurfels: = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
P ("ungerade Zahl\) = P (f1; 3; 5g) = 63 = 12
Werfen zweier unterscheidbarer Wurfel
= f1; : : :; 6g f1; : : :; 6g = f(i; j ) j i; j = 1; : : :; 6g
Es gilt bei Laplace{Annahme
P ("mindestens eine 6\) = P (f(1; 6); (2; 6); : : :; (6; 6); (6; 5); : : : ; (6; 1)g)
= 11
36
Achtung : Werfen zweier nicht unterscheidbarer Wurfel
= f(i; j )ji; j = 1; : : :; 6 ; i j g 21 Elemente
bei Laplace{Annahme:
1
P (f(1; 1)g) = 21
32
nicht gerechtfertigt ! besser:
A = "Summe betragt 12\
B = "Summe betragt 13\
C = "Summe betragt 11\
1
|P (f(1{z; 1)g)} = 2 |P (f(1{z; 2)g)}
1
2
36
36
oder allgemein
P (f(i; i)g) = 21 P (f(i; j )g) fur i 6= j
Diese Festlegung von P entspricht also nicht mehr der Laplace{Annahme, da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen.
3 Wurfel werden geworfen; Ereignisse:
Mogliche Augenzahlen:
fur A : 1+5+6 2+4+6 2+5+5 3+3+6 3+4+5 4+4+4
fur B : 1+6+6 2+5+6 3+4+6 3+5+5 4+4+5
fur C : 1+4+6 1+5+5 2+3+6 2+4+5 3+3+5 3+4+4
= f(i; j; h) : i; j; h = 1; :::; 6g; j
j = 6 6 6 = 216
Anzahl der Moglichkeiten:
jAj = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1
jB j = 3 + 6 + 6 + 3 + 3
jC j = 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3
Bei Laplace{Annahme gilt:
25
21
27
P (A) = 216
P (B ) = 216
P (C ) = 216
Werfen von 4 unterscheidbaren Munzen
= f(i; j; k; l) : i; j; k; l = 0; 1g = f0; 1g f0; 1g f0; 1g f0; 1g
wobei 0 =b Wappen, 1 =b Zahl. Es gilt
j
j = 24 = 16
Es sei
A = "mindestens einmal Wappen\
Aus der Laplace{Annahme folgt
1 = 15
P (A) = 1 ; P (Ac) = 1 ; P (f(1; 1; 1; 1)g) = 1 ; 16
16
33
Abzahlregeln
1. Platz 2. Platz : : : k. Platz insgesamt
n
n
:::
n
nk
Anzahl = nk
Es sei j
1 j = n1 und j
2j = n2. Dann gilt:
1 2 = f(!1 ; !2 ) : !1 2 1 ; !2 2 2 g
hat n1 n2 Elemente.
j
j = n ; k 2 N
geordnete Proben von k Elementen mit Wiederholungen:
Begrundung:
Moglichkeiten
1. Platz 2. Platz : : : k. Platz
n
n ; 1 : : : n ; (k ; 1)
n (n ; 1) : : : 2 1 = n! Permutationen
Moglichkeiten
Anzahl = n (n ; 1) : : : (n ; k + 1)
j
j = n ; k n
geordnete Proben von k Elementen ohne Wiederholung:
Begrundung:
Spezialfall: n = k
123 ; 132 ; 213 ; 231 ; 312 ; 321
Beispiel
Es sei n = 3. Permutationen
Anzahl Permutationen
Anzahl der k{elementigen Teilmengen von 1 2 3 = 3! = 6
j
j = n ; k n
ungeordnete Proben von k{Elementen ohne Wiederholungen:
!
n
k
34
Anzahl der geordneten Proben:
n (n ; 1) : : : (n ; k + 1)
da ungeordnet: je k! viele der geordneten Proben sind gleich, also
n (n ; 1) : : : (n ; k + 1)
k!
Durch Erweiterung des Bruches erhalt man
!
n (n ; 1) : : : (n ; k + 1) (n ; k) : : : 1 = n! =: n
k!
(n ; k) : : : 1 k!(n ; k)!
k
Binomialkoezienten
!
n
k
= "Anzahl der k{elementigen Teilmengen aus einer n{elementigen Menge\
= k! (nn;! k)!
!
4
4! 4 3 2 1
2 = 2!2! = 2 1 2 1 = 6
Beispiel
Es sei n = 4 und k = 2. Anzahl der 2-elementigen Teilmengen einer 4-elementigen Menge:
Aufzahlung der Teilmengen
f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f2; 3g; f2; 4g; f3; 4g f1; 2; 3; 4g
3 Zufallsvariablen
Nicht das genaue Ergebnis !, sondern nur ein damit verbundener Zahlenwert ist von
esse.
iel: Augensumme beim Werfen von zwei Wurfeln
Zufallsvariable X : ! R
35
P (X = k) = P (A)
Von besonderem Interesse sind Ereignisse der Form "X = k\. Mit
A = f! 2 : X (!) = kg
gilt
Beispiel
X = Summe der Augenzahlen
Augensumme beim Wurf zweier unterscheidbarer Wurfel. Ergebnismenge des Zufallsexperiments:
= f1; : : :; 6g f1; : : :; 6g = f(i; j ) j i; j = 1; : : :; 6g 36 Elemente
Zufallsvariable
36
X:
ebereich von X : f2; 3; : : :; 12g.
2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhangigkeit
! R
(i; j ) 7! i + j
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A : P (A)
Interpretation
eilung von X unter der Laplace{Annahme:
P (X = 2) = P (f(1; 1)g)
= 361
P (X = 3) = P (f(1; 2); (2; 1)g)
= 362
P (X = 4) = P (f(1; 3); (2; 2); (3; 1)g)
= 363
P (X = 5) = P (f(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)g)
= 364
P (X = 6) = P (f(1; 5); (2; 4); (3; 3); (4; 2); (5; 1)g)
= 365
P (X = 7) = P (f(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)g) = 366
P (X = 8)
P (X = 9)
P (X = 10)
P (X = 11)
P (X = 12)
= P (X = 6)
= P (X = 5)
= P (X = 4)
= P (X = 3)
= P (X = 2)
P (A) relative Haugkeit des Eintretens von A in langen Serien gleicher,
getrennter Versuche
Beispiel
Munzwurfe
= 365
= 364
= 363
= 362
= 361
n
lt:
P (X = k )
s
2
12
X
k=2
s
3
s
4
s
5
6
k
7
2048
12012
0.5069
0.5005
2.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
s
8
Serie:
s
s
s
s
A
A
B
B
A
A
B
B
A
B
P (X = k) = 1 = P (
)
A
B
Es sei
nA = Anzahl Versuche mit A
nB = Anzahl Versuche mit B
nA\B = Anzahl Versuche mit A und B gleichzeitig
9 10 11 12
In der obigen Serie:
37
12
12
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B
s
s
nWappen relative Haugkeit
Buon 4040
Pearson 24000
diagramm
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
P ("Wappen\) = P ("Zahl\) = 12
n = 12;
nA = 7 ;
nB = 6;
38
nA\B = 4
A
nA\B = nA\B =n
nA
nA=n
nA = 7
n 12
falls P (A) > 0
nA\B = 4 = 1 ;
n
12 3
rscheinlichkeit fur B unter der Bedingung, da A eintritt (d. h. zahle nur die Versuche, in
n A eintritt):
r obigen Serie:
nA\B = 4 ;
nA 7
pretation legt nahe:
ngte Wahrscheinlichkeit von B unter A
\ B)
P (B jA) = P (PA(A
)
mel der totalen Wahrscheinlichkeit
nisse A1 ; : : :; An seien paarweise unvereinbar (d. h. Ai \ Aj = ; fur i 6= j ).
i=1
i=1
n
X
i=1
n
X
P
(
B \ Ai )
P (Ai ) P (Ai )
P (B jAi ) P (Ai )
P (B jAi ) P (Ai ) =
P (B ) =
n
r sei S Ai = und P (Ai ) > 0 fur i = 1; : : :; n.
gilt
undung
n
X
i=1
39
Verallgemeinerung
P (B ) =
i=1
1
X
=
n
X
=
P (B \ Ai )
i=1
!
[n
= P
(B \ Ai)
1
0i=1
C
B
[n !C
C
B
B
= PB
B\
A C
@ | i=1{z i }A
= P (B )
P (B jAi ) P (Ai )
n
Es sei A1 ; A2; : : : eine Folge von paarweise unvereinbaren Ereignissen mit S Ai = und
i=1
P (Ai ) > 0 fur i = 1; 2; : : :
Dann gilt
Beispiel
4 ;
P (B jA1 ) = 31
A1 = "kein As beim 1. Zug\
A2 = "As beim 1. Zug\
B = "As beim 2. Zug\
P (A2 ) = 324 ;
3
P (B jA2 ) = 31
32 Karten (Skat), 4 Asse, 2 Karten ziehen (ohne Zurucklegen der ersten Karte);
Ereignisse:
Laplace{Annahme:
28 ;
P (A1 ) = 32
Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt:
P (B ) = 4 28 + 3 4 = 1
31 32 31 32 8
40
mel von Bayes
Multiplikationsformel
0:001
0:01
Begrundung
Sei
2 ) P (A1 \ A2 \ A3 )
= P (A1 ) P (PA1(A\ A
P (A \ A ) : : :
1)
1
2
A1 \ : : : \ An;1 ) P (A1 \ : : : \ An)
: : : PP ((A
1 \ : : : \ An;2 ) P (A1 \ : : : \ An;1 )
= P (A1 \ : : : \ An )
42
A1 = "2. Person hat anderen Geburtstag als 1. Person\
A2 = "3. Person hat anderen Geburtstag als 1. und 2. Person\
A = "4. Person hat anderen Geburtstag als 1., 2. und 3. Person\
3
...
A
= "k{te Person hat anderen Geburtstag als 1., 2., : : : , (k ; 1){te Person\
k
;
1
...
An;1 = n{te Person hat anderen Geburtstag als alle vorher\
"
P (A1 \ : : : \ An;1 ) = ?
P (A1 ) = 364
365
363
P (A2 jA1) = 365
P (A3 jA1 \ A2 ) = 362
365
...
(n ; 1) = 365 ; n + 1
P (An;1 jA1 \ : : : \ An;2 ) = 365 ;365
365
n zufallig ausgewahlte Personen
P ("keine 2 Personen haben am selben Tag Geburtstag\ ) = ?
Beispiel
P (A1 ) P (A2 jA1) P (A3 jA1 \ A2 ) : : :
: : : P (An;1 jA1 \ : : : \ An;2 ) P (An jA1 \ : : : \ An;1 )
P (A1 \ : : : \ An ) = P (A1 ) P (A2 jA1) P (A3 jA2 \ A1 ) : : : P (An jA1 \ : : : \ An;1 )
A1 ; : : :; An Ereignisse mit P (A1 \ : : : \ An;1 ) > 0
P (B jAi ) P (Ai )
P (Ai jB ) = P (PA(i B\)B ) = X
n
P (B jAk ) P (Ak )
k=1
eignis mit P (B ) > 0 ; A1 ; : : :; An wie bei der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
iel
(korrektes Ergebnis)
0:999
A = "untersuchter Patient hat Tbc\
B = "positiver Befund\
P("untersuchter Patient hat Tbc\ j "positiver Befund\) = ?
Rontgenreihenuntersuchung
ahmen:
P (B jA) = 0:92
(falsches Ergebnis)
P (A) = 0:001
P (B jAc) = 0:01
der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt:
0:92
P (B ) = |P (B{zjA)} |P ({zA)} + |P (B{zjAc)} |P ({zAc)} = 0:01091
Bayessche Formel liefert:
0:001 = 0:0843
P (AjB ) = P (B jPA()B )P (A) = 0:092:01091
P (Ac jB ) = 1 ; P (AjB ) = 0:9157 92%
41
Werfen von 3 Munzen
Multiplikationsformel liefert:
: : (365 ; n + 1)
P (A1 \ : : : \ An;1 ) = 364 363 :365
n;1
: (365 ; n + 1) (Laplace{Annahme)
= 365 364 : :365
n
Pfaddiagramm:
Z
0.973
0.589
0.294
0.030
0.006
W
1/2
1/2
1/2
Z
W
Z
X=0
X=1
X=1
X=2
X=1
W
P (X = 0)
P (X = 1)
P (X = 2)
P (X = 3)
iele
W
1/2
W
phische Methode (Pfadregel)
1/2
Z
X=2 X=2
2. Munze
1/2
W
3. Munze
X=3
= 12 12 12 = 18
= 3 18 = 38
= 3 18 = 38
= 12 12 12 = 18
bei n Munzen:
! n
P (X = k) = nk 12
k = 0; : : :; n
P ("As beim 2. Zug\) = ?
