Statistik II

Statistik II
Version A
2. Klausur
Sommersemester 2011
Hamburg, 28.09.2011
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fachsemester:
Art der Anmeldung:
STiNE
FlexNow
Zulassung unter Vorbehalt
Unterschrift der/des Studierenden:
Bemerkungen:
Aufgabe
1
2
3
4
5
Summe
max. Pkt. err. Pkt.
18
18
18
18
18
90
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aufgabe 1.1 (9 Punkte)
Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie:
Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte
Kein Kreuz = 0 Punkte
Falsch gesetztes Kreuz = −1, 5 Punkte
Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden.
(a) Die Verteilungsfunktion eines zweidimensionalen Zufallsvektors nimmt ausschließlich
Werte zwischen 0 und 1 an. → WAHR
(b) Für die Verteilungsfunktion eines zweidimensionalen Zufallsvektor X = (X1 , X2 )T
gilt immer: lim FX (x1 , x2 ) = 0 für alle x1 ∈ R. → WAHR
x2 →−∞
(c) Sind die beiden Zufallsvariablen X1 und X2 eines zweidimensionalen Zufallsvektors
X = (X1 , X2 )T stochastisch unabhängig, so gilt: fX1 |X2 (x1 | x2 ) = fX1 (x1 ). → WAHR
(d) Gilt für die Randdichte fX1 (x1 ) = 0 (für ein spezielles x1 ∈ R), so folgt daraus, dass
die beiden Zufallsvariablen des zweidimensionalen Zufallsvektors X = (X1 , X2 )T
stochastisch unabhängig sind. → FALSCH
(e) Die Spur einer Varianz-Kovarianz-Matrix ist nichtnegativ. → WAHR
(f) Ist der Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen Null, so ist auch die Kovarianz
dieser beiden Zufallsvariablen Null. → WAHR
Aussage (a) (b)
wahr
falsch
(c) (d) (e) (f)
Aufgabe 1.2 (9 Punkte)
Gegeben sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor X = (X1 , X2 )T mit nachfolgender gemeinsamer Wahrscheinlichkeitstabelle:
X1
1
1 0,1
6 0,1
7 0,1
X2
2
0,05
0,2
0,0
4
0,3
0,05
0,1
(a) Man gebe die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X1 an.
(b) Man gebe die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X1 an.
(c) Man gebe die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X1 gegeben
X2 = 2 an, d.h. fX1 |X2 (x1 |2).
Lösung Aufgabe 1.2
-2-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
(a)
fX1 (x) =


0,45




0,35
falls x = 1
falls x = 6
falls x = 7
sonst


0,2




0
(b)
FX1 (x) =


0



0,45


0,8




1
falls
falls
falls
falls
x<1
1≤x<6
6≤x<7
x≥7
(c)



0,2
falls x1 = 1
fX1 |X2 (x1 |2) = 0,8 falls x1 = 6


0
sonst
-3-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aufgabe 2.1 (9 Punkte)
Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie:
Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte
Kein Kreuz = 0 Punkte
Falsch gesetztes Kreuz = −1, 5 Punkte
Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden.
(a) Mit Hilfe von Schätzfunktionen werden aus einer Stichprobe unbekannte Parameter
der zugehörigen Grundgesamtheit geschätzt. → WAHR
(b) Der Mean Square Error einer Schätzfunktion ist die Summe aus der Varianz der
Schätzfunktion und dem quadrierten Bias der Schätzfunktion. → WAHR
(c) Ist der Bias einer Schätzfunktion so groß wie die Varianz der Schätzfunktion, so liegt
eine optimale Schätzfunktion vor. → FALSCH
(d) Jede beste Schätzfunktion ist erwartungstreu und jede erwartungstreue Schätzfunktion ist eine beste Schätzfunktion. → FALSCH
(e) Eine erwartungstreue beste (wirksamste) Schätzfunktion hat gegenüber allen anderen
Schätzfunktionen die kleinste Varianz. → FALSCH
(f) Bei der Momentenmethode werden theoretische und empirische Momente gleichgesetzt
um Parameter zu schätzen. → WAHR
Aussage (a) (b)
wahr
falsch
(c) (d) (e) (f)
Aufgabe 2.2 (9 Punkte)
Eine stetige Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Intervall [a; b] mit a, b ∈ R und
a < b. Eine Stichprobe vom Umfang n = 4 liefert:
i
xi
1
7
2
13
3 4
3 19
Man ermittle mittels Momentenmethode Schätzwerte für die unbekannten Parameter a
und b.
Hinweis: Eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable X auf dem Intervall [a; b] besitzt nachfolgende Dichtefunktion:

 1
für a ≤ x ≤ b
fX (x) := b−a
0
sonst
Erwartungswert und Varianz einer stetig gleichverteilten Zufallsvariablen X sind:
E(X) =
b+a
2
V ar(X) =
Lösung Aufgabe 2.2
-4-
1
(b − a)2
12
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Für das arithmetische Mittel und die Varianz erhält man:
1
x̄ = (7 + 13 + 3 + 19) = 10, 5
4
1
s2 = (72 + 132 + 32 + 192 ) − 10, 52 = 36, 75
4
Aus
b+a
2
= x̄ erhält man b = 2x̄ − a. Setzt man dies in
1
(b − a)2
12
= s2 ein, so ergibt sich:
(2x̄ − 2a)2 = 12s2
⇔
4(x̄ − a)2 = 12s2
⇔
(x̄ − a)2 = 3s2
√
⇔
x̄ − a = ± 3s2
√
⇔
a = x̄ ∓ 3s2
Daraus erhält man b = x̄ ±
√
3s2 und somit insgesamt:
√
√
a = x̄ − 3s2 = 10, 5 − 3 · 36, 75 = 0
√
√
b = x̄ + 3s2 = 10, 5 + 3 · 36, 75 = 21
-5-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aufgabe 3.1 (9 Punkte)
Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie:
Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte
Kein Kreuz = 0 Punkte
Falsch gesetztes Kreuz = −1, 5 Punkte
Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden.
(a) Bei Konfidenzintervallen wird immer mit Quantilen der Standardnormalverteilung
gearbeitet. → FALSCH
(b) Bei einem 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert liegt der wahre Wert mit
95%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Intervalls. → WAHR
(c) Konfidenzintervalle für den Erwartungswert liegen symmetrisch um Null, da die
Standardnormalverteilung bzw. die t-Verteilung verwendet wird. → FALSCH
(d) Ist der Erwartungswert einer Grundgesamtheit bekannt, so macht ein Konfidenzintervall - basierend auf einer Stichprobe - für den Erwartungswert keinen Sinn. →
WAHR
(e) Das Konfidenzintervall für die Varianz liegt symmetrisch um die Stichprobenvarianz. → FALSCH
(f) Für die beiden Quantile der χ2 -Verteilung, die bei dem Konfidenzintervall für die
Varianz ermittelt werden müssen, gilt: χ2n−1;1−α0 /2 + χ2n−1;α0 /2 = 1. → FALSCH
Aussage (a) (b)
wahr
falsch
(c) (d) (e) (f)
Aufgabe 3.2 (9 Punkte)
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit bekannter Varianz σ 2 = 1 wird eine
Stichprobe vom Umfang n = 4 gezogen. Es soll die Nullhypothese H0 : µ ≥ −0, 5 geprüft
werden. Der Ablehnbereich C ist durch
C := {(x1 , . . . , x4 )T ∈ R4 | x̄ < −1}
gegeben.
(a) Man berechne für µ = −0, 25 die Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung.
(b) Man berechne für µ = −0, 6 die Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung.
(c) Man gebe die Gütefunktion in Abhängigkeit von µ an und berechne für µ1 = 0, 1
und µ2 = −0, 5 die konkreten Werte der Gütefunktion.
Lösung Aufgabe 3.2
-6-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
(a)
P (C) = P (X̄ < −1) = FX̄ (−1) = FZ
−1 + 0, 25
!
1
2
= FZ (−1, 5) = 1 − FZ (1, 5) = 1 − 0, 9332 = 0, 0668
(b)
P (C̄) = P (X̄ ≥ −1) = 1 − P (X̄ ≤ −1) = 1 − FX̄ (−1)
= FZ
−1 + 0, 6
1
2
!
= 1 − FZ (−0, 8) = FZ (0, 8) = 0, 7881
(c)
α(µ | n; α0 ; H0 ) = P (X̄ < −1) = FX̄ (−1) = FZ
−1 − µ
!
1
2
= FZ (−2 − 2µ) = 1 − FZ (2 + 2µ)
Außerdem berechnet man:
α(0, 1 | n; α0 ; H0 ) = 1 − FZ (2 + 2 · 0, 1) = 1 − FZ (2, 2) = 1 − 0, 9861 = 0, 0139
α(−0, 5 | n; α0 ; H0 ) = 1 − FZ (2 − 2 · 0, 5) = 1 − FZ (1) = 1 − 0, 8413 = 0, 1587
-7-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aufgabe 4.1 (9 Punkte)
Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie:
Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte
Kein Kreuz = 0 Punkte
Falsch gesetztes Kreuz = −1, 5 Punkte
Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden.
(a) Bei einem Hypothesentest wird mittels Stichprobe die Wahrheit bezüglich der zugehörigen Grundgesamtheit ermittelt. → FALSCH
(b) Ablehnungsbereich und Annahmebereich eines Hypothesentests sind überschneidungsfrei. → WAHR
(c) Gütefunktion und Operationscharakteristik nehmen jeden Wert im Intervall [0; 1]
an. → FALSCH
(d) Die Testentscheidung bei einem Hypothesentest basiert auf einer Stichprobe. →
WAHR
(e) In die Gütefunktion dürfen nur Parameter θ eingesetzt werden, die Gültigkeit unter
H0 besitzen. → FALSCH
(f) Gütefunktion und Operationscharakteristik addieren sich für jeden Test zu eins. →
