Ferienkurs Elektrodynamik WS11/12

Ferienkurs Elektrodynamik WS11/12 Zeitabhängige Elektromagnetische Felder
Isabell Groß, Martin Ibrügger, Markus Krottenmüller
21. März 2012
TU München
Inhaltsverzeichnis
1 Potentiale in der Elektrodynamik
1.1 Maxwell Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Eichinvarianz und Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
2 Wellengleichungen
2.1 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lösungen der Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3 Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes
3.1 Energiedichte und Energiestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Energiestromdichte im polarisierbaren Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4 Strahlung
4.1 Nah- und Fernzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Magnetische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
5
Elektrodynamik
1
1.1
2 WELLENGLEICHUNGEN
Potentiale in der Elektrodynamik
Maxwell Gleichungen
Homogene Gleichungen:
~
~B
~ =0; ∇
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
Inhomogene Gleichungen im Vakuum:
~
~E
~ = 4πρ ; ∇
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
Inhomogene Gleichungen im Medium:
~
~D
~ = 4πρ ; ∇
~ ×H
~ − 1 ∂ D = 4π ~j
∇
c ∂t
c
1.2
Die Potentiale
~ r,t) mit B
~ =∇
~ ×A
~ ist die erste homogene MaxwellDurch Einführung des Vektorpotentials A(~
gleichung automatisch erfüllt.
~ × (E
~ + 1 ∂ A~ ) = 0, welche wiederum durch EinEs folgt für die zweite homogene Gleichung ∇
c ∂t
~ + 1 ∂ A~ = −∇Φ(~
~ r,t) automatisch erfüllt ist.
führung des skalaren Potentials Φ(~r,t) mit E
c ∂t
Für die Felder gilt also:
~
~ =∇
~ ×A
~; E
~ = −∇Φ(~
~ r,t) − 1 ∂ A
B
c ∂t
1.3
Eichinvarianz und Eichtransformationen
Wie leicht nachzurechnen ist bleiben die Felder und damit die Maxwell-Gleichungen durch
folgende Transformationen invariant:
~ r,t) → A(~
~ r,t) + ∇Λ(~
~ r,t)
A(~
Φ(~r,t) → Φ(~r,t) −
1 ∂Λ(~r,t)
c ∂t
Sie werden Eichtransformationen genannt.
2
2.1
Wellengleichungen
Lorentz-Eichung
Durch die in 1.2 gewählten Potentiale werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu:
~ 2 Φ + 1 ∂ (∇
~ A)
~ = −4πρ
∇
c ∂t
1
Elektrodynamik
2 WELLENGLEICHUNGEN
2~
~ ∇
~A
~ + 1 ∂Φ ) = − 4π ~j
~ 2A
~ − 1 ∂ A − ∇(
∇
2
2
c ∂t
c ∂t
c
Dies sind zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen. Durch die Eichfreiheit der Potentiale
können sie entkoppelt werden, indem man die sog. Lorentz-Eichung wählt:
~A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c ∂t
Nun lauten die Differentialgleichungen:
Φ(~r,t) = 4πρ(~r,t) ; Ai (~r,t) =
mit =
2.2
1 ∂2
c2 ∂t2
4π
ji (~r,t)
c
~ 2 . Dies sind die inhomogene Wellengleichungen.
−∇
Lösungen der Wellengleichungen
Zur formalen Lösung der Wellengleichungen verwendet man wieder die Methode der Green’schen
Funktion. Durch Fouriertransformation der Gleichung und Benutzung der Dispersionsrelation
ω = ck erhält man für die Green’sche Funktion:
(+)
(−)
(±)
Gk (r) = AGk (r) + BGk (r); Gk (r) =
e±ikr
; A+B =1
r
Betrachtet man die zeitabhängigen Green-Funktionen ergeben sich:
′
r |
δ(t − t ∓ |~r−~
)
(±)
c
Gk (~r,t,~r ,t ) =
′
|~r − ~r |
′
′
′
Dabei wird G(+) als retardierte Green-Funktion bezeichnet. Sie beschreibt die physikalisch rich′
′
tige Kausalität, wonach ein Ereigniss, das zu einer Zeit t am Ort ~r stattfindet, seine Wirkung
an einem anderen Ort ~r zu einem späteren Zeitpunkt t hat. Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals die Lichtgeschwindigkeit c
R
′ R
′
′ ′
′ ′
(±)
Die Lösung ergibt sich jetzt aus der partikulären Lösung Ψ(±) = d3 r dt Gk (~r,t,~r ,t )f (~r ,t )
und einer Lösung der homogenen Wellengleichung. Dabei steht Ψ für Φ oder Ai und f entsprechend für ρ bzw. ji . Die Allgemeine Form der Lösung ist also die einer einfallenden und einer
ausfallenden von der Inhomogenität abhängigen „Welle“.
