Liste der korrigierten Fehler der Vorlesungsskripte

Korrektur der Fehler und Änderungen zu den Skripten der
Statistik-II
!"
Also ergibt sich für die standardisierte Zufallsvariable
z0
x0 − µ
=
σ
2 , 85 − 2 , 5
=
0 , 186
N
= 1 , 88
Somit ergibt sich:
P
(X
≤ 2 , 85
)
P ( Z ≤ 1, 88
=
Φ ( 1, 88
=
)
)
0 , 9699
=
Also haben 96,99% aller Stichproben einen Stichproben-Mittelwert geringer als 2,85.
#
#
Sei die Länge von Bolzen einer Lieferung eine normalverteilte Zufallsvariable und sei die
mittlere Länge der Bolzen µ = 7,05 [mm] bekannt aber σ unbekannt, wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, dass man eine Stichprobe vom Umfang N = 5 erhält, deren Varianz
s² = 4, 2 ist und ihr Mittelwert für die Länge der Bolzen kleiner als 9 [mm] ist?
!"
Anzahl der Freiheitsgeraden:
ν=N–1 = 5–1=4
Also ergibt sich mit x 0 = 9 und s 0 =
s 02 =
4 , 2 = 2 , 05
für die standardisierte
Zufallsvariable:
t0 =
x0 − µ
=
s0
9 − 7 , 05
2 , 05
2,13
5
N
Also ist die Wahrscheinlichkeit:
P
(X
≤ 9
)
=
P ( T ≤ 2 , 13
) = F 4 ( 2 , 13 ) ≈ 0 , 95
1
$
$
Die Längen (in Millimetern) von 32 serienmäßig hergestellten Bolzen einer Lieferung sind in
der folgenden Datenreihe dargestellt. Die Längen der Bolzen sind normalverteilt.
2,8
3,8
4,9
6,2
2,8
4,2
5,2
6,3
2,9
4,4
5,2
3,1
4,6
5,5
xi
3,5
4,6
5,6
3,2
4,6
5,6
3,6
4,6
5,7
3,7
4,7
5,7
3,8
4,8
6,1
3,8
4,9
6,1
Es wurden alle möglichen Stichproben vom Umfang N = 5 mit Zurücklegen aus dieser
Gesamtheit entnommen. Dabei wurde für jede Stichprobe die Varianz berechnet. Einige der
Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle bzw. Abb. angezeigt.
0,0
0,0
0,0
si²
. . . . . . .
0,0
3,675
3,675
3,675
1048576 Varianzen
%
&
!"
χ 02
=
( N − 1 ) s 02
σ
2
=
( 5 − 1) ⋅ 0 , 2
1 , 12
Anzahl der Freiheitsgeraden:
= 0 , 714
ν=N–1 = 5–1=4
Also ist die Wahrscheinlichkeit:
(
P S 2 ≤ 0,2
)
=
P
( Χ2
≤ 0 , 714
)
= F4
( 0 , 714 ) ≈ 0 , 05
'
( )
#
In einer großen Serienproduktion von Chips sind von den 5000 hergestellten Chips 1000
defekt. Es soll eine Stichprobe vom Umfang 100 (ohne Zurücklegen) gezogen werden.
Wegen der großen Gesamtheit kann die Entnahme als Ziehen mit Zurücklegen betrachtet
werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 30% der
Chips defekt sind?
2
*
+ ,
Ferner folgen nach den Sätzen über den Erwartungswert bzw. Varianz einer Summe von
zwei Zufallsvariablen folgende Beziehungen:
µW = µ X + µY
σ
2
W
= σ
2
X
+ σ
2
Y
bzw.
µ D = µ X − µY
bzw.
σ
2
D
= σ
2
X
+ σ
2
Y
-#
.
Für die Produktion von Fernsehern hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCD) bei zwei
verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCDs sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer der LCDs vom Hersteller A bzw. B
sind µ A = 6,2 [Jahre] bzw. µ B = 6,0 [Jahre] und die Standardabweichungen betragen σ A
= 0,8 [Jahre] bzw. σ B = 0,7 [Jahre].
Die Lebensdauern der LCDs der beiden Hersteller dürfen als unabhängig
/ 0
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Stichprobe von 5 LCD’s aus
Hersteller A eine mittlere Lebensdauer hat, die mindestens 1 Jahr über die mittlere
Lebensdauer einer zufälligen Stichprobe von 8 LCD’s aus Hersteller B ist?
!"