Pfaddiagramm:
1/2
Z
Z
also
32 Karten (Skat), 4 Asse, 2 Karten ziehen (ohne Zurucklegen der 1. Karte)
1/2
1/2
Z
1/2
1. Munze
W
1/2
endung der Multiplikationsformel:
(Binomialverteilung, siehe unten)
2.2.2 Unabhangigkeit von Ereignissen
4/32
28/32
kein As
also
1/2
1/2
n P (A1 \ : : : \ An;1 )
5
20
30
50
60
X = Anzahl Munzen mit Wappen sichtbar
Beispiel
As
27/31
4/31
28/31
3/31
kein As
As
kein As
As
3 4 + 4 28 = 1
P ("As beim 2. Zug\) = 31
32 31 32 8
43
1. Zug
32 Karten (Skat), 4 Asse, 2 Zuge mit Zurucklegen der 1. Karte ; die Asse seien die Karten mit
den Nummern 1, 2, 3 und 4
2. Zug
Ergebnismenge:
= f1; 2; 3; 4; : : :; 31; 32g f1; 2; 3; 4; : : :; 31; 32g
Ereignisse:
= f1; 2; 3; 4g f1; 2; : : :; 32g
= f1; 2; : : :; 32g f1; 2; 3; 4g
A \ B = f1; 2; 3; 4g f1; 2; 3; 4g
A
B
44
322 Elemente
"1. Karte ein As\
"2. Karte ein As\
"zweimal As\
ace{Annahme:
1
P (A) = 432 32
2 = 8 = P (B )
16 = 1
P (A \ B ) = 32
2
64
"B hat keinen Einu auf A\
"A hat keinen Einu auf B\
"getrennte Versuchsteile bestimmten das Eintreten von A und B\
, P (A \ B ) = P (A) P (B )
P (AjB ) = P P(A(B\B) ) = 648 = 81 = P (A)
P (B jA) = P P(B(A\A) ) = 648 = 81 = P (B )
ngte Wahrscheinlichkeiten:
ition
P (A \ B ) = P (A) P (B )
nisse A und B heien unabhangig, falls gilt
endung
(A1 1 )
(B2 2 )
= 1 2 = f(!1 ; !2 )j!1 2 1; !2 2 2 g
1. Zufallsexperiment : Ergebnismenge 1
2. Zufallsexperiment : Ergebnismenge 2
truktion von Modellen bei mehrstugen Experimenten
samt:
nisse:
A = A1 2
B = 1 B2
ussetzung: Experimente ohne gegenseitige Beeinussung
:
P (A \ B ) = P (A) P (B )
45
Beispiele
Ai = "Bauteil i intakt\ ; i = 1; 2
G = "Gerat intakt\
2 Bauteile, I = Serienschaltung, II = Parallelschaltung;
Ereignisse:
Es sei
pi = P (Ai ); i = 1; 2
P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) P (A2 ) = p1 p2
Annahme: A1 ; A2 stochastisch unabhangig. Dann gilt:
Daraus folgt:
P I (G) = P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) P (A2 ) = p1 p2
P II (G) = P (A1 [ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) ; P (A1 \ A2 ) = p1 + p2 ; p1 p2
Es gilt:
P I (G) < P II (G)
= f1; 2; 3; 4g; P (fig) = 14 ; i = 1; : : :; 4; Laplace{Annahme;
Sei
A = f1; 2g; B = f1; 3g; C = f2; 3g
Es gilt:
P (A \ B ) = 14 = 21 21 = P (A) P (B )
46
Es gilt also fur i = 1; 2; 3; : : :
ebenso:
P (A \ C ) = P (A) P (C )
P (B \ C ) = P (B ) P (C )
aber:
Verallgemeinerung
P (A \ B \ C ) = 0 6= P (A) P (B ) P (C )
"A; B; C paarweise unabhangig, aber nicht vollstandig unabhangig\
3 Geometrische Verteilung
iel
"Warten auf den ersten Erfolg\
Es sei
p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Experiment
und
X = Anzahl der benotigten Versuche bis zum 1. Erfolg
Falls die einzelnen Experimente sich nicht gegenseitig beeinussen (Unabhangigkeitsannahme),
gilt
en auf die erste "6\ beim Wurfeln
i
X = Anzahl der benotigten Wurfe
P (X = i) = p (1 ; p)i;1 ;
r der Annahme, da die einzelnen Wurfe ohne gegenseitige Beeinussung erfolgen (Unngigkeitsannahme), gilt:
X=1
X=2
X=3
X=4
=6
=6
=6
=6
1/6
1/6
1/6
<6
5/6
<6
5/6
i;1
P (X = i) = 16 65
"X geometrisch verteilt mit Parameter p\
Es gilt:
1
X
1
1
X
X
P (X = i) = p (1 ; p)i;1 = p
(1 ; p)i
i=1
i=1
i|=0 {z }
1/6
<6
5/6
<6
5/6
i = 1; 2; 3; : : :
= p 1 ; (11 ; p) = 1
geometrische
Reihe
.......
us folgt:
P (X = 1) = 61
P (X = 2) = 56 16
2
P (X = 3) = 65 16
3
P (X = 4) = 56 16
47
(beachte : P (
) = 1 !)
Beispiel
Wurfelwurf
X = Anzahl der Versuche bis zur ersten 6
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit fur das Ereignis
usw
A = "erste 6 spatestens beim 3. Wurf\
48
erhalt:
i wurde benutzt:
fur q > 0
91 = 0:4213
= 216
n+1
qi = 1 1;;q q
i;1
3
3
X
X
P (X 3) =
P (X = i) = 1 5
i=1
i=1 6 6
5 3
2 5 i 1 1 ;
X
6
= 1
= 6
6
i=0 6
1 ; 56
n
X
i=0
4 Binomialverteilung
hfuhrung von n gleichen Zufallsexperimenten ohne gegenseitige Beeinussung (! Unngigkeitsannahme)
= f(!1 ; !2 ; : : :; !n) j !i 2 f0; 1gg
X = Anzahl Experimente mit A ("Anzahl Erfolge\)
nis A vorgegeben; "Erfolg\ = "A tritt ein\
bnismenge:
i
!i = 0 , kein Erfolg
!i = 1 , Erfolg
X : ;! N
(!1 ; !2 ; : : :; !n) 7! Anzahl i mit !i = 1
0p1
"k Erfolge\
p = P (A) = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Experiment ;
lsvariable X :
i
! = (!1 ; !2 ; : : :; !n ) 2 mit X (!) = k
49
k
n
pk
|{z}
k Erfolge
n;k
|(1 ;{zp) }
n ; k Mierfolge
k = 0; 1; : : :; n
solcher ! mit X (!) = k (Anzahl Serien mit genau k Erfolgen). Daraus
P (f!g) =
Dann gilt aufgrund der Unabhangigkeitsannahme:
Es gibt insgesamt
folgt:
!
P (X = k) = nk pk (1 ; p)n;k ;
!
"X binomialverteilt mit Parametern n und p\
Schreibweise: X B (n; p)
Es gilt:
n
n n
X
X
P (X = k) =
pk (1 ; p)n;k
k=0
k=0 k
= (p + (1 ; p))n
= 1 (P (
) = 1 !)
n n!
X
k n;k
k a b
k=0
k = 0; 1; 2; 3
X B (n; p) mit n = 3 und p = 61 ;
X = Anzahl der "Sechsen\
(a + b)n =
Dabei wurde die binomische Formel benutzt:
Beispiel
3 Wurfe eines Wurfels
Es gilt:
also
! k 3;k
P (X = k) = k3 61 65
;
50
Formel liefert:
samt gilt:
P (X = 0)
P (X = 1)
P (X = 2)
P (X = 3)
3
= 0:5787
= 0:3472
= 0:0694
= 0:0046
216 = 1
P (X = k) = 216
125
5
=
=
56 2 216
75
=3 1
=
6 2 56 216
15
=3 1
= 216
16 3 6
=
= 2161
6
3
X
k=0
em : Berechnung von P (X = k) bei groem n !
k
= k) = k! e; ; k = 0; 1; 2; : : :
nlim
!1 n pn = > 0
5 Poisson{Verteilung und Poissonscher Grenzwertsatz
nlim
!1 P (Xn
Xn B (n; pn ) ; n = 1; 2; : : : ;
sonscher Grenzwertsatz
gilt:
undung
kn
!
P (Xn = k) = n pk (1 ; pn )n;k
n
k
n
k 1 ; npn
n
= n(n ; 1) : :k: ! (n ; k + 1) npnn
(1 ; pn )k
!
0 ! 1n 1 z}|{C 1 1 ; n : : : 1 ; k ;n 1
k B
= (npn ) B1 ; npn C A
k
n
(1
;
| k{z! } @
|
{zpn )
}
k |
{z }
!1
!
!e;
k!
k e;
k!
n;!
!1
51
i
P (X = i) = i! e; ;
Eine Zufallsvariable X mit
ex =
1 xi
X
i!
i=0
1
X
i=0
i = 0; 1; 2; : : :;
1 i
X
; i! = e e = 1
i=0
>0
(Reihenentwicklung der Exponentialfunktion)
P (X = i) = e;
heit "Poisson{verteilt\ mit Parameter . (Verteilung fur die Anzahl des Auftretens seltener
Ereignisse.)
Es gilt:
wegen
Anwendung
Anzahl der "Erfolge\, falls
Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird und
Erfolgswahrscheinlichkeit p bei einem Experiment gering.
Beispiele:
Anzahl der Unfalle eines Autofahrers pro Jahr
Anzahl der Anrufe in einer Telefonzentrale zwischen 10.00 Uhr und 10.05 Uhr
fur k = 0; 1; : : :; n
X B (n; p) ; wobei n gro und p klein
Approximation von Binomialwahrscheinlichkeiten
Dann gilt mit = n p
k
P (X = k) k! e;
52
iel
2.3 Zufallsvariable und Verteilungsfunktion
Beispiele
Werfen eines Wurfels
6; 6; 1; 3
mogliche Werte von X : 1, 2, 3, 4, 5, 6
bei 5{maliger Versuchswiederholung konnten folgende Ergebnisse auftreten:
4;
|{z}
Realisation
von X
X = Gewicht eines Huhnereies
mogliche Werte von X : alle positiven reellen Zahlen
aber: Das Auftreten bestimmter Werte ist sehr unwahrscheinlich
54
Problem : Beschreibung (Darstellung) der Verteilung von X
d. h. man kennt die Verteilung von X .
"Man kennt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen X bestimmte Werte annimmt.\
Annahme :
X = geworfene Augenzahl
spezielles Versuchsergebnis x: Realisation von X
Zufallsvariable X beschreibt den Ausgang eines Zufallsexperiments
X B (200; 0:02)
X = Anzahl herausgegriener Personen mit Blutgruppe AB
erden 200 Personen zufallig gewahlt. Anteil der Personen mit Blutgruppe AB in der
lkerung betrage 2%. Sei
lt
= 200 0:02 = 4 erhalt man naherungsweise nach dem Poissonschen Grenzwertsatz:
P (X > 3) = 1 ; P (X 3)
3 k
X
1 ; e;4 k!
k=0
= 1 ; e;4 1 + 4 + 8 + 32
3
= 1 ; e;4 71
3
= 0:5665
53
1 Diskret verteilte Zufallsvariable
Darstellung der Verteilung von X als Stabdiagramm
endung meistens beim Zahlen
Beispiel
iele
X B (3; 12 ) , also
geometrisch{verteilte Zufallsvariable
binomial{verteilte Zufallsvariable
!
! 3
P (X = k) = k3 21 = k3 18 ;
Man erhalt:
Poisson{verteilte Zufallsvariable
Werte xi
x1 x2 x3 . . .
Wahrscheinlichkeit P (X = xi ) p1 p2 p3 . . .
iele
P (X = 1) = 38
P (X = 3) = 18
P (X = 0) = 18
P (X = 2) = 83
tetabelle
k = 0; 1; 2; 3
P(X=k)
1
1/2
Wurfelwurf
X = geworfene Augenzahl
1/8
xi
1 2 3 4 5 6
P (X = xi ) 16 16 16 16 16 16
X B (n; p) (Binomialverteilung)
Dann gilt fur k = 0; 1; : : :; n:
die Wahrscheinlichkeiten pi gilt stets:
0 pi 1
i
pi =
2
3
Analogie: Stabdiagramm in der beschreibenden Statistik bei quantitativ{diskreten Merkmalen
Verteilungsfunktion
xk = k
!
pk = P (X = k) = nk pk (1 ; p)n;k ; 0 p 1
X
x
1
0
X
i
fur alle i
F (x) := P (X x) =
X
i mit
xi x
P (X = xi )
= Wahrscheinlichkeit dafur, da X Werte x annimmt
P (X = xi ) = 1
55
56
iel
Dichtefunktion f
B (3; 12 )
Eine Funktion f : R! [0; 1) heit Dichte von X , wenn die Verteilungsfunktion von X gegeben
ist durch
Zx
F (x) = P (X x) = f (t)dt
F(x)
1
P(X=3)=1/8
;1
f(t)
P(X=2)=3/8
1/2
P(X=1)=3/8
P(X=0)=1/8
0
1
2
3
x
ogie : relative Summenhaugkeitsfunktion in der beschreibenden Statistik (empirische
eilungsfunktion)
lt:
P (a < X b) = F (b) ; F (a) ;
P (a X b) = F (b) ; F (a) + P (X = a)
t
x
Flacheninhalt = F(x) = P(X < x)
Insbesondere gilt dann
Z1
;1
f (t)dt = 1
Gesamtache
f(t)
Flache = 1
2 Stetig verteilte Zufallsvariable
endung: in der Regel beim Messen
Wert eines Intervalls ist moglich, nicht nur diskrete Werte wie ganze Zahlen.
t
2.3.3 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F
eilungsfunktion F
F (x) := P (X x)
= Wahrscheinlichkeit dafur, da X Werte x annimmt
t wei man alles uber die Zufallsvariable X , z. B.
P (a < X b) = F (b) ; F (a)
57
Es sei F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X . Dann gilt:
F ist stetig von rechts.
F ist monoton wachsend.
0 F (x) 1 fur alle x 2 R
x!;1
lim F (x) = 0
58
P (a < X b) = F (b) ; F (a) = Ra f (t)dt = P (a X b)
b
F(x)
1
f(t)
Flache = P(a < X < b)
0
x
xlim
!1 F (x) = 1
F ist eine Treppenfunktion, falls X diskret verteilte Zufallsvariable
F(x)
0
t
a
b
R f (t)dt = P (X < b)
P (X b) = F (b) = ;1
b
1
P (X > a) = 1 ; F (a) = Ra f (t)dt = P (X a)
1
f(t)
0
x
Flache = P(X > a)
F ist eine stetige Funktion (keine "Sprunge\), falls X stetig verteilt mit Dichte f
Zx
F (x) = f (t)dt
;1
beachte : Integral hangt nur von der oberen Grenze ab.
