( ) Statistik - Fernuni Hagen
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Statistik
Übung 11
Lösungskommentare
Aufgabe 1
D ist richtig.
Zu A: Eine effiziente Schätzfunktion ist auch erwartungstreu; aus der Erwartungstreue folgt aber nicht notwendig
die Effizienz.
Zu B: X ist nicht erwartungstreu bez µ , denn es gilt:
n
1 n
n
ɶ = E 1
E X
X
E ( Xi ) =
=
µ
∑
∑
i
n −1
n − 1 i =1 n − 1 i =1
1
1
= 1 +
µ =µ+
µ ≠ µ.
n −1
n −1
( )
( )
Zu C: Für eine erwartungstreue Schätzfunktion des Parameters q gilt: E Qˆ n = q , nicht aber Qˆ n = q.
Zu D:
1
1
E ( X1 + Xn ) = × ( E ( X1 ) + E ( Xn ) )
2
2
1
= (µ + µ ) = µ
2
Aufgabe 2
B und D sind richtig.
Zu A: Die Grenzen µu und µo des Konfidenzintervalls sind Realisationen von Zufallsvariablen, die µ mit der
Wahrscheinlichkeit 0,95 einschließen.
Zu B: Siehe A.
Zu C: Es braucht kein einziger Wert im Konfidenzintervall zu liegen!
Zu D: Mit steigendem Konfidenzniveau wird auch das zugehörige Konfidenzintervall größer, es fallen
dementsprechend mehr Werte in dieses Intervall.
Aufgabe 3
D ist richtig.
Zu A: Man kann den Startpunkt für das Ablesen aus der Zufallszahlentabelle zufällig wählen oder nicht;
selbstverständlich kann man auch mit der ersten Zahl beginnen. Bei der Auswahl des Fernstudenten handelt es sich
um eine Zufallsauswahl.
Zu B: Eine systematische Stichprobe ist dadurch gekennzeichnet, dass das erste Element zwar zufällig ausgewählt
wird, nicht aber die übrigen Stichprobenelemente. Fortlaufend abgelesene Zahlen aus der Zufallszahlentabelle
führen dagegen zu einer Zufallstichprobe, deren Elemente eines nach dem anderen zufällig ausgewählt werden.
2
Zu C: Würde es sich um eine Stichprobe ohne Zurücklegen handeln, so dürfte jede Ziffer in ihr nur einmal
enthalten sein, denn aus den abgelesenen 4-stelligen Zufallszahlen erhält der Student folgende Stichprobe: 1, 7, 6,
1, 2, 3, 0, 5, 1, 3, 3, 2, 6, 6, 5, 9.
Zu D: Da die zweistelligen Zufallszahlen 61 und 66 nicht in der zulässigen Menge {1, 2, ..., 60} enthalten sind,
können sie bei der Auswahl nicht berücksichtigt werden.
D ist richtig.
Aufgabe 4
Da N = 10000 bzw. n = 100 sind die Bedingungen n / N = 0, 01 < 0, 05 bzw. n > 30 für die Vernachlässigung
der Endlichkeitskorrektur bzw. für die approximative Normalverteilung von X erfüllt. Die Varianz σ2 ist
unbekannt. Somit gilt:
s
s
P (1989, 496 ≤ µ ≤ 2010, 504 ) = P x − t
≤µ ≤ x+t
= 1 − α.
n
n
Man erhält daraus:
(
t = 2010, 504 − x
)
10
n
= 10,504 ×
= 2, 626
s
40
bzw. 1 − α = 0,99 oder α = 0, 01.
Aufgabe 5
D ist richtig.
Konfidenzintervalle zum Konfidenzniveau 1 − α für einen Parameter q beruhen auf der
Wahrscheinlichkeitsaussage P ( Q1 ≤ q ≤ Q2 ) = 1 − α , wobei Q1 und Q2 die zufälligen Intervallgrenzen sind.
Nach Realisation von Q1 und Q2 ist eine solche Wahrscheinlichkeitsaussage nicht mehr möglich, d.h. eine
Aussage der Gestalt P ( 2650 ≤ q ≤ 4550 ) = 1 − α ist nicht mehr möglich. Entweder liegt q im Intervall [2650,
4550] oder aber nicht. Dies hängt nur vom expliziten Wert von q ab.
Aufgabe 6
A und E sind richtig.
Zu B: Die Breite des Konfidenzintervalls steigt bei Erhöhung des Konfidenzniveaus.
Zu C: Mit der Wahrscheinlichkeit α realisieren sich die Grenzen des Konfidenzintervalls derart, dass sie den
unbekannten Parameter nicht umschließen.
Zu D: Dies gilt nur für den Fall, dass symmetrische Konfidenzintervalle konstruiert werden, nicht aber für den
allgemeinen Fall (z. B. wenn Konfidenzintervalle mit Hilfe der F-Verteilung konstruiert werden).
3
Aufgabe 7
D ist richtig.
Herleitung:
Xi ~ N ( µ, µ ) , µ > 0.
⇒ f Xi ( xi ; µ ) =
1 x − µ 2
1
exp − i
2πµ
2 µ
⇒ L ( x1,..., xn ; µ ) = ∏
1 x − µ 2
1
× exp − i
2 µ
2πµ
n
i =1
1 n x −µ
⇒ LL ( x1,...xn ; µ ) = −n ln 2π − n ln µ − ∑ i
2 i =1 µ
⇒
dLL
n 1 n x − µ −1× µ − ( xi − µ ) × 1 !
=0
= − − × ∑ 2 i
dµ
µ 2 i =1 µ
µ2
n x − µ µ + x −µ n
i
⇔ ∑ i
=
2
µ
µ
i =1
µ
n
⇔ ∑ ( xi − µ ) xi = nµ 2
i =1
⇔
1 n 2
xi = µ 2 + µ x
∑
n i =1
2
1 n
1
1
⇔ ∑ xi2 + x = µ 2 + µ x + x
n i =1
2
2
⇔
2
1 n 2 1 2
1
xi + x = µ + x
∑
4
2
n i =1
2
2
⇔
2
2 1 2
1 n 2
1
xi − x + x + x = µ + x
∑
4
2
n i =1
⇔
n −1 2 5 2 1
S + x − x=µ
4
2
n
⇒ µˆ =
n −1 2 5 2 1
S + X − X
4
2
n