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:
(
P D > 1
)=
(
1 − P D ≤ 1
)
= 1 − P ( Z ≤ 1, 84
) = 1 − Φ ( 1, 84 )
= 1 – 0,9671 = 0,0329
$
( )
&
Bestimmen Sie für ν 1 = 10 und ν 2 = 20 aus der Tabelle der F-Verteilung die
Wahrscheinlichkeit F 10 ; 20 ( 3 , 372 )
Bestimmen Sie für ν 1 = 10 und ν 2 = 20 aus der Tabelle der F-Verteilung die Grenze
f 0 für α = 0,05. / 0
α = 1 − Fν ; ν ( f 0 )
1
2
3
1
*
+ ,
+ ,
&
Konstruktion eines Konfidenzintervalls für unbekanntem µ bei normalverteilter
Zufallsvariable X mit bekannter Standardabweichung
der Grundgesamtheit
Wählen eines Vertrauensniveau γ = 1 – ( z.B. 90% ; 95% ; 99%)
Entnahme einer Stichprobe vom Umfang N und Berechnung von x
Bestimmung von z 0 mit Φ ( z 0 ) = 1 –
2,
(wobei Φ ( z ) die Verteilungsfunktion der Standard-Normal-Verteilung ist.)
Berechnung von ∆ x = z 0 ⋅
σ
N
Angabe des Konfidenzintervalls für µ .
%
!"
(z)
0,99
0,005
0,005
–z
*
0
0
+z
0
z
+ ,
Konstruktion eines Konfidenzintervalls für unbekanntem
Zufallsvariable X mit unbekannter Standardabweichung
bei normalverteilter
der Grundgesamtheit
Wählen eines Vertrauensniveau γ = 1 – ( z.B. 90% ; 95% ; 99%)
Entnahme einer Stichprobe vom Umfang N und Berechnung von x und s
Bestimmung von t 0 mit F v ( t 0 ) = 1 –
2
( wobei F v ( t ) die Verteilungsfunktion der Student-t-Verteilung mit der
Freiheitsgerade v = N – 1 ist.
s
Berechnung von ∆ x = t 0 ⋅
N
Angabe des Konfidenzintervalls für µ .
4
*
+ ,
Konstruktion eines Konfidenzintervalls für die unbekannte Varianz
normalverteilter Zufallsvariable X
² bei
Wählen eines Vertrauensniveau γ = 1 – ( z.B. 90% ; 95% ; 99%)
Entnahme einer Stichprobe vom Umfang N und Berechnung von x und s² bzw. s
α
1
Bestimmung von χ 22 aus F v χ 22 = ( 1 + γ ) = 1 −
bzw. χ 12 aus
2
2
α
1
F v χ 12 = ( 1 − γ ) =
2
2
(wobei F v ( χ ² ) die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit der
Freiheitsgerade ν = N – 1 ist.)
( N − 1 )s 2
( N − 1 )s 2
Berechnung von s u2 =
bzw. s o2 =
(
(
)
)
χ 12
χ 22
Angabe des Konfidenzintervalls für σ ² oder σ =
σ
2
.
&
&
!"
0,95
0,025
0,025
–z
0
0
–z
0
z
%
5
1
+ ,
2
(z)
= 1–α
Fehler
0
– z0
z
z0
δ
d − ∆d
'
d + ∆d
d
%
!"
Angabe des Konfidenzintervalls für δ = µ 1 – µ 2:
d – ∆d ≤ δ ≤ d + ∆d
0,05 ≤
δ
≤
0,55
[Jahre]
''
fν (t)
Fehler
= 1– α
d − ∆d
0
– t0
d
δ
d + ∆d
t
t0
'$
fν (t)
Fehler
= 1– α
d − ∆d
– t0
0
t0
d
δ
d + ∆d
t
6
/3
'
!"
44
-
"5
Entnahme einer Stichprobe der Größe N und Berechnung des Mittelwerts x .
N = 25 ;
x = 2,8 [dl]
Bestimmung der Testgröße ẑ durch:
zˆ =
x − µ
σ
N
*
+ ,
=
2,8 −
3
0 ,5
= −2
25
%
4
Das Nicht-Verwerfen einer Nullhypothese H0 bedeutet aber nicht, dass die Nullhypothese H0
bestätigt ist, sondern nur, dass das Stichprobenergebnis nicht zur Ablehnung von H0
ausreicht.
7
/3
'
.
(
64
1
4
/3
Falls die Bedingung N · p0· q0 > 9 mit q0 = 1 – p0 erfüllt ist, kann die Binomial- durch die NormalVerteilung approximiert werden.
H0 :
Ha :
Kritische Grenzen
aufgrund der
Irrtumswahrscheinlichkeit α und
der Gegenhypothese Ha
p = p0
p < p0
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
(p
Testgröße für die
Anzahl der Treffer
x einer konkreten
Stichprobe der
Größe N
zˆ =
(z)
x − N po
N po qo
p0)
Graph der Verteilung der
Testfunktion für die Treffer X einer
Eigenschaft A von Stichproben der
Größe N mit Angabe der
kritischen Bereiche
und der Entscheidungsregel
Z =
(Linkseitiger Test)
X – Np
Npq
α
zα
z
0
zα
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α
p = p0
(p
p > p0
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
zˆ =
N po qo
p0)
(z)
x − N po
Z =
(Rechtseitiger
Test)
X – Np
Npq
α
z
z1 – α
0
z1 – α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
ẑ > z 1
p = p0
p ≠ p0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
zˆ =
−α
(z)
x − N po
N po qo
Z =
X – Np
Npq
α/2
α/2
zα 2
und
z
zα / 2
AblehnungsBereich
0
z1 – α / 2
AblehnungsBereich
z1 – α 2
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α 2 oder ẑ > z 1 − α 2
8
Korrektur der Fehler und Änderungen zu den Übungen der
Statistik-II
7
-
1
1
+ ,
!