0
t
a
P (jX j c) = P (;c X c) = ;Rc f (t)dt = F (c) ; F (;c)
F(x)
c
1
f(t)
Flache = P(|X| < c)
0
x
i X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Dichte f . Dann gilt:
0
t
-c
P (X = c) = 0 fur beliebiges c
59
c
0
60
4 Rechteckverteilung
teckverteilung (Gleichverteilung)
e:
X R(a; b)
a
b
8
<> 1 fur a t b
f (t) = b ; a
:> 0 sonst
f(t)
0.5
1
1.5
2
3
3.5
4.5
5
t
Verteilungsfunktion:
Es gilt im Fall x < 0:
Im Fall x 0 erhalt man:
Insgesamt also:
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0
Zx
Zx
;1
f (t)dt
e;tdt
F (x) = 0
F (x) =
F (x) =
= ;e;tj0x = ;e;x + 1
8
>
<
0
x<0
F (x) =
>
: 1 ; e;x x 0
0.5
1
1.5
62
2.5
x
3
3.5
4
4.5
2 R; 2 > 0
5
2
;(t ; )2
;1 t ; 22 = p1 e 2 2
X N (; 2) ;
f (t) = p1 e
2
2
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter = 1:0
Dichte:
Normalverteilung mit Parametern und 2
2.3.6 Normalverteilung
F(x)
1/(b-a)
5 Exponentialverteilung
0
4
8
>
< 0 fur t < 0
f (t) =
>
: e;t fur t 0
X Exp()
nentialverteilung mit Parameter > 0
e:
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
61
2.5
x
e der Exponentialverteilung mit Parameter = 1:0
f(x)
en der Normalverteilungen mit Parametern
= 0:0 ;
= 5:0
1
= 1:0
;
0.9
0.8
= 4:0
0.7
0.6
F(x)
0.4
0.35
0.5
0.4
0.3
0.3
0.25
0.2
0.2
0.1
0.15
0
0.1
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
3
4
0.05
Integral nicht geschlossen losbar, deshalb in Tabellen !
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
Es gilt:
(;x) = 1 ; (x)
Standard{Normalverteilung
meter = 0; 2 = 1
e:
; 1 t2
f (t) = p1 e 2
2
fur alle x 2 R
0.4
0.35
0.3
0.4
0.25
f(x)
0.35
0.2
0.3
0.15
f(x)
0.25
0.2
0.1
0.15
0.05
0.1
0
0.05
-4
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
ilungsfunktion der Standard{Normalverteilung:
Zx
e; t dt
(x) = p1
2 ;1
1 2
2
63
2
3
4
-3
-2
-1
0
x
1
Sei X N (; 2) mit Verteilungsfunktion F; (x). Dann gilt:
2
F; (x) = x ; 2
64
2
mit der Substitution u = t; (du = dt) erhalt man:
F; (x) =
Zx
p1
t;
e; ( ) dt
2
1
2
2 ;1
x;
Z
= p1
e; u du
2 ;1
= x ; 2
1
2
r gilt:
P; (a < X b) = F; (b) ; F;
2
Beispiel
2
2
X N (; 2)
P (jX ; j 2) = P ( ; 2 X + 2)
= F; ( + 2) ; F; ( ; 2)
= + 2 ; ; ; 2 ; = (2) ; (;2)
2
2
2
= 2(2) ; 1
! (a) = b ; ; a ; = 0:9544 95%
"2{Regel\
e und Verteilungsfunktion von X
Interpretation : Abweichungen von , die groer als 2 sind, treten bei normalverteilten Zufallsvariablen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% auf.
f(t)
Veranschaulichung im Falle der Standard{Normalverteilung
0.4
0.35
0.3
f(x)
0.25
0.2
1
0.15
0.841
F(x)
0.1
0.05
0.5
0
-4
0.159
-3
-2
-1
0
x
0
65
66
1
2
3
4
Erwartungswert und Varianz
hreibende Statistik
Mereihen
Kennzahlen: Lageparameter
Streuungsparameter
rscheinlichkeitstheorie
Verteilungen von Zufallsvariablen
Kennzahlen: Erwartungswert (Mitte der Verteilung)
Varianz (Breite der Verteilung)
1 Erwartungswert einer diskret verteilten Zufallsvariable
ilung von X gegeben als Wertetabelle:
X
xi P (X = xi)
Werte xi
x1 x2 x3 . . .
Wahrscheinlichkeit P (X = xi ) p1 p2 p3 . . .
artungswert von X
E (X ) =
i
"gewichtete Summe\
die Reihe absolut konvergent ist !
67
Beispiele
X B 3; 21
bzw.
P (X = 0) = 81
P (X = 3) = 81
P (X = 1) = 83
k = 0; 1; 2; 3
P (X = 2) = 83
, also
! 3
!
P (X = k) = k3 21 = k3 81 ;
Erwartungswert von X :
i = 0; 1; 2; : : :
E (X ) = 0 P (X = 0) + 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2) + 3 P (X = 3)
= 0 1 +1 3 +2 3 +3 1
8
8
8
8
3
= 12
8 =2
i
X
i=1
=1
h(xi ) P (X = xi )
= 1 i
X
= i! e;
|i=0 {z }
= 1 i
X
E (X ) =
i e;
i=0 i!
1 i;1
X
;
(i ; 1)! e
P (X = i) = i! e; ;
i
X Poisson{verteilt mit Parameter > 0 , also
Erwartungswert von X :
Transformationen
Es sei h : R;! R beliebig. Dann gilt
E (h(X )) =
68
E (X 2 ) =
die Reihe absolut konvergent ist !
endungen
h(x) = x2
Beispiel
X B 3; 12
X
i
xi2 P (X = xi)
= xi )
E (X 2) = 0 P (X = 0) + 1 P (X = 1) + 4 P (X = 2) + 9 P (X = 3)
X
E (X k ) = xik P (X
k{tes Moment der Zufallsvariable X
i
= 0 81 + 1 83 + 4 38 + 9 81
= 24 = 3
8
h(x) = xk ; k 2 N
in diesem Sinne:
E (X ) = 1. Moment (Erwartungswert)
E (X 2 ) = 2. Moment
E (X 3 ) = 3. Moment
:::
2 Erwartungswert einer stetig verteilten Zufallsvariable
i X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Dichte f
artungswert von X
69
E (X ) =
falls der Integrand absolut integrierbar !
Beispiel
Z1
;1
x f (x) dx
X exponentialverteilt mit Parameter > 0 ; Dichte:
8
>
<
0
x<0
f (x) =
>
: e;x x 0
;1
= ;(0 ; 1 ) = 1
Z1
;1
0
h(x) f (x) dx
1
= (0 ; 0) ; 1 e;x
0
0
= ;xe;x0 + e;x dx
1 Z1
Z1 1
= x ; 1 e;x ; ; 1 e;xdx
0
0
E (X ) =
Erwartungswert von X (durch partielle Integration):
Z1
Z1
x f (x)dx = xe;xdx
Transformationen
Es sei h : R;! R stetig. Dann gilt
E (h(X )) =
falls der Integrand absolut integrierbar !
70
"quadratische Abweichung von E (X )\
h(x) = [x ; E (X )]2
2.4.3 Varianz einer Zufallsvariable
x2 f (x) dx
endungen
Z1
;1
Es sei
E (X 2) =
V ar(X ) = E (h(X )) = E ([X ; E ({zX )}]2)
|
feste
Zahl
"mittlere (erwartete) quadratische Abweichung vom Erwartungswert E (X )\
X
i
V ar(X ) =
[xi ; E (X )]2 P (X = xi)
Z1
;1
[x ; E (X )]2 f (x) dx
i = 1; 2; : : :; 6
X = Augenzahl beim Wurfelwurf
P (X = i) = 61 ;
72
E (X ) = 1 16 + 2 61 + : : : + 6 61 = 61 (1 + 2 + : : : + 6) = 61 21 = 27 = 3:5
Erwartungswert von X :
Es gilt
Sei
Beispiele
im Falle einer stetig verteilten Zufallsvariable X mit Dichte f
V ar(X ) =
im Falle einer diskret verteilten Zufallsvariable X
Es gilt
Varianz von X
h(x) = x2
Z1
0
Beispiel
X exponentialverteilt mit Parameter > 0
Z1
x2 f (x)dx = x2 e;xdx
E (X 2 ) =
;1
1 Z1
= x2 ; 1 e;x ; 2x ; 1 e;xdx
0
0
=E(X )
Z1
= (0 ; 0) + 2 xe;xdx
{z }
|0
xk f (x) dx
= 2 E (X ) = 2 1 = 22
Z1
;1
k{tes Moment der Zufallsvariable X
E (X k ) =
h(x) = xk ; k 2 N (stetige Funktion)
in diesem Sinne:
E (X ) = 1. Moment (Erwartungswert)
E (X 2 ) = 2. Moment
E (X 3 ) = 3. Moment
:::
71
Varianz von X :
V ar(X ) = [1 ; 3:5]2 1 + [2 ; 3:5]2 1 + : : : + [6 ; 3:5]2 61
6
6
= 61 [;2:5]2 + [;1:5]2 + [;0:5]2 2
= 1 25 + 9 + 1
3
4
35 = 2:917
= 12
E (X ) = V ar(X ) = 2
73
"Mitte der Verteilung\ ;! E (X )
V ar(X ) ; oder besser
"Breite der Verteilung\ ;! q
V ar(X ) (Streuung)
Fur X N (; 2) gilt:
e:
f(t)
2.4.4 Rechenregeln fur Erwartungswerte
fur alle t 0
Bei der Berechnung von Erwartungswerten konnen folgende Regeln angewandt werden:
E (X ) = ;
"Verteilung symmetrisch zu \
P (X = ; t) = P (X = + t)
Es sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable.
Gilt fur ein 2 R
dann ist
Erwartungswert = Symmetriepunkt
falls der Erwartungswert existiert.
Interpretation :
Beispiele
{ X B (3; 12 ). Fur = 23 gilt:
E (X ) = 3:5
P (X = 23 ; t) = P (X = 32 + t) ; t 0
also:
E (X ) = 23
(vgl. Berechnung oben)
{ Sei
X = Augenzahl beim Wurfelwurf
Verteilung von X ist symmetrisch zu = 3:5, also
(vgl. Berechnung oben)
E (X ) = ;
Es sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Dichte f .
Gilt fur ein 2 R
f ( ; t) = f ( + t) fur alle t 0 ;
dann ist
falls der Erwartungswert existiert.
74
Beispiel
X N (; 2) (Normalverteilung); Dichte:
2
;1 x ; f (x) = p1 e 2 2
ist "die Mitte der Verteilung\ !
E (X ) = Hier gilt
f ( ; t) = f ( + t) ; t 0 ;
und man kann zeigen, da E (X ) existiert, also
Interpretation :
Es seien a; b 2 R. Dann gilt:
E (aX + b) = aE (X ) + b
V ar(aX + b) = a2 V ar(X )
2
E (X ) = 23 ; E (X 2) = 3
Dann gilt (siehe oben):
V ar(X ) = E X 2 ; [E (X )]2
Die Varianz einer Zufallsvariable X kann mit folgender Formel berechnet werden:
Beispiele
{ Es sei X B (3; 21 ).
Daraus folgt:
E (X ) = 1 ; E (X 2) = 22
V ar(X ) = 3 ; 23 = 12 4; 9 = 43
{ Es sei X exponentialverteilt mit Parameter > 0. Dann gilt (siehe oben):
Daraus folgt:
2
V ar(X ) = 22 ; 1 = 12
75
2.4.5 Tschebyschesche Ungleichung
Zusammenhang zwischen Erwartungswert E (X ) und Varianz V ar(X ) einer Zufallsvariable X :
P (jX ; E (X )j c) V arc2(X ) ; fur c > 0
Die Tschebyschesche Ungleichung liefert also eine obere Schranke fur die Wahrscheinlichkeit
dafur, da Abweichungen vom Erwartungswert auftreten, die groer oder gleich c sind.
Man beachte:
P (jX ; E (X )j c) = 1 ; P (jX ; E (X )j < c)
= 1 ; P (E (X ) ; c < X < E (X ) + c)
und
V ar(X ) = 2
P (jX ; E (X )j < c) = P (E (X ) ; c < X < E (X ) + c) 1 ; V ar2(X )
c
Daraus ergibt sich folgende Abschatzung fur c > 0:
Beispiel
E (X ) = Es sei X N (; 2) und c = 2.
Es gilt:
Aus der Tschebyscheschen Ungleichung erhalt man:
2
P (jX ; j 2) 42 = 41 = 0:25
Die Tschebyschesche Ungleichung ist hier sehr grob, denn es gilt nach der "2{Regel\ (siehe
oben):
P (jX ; j 2) = 0:0456 0:05
76
77
erung: Die Ereignisse A1 ; : : :; An sollen vollstandig unabhangig sein !
= 1; : : :; n sei
Ai = " Xi xi \
orgegebenen Werten x1 ; x2; : : :; xn.
isch: "Die Werte kommen ohne gegenseitige Beeinussung zustande.\
ematisch: Produktformel
bhangigkeit der Zufallsvariablen X1 ; X2; : : :; Xn
e : Gilt eine entsprechende Formel auch fur die Varianz ?