Im Fall für keine einfallende Welle sind die zeitabhängigen retardierten Potentiale:
Φret (~r,t) =
Z
′
r |
ρ(~r ,t = t − |~r−~
) ~
1
c
d3 r
; Aret (~r,t) =
′
|~r − ~r |
c
′
′
′
Die retardierten Felder berechnen sich daraus wie gehabt.
2
Z
′
~ r′ ,t′ = t − |~r−~r | )
3 j(~
c
dr
|~r − ~r′ |
′
Elektrodynamik
3
3.1
4 STRAHLUNG
Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes
Energiedichte und Energiestrom
Für die Leistung P eines Stroms von Punktteilchen im elektromagnetischen Feld gilt Allgemein:
Z
~ r,t)
P =
d3 r~j E(~
V
~ E×
~ B)
~ = B(
~ ∇×
~ E)−
~ E(
~ ∇×
~ B)
~
Mit der 2. inhomogenen Maxwell-Gleichung und der Identität ∇(
erhält man:
Z
~
~
1
~ ∂B ]
~ E
~ × B)
~ +E
~ ∂E + B
P =−
d3 r[c∇(
4π
∂t
∂t
~ des elektromagnetischen Feldes
Nun führt man die Energiedichte ω und den Poynting-Vektor S
ein:
1 ~2
~ 2 (~r,t)) ; S
~ = c (E(
~ r,t)
~ r,t))
~ × B(~
ω=
(E (~r,t) + B
8π
4π
Durch Vergleich der Integranden kann man jetzt auch die Kontinuitätsgleichung für den Energiestrom hinschreiben:
∂ω ~ ~
~
+ ∇S = −~j E
∂t
3.2
Energiestromdichte im polarisierbaren Medium
Führt man dieselbe Rechnung im Medium durch wird die Energiedichte und der PoyntingVektor zu:
1 ~~
~ H)
~ ; S
~ = c (E
~ × H)
~
(E D + B
ω=
8π
4π
4
Strahlung
Um die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen zu untersuchen betrachtet man Ladungsverteilungen und Stromdichten mit harmonischer Zeitabhängigkeit. Dabei ist es vorteilhaft mit
der komplexen e-Funktion zu rechnen und für die Potentiale am Schluss nur den Realteil zu
beachten. Die entsprechenden Retardierten Potentiale sind also:
Φ(~r,t) = Re Φ0 eiωt = Re eiωt
Z
~ r,t) = Re A
~ 0 eiωt = Re eiωt 1
A(~
c
Z
′
eik|~r−~r |
d3 r ρ0 (r~ )
|~r − ~r′ |
′
′
′
ik|~
r −~
r |
e
d r j~0 (r~′ )
|~r − ~r′ |
3
′
Bem.: Aufgrund der einfachen Zeitabhängigkeit und der Lorentz-Eichung kann Φ direkt durch
~ ausgedrückt werden. Es gilt:
A
−i ~ ~
Φ=
∇A
k
3
Elektrodynamik
4.1
4 STRAHLUNG
Nah- und Fernzone
′
, entwickelt
Für das Feld in der Nähe der Ladungs- bzw. Stromverteilung, also |~r −~r | ≪ λ = 2π
k
man die e-Funktion im Integral zu 1 und man erhält die statischen Potentiale mit harmonischer
Zeitabhängigkeit.