"
( )
Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für die wahre Differenz der mittleren
Lebensdauer der Halogenlampen der beiden Hersteller zu einem Vertrauensniveau
µ1 – µ2
– 177,825 [Std.]
von 95% . Lösg: – 222,175
Kann man aus dem Ergebnis aus a) schließen, dass die mittlere Lebensdauer der
Halogenlampen von A geringer als die von B ist? Begründen Sie es.
Lösg: Ja
( )
'
Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für die wahre Differenz der mittleren Leistungen
der beiden Pumpen zu einem Vertrauensniveau von 95% .
Lösg: – 1,0548
µ1 – µ2
7,0548 [lit/min.]
- Kann man aus dem Ergebnis aus a) schließen, dass die mittlere Leistung der Pumpe
A höher als die von B ist? Begründen Sie es.
Lösg: Nein
( )
Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für die wahre Differenz der mittleren Zeit
beider Airlines zu einem Vertrauensniveau von 90%.
Lösg: – 0,03
µ1 – µ2
0,83 [min]
Kann man aus dem Ergebnis aus a) schließen, dass die mittlere Zeit bei Delta-Airlines
höher als Northwest-Airlines ist? Begründen Sie es.
Lösg: Nein
7
*
'
+ ,
-
1
/3
# !!
!
"
( )
Die Maschine soll Kugeln produzieren, deren mittlerer Durchmesser den Sollwert nicht
überschreitet. Formulieren Sie einen geeigneten Hypothesentest, um zu überprüfen, ob
die Vorgabe von der Maschine eingehalten wird. Führen Sie den Test auf einem
Signifikanzniveau von 5% durch. Geben Sie Ihre Entscheidung auch an.
*
+ ,
( )
#
Ein Prüfer hat eine zufällige Stichprobe von 36 Balken gewählt. Dabei erhielt er eine
mittlere Länge von 2,73 [m]. Werden durchschnittlich zu kurze Balken hergestellt?
Formulieren Sie einen geeigneten Hypothesentest und führen Sie ihn auf einem
Signifikanzniveau von 5% durch. Geben Sie Ihre Entscheidung auch an.
9
7
'
-
1
( )
/3
# !$
!
#
.
Ein Automobil-Hersteller behauptet, dass höchstens 5% (5% oder weniger) seiner neuen
Autos, während der zweijährigen Garantiezeit eine Panne erleiden. Anhand einer Stichprobe
von 100 Autos soll die Behauptung überprüft werden.
Wieviele Autos dürfen höchsten eine Panne haben, wenn wir einen Test mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 3% durchführen, d.h., wenn der Fehler 1. Art α = 3%
betragen soll?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art β , falls der tatsächliche Anteil
von Autos, die eine Pannen erleiden, 10% beträgt.
/
0
-
"
H0 : p
; Ha : p
N = 100 ;
Exakte Binomialverteilung, denn N ·p0· q0 > 9 ist nicht erfüllt.
Binomialverteilung mit N = 100 und p0 = 0,05
P ( X > kG ) = α
1– P(X
kG ) = α
Tabelle der Binomial-Verteilung liefert: kG = 9 (Also dürfen höchsten 9 Autos eine
Panne haben)
Annahmebereich: [ 0 ; 9 ] Pannen
Ablehnungsbereich: [ 10 ; 100 ] Pannen
Die Nullhypothese H0 : p
wird mit einer ___________________________
abgelehnt, falls ________ als ___________________________________ haben.
β = P(X
kG ) = P ( X
9 )
Binomialverteilung mit N = 100 und pa = 0,1
β = 0,451
7
'
-
1
/3
%$
!
#
( )
'
Folgende Tabelle enthält den Gewinn je Aktie (EPS: earnings per share: Der Quotient aus
dem Konzernjahresüberschuss und Anzahl der Aktien des Konzerns) einiger wichtigen
Konzerne. Die zweite Spalte enthält die Werte, die die Konzerne im Jahr 2002 erzielt haben
(Bericht: StreetInsider.com Feb.2003). Die dritte Spalte enthält die Werte, die ein Jahr
davor von Finanzanalysten für das Jahr 2002 vorhergesagt wurden (Quelle: Barron’s
Sep.2001).
10
Korrektur der Fehler und Änderungen zu den Multiple-ChoiceTests der Statistik-II
8
9
( )
Wenn man eine Stichprobe vom Umfang 36 aus dieser Gesamtheit zieht, wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert dieser Stichprobe geringer als 5,5 ist?
0,9082
8
0,0694
0,53
- 0,1388
9
( )
#
Welche der obigen Aussagen ist/sind wahr?
nur &'
nur &&'
alle drei
- nur &&' und &&&'
11