E (X1 + X2 + : : : + Xn) = E (X1 ) + E (X2) + : : : + E (Xn)
ien X1; X2; : : :; Xn Zufallsvariablen. Dann gilt:
6 Summen von Zufallsvariablen
f(t)
Dies bedeutet:
P (A1 \ : : : \ An) = P (A1 ) : : : P (An )
1
Fur die sogenannte gemeinsame Verteilungsfunktion F(X ;:::;Xn)(x1 ; : : :; xn) gilt also:
1
F(X ;:::;Xn)(x1 ; : : :; xn) = P (X1 x1 ; X2 x2; : : :; Xn xn)
= P (A1 \ : : : \ An )
= P (A1 ) : : : P (An )
= P (X1 x1 ) P (X2 x2) : : : P (Xn xn)
2
9
8
>
> Produkt der einzelnen
=
<
> = :
> Verteilungsfunktionen
;
1
= FX (x1 ) FX (x2 ) : : : FXn (xn )
wobei (x1 ; x2; : : :; xn) 2 Rn beliebig.
Merkregel :
gemeinsame
Verteilungsfunktion
Die Zufallsvariablen X1 ; X2; : : :; Xn heien unabhangig, falls diese Gleichheit gilt.
Wichtig:
Die Annahme der Unabhangigkeit soll immer gemacht werden, wenn die Zufallsvariablen X1; X2; : : :; Xn Beobachtungen beschreiben, die durch Vorgange ohne gegenseitige Beeinussung zustande kommen !
V ar(X1 + X2 + : : : + Xn) = V ar(X1) + V ar(X2 ) + : : : + V ar(Xn)
Fur unabhangige Zufallsvariablen X1; : : :; Xn gilt:
sowie
E (X1 X2 : : : Xn) = E (X1) E (X2 ) : : : E (Xn)
78
endungen
Binomialverteilung
Xi = 1 , Erfolg
;
"Anzahl Erfolge bei n Versuchen\
Xi = 0 , kein Erfolg
p = "Erfolgswahrscheinlichkeit\ ; 0 p 1
X1; : : :; Xn seien unabhangig und Xi B (1; p) fur i = 1; : : :; n.
Es gilt also
P (Xi = 1) = p und P (Xi = 0) = 1 ; p
wobei
Interpretation :
Es gilt:
Y = X1 + : : : + Xn B (n; p)
Fur i = 1; : : :; n erhalt man
E (Xi ) = 0 (1 ; p) + 1 p = p
E (Xi 2 ) = 02 (1 ; p) + 12 p = p
V ar(Xi ) = p ; p2 = p(1 ; p)
Daraus folgt fur die B (n; p){verteilte Zufallsvariable Y :
E (Y ) = E (X1 ) + : : : + E (Xn) = n p
V ar(Y ) = V ar(X1) + : : : + V ar(Xn) = n p (1 ; p)
Normalverteilung
X1; : : :; Xn seien unabhangig und E (Xi) = i sowie V ar(Xi ) = i2 fur i = 1; : : :; n.
Es folgt:
E (X1 + X2 + : : : + Xn) = 1 + 2 + : : : + n
V ar(X1 + X2 + : : : + Xn) = 12 + 22 + : : : + n2
Fur eine normalverteilte Zufallsvariable X gilt:
X N (; 2) =) aX + b N (a + b; a22 )
Es gilt sogar: Summen von unabhangigen normalverteilten Zufallsvariablen sind wiederum
normalverteilt.
79
Achtung:
X1 + : : : + Xn N (1 + : : : + n; 12 + : : : + n2 )
X1 ; : : :; Xn unabhangig ; X1 N (1 ; 12); : : :; Xn N (n; n2 )
=)
Fur groes n gilt die letzte Aussage naherungsweise auch fur nicht{
normalverteilte Zufallsvariablen Xi !
80
Zentraler Grenzwertsatz
"Lange Summen von unabhangigen Zufallsvariablen sind naherungsweise normalverteilt.\
unabhangig ;
fur
i = 1; : : :; n
hte : Dies gilt auch ohne die Voraussetzung, da die Summanden selbst normalverteilt
ussetzungen
X1; : : :; Xn
E (Xi ) = i ; V ar(Xi ) = i2
gilt (unter schwachen Zusatzbedingungen) fur groes n die Approximation
0
1
P @ X1 + : : :q+ X2 n ; (1 + : : : + n) yA (y) ; y 2 R
1 + : : : + n2
Approximation
a
np
b
b + 0:5
1
f (t) = p2 pnp
e;
(1;p)
1
2
t;np
pnp
(1;p)
Y B (n; p), n gro, p nicht zu klein (sonst Poisson{Approximation !)
0
1 0
1
P (a Y b) @ q b ; np A ; @ q a ; np A
np(1 ; p)
np(1 ; p)
graphisch:
a ; 0 :5
Stetigkeitskorrektur
Stetigkeitskorrektur liefert i. allg. eine bessere Naherung:
0
1 0
1
P (a Y b) @ bq+ 0:5 ; np A ; @ aq; 0:5 ; np A
np(1 ; p)
np(1 ; p)
pretation : Eine "lange\ Summe X1 + : : : + Xn ist naherungsweise N (; 2){verteilt mit
1 + : : : + n und 2 = 12 + : : : + n2
endung auf die Binomialverteilung
Beispiel
also
Naherungsrechnung:
82
V ar(Y ) = np (1 ; p) = 225
E (Y ) = np = 450
P("hochstens 480 zeigen die gleiche Seite\) = ?
Sei Y = Anzahl Munzen mit "Wappen\ nach oben. Dann gilt:
Y B (n; p) mit n = 900 und p = 21
900 Munzen werden auf den Tisch geworfen.
B (1; p); i = 1; : : :; n ; X1; : : :; Xn unabhangig.
lt:
E (Xi) = p
V ar(Xi) = p(1 ; p)
Y = X1 + : : : + Xn B (n; p)
dem Zentralen Grenzwertsatz folgt: Y ist naherungsweise N (np; np(1 ; p)) verteilt, d.h.
0
1
P @ q Y ; np yA (y) Grenzwertsatz von Moivre{Laplace
np(1 ; p)
81
2
ohne Stetigkeitskorrektur
!
!
P (420 Y 480) 480p; 450 ; 420p; 450
225
225
= (2) ; (;2)
= 2 (2) ; 1
= 0:9544
mit Stetigkeitskorrektur
!
:5 ; 450
419:5 ; 450
p
P (420 Y 480) 480p
;
225
225
61
= 30
; ;3061
= 2 (2:03) ; 1
= 0:9576
83
!
Kapitel 3
Schlieende Statistik
Beschreibende Statistik:
Analyse von Mereihen
Wahrscheinlichkeitstheorie:
Mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten; dabei wurde stets angenommen, da die Verteilungsfunktion F , die das Zustandekommen der Ergebnisse beschreibt, vollstandig bekannt ist.
Schlieende Statistik:
Es wird davon ausgegangen, da die Verteilungsfunktion F (das Zufallsgesetz) nicht
vollstandig bekannt ist.
Ziel: Ruckschlusse ziehen auf F auf der Basis vorliegender Beobachtungsdaten (Mereihen).
Beispiel
Es sei p der relative Anteil der Individuen einer Population, die an einer ganz bestimmten
Krankheit leiden. Wegen des zu groen Populationsumfangs ist ein Untersuchen aller Individuen
nicht moglich. Zur Bestimmung des unbekannten relativen Anteils p wird daher folgendermaen
vorgegangen: Der Gesamtpopulation wird eine Stichprobe von n Individuen entnommen und
es wird festgestellt, wieviele Individuen innerhalb der Stichprobe an der Krankheit leiden.
Fragen:
Wie gro ist p ? ;! Schatzproblem
Zwischen welchen Grenzen liegt p ? ;! Kondenzintervall
Gilt p = 1% ? ;! Testproblem
84
Schatzverfahren
Beispiele
ben: Stichprobe x1; : : :; xn ; n = Stichprobenumfang ;
Das arithmetische Mittel
ell:
Realisierung von unabhangigen Zufallsvariablen X1; : : :; Xn ;
alle Zufallsvariablen identisch wie X verteilt mit einer Verteilungsfunktion F ; 2 ;
= "Indexmenge\ (Menge der moglichen Parameterwerte)
n
X
Tn (x1 ; : : :; xn) = x(n) = n1 xi
i=1
ist ein Schatzer fur
() = E(X )
Die Stichprobenvarianz
n 2
X
Tn(x1 ; : : :; xn) = s2(n) = n ;1 1
xi ; x(n)
i=1
Angabe eines Schatzwerts fur bzw. fur (), wobei : ! R,
also () ein "reellwertiger Parameter\
iel
= (; 2)
Schatzen des Erwartungswertes
Schatzen der Varianz
tzvariable
ibweisen:
() = V ar(X )
Frage : Welche speziellen Eigenschaften sollten vernunftige Schatzer besitzen ?
i X N (; 2), also
tzer
ist ein Schatzer fur
und
= R R+
() = () = 2
3.1.1 Erwartungstreue
Beispiel
Schieen mit einem Gewehr
Tn : Rn ;! R Zuordnung
(|x1 ; :{z: :; xn)} 7;! T| n (x1;{z: : :; xn})
Stichprobe
Schatzwert fur ()
Tn(X1 ; : : :; Xn)
(Zufallsvariable)
E(X ) ; V ar(X ) ; P (X x) ;
E(Tn ) = E (Tn (X1 ; : : :; Xn)) ; : : :
x bedeutet: Der Wert der jeweiligen Groe hangt davon ab, welches 2 das zutreende
85
normale Streuung !
systematischer Fehler !
86
Es sei
T
T
() = V ar(X )
und
n
X
Tn (X1 ; : : :; Xn) = S(2n) = n ;1 1 (Xi ; X (n))2
i=1
Es gilt mit = E(X ):
n
X
nicht
so !
so !
i=1
(Xi ; X (n))2 =
=
=
n h
X
i2
(Xi ; ) ; (X (n) ; )
i=1
n
X
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
i=1
(Xi ; )2 ; 2
(Xi ; )2 ; 2
+ n(X (n) ; )2
τ(θ)
=
τ(θ)
=
"Schatzer soll im Mittel richtig schatzen !\
Schatzer Tn heit erwartungstreu, falls fur alle 2 gilt:
E (Tn (X1 ; : : :; Xn)) = ()
iele
Es sei
und
Dann gilt:
() = E (X )
(Xi ; )2 ; 2[nX 2(n) ; 2nX (n) + n2 ] + n(X (n) ; )2
i=1
n
X
(Xi ; )2 ; 2n(X (n) ; )2 + n(X (n) ; )2
i=1
n
X
i=1
(Xi ; )2 ; n(X (n) ; )2
Daraus erhalt man:
!
n
2 X
1
2
E S(n) = E n ; 1 (Xi ; X (n))
i=1
!
n
X
1
E
(Xi ; )2 ; n(X (n) ; )2
=
n ; 1 i=1
2
n
6X
1
2
2
= n ; 1 664 E
[(X{z
i ; ) }] ; n E[(X (n) ; ) ]
|
{z
}
i=1 |
V ar (Xi)
!
n
X
E (Tn (X1 ; : : :; Xn)) = E n1 Xi
i=1
n
X
1
= n E
| {z(Xi )}
i=1
()
= n1 n ()
= ()
87
(Xi X (n) ; Xi ; X (n) + 2 )
= 1 n ; n 1 V ar(X )
n;1
n
Tn (X1 ; : : :; Xn) = X (n)
d. h. X (n) ist erwartungstreu fur () = E(X ) .
=
n
X
(Xi ; )(X (n) ; ) + n(X (n) ; )2
3
77
75
V ar (X(n) )= n1 V ar (X )
= V ar (X )
d. h. S(2n) ist erwartungstreu fur () = V ar(X ) .
Fur den Schatzer
n
X
Tn (X1 ; : : :; Xn) = n ;n 1 S(2n) = n1 (Xi ; X (n))2
i=1
gilt:
1
n;1 n;1
2
E (Tn (X1 ; : : :; Xn)) = E n ;
S
= n E S(2n) = n V ar(X )
(
n
)
n
| {z }
<1
88
Deshalb n ;1 1 und nicht n1 als Faktor !
Dieser Schatzer ist also nicht erwartungstreu fur () = V ar (X ) ("wahre Varianz wird
im Mittel unterschatzt\).
2 Konsistenz
"Wenn n gro genug wird, schatzt man beliebig genau.\
ben sei fur jedes n 2 N ein Schatzer Tn : Rn ! R fur ().
Schatzerfolge T1 ; T2; T3 ; : : : heit konsistent fur : ! R, falls fur jedes > 0 und fur
2 gilt:
> ) = 0
nlim
!1 P (jTn (X1; : : :; Xn) ; ()j
() = E(X )
fur alle 2 ;
!
arithmetisches Mittel
Schatzen des Erwartungswertes
so ist die Schatzerfolge T1 ; T2 ; T3; : : : konsistent fur : ! R:
nlim
!1 V ar(Tn (X1 ; : : :; Xn)) = 0
Sind die Schatzer T1 ; T2 ; T3 ; : : : erwartungstreu fur : ! R und gilt
rium zum Prufen, ob Konsistenz vorliegt:
iel
i
Schatzer
Tn(X1 ; : : :; Xn) = X (n)
wartungstreu fur () (siehe oben).
n
n
X
V ar(Tn (X1 ; : : :; Xn)) = V ar n1 Xi
i=1
!
n
X
V ar(Xi )
= n12
i=1
= n12 n V ar(X )
= 1 V ar (X )
n
89
gilt
1
nlim
!1 V ar (Tn (X1 ; : : :; Xn)) = nlim
!1 n V ar(X ) = 0 ;
d. h. das arithmetische Mittel ist konsistent fur () = E (X ) .
Problem :
Wie kann man Schatzer bestimmen, wenn F ; 2 , gegeben ist ?