WAHR
Aussage (a) (b)
wahr
falsch
(c) (d) (e) (f)
Aufgabe 4.2 (9 Punkte)
Die Firmen „Elppa“ und „Aikon“ stellen Smartphones her. Der Produktionschef von
„Aikon“ ist davon überzeugt, dass die durchschnittliche Akkulaufzeit größer ist als bei
„Elppa“. Dies möchte er mit Hilfe eines Hypothesentests verifizieren. Er ruft dazu seinen
Kollegen bei „Elppa“ an und dieser interessiert sich ebenfalls für diese Fragestellung. Beide
Produktionschefs nehmen an, dass die zugehörigen Grundgesamtheiten normalverteilt sind
mit unbekannten und ungleichen Varianzen.
Aus einer Stichprobe vom Umfang 40 wird bei der Firma „Elppa“ eine durchschnittliche
Akkulaufzeit von 12,7 Stunden (arithmetisches Mittel) bei einer Stichprobenstandardabweichung (s̃) von 1,4 Stunden ermittelt. Bei der Firma „Aikon“ ergibt die Stichprobe vom
Umfang 50 eine durchschnittliche Akkulaufzeit von 13,5 Stunden (arithmetisches Mittel)
bei einer Stichprobenstandardabweichung (s̃) von 2,9 Stunden.
Null- bzw. Alternativhypothese lauten:
H0 : µAikon ≤ µElppa ⇔ H0 : µAE := µAikon − µElppa ≤ 0
H1 : µAE > 0
Man führe auf einem 5%-Signifikanzniveau einen entsprechenden Hypothesentest durch
und gebe die Testentscheidung an.
Lösung Aufgabe 4.2
-8-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Normalverteilung; Varianzen unbekannt und ungleich. Für die Realisation der Prüfgröße
erhält man:
x̄A − x̄E
t= r 2
= . . . = 1,717
s̃A
s̃2E
+
nA
nE
Die Prüfgröße ist approximativ t-verteilt mit
k=
1
nA −1
s̃2A
nA
s̃2A
nA
+
2
+
s̃2E
nE
2
1
nE −1
s̃2E
2
= . . . = 73,8
abrunden
=
73
nE
Freiheitsgraden.
Das entsprechende t-Quantil (t73;0,95 ) liegt zwischen 1,671 und 1,658. Da die Realisation
der Prüfgröße mit t = 1,717 größer ist als die rechte Intervallgrenze folgt, dass H0 auf dem
5%-Signifikanzniveau abgelehnt werden kann.
-9-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aufgabe 5.1 (9 Punkte)
Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie:
Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte
Kein Kreuz = 0 Punkte
Falsch gesetztes Kreuz = −1, 5 Punkte
Diese Teilaufgabe kann nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet werden.
(a) Die Wahrscheinlichkeit mit einer gezogenen Stichprobe bei einem Hypothesentest im
Ablehnungsbereich zu landen kann, für extreme Stichproben, größer als eins sein. →
FALSCH
(b) Für alle Tests gilt, dass nur aus der Ablehnung der Nullhypothese Informationen
gewonnen werden können. → WAHR
(c) Der χ2 -Anpassungstest prüft, ob die gezogene Stichprobe aus einer Standardnormalverteilung gezogen wurde. → FALSCH
(d) Wird die Nullhypothese beim χ2 -Unabhängigkeitstest abgelehnt, bedeutet dies,
dass die zugehörigen Zufallsvariablen der Grundgesamtheit stochastisch unabhängig
sind. → FALSCH
(e) Eine wesentliche Annahme im linearen Einfachregressionsmodell ist die Normalverteiltheit der Störzufallsvariablen ˜i (i = 1, . . . , n), da nur mit dieser Annahme
Konfidenzintervalle und Hypothesentests konstruiert werden können. → WAHR
(f) Im linearen Einfachregressionsmodell können die Parameter α und β nur geschätzt
werden, wenn entsprechende Daten (bspw. aus einer Stichprobe) erhoben wurden. →
WAHR
Aussage (a) (b)
wahr
falsch
(c) (d) (e) (f)
Aufgabe 5.2 (9 Punkte)
Aus einer bivariaten Stichprobe vom Umfang 100, auf die ein lineares Einfachregressionsmodell angewendet wurde, wurden folgende Werte ermittelt:
βb = −12,4
b = 123,5
α
100
X
σb 2 = 9955
(xi − x̄)2 = 5712
i=1
Man teste auf dem 5%-Signifikanzniveau die Nullhypothese
H0 : β = −10
gegen die Alternativhypothese
H1 : β 6= −10.
Lösung Aufgabe 5.2
-10-
Klausur Statistik II
Hamburg, 28.09.2011
Aus den gegebenen Werten errechnet man:
σbβ̂˜ = qP
σb
100
i=1 (xi
= . . . = 1,320
− x̄)2
Als Realisation der Prüfgröße erhält man:
tβ =
βb − β0
= . . . = −1,818
σbβ̂˜
Das entsprechende t-Quantil (−t98;0,975 ) liegt zwischen −2,000 und −1,980. Da t = −1,818
rechts von der oberen Intervallgrenze liegt folgt, dass H0 auf dem 5%-Signifikanzniveau
nicht abgelehnt werden kann.
-11-