′
′
Im Fernfeld entwickelt man den Abstand |~r − ~r |, da ~r ≫ ~r . Somit vereinfacht sich
′
eikr −i~k~
e r mit ~k = k ~r und daher ist das Potential:
r
′
eik|~r−~r |
′
|~
r −~
r |
zu
r
ikr
~ = e e−iωt
A
cr
Z
eikr −iωt ~ ~
′
~ ′
~ 0 (~r)e−iωt
d3 r j~0 (r~′ )e−ik~r =
e
J(k) = A
cr
~ ~k) der Fouriertransformierten der Stromdichte.
mit J(
Daraus berechnet sich das Magnetfeld:
~ r,t) = ∇
~ ×A
~ = i~k e
B(~
ikr−iωt
~ ~k)
× J(
cr
Das elektrische Feld folgt nun aus der einfachen Zeitabhängigkeit und der Maxwell-Gleichung
mit ~j = 0, was im Fernfeld gerechtfertigt ist.
~
~
~ r,t) = i ∇
~ ×B
~ = −k × B
E(~
k
k
~ B
~ und ~k zueinander orthogonal sind und folglich die elektromagnetische
Man sieht also, dass E,
Felder transversal sind.
Betrachtet man nun den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor bzw. die zeitlich gemittelte Energiedichte muss man beachten, dass nur die Realteile der vorherigen AusdrückeR die physikalisch
T
richtigen Felder repräsentieren. Für ~a/~b = ~a0 /~b0 e−iωt gilt: < Re ~a Re ~b >T = T1 0 dt Re ~a Re ~b =
1
Re(~a∗0~b0 ). Somit folgt:
2
1 ~ 2
~ 0 |2 )
< ω >T =
(|E0 | + |B
16π
~
~
~ 0∗ × B
~ 0 ) = c k |B
~ 0 |2 = k |~k × J(
~ ~k)|2
~ >T = c Re(E
<S
8π
8π k
8πωr2
4.2
Elektrische Dipolstrahlung
Für Abmessungen der Quelle, die viel kleiner sind als die Wellenlänge der Strahlung, kann man
~ ~k) zu 1.
das Fernfeld weiter vereinfachen. Dazu entwickelt man die Exponentialfunktion in J(
~ 0:
Nun ergibt sich ähnlich wie bei der Multipolentwicklung für A
~ 0 (E1,~r) = −ik e
A
mit dem Dipolmoment d~ =
R
ikr
r
d~
d3 r~rρ(~r). Die Felder sind:
ikr
~
~ 0E1 (~r) = k 2 (1 + i ) e (~er × d)
B
kr r
4
Elektrodynamik
4 STRAHLUNG
ikr
~ × ~er + ( 1 − ik )eikr [3~er (~er d)
~ − d]
~
(~er × d)
r
r3 r2
Das E-Feld hat eine transversale und eine longitudinale Komponente.
~ E1 (~r) = k 2 e
E
0
Die Strahlungsleistung in einen Raumwinkel ist:
cr2
dP
~ 2 sin2 Θ
~ 0∗ × B
~ 0 ) = c k 4 |d|
=
~er (E
dΩ
8π
8π
Für eine 2R lange, lineare Antenne ist dies:
4.3
dP
dΩ
=
I02
(kR)2
8πc
sin2 Θ
Magnetische Dipolstrahlung
Um die magnetische Dipolstrahlung zu erhalten muss man die Entwicklung von vorhin um
ein Glied erweitern. Dabei treten die Terme für den magnetischen Dipol, als auch die des
elektrischen Quadrupol auf. Betrachtet man nur Terme die mit 1r abfallen, erhält man den
magnetischen Dipol:
ikr
~ 0 (M 1,~r) = ik e (~er × m)
A
~
r
R 3
1
mit dem magnetischen Dipolmoment m
~ = 2c
d r(~r × ~j0 ). Für die Felder gilt wiederum:
ikr
1
ik
− 2 )eikr [3~er (~er m)
~ − m]
~
3
r
r
r
ikr
~ 0 (M 1,~r) = −k 2 (1 + i ) e (~er × m)
E
~
kr r
Man sieht dass die elektrische und die magnetische Dipolstrahlung sich in ihrer Form entsprechen.
~ 0 (M 1,~r) = k 2 e
B
(~er × m)
~ × ~er + (
5