3.1.3 Momentenmethode
i=1
n
X
xik
"k{tes Stichprobenmoment\
m(k)() = E(X k )
k{tes Moment der Zufallsvariable X (siehe Abschnitt 2.4.1 bzw. 2.4.2):
Betrachte den Schatzer
Tn(k)(x1 ; : : :; xn) = n1
2 Rl
l{dimensionaler Parameter
n
X
E Tn(k)(X1 ; : : :; Xn) = E n1 Xik
i=1
= n1 n m(k)()
= m(k)()
Tn(k) ist ein erwartungstreuer Schatzer fur das k{te Moment von X :
!
Es sei
Prinzip:
i=1
n
X
xik fur k = 1; : : :; l
Wahle als Schatzwert ^ denjenigen Parameterwert aus
, fur den gilt:
m(k)(^) = n1
90
iele
X exponentialverteilt mit Parameter = R+ ; also l = 1
1. Moment (= Erwartungswert) von X :
m(1)() = E (X ) = 1
Gleichung zur Bestimmung von ^:
n
1= 1X
x =: x(n)
^ n i=1 i
Es folgt:
^ = x1
(n)
Man erhalt also als Schatzer fur den Parameter einer Exponentialverteilung:
(n)
Tn (x1; : : :; xn) = x1
X normalverteilt mit Parametern und 2
= (; 2 ) ; = R R+ R2 ; also l = 2
1. und 2. Moment von X :
m(1)() = E(X ) = m(2)() = E(X 2 ) = V ar (X ) + [E(X )]2 = 2 + 2
Es sei
^ = (^; c2 )
Man erhalt zunachst:
n
X
^ = m(1)(^) = n1 xi = x(n)
i=1
Die zweite Gleichung
n
X
c2 + ^2 = m(2) (^) = n1 xi2
i=1
liefert
n
n
2
X
X
2
xi ; x(n)
c2 = n1 xi2 ; x(n) = n1
i=1
i=1
Bei Anwendung der Momentenmethode erhalt man also folgende Schatzer:
Tn (x1 ; : : :; xn) = x(n) fur und
n 2
X
xi ; x(n) fur 2
Tn (x1 ; : : :; xn) = n1
i=1
91
X B (1; ) , Schatzen der Erfolgswahrscheinlichkeit = [0; 1] R; also l = 1
1. Moment (= Erwartungswert) von X :
m(1)() = E(X ) = Nach der Momentenmethode erhalt man folgenden Schatzwert fur :
i=1
n
X
^ = m(1) (^) = n1 xi
Es sei k die Anzahl der Versuche mit xi = 1 (Anzahl Erfolge). Dann gilt:
^ = nk relative Haugkeit der Erfolge
Die zugehorige Schatzvariable hat also folgende Gestalt:
n
X
Tn (X1 ; : : :; Xn) = Kn wobei K = Xi
i=1
Frage: Ist dieser Schatzer erwartungstreu fur ?
Die Zufallsvariable K ist B (n; ) verteilt. Daraus folgt:
E K = 1 E(K ) = 1 n = n
n
n
Der Schatzer ist also erwartungstreu fur .
Frage: Ist die Schatzerfolge konsistent fur ?
Wegen
V ar Kn = n12 V ar (K ) = n12 n (1 ; ) = (1n; )
gilt
K nlim
!1 V ar n = 0
Die Schatzerfolge ist also konsistent fur .
3.1.4 Maximum{Likelihood{Methode
Beispiel
Gegeben sei eine Urne mit 10 Kugeln (schwarze und weie). Die Anzahl der schwarzen Kugeln
in der Urne ist nicht bekannt. Es gilt
2 = f0; : : :; 10g
92
ird aus der Urne dreimal ohne Zurucklegen eine Kugel gezogen. Unter den gezogenen
ln benden sich 2 schwarze Kugeln. Wie kann man mit dieser Information einen geeigneten
zwert fur gewinnen ?
i
X = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln
: Welche Verteilung besitzt die Zufallsvariable X ?
ergeometrische Verteilung
"hypergeometrische Verteilung\
ben sei eine Population von N Individuen. M der Individuen seien "markiert\. Es werden
opulation insgesamt n Individuen entnommen (Ziehen ohne Zurucklegen). Die Zufallsvae Y beschreibe die Anzahl der "markierten\ Individuen in der Stichprobe. Es gilt:
!
!
M
N ;M
n! ; k
P (Y = k ) = k
; k = max(M ; (N ; n); 0); : : :; min(M; n)
N
n
ibweise: Y H (n; N; M )
Verteilung der Zufallsvariable X , die die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln beibt, hangt naturlich vom zutreenden, jedoch unbekannten, 2 ab. Es gilt:
X H (3; 10; )
Es wurde das Ereignis fX = 2g beobachtet. Jenes pat am besten zu diesem Ereignis,
as die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses am groten ausfallt. Das ist das
ibelste !
Maximum{Likelihood{Prinzip = Prinzip der groten Plausibilitat
estimmen ist also jenes 2 , fur das die Wahrscheinlichkeit P (X = 2) am groten ist.
10
3
lt fur = 0; 1; 10:
P (X = 2) = 0
fur = 2; : : :; 9 (hypergeometrische Verteilung):
!
!
10 ; !1
P (X = 2) = 2
Berechnung der Werte ergibt folgende Tabelle:
93
0 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
P (X = 2) 0 0 0.067 0.175 0.300 0.417 0.500 0.525 0.467 0.300 0
Die grote Wahrscheinlichkeit ergibt sich fur = 7. Man erhalt also als Maximum{Likelihood{
Schatzwert fur :
^ = 7
Allgemeines Vorgehen:
1. Fall: X diskret verteilt
L( ; |x1; : {z: :; xn} ) = P| (X1 = x1 ) P (X2 ={zx2) : : : P (Xn = xn)} ; 2 Stichprobe Wahrscheinlichkeit dafur, da die beobachtete Stichprobe auftritt, falls zutrit
Betrachte die Likelihood{Funktion zur Stichprobe x1; : : :; xn:
Prinzip:
Wahle als Schatzwert ^ denjenigen Parameterwert aus
, bei dem die Likelihood{Funktion L( ; x1; : : :; xn) ihr
Maximum annimmt !
Der zugehorige Schatzer
Tn (x1 ; : : :; xn) = ^(x1 ; : : :; xn)
heit Maximum{Likelihood{Schatzer (ML{Schatzer).
Beispiel
X sei Poisson{verteilt mit Parameter > 0.
Als Likelihood{Funktion zu einer Stichprobe (x1 ; : : :; xn) 2 (N [ f0g)n erhalt man:
1
L( ; x1; : : :; xn) = x ! : 1: : x ! x +:::+xn e;n
1
n
Man betrachtet die sogenannte Log{Likelihood{Funktion ln L( ; x1; : : :; xn), welche die
gleichen Maximalstellen wie die Likelihood{Funktion besitzt:
ln L( ; x1; : : :; xn) = ;n ; ln(x1 ! : : : xn!) + (x1 + : : : + xn) ln 94
etzen der 1. Ableitung der Log{Likelihood{Funktion ergibt:
d ln L = ;n + 1 (x + : : : + x ) =! 0
n
d
1
Nullsetzen der 1. Ableitung ergibt:
d ln L = n ; (x + : : : + x ) =! 0
1
n
d
1
2
96
Hinweis: Die Momentenmethode und die Maximum{Likelihood{Methode fuhren im Falle der
Exponentialverteilung zum gleichen Schatzer.
Die 2. Ableitung der Log{Likelihood{Funktion ist an der Stelle ^ negativ, so da die Funktion
an dieser Stelle ihr Maximum annimmmt.
Man erhalt also als Maximum{Likelihood{Schatzer fur :
(Kehrwert des arithmetischen Mittels)
^(x1 ; : : :; xn) = x + :n: : + x = x1
1
n
(n)
n = (x + : : : + x )
1
n
Daraus folgt:
arithmetisches Mittel
sen der Gleichung liefert folgenden Schatzwert fur :
^ = n1 (x1 + : : : + xn) = x(n)
. Ableitung der Log{Likelihood{Funktion ist < 0 an der Stelle ^, so da die Funktion an
r Stelle tatsachlich ihr Maximum annimmt !
ll: X stetig verteilt
Verteilungsfunktion F sei gegeben durch eine Dichte f .
verwendet folgenden U bergang:
P (Xi = xi ) ;! f(xi )
Likelihood{Funktion zur Stichprobe x1 ; : : :; xn ist hier also folgendermaen deniert:
L( ; x1; : : :; xn) = f(x1 ) f (x2 ) : : : f (xn) ; 2 weitere prinzipielle Vorgehensweise ist die gleiche wie im 1. Fall.
iel
Exp() ; > 0.
lt also (siehe Abschnitt 2.3.5):
8
>0
<
fur x < 0
f (x) = >
: e;x fur x 0
1
= e;x e;x : : : e;xn
= n e;(x +:::+xn )
Likelihood{Funktion zur Stichprobe x1 ; : : :; xn, wobei xi > 0 fur alle i, ist gegeben durch:
L(
; x1; : : :; xn)
Log{Likelihood{Funktion lautet:
ln L( ; x1; : : :; xn) = n ln ; (x1 + : : : + xn)
95
Kondenzintervalle
Es soll gelten:
() P ( U (X1 ; : : :; Xn) O(X1 ; : : :; Xn) ) 1 ; ben: Stichprobe x1; : : :; xn ; n = Stichprobenumfang ;
fur alle 2 mit vorgegeben ( klein, z. B. = 0:05 , 5% oder = 0:01 , 1%).
ell:
Das zufallige Intervall
I (X1 ; : : :; Xn) = [ U (X1 ; : : :; Xn) ; O(X1 ; : : :; Xn) ]
Realisierung von unabhangigen Zufallsvariablen X1; : : :; Xn ;
alle Zufallsvariablen identisch wie X verteilt mit einer Verteilungsfunktion F ; 2 ;
= "Indexmenge\ (Menge der moglichen Parameterwerte)
I (x1 ; : : :; xn) = [ U (x1 ; : : :; xn) ; O(x1 ; : : :; xn) ] ist ein konkretes Schatzintervall zur Stichprobe x1 ; : : :; xn.
: In welchen Grenzen liegt bzw. () ?
Interpretation : = 0:05 bedeutet, da hochstens ungefahr 5% der entstehenden konkreten
Schatzintervalle nicht enthalten.
Angabe eines Schatzintervalls fur bzw. ()
I (|x1 ; :{z: :; xn}) = [ U (x1 ; : : :; xn) ; O(x1 ; : : :; xn) ]
Stichprobe
3.2.1 Kondenzintervalle bei Binomialverteilungsannahme
ht: Funktionen
U : Rn ! R
untere Grenze des Schatzintervalls
O : Rn ! R
obere Grenze des Schatzintervalls
mit der Eigenschaft () heit Kondenzintervall fur bzw. () zum Kondenzniveau
1 ; ("Kondenzschatzverfahren\).
X1 ; : : :; Xn unabhangig, identisch B (1; ){verteilt, 2 = (0; 1).
Es gilt
Y = X1 + : : : + Xn B (n; )
Grenzwertsatz von Moivre{Laplace (siehe Abschnitt 2.5):
q Y ; n
N (0; 1)
(naherungsweise)
n(1 ; )
em : Intervall mu nicht enthalten !
8. Stichprobe
7. Stichprobe
Dichte der N(0,1)-Verteilung
!
6. Stichprobe
5. Stichprobe
4. Stichprobe
3. Stichprobe
!
2. Stichprobe
1. Stichprobe
2
θ
97
Θ
2
u = ;u1; 2
u1; 2
2
98
2
2
=: O(Y ) = O(X1 ; : : :; Xn)
;c q Y ; n c ;
n(1 ; )
lt also fur alle 2 :
0
1
P @;u1; q Y ; n u1; A 1 ; n(1 ; )
Ungleichung
2
i c = u1; , ist fur folgende Werte von erfullt:
1
0
s
13
fur alle 2 s
1
s
1
0
0
1 @
Y (n ; Y ) c2 A
Y (n ; Y ) c2 A
c2
1 @
c2
;
c
n + 4 n + c2 Y + 2 + c
n +4
n + c2 Y + 2
|
{z
}
{z
}
=: U (Y ) = U (X1 ; : : :; Xn)
dieses zufallige Intervall gilt also:
P ( U (X1 ; : : :; Xn) O(X1 ; : : :; Xn) ) 1 ; zufallige Intervall
s
I (X1 ; : : :; Xn) = [ U (X1 ; : : :; Xn) ; O(X1 ; : : :; Xn) ]
2
s
2
s
3
mit ein approximatives Kondenzintervall fur , das fur groes n naherungsweise mit dem
vall
2 0
2
2
= 4X (n) ; u1; n1 X (n)(1 ; X (n)) ; X (n) + u1; n1 X (n)(1 ; X (n)) 5
2
(X1 ; : : :; Xn) = 4 n1 @Y ; u1; Y (nn; Y ) A ; n1 @Y + u1; Y (nn; Y ) A5
einstimmt.
eise:
X (n) ist ein erwartungstreuer Schatzer fur .
q
1
n X (n)(1 ; X (n)) ist ein Schatzer fur die Streuung von X (n), denn
V ar X (n) = n1 (1 ; )
99
3.2.2
2{Verteilung
Die Zufallsvariablen X1 ; : : :; Xn seien unabhangig und identisch N(0,1) verteilt. Fur die Zufallsvariable Y gelte:
P (Y y) = P (X12 + : : : + Xn2 y) ; y 2 R
n=2
2
n=3
4
n=6
6
und
8
10
14
n = 10
12
V ar(Y ) = 2n
16
18
20
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden
Y n2
Dann heit Y 2 {verteilt mit n Freiheitsgraden, kurz:
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
Dichten von n2 {verteilten Zufallsvariablen:
Hinweise:
E (Y ) = n
Negative Werte treten nicht auf.
Es gilt
Fur groes n ist nach dem Zentralen Grenzwertsatz Y naherungsweise N (n; 2n){verteilt.
Es gilt dann:
!
P Yp; n y (y) ; y 2 R
2n
graden in Tabellen gegeben.
Fur 0 < < 1 sind die {Quantile n2 ; bzw. n2 ;1; der 2{Verteilung mit n Freiheits-
100
p
n2 ;1;
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden
n2 ;
Fur groes n gilt naherungsweise:
n2 ; n + u 2n
Dabei ist u das entsprechende {Quantil der N(0,1){Verteilung.
3 t{Verteilung
i X N (0; 1) sowie Y n2 . Ferner seien die Zufallsvariablen X und Y unabhangig. Fur
ufallsvariable Z gelte:
1
0
C
B
C
B
C
B
sX z C
; z 2R
P (Z z ) = P B
A
@
1
nY
Z tn
heit Z t{verteilt mit n Freiheitsgraden, kurz:
en von tn {verteilten Zufallsvariablen:
101
Hinweise:
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-4
-4
-2
0
1
n = 20
n=5
n=1
-1
2
3
Dichte der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden
-3
-3
-1
N(0,1)-Verteilung
-2
0
1
2
3
n=2
4
Vergleich der t-Verteilung mit der N(0,1)-Verteilung
Es gilt
E (Z ) = 0
fur n 2
V ar(Z ) = n ;n 2 fur n 3
Fur groes n ist Z naherungsweise N (0; 1){verteilt, d.h. es gilt
P (Z z ) (z ) ; y 2 R
q
Grund: Fur den Nenner n1 Y gilt
E n1 Y = 1 sowie V ar n1 Y = n2
und X N (0; 1).
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
102
4
Fur 0 < < 0:5 sind die 1 ; {Quantile tn;1; der t{Verteilung mit n Freiheitsgraden in
Tabellen gegeben. Die Quantile tn; fur 0 < < 0:5 erhalt man aus der Beziehung
tn; = ; tn;1;
0
tn;1;
Dichte der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden
tn; = ;tn;1;
Fur groes n gilt naherungsweise:
tn;1; u1;
Dabei ist u1; das entsprechende (1 ; ){Quantil der N(0,1){Verteilung.
4 Kondenzintervalle bei Normalverteilungsannahmen
und
= R R+
Zufallsvariablen X1; : : :; Xn seien unabhangig und identisch N (; 2){verteilt.
= (; 2)
n i=1
n
2!
X
X (n) = 1 Xi N ; n0
ll: Kondenzintervall fur () = , wobei 2 = 02 bekannt
lt:
us folgt:
X (n) ; N (0; 1)
p0
n
103
2
2
2
1
2
u1; Dichte der N(0,1)-Verteilung
2
u = ;u1; 0
2
n
2
2
= P X (n) ; u1; p0 X (n) + u1; p0
n
n
2
B;u1; X (n) ; u1; A
C
1 ; = P @
p0
Man erhalt also fur alle 2 :
Hinweise:
X (n) ist ein erwartungstreuer Schatzer fur () = .
p0n ist die Streuung von X (n).
2
n 2
X
Xi ; X (n)
i=1
2
!
Das zufallige Intervall
#
"
I (X1; : : :; Xn) = X (n) ; u1; p0n ; X (n) + u1; p0n
ist also ein Kondenzintervall fur zum Kondenzniveau 1 ; bei bekannter Varianz 02 .
S(2n) = n ;1 1
2. Fall: Kondenzintervall fur () = , wobei 2 unbekannt
Idee: 2 durch
schatzen.
Es gilt:
Xr(n) ; t
n;1
S(2n)
n
104
0
2
tn;1;1; 2
2
Dichte der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
2
2
;tn;1;1; 2
2
erhalt also fur alle 2 :
0
1
B
C
t
C
1 ; = P B;tn;1;1; Xr(n) ;
n;1;1; A
@
2
S
(n)
n
eise:
X (n) ist ein erwartungstreuer Schatzer fur () = .
s
S(2n)
n ist ein Schatzer fur die Streuung von X (n).
2
zufallige Intervall
s 2
s 2 3
2
S
S
I (X1 ; : : :; Xn) = 4X (n) ; tn;1;1; n(n) ; X (n) + tn;1;1; n(n) 5
so ein Kondenzintervall fur zum Kondenzniveau 1 ; bei unbekannter Varianz 2 .
Q(n) =
i=1
n
X
(Xi ; 0 )2
ll: Kondenzintervall fur () = 2 , wobei = 0 bekannt
i
lt:
Q(n) 2
n
2
105
2
n; 2
2
2
n2 ;1; 2
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden
2
n2 ; Man erhalt also fur alle 2 :
2
!
Q
1 ; = P n2 ; (2n) n2 ;1; 1
0
n;1; 2
= P @ Q2 (n) 2 Q2(n) A
2
2
Das zufallige Intervall
2
3
I (X1; : : :; Xn) = 4 Q2 (n) ; Q2(n) 5
n;1;
n;
ist also ein Kondenzintervall fur 2 zum Kondenzniveau 1 ; bei bekanntem Erwartungswert
0 .
S(2n) = n ;1 1
i=1
n 2
X
Xi ; X (n)
Stichprobenvarianz
4. Fall: Kondenzintervall fur () = 2, wobei unbekannt
Es sei
Es gilt:
(n ; 1) S 2 2
(n)
n;1
2
106
2
2
2
2
(n ; 1)S(2n)
2 (n;2 1)S(n) A
n2 ;1;1; n;1;
2
2
2
2
!
n2 ;1;1; 2
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
2
n2 ;1; erhalt also fur alle 2 :
= P @
1 ; = P n2 ;1; (n ;2 1) S(2n) n2 ;1;1; 1
0
zufallige Intervall
2
3
2
(n ; 1)S 2 (n ; 1)S 2
(
n
)
; 2 (n) 5
I (X1 ; : : :; Xn) = 4 2
n;1;1; n;1;
so ein Kondenzintervall fur 2 zum Kondenzniveau 1 ; bei unbekanntem Erwartungs.
107
F (x) = P (Xi x) ; i = 1; : : :; n
Realisation von Zufallsvariablen X1 ; : : :; Xn
unabhangig
identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F , also
n = Stichprobenumfang
x1; : : :; xn
3.3 Empirische Verteilungsfunktion
Mereihe bzw. Stichprobe
wobei
Stochastisches Modell
x1 ; : : :; xn
X1 ; : : :; Xn
X1 ; : : :; Xn
Problem: F unbekannt !
Ziel: Ruckschlusse auf F auf der Basis der vorliegenden Stichprobe !
3.3.1 Zentralsatz der Statistik
Fn ( ; x1; : : :; xn) : R! [0; 1]
Bilde aus der Mereihe x1 ; : : :; xn die empirische Verteilungsfunkion
mit
Fn (z ; |x1; : {z: :; xn} ) = n1 (Anzahl der Mewerte z )
vorliegende
Mereihe
= rel. Haugkeit der Mewerte z
108
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
r
r
r
x4 x1
|X1 ; :{z: :; Xn} )
Zufallsvariablen
r
x5
F (z )
r
F5 (z ; x1; : : :; x5)
x3
"zufallige Funktion\
Fn ( ; x1; : : :; xn) |F ({z )}
unbekannte
Verteilungsfunktion
x2
-
z
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0.0
chte
Fn ( ;
: Zusammenhang Fn ( ; X1; : : :; Xn) ! F (z ) ?
ralsatz der Statistik (Satz von Glivenko/Cantelli)
P
n
1
n
z2
n
nlim
!1 Dn (X1 ; : : :; Xn) = 0
=1
1
n = 1; 2; : : :
(n = Stichprobenumfang)
n
D (X ; : : :; X ) = supRjF (z ; X ; : : :; X ) ; F (z )j ;
lliger maximaler Unterschied\ zwischen empirischer Verteilungsfunktion und wahrer Verngsfunktion:
lt:
pretation :
Fur geeignet lange Mereihen x1 ; : : :; xn ist die empirische Verteilungsfunktion
Fn ( ; x1; : : :; xn) eine beliebig gute Approximation fur die wahre Verteilungsfunktion F .
109
Problemstellung
Konnen die Mewerte x1 ; : : :; xn als Realisation von normalverteilten Zufallsvariablen angesehen werden ?
Graphische Prufmethode: Wahrscheinlichkeitspapier
Quantitative Prufmethode: Kolmogoro{Smirnov{Test
1.0
y = (x) = p1
2
;1
Zx
2
2
e; t dt
= Verteilungsfunktion der N(0,1){ Verteilung
3.3.2 Wahrscheinlichkeitspapier
Es gilt
50% =
0.5
0.0
15.9% = 0.159
0% =
;3:0 ;2:0 ;1:0
0.0 x 1.0
2.0
3.0
-
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84.1% = 0.841
y
100% =
Graph von :
Idee
A nderung der Skala der y{Achse so, da sich der Graph von im
neuen Koordinatensystem zu einer Geraden streckt.
110
anderung:
i
v = ;1 (y) ; 0 < y < 1
;1 = Umkehrfunktion von t gilt fur den Graph von im x ; v{Koordinatensystem:
v = ;1 ((
| {zx)}) = x
=y
Graph von im x ; v{Koordinatensystem = 1. Winkelhalbierende
84.1% !
0
1
v6
50% !
15.9% ! ;1
1.0
1.5
v=x
2.0
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;2:0 ;1:5 ;1:0 ;0:5 0.0
x
Im Wahrscheinlichkeitsnetz wird die v{Achse mit den entsprechenden
Prozentzahlen beschriftet !
0.5
x ; v{Koordinatensystem bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsnetz
ung
mein
2
2
y = F; (x) = x ; F; = Verteilungsfunktion einer N (; 2){Verteilung
y{Koordinatensystem:
v{Koordinatensystem:
v = ;1 x ; = x ; 111
Fazit:
2
-
F;
Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist also im Wahrscheinlichkeitsnetz stets eine Gerade !
setze v = 0 (entspricht 50%{Linie) =) x = ;;;;;;; ;;;;;;;!
+
setze v = 1 (entspricht 84.1%{Linie) =) x = + .........
.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................
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6
Naherungswerte fur die Parameter und 2 einer Normalverteilung:
v
84.1%
50%
Vorgehen
x
1. Den Graphen der empirischen Verteilungsfunktion zur Mereihe x1; : : :; xn in das x ; v{
Koordinatensystem (Wahrscheinlichkeitsnetz) eintragen.
2. Die approximierende Naherungsgerade einzeichnen
3. Falls die Abweichungen zwischen dem Graphen der empirischen Verteilungsfunktion (Treppenfunktion) und der Naherungsgeraden nicht zu gro sind: Naherungswerte fur und bestimmen.
Hinweis :
Bei klassierten Daten mussen die summierten relativen Klassenhaugkeiten als
Punkte uber den rechten Klassengrenzen in das Wahrscheinlichkeitsnetz eingetragen werden. Dann Gerade durch diesen Punkteschwarm legen.
112
z2
R
Dn (x1; : : :; xn) = sup jFn (z ; x1; : : :; xn) ; F0 (z )j
und 2 vorgegeben
F0 = Verteilungsfunktion einer Normalverteilung
F0 beliebige stetige Verteilungsfunktion, F0 vorgegeben
Hypothese H0 : F = F0
3 Kolmogoro{Smirnov{Test
i
iel
insbesondere
gehen
chne
8
>
>
>
<
r
x5
r
x(1); : : :; x(n)
r
x4 x1
r
F (z )
r
z
-
9
>
>
>
=
max jFn (x(i); x1; : : :; xn) ; F0 (x(i) )j ; jFn( x(i) ; 0 ; x1; : : :; xn) ; F0 (x(i))j ; i = 1; : : :; n>
>
|
{z
}
>
>
>
linksseitiger
>
:
;
Grenzwert
i ist
6
eordnete Mereihe.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
x2
x3
F5 (z ; x1; : : :; x5)
....... ....... ....... ........ ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..
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.........
.........
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.....................
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0.0
113
Falls alle Mewerte verschieden sind, gilt
Dn(x1 ; : : :; xn) = max ni ; F0 (x(i))
Entscheidung :
; i ;n 1 ; F0 (x(i)) ; i = 1; : : :; n
Dn (x1 ; : : :; xn) "zu gro\ ;
Hypothese "F = F0\ verwerfen, falls
d. h. falls
Wahl von c ?
Dn(x1 ; : : :; xn) > c
Problem :
Bei Gultigkeit der Hypothese H0 (also F = F0 ) soll gelten
P (Dn(X1 ; : : :; Xn) > c) ;
Vorgehen :
wobei 0 < < 1 vorgegeben.
Interpretation :
Die Wahrscheinlichkeit dafur, die Hypothese zu verwerfen, obwohl
sie wahr ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafur, die Hypothese
falschlicherweise zu verwerfen (Fehlentscheidung !), soll be-
tragen
Die festzulegende Konstante c hangt also vom gewahlten ab:
c = c
oder
= 5%
Da die Wahrscheinlichkeit fur eine Fehlentscheidung ist, wird in der Regel klein gewahlt:
= 1%
Man bezeichnet als Signikanzniveau des Tests.
Zur Festlegung von c benotigt man die Verteilung von Dn (X1 ; : : :; Xn), falls F = F0 gilt.
114
(Kolmogoro)
p
n Dn(X1 ; : : :; Xn) y = K (y) ;
0.6
2 2
0.8
1
1.2
1.6
y2R
1.8
2
Kolmogorosche
Verteilungsfunktion
1.4
Kolmogorosche Verteilungsfunktion
y0
y>0
: :; Xn unabhangige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger VerteilungsfunkF . Dann gilt:
nlim
!1 P
0.2
0.4
i K : R;! [0; 1] gegeben durch
8
1
> 1+2X
(;1)k e;2k y
<
k=1
K (y ) =
>
:
0
0
e von K in Tabellen !
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
mmung von c :
K ( n c ) = 1 ; p
P (D (X ; : : :; X ) > c ) = 1 ; P (Dn(X1 ; : : :; Xn) c )
n
1
n
p
p = 1 ; P n Dn(X1 ; : : :; Xn) n c
1 ; K (pn c)
=! us folgt:
115
c = 1p:36
n
pn c = 1:36
K ( n c) = 1 ; 0:05 = 0:95
p
p
Vorgehen: vorgeben, 1 ; berechnen, der Tabelle den Wert fur n c entnehmen und daraus
c ermitteln
Beispiel
Vorgabe: = 5%
Der Tabelle entnimmt man:
Man erhalt:
Im Falle n = 100 gilt also c = 0:136.
Die Entscheidung bei der Durchfuhrung des Kolmogoro{Smirnov{Tests zum Signikanzniveau = 5% lautet also: Falls
Dn (x1 ; : : :xn ) > c = 1p:36
n
wird die Hypothese "F = F0\ verworfen, sonst kann gegen H0 nichts eingewendet werden.
F0 mu vollstandig bekannt sein !
Beachte:
116
Tests bei Normalverteilungsannahmen
lem:
Pat eine Stichprobe x1; : : :; xn zu einer bestimmten Verteilungsannahme (Nullhypothese) ?
1 Einstichprobentests
ben: Stichprobe x1; : : :; xn ; n = Stichprobenumfang ;
ell:
Realisierung von unabhangigen Zufallsvariablen X1; : : :; Xn ;
alle Zufallsvariablen identisch N (; 2){verteilt
{Test
9
>
=
> zweiseitige Fragestellung
;
Vergleiche X (n) (erwartungstreuer Schatzer fur ) mit 0 .
Nullhypothese H0 : = 0
Alternative
H1 : 6= 0
bekannt, aber 2 = 02 bekannt. 0 vorgegeben.
groe:
p
T (X1 ; : : :; Xn) = n (X (n) ; 0 )
0
117
Verteilung von T bei Gultigkeit von H0 :
T N (0; 1)
Es sei 2 (0; 1) das "Signikanzniveau\ des Tests.
Idee:
Nullhypothese verwerfen, falls der Wert von T "zu klein\ oder "zu gro\ ist.
p
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xn beobachtet mit
2
2
2
u1; Dichte der N(0,1)-Verteilung
2
u = ;u1; 2
2
jT (x1 ; : : :; xn)j = n jx(n) ; 0 j > u1; ;
0
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Interpretation:
Das Signikanzniveau beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafur, die Nullhypothese H0 falschlicherweise zu
verwerfen.
Den Fehler, die Nullhypothese H0 falschlicherweise zu verwerfen, bezeichnet man als den Fehler 1. Art. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafur, da dieser Fehler auftritt.
Also: klein wahlen ( = 0:05 , = 0:01)
118
eitige Fragestellungen
p
Nullhypothese H0 : 0 ; Alternative H1 : > 0
Testgroe (wie vorher):
T (X1 ; : : :; Xn) = n (X (n) ; 0 )
0
p
Man erkennt, da groe Werte von T gegen die Hypothese H0 sprechen.
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xn) = n x(n) ; 0 > u1; ;
0
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
u1;
Dichte der N(0,1)-Verteilung
p
Nullhypothese H0 : 0 ; Alternative H1 : < 0
Testgroe (wie vorher):
T (X1 ; : : :; Xn) = n (X (n) ; 0 )
0
p
Man erkennt, da kleine Werte von T gegen die Hypothese H0 sprechen.
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xn) = n x(n) ; 0 < u = ;u1; ;
0
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
119
Merke :
Dichte der N(0,1)-Verteilung
u = ;u1;
Bei einseitigen Fragestellungen werden die { bzw. (1 ; ){Quantile anstelle der
{ bzw. 1 ; {Quantile verwendet !
2
2
Allgemeines Vorgehen beim "Signikanztest\
Stichprobenvarianz
9
>
=
> zweiseitige Fragestellung
;
Verteilungsannahmen spezizieren
Nullhypothese H0 und Alternativhypothese H1 formulieren
Wahl der Testgroe T
Bestimmung der Verteilung von T unter H0
Entscheidungsregel angeben in Abhangigkeit vom Signikanzniveau t{Test
und 2 unbekannt, 0 vorgegeben.
Nullhypothese H0 : = 0
Alternative
H1 : 6= 0
i=1
n 2
X
Xi ; X (n)
Idee: 2 durch S(2n) schatzen, wobei
S(2n) = n ;1 1
120
groe:
T tn;1
p
; 0
(
n
)
T (X1 ; : : :; Xn) = n Xq
S(2n)
ilung von T bei Gultigkeit von H0 :
2
2
;tn;1;1; 0
2
2
tn;1;1; 2
Dichte der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
cheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xn beobachtet mit
jT (x1 ; : : :; xn)j = pn jx(qn) ;2 0 j > tn;1;1; ;
s(n)
rd die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
eitige Fragestellungen
Nullhypothese H0 : 0 ; Alternative H1 : > 0
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
p
T (x1 ; : : :; xn) = n x(qn) ;2 0 > tn;1;1; ;
s(n)
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Nullhypothese H0 : 0 ; Alternative H1 : < 0
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
p n) ; 0 < t = ;t
T (x1 ; : : :; xn) = n x(q
n;1;
n;1;1; ;
s(2n)
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
121
2 {Streuungstest
9
>
=
zweiseitige Fragestellung
>
;
Vergleich von S(2n) (erwartungstreuer Schatzer fur 2 ) mit 02
Nullhypothese H0 : 2 = 02
Alternative
H1 : 2 6= 02
und 2 unbekannt, 02 vorgegeben.
Idee:
Testgroe:
T n2 ;1
T (X1 ; : : :; Xn) = n ;2 1 S(2n)
0
Verteilung von T bei Gultigkeit von H0 :
2
2
n2 ;1;1; 2
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
2
n2 ;1; Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xn beobachtet mit
2
T (x1 ; : : :; xn) = n ;2 1 s(2n) < n2 ;1; 0
122
2
T (x1 ; : : :; xn) = n ;2 1 s(2n) > n2 ;1;1; ;
0
rd die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
eitige Fragestellungen
Nullhypothese H0 : 2 02 ; Alternative H1 : 2 > 02
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xn) = n ;2 1 s(2n) > n2 ;1;1; ;
0
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Nullhypothese H0 : 2 02 ; Alternative H1 : 2 < 02
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xn) = n ;2 1 s(2n) < n2 ;1; ;
0
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
2 Operationscharakteristik und Gutefunktion
ichprobenfall, d. h. gegeben ist eine Stichprobe x1 ; : : :; xn , wobei n = Stichprobenumfang
ell:
Realisierung von unabhangigen Zufallsvariablen X1; : : :; Xn ;
alle Zufallsvariablen identisch wie X verteilt mit einer Verteilungsfunktion F ; 2 ;
= "Indexmenge\ (Menge der moglichen Parameterwerte)
Sprechweisen:
2 0 :
2 1 :
"Nullhypothese trit zu\
"Alternative trit zu\
Ein statistischer Test zur Prufung des Vorliegens der Nullhypothese 0 ist gegeben durch
den kritischen Bereich
K Rn
Entscheidungsregel: Gilt fur die vorliegende Stichprobe
(x1 ; : : :; xn) 2 K ;
so wird die Nullhypothese verworfen, andernfalls wird gegen 0 nichts eingewendet.
= R R+
X N (; 2) ;
Bemerkung: Der kritische Bereich K wird meist mit Hilfe einer sogenannten Testgroe T festgelegt.
Beispiel
Einstichproben{t{Test
Verteilungsannahme:
also
Nullhypothese beim einseitigen Einstichproben{t{Test:
0 = f : 0 g R+
Alternative:
1 = f : > 0 g R+
Dabei ist 0 ein vorgegebener Wert.
Testgroe:
p
; 0
(
n
)
T (X1 ; : : :; Xn) = n Xq
S(2n)
K = f(x1 ; : : :; xn) : T (x1 ; : : :; xn) > tn;1;1; g
Kritischer Bereich bei festgelegtem 2 (0; 1):
0 = Nullhypothese
1 = Alternativhypothese (Alternative)
124
= 0 [ 1 ; wobei 0 \ 1 = ;
nkte Zerlegung der Indexmenge :
chnung:
123
tion:
(x1 ; : : :; xn) 2 K
(x1 ; : : :; xn) 2= K
Fehler
1. Art
OK
2 0
OK
Fehler
2. Art
2 1
rationscharakteristik (OC{Funktion) des Tests:
: ;! [0; 1]
() = P ((X1 ; : : :; Xn) 2= K )
efunktion des Tests:
g : ;! [0; 1]
g() = 1 ; () = P ((X1 ; : : :; Xn) 2 K )
() = Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten eines Fehlers 2. Art
g() = Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten eines Fehlers 1. Art
er OC{Funktion bzw. der Gutefunktion konnen die Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten
Fehlers 1. Art bzw. 2. Art abgelesen werden.
2 0 :
2
1 :
i 2 (0; 1).
tatistischer Test heit Niveau{{Test, falls
g() fur alle 2 0
Bei einem Niveau{{Test betragt die Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler 1. Art hochstens .
chnung: = Signikanzniveau des Tests
allen in diesem Abschnitt betrachteten Tests werden zu vorgegebenem ( klein) die
chen Bereiche so gewahlt, da die resultierenden Verfahren Niveau{{Tests darstellen,
man orientiert sich bei der Festlegung ausschlielich an der Wahrscheinlichkeit fur einen
r 1. Art.
125
3.4.3 Zweistichprobentests
Liegen zwei verschiedene Mereihen x1; : : :; xm und y1 ; : : :; yn vor, stellt sich oft die Frage,
ob fur die zugrundeliegenden Zufallsvariablen gleiche Erwartungswerte oder gleiche Varianzen
angenommen werden konnen.
Gegeben: Stichprobe x1; : : :; xm , m = Stichprobenumfang der x{Stichprobe ;
Stichprobe y1 ; : : :; yn , n = Stichprobenumfang der y{Stichprobe ;
Modell:
9
>
=
> zweiseitige Fragestellung
;
x{Stichprobe Realisierung von Zufallsvariablen X1 ; : : :; Xm
alle Zufallsvariablen Xi identisch N (1; 12){verteilt
y{Stichprobe Realisierung von Zufallsvariablen Y1 ; : : :; Yn
alle Zufallsvariablen Yj identisch N (2 ; 22){verteilt
alle Zufallsvariablen X1; : : :; Xm; Y1; : : :; Yn unabhangig
Zweistichproben{Gau{Test
Nullhypothese H0 : 1 = 2
Alternative
H1 : 1 6= 2
1 und 2 unbekannt, aber 12 und 22 bekannt.
Idee:
Vergleich der arithmetischen Mittel X (m) (erwartungstreuer Schatzer fur 1) und
Y (n) (erwartungstreuer Schatzer fur 2 )
Testgroe:
T (X1 ; : : :; Xm; Y1; : : :; Yn) = Ys(n) ; X (m)
12 + 22
m n
126
2
2
u 1; Dichte der N(0,1)-Verteilung
T N (0; 1)
ilung von T bei Gultigkeit von H0 :
2
2
u = ;u1; 2
2
cheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn beobachtet mit
jT (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn)j = jys(n) ; x(m)j > u1; ;
12 + 22
m n
rd die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
eitige Fragestellungen
Nullhypothese H0 : 1 2 ; Alternative H1 : 1 > 2
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
y ;x
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) = s(n) (m) < u = ;u1; ;
12 + 22
m n
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Nullhypothese H0 : 1 2 ; Alternative H1 : 1 < 2
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
y ;x
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) = s(n) (m) > u1; ;
12 + 22
m n
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
127
Zweistichproben{t{Test
12 = 22 = 2, 2 unbekannt.
Beachte:
Gleiche unbekannte Varianz 2 !
9
>
=
zweiseitige Fragestellung
>
;
Stichprobenvarianz der x{Werte
Stichprobenvarianz der y{Werte
Nullhypothese H0 : 1 = 2
Alternative
H1 : 1 6= 2
i=1
n 2
X
Yi ; Y (n)
S~(2n) = n ;1 1
Idee: Unbekannte Varianz 2 schatzen durch
m 2
X
S(2m) = 1
m ; 1 i=1 Xi ; X (m)
bzw.
Testgroe:
:
T tm+n;2
s
+ n ; 2)
Y (n) ; X (m)
r
T (X1 ; : : :; Xm; Y1; : : :; Yn) = mn(m
m+n
(m ; 1) S(2m) + (n ; 1) S~(2n)
Verteilung von T bei Gultigkeit von
H0
0
2
tm+n;2;1; 2
Dichte der t-Verteilung mit m+n-2 Freiheitsgraden
2
2
;tm+n;2;1; 128
2
cheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn beobachtet mit
s
jy(n) ; x(m)j
jT (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn)j = mn(mm ++ nn ; 2) q
(m ; 1) s(2m) + (n ; 1) s~(2n)
> tm+n;2;1; ;
rd die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
eitige Fragestellungen
Nullhypothese H0 : 1 2 ; Alternative H1 : 1 > 2
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) < tm+n;2; = ;tm+n;2;1; ;
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Nullhypothese H0 : 1 2 ; Alternative H1 : 1 < 2
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) > tm+n;2;1; ;
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
em :
Wie kann die Annahme gleicher Varianzen, die beim Zweistichproben{t{Test getroen wird, mit einem vorgeschalteten Test uberpruft werden ?
erteilung
i X 2 sowie Y 2 . Ferner seien die Zufallsvariablen X und Y unabhangig. Fur die
r
s
lsvariable Z gelte:
0
1
1
C ; z 2R
B X C
P (Z z ) = P B r1 z A
@
sY
heit Z F {verteilt mit r und s Freiheitsgraden, kurz:
Z Fr;s
129
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1.5
2
r = 6 , s = 12
r = 10 , s = 20
1
r=5,s=5
0.5
2.5
Dichte der F-Verteilung mit r und s Freiheitsgraden
Dichten von Fr;s {verteilten Zufallsvariablen:
Hinweise:
1
Z Fs;r
Es gilt
fur s 3
E (Z ) = s
s
;
2
2
2)
V ar(Z ) = r 2(ss ; (r2)+2 s(;
s ; 4) fur s 5
Der wesentliche Teil der Verteilung liegt in der Nahe von 1, da
E 1 X = 1 und E 1 Y = 1
r
s
Ist Z Fr;s , so gilt
heitsgraden in Tabellen gegeben.
3
Fur 0 < < 0:5 sind die (1 ; ){Quantile Fr;s;1; der F {Verteilung mit r und s Frei-
s;r;1;
Die Quantile Fr;s; fur 0 < < 0:5 erhalt man aus der Beziehung
Fr;s; = F 1
130
est
6
Fr;s;
9
>
=
> zweiseitige Fragestellung
;
Fr;s;1;
Dichte der F-Verteilung mit r und s Freiheitsgraden
1
nd 2 sowie 12 und 22 unbekannt.
Nullhypothese H0 : 12 = 22
Alternative
H1 : 12 6= 22
-
Vergleich der Stichprobenvarianzen S(2m) (erwartungstreuer Schatzer fur 12 ) und S~(2n)
(erwartungstreuer Schatzer fur 22 )
groe:
S2
T (X1 ; : : :; Xm; Y1 ; : : :; Yn) = ~(2m)
S(n)
ilung von T bei Gultigkeit von H0 :
T Fm;1;n;1
2
cheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn beobachtet mit
s2
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) = s~(2m) < Fm;1;n;1; (n)
131
6
2
1
2
2
Fm;1;n;1;1; 2
Dichte der F-Verteilung mit m-1 und n-1 Freiheitsgraden
2
Fm;1;n;1; -
oder
s2
T (x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn) = (2m) > Fm;1;n;1;1; s~(n)
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Hinweis :
Falls der F {Test bei zwei Mereihen zu einer Ablehnung der Nullhypothese H0 :
12 = 22 fuhrt, kann der Zweistichproben{t{Test nicht zur U berprufung der Nullhypothese H0 : 1 = 2 herangezogen werden.
Einseitige Fragestellungen
Nullhypothese H0 : 12 22 ; Alternative H1 : 12 > 22
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
s2
T (x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn) = s~(2m) > Fm;1;n;1;1;
(n)
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Nullhypothese H0 : 12 22 ; Alternative H1 : 12 < 22
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xm; y1; : : :; yn beobachtet mit
s2
T (x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn) = s~(2m) < Fm;1;n;1;
(n)
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
132
2{Anpassungstests
ben: Stichprobe x1; : : :; xn ; n = Stichprobenumfang ;
ell:
Realisierung von unabhangigen Zufallsvariablen X1; : : :; Xn
alle Zufallsvariablen identisch wie X verteilt mit der Verteilungsfunktion F
Prufen einer Annahme uber die Verteilung von X (vgl. Kolmogoro{
Smirnov{Test, Abschnitt 3.1.3)
1 Prufen bei endlich vielen Merkmalswerten
risches Beispiel
dels Erbgesetz
Mendels Erbgesetz gilt:
Verhaltnis
1:2:1
zungsversuch von weibluhenden mit rotbluhenden Panzen; r = 3 verschiedene Phanon bei den Nachkommen: wei, rosa, rot;
i
p30 = 41
p1 = Wahrscheinlichkeit fur wei
p2 = Wahrscheinlichkeit fur rosa
p3 = Wahrscheinlichkeit fur rot
p20 = 12 ;
(p1 ; p2 ; p3 ) 6= p10 ; p20 ; p30
p10 = 41 ;
(p1 ; p2 ; p3 ) = p10 ; p20 ; p30
Mendels Erbgesetz lautet also die Hypothese H0:
native H1:
133
Daten: n = 112 Kreuzungen;
Phanotyp
22
53
37
beobachtete
Haugkeit
nj
0.25
0.50
0.25
Wahrscheinlichkeit
pj
28
56
28
unter H0
erwartete
Haugkeit
n pj0
Phanotyp "wei\ : n1 = 22 mal
Phanotyp "rosa\ : n2 = 53 mal
Phanotyp "rot\ : n3 = 37 mal
"wei\
"rosa\
"rot\
Daraus ergibt sich:
Idee:
Die Daten sprechen nicht gegen das Erbgesetz (die Hypothese), falls
nj n pj0
2
2
2
T = (22 ; 28) + (53 ; 56) + (37 ; 28)
28
56
28
9 + 2 81
= 2 36 +56
= 243
56 4:339
Betrachte die 2 {Abstandsfunktion (Testgroe):
Frage:
Ist das "zu gro\, d. h. soll die Hypothese bei diesem Wert verworfen werden ?
134
meines Vorgehen
ebereich von X : fi1; i2 ; : : :; ir g (r verschiedene Werte insgesamt)
r
X
j=1
pj0 = 1
(p1 ; p2 ; : : :; pr ) = |(p10 ; p20 ;{z: : :; pr0 )}
vorgegebene
Werte
pj = P (X = ij ) ; j = 1; : : :; r
Stichprobenumfang (Anzahl der Beobachtungen)
i
these:
native:
Nj
(p1 ; p2 ; : : :; pr ) 6= (p10 ; p20 ; : : :; pr0)
j=1
0r 21
r N ; n p0 2
X
X
j
j
= @ Nj 0 A ; n
n pj0
j=1 n pj
j=1
groe: Es sei Nj die zufallige Anzahl des Auftretens von ij innerhalb der Stichprobe, j =
; r. Es gilt
r
X
=n
Abstandsfunktion:
T (N1 ; N2; : : :; Nr ) =
ilung von T bei Gultigkeit der Nullhypothese H0 : Die exakte Verteilung von T ist schwierig
stimmen. Es gilt naherungsweise:
T r2;1
erkung: Die Naherung ist nach einer vielfach zitierten Faustregel als gut zu bezeichnen,
n pj0 5 fur j = 1; : : :; r gilt.
i 2 (0; 1) das vorgegebene Signikanzniveau des Tests.
cheidungsregel: "Groe\ Werte von T sprechen gegen die Hypothese.
135
6
r2;1;1;
-
mit
0
1
r n2
X
j A
2
n pj0 ; n > r;1;1; ;
j=1
=@
Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit r ; 1 Freiheitsgraden
Also: Wird eine Stichprobe
j=1
x1; : : :; xn beobachtet
r n ; n pj0 2
X
j
n pj0
T (n1 ; n2; : : :; nr ) =
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Historisches Beispiel
Mendels Erbgesetz
Fur r = 3 und = 5% ergibt sich:
2
32;1;1;0:05 = 2;0
:95 = 5:991
Wegen
T = 4:339 < 5:991
wird gegen H0 nichts eingewendet, d. h. die Beobachtungen stehen nicht im Widerspruch zu
dem Erbgesetz.
F = F0
F 6= F0
(F0 vorgegeben)
3.5.2 Prufen auf eine bestimmte Verteilung
Hypothese:
Alternative:
136
...
....
... ...
.
...
.....
...
...
.
I2
I3
q q q
..
...
...
..
...
..
pj = P (X 2 Ij ) ; j = 1; : : :; r
..
...
...
..
...
..
(p1 ; p2 ; : : :; pr ) = (p10 ; p20 ; : : :; pr0)
F0
I ;1
r
pj0 =
; j = 1; : : :; r
|P0 (X{z2 Ij )}
Berechnung unter
Zugrundelegung von F0
F0 (x)
Ij
(p1 ; p2 ; : : :; pr ) 6= (p10 ; p20 ; : : :; pr0)
r
X
pj0 = 1
...
..
....
..
...
.
Ir
I
r
x
........
..........
R
i
R= I1 [ I2 [ : : : [ Ir
Zerlegung des Wertebereichs von X in r disjunkte Teilintervalle und Halbachsen und
1
I1
..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ..... ...... ...... ..... ...
.........................................................................................................................
...........................
...................
..............
.............
..........
.......
......
....
.....
....
....
....
....
....
....
....
.
..................
....
....
.........
....
......................
....
....
....
...................
....
....
.
.
.
.
...
...................
....
....
.
.
.
.
...
..................
...
...
..................
...
...
...................
...
...
.............
...
...
....
...
....
....
....
.....
.....
......
......
......
......
......
.......
.......
.......
.........
........
..........
..........................................
........
...........
pj0
I1
these:
i
native:
lt:
j=1
137
jetzt:
Nj = Anzahl Mewerte in Ij ;
j = 1; : : :; r
Testgroe T, Verteilung von T bei Gultigkeit von H0 sowie Entscheidungsregel wie im vorangegangenen Abschnitt.
Beispiel
1000 Zufallszahlen zwischen 0 und 1 aus einem Taschenrechner.
1
...
....
... ..
0
f0 (x)
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
Ij
nj
0.4 0.5
j
(;1; 0:1]
(0:1; 0:2]
(0:2; 0:3]
(0:3; 0:4]
(0:4; 0:5]
(0:5; 0:6]
(0:6; 0:7]
(0:7; 0:8]
(0:8; 0:9]
(0:9; 1]
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
x
...........
.......
Hypothese: Gleichverteilung im Intervall [0,1], d. h. die Verteilungsfunktion F0 ist gegeben
durch folgende Dichte f0 (vgl. Abschnitt 2.3.4):
Daten:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
68
116
101
107
92
100
136
101
79
100
1000
138
chnung der Testgroe T :
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
1000
pj0 n pj0
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
1.0
10.24
2.56
0.01
0.49
0.64
0.00
12.96
0.01
4.41
0.00
31.32
(nj ; n pj0 )2
n pj0
cheidung: Fur r = 10 und = 5% erhalt man
2
9;0
:95 = 16:919
n
T = 31:32 > 16:919
e Nullhypothese daher zu verwerfen.
F 2 fF : 2 g
3 Prufen auf einen Verteilungstyp
these:
iel
n man bei der Mereihe x1; : : :; xn die Normalverteilungsannahme machen ?
139
Vorgehen
1. Berechne aus der Mereihe den Maximum{Likelihood{Schatzwert ^ fur (siehe Abschnitt 3.2.4).
pj0 =
; j = 1; : : :; r
|P0 (X{z2 Ij )}
Berechnung unter
Zugrundelegung von F0
2. Ersetze im vorangegangenen Abschnitt
durch
; j = 1; : : :; r
p^ =
j
|P^(X{z2 Ij )}
Berechnung unter
Zugrundelegung von F^
(naherungsweise)
3. Es sei
= (1 ; 2; : : :; k )
ein k{dimensionaler Parameter.
Verteilung von T bei Gultigkeit der Nullhypothese H0 :
T r2;1;k
Entscheidungsregel: Wird eine Stichprobe x1 ; : : :; xn beobachtet mit
T (n1 ; n2; : : :; nr ) > r2;1;k;1; ;
so wird die Nullhypothese H0 verworfen, sonst wird gegen H0 nichts eingewendet.
Anmerkung: An die Stelle des Quantils r2;1;1; in den beiden vorangegangenen Abschnitten tritt hier also das Quantil r2;1;k;1; . Man sagt: "Die Zahl r ; 1 der Freiheitsgrade der
2 {Verteilung wird um die Zahl k der geschatzten Parameter vermindert.\ Diese Entscheidungsregel wird in der Praxis haug angewandt, obwohl sie nur auf einer Naherungsrechnung
beruht. In der Regel ist die Wahrscheinlichkeit, H0 falschlicherweise zu verwerfen, d. h. die
Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler 1.Art, etwas groer als .
Beispiel
650 disjunkte Ausschnitte aus einer Zellkultur.
Xi = Anzahl Zellen im i. Ausschnitt, die sich in einer bestimmten
Phase der Zellteilung benden
140
k
1
P (X = k) = k! e; ;
0
4
5
k = 0; 1; 2; : : :
3
6
72 169 191 120 66 21 11
2
these: "Es liegt eine Poisson{Verteilung vor\, d. h.
> 0 geeignet.
n:
Anzahl
Zellen
Anzahl
Ausschnitte
Ij
nj
0.1261
0.2611
0.2703
0.1866
0.0966
0.0400
0.0193
1.0
pj^
81.94
169.69
175.72
121.30
62.81
26.01
12.55
650
n pj^
1.206
0.003
1.329
0.014
0.162
0.965
0.191
3.870
2
nj ; n pj^
n pj^
mum{Likelihood{Schatzwert (siehe Abschnitt 3.2.4):
+ 3 120 + : : : + 6 11 = 2:071
^ = x(650) = 0 72 + 1 169 + 2 191
650
chnung der Testgroe:
j
1
2
3
4
5
6
7
f0g
72
f1g
169
f2g
191
f3g
120
f4g
66
f5g
21
f 6,7,8,. . . g 11
650
cheidung: Fur r = 7, k = 1 und = 5% erhalt man:
2
72;1;1;1;0:05 = 5;0
:95 = 11:070
n
T = 3:870 < 11:070
gegen die Hypothese nichts eingewendet werden
141
