Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck
Modulprüfung BA 04 Mathematik:
Grundlagen der Mathematik C:
Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
11.02.2015
Name:
Vorname:
Matrikel-Nr.:
Studiengang:
Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen):
Herr Habeck (Di., 14-16)
Herr Habeck (Do., 10-12)
Frau Starck (Di., 12-14)
Frau Starck (Do., 10-12)
Herr Steinhauer (Di., 16-18)
keine Übungsgruppe
Aufgabe
Punkte
Erz. Punkte
1
2+3+2
2
2+3+3
Erreichte Punktzahl:
3
6+2+2
4
5
1+2+2+3 2+3+3
6
3+4+2
P
50
von max. 50 Punkten
Die Modulprüfung ist bestanden
ja / nein
Note:
Technische Hinweise:
1. Taschenrechner sind nicht zugelassen!
2. Handys bitte ausschalten.
3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt
am Ende der Arbeit oder die Rückseiten.
4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt
erforderlich.
5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der
Arbeit getrennt werden.
6. Nicht mit Bleistift schreiben!
Aufgabe 1:
a) Berechnen Sie ϕ(12 · 33) und ϕ(ϕ(43)).
ϕ(12 · 33) =
ϕ(ϕ(43)) =
Nebenrechnungen:
b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass ϕ(4p) stets durch 4 teilbar ist.
c) Beweisen Sie: Sind n ∈ N und n + 2 nicht durch 3 teilbar, so ist die Differenz der
Quadrate dieser beiden Zahlen stets durch 3 teilbar.
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Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie ein x ∈ N mit 0 ≤ x ≤ 16 und 13x ≡ 3.
17
x=
Nebenrechnung:
b) Verschlüsseln Sie mit dem RSA-Algorithmus (n = 15, s = 11) die Zahl a = 13.
Die Verschlüsselung va von a = 13 ist va = . . . . . .
Nebenrechnung:
c) Bestimmen Sie den Rest von 117211 bei Division durch 7.
Der Rest von 117211 bei Division durch 7 ist . . . . . . . . . .
Nebenrechnung:
3
Aufgabe 3:
Für alle x, y ∈ Z sei x ? y := −x · y 2 + x.
a) Beweisen oder widerlegen Sie:
(1) (Z, ?) ist assoziativ.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
(2) (Z, ?) besitzt mindestens ein linksneutrales Element.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
(3) (Z, ?) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element.
Die Aussage ist
wahr
falsch
(Zutreffende Aussage ankreuzen)
Beweis oder Widerlegung:
4
b) Definieren Sie für ein Verknüpfungsgebilde (M, ∗) die Eigenschaft regulär“ und ge”
ben Sie zudem ein Beispiel für ein Verknüpfungsgebilde, das NICHT regulär ist.
c) Sei g : (Z, ·) → (Z, ·) eine Abbildung mit g(8) = 9. Beweisen Sie, dass g nicht
verknüpfungstreu ist.
5
Aufgabe 4:
a) Definieren Sie den Begriff erzeugendes Element“ in einer Gruppe (G, ?).
”
1 2 3 4
b) Bestimmen Sie hgi für g =
in (S4 , ◦).
2 4 3 1
hgi =
Nebenrechnungen:
c) Sei (G, ?) eine Gruppe der Ordnung |G| = 12. Bis zu welchem Exponent k ∈ N muss
man g k höchstens ausrechnen, um entscheiden zu können, ob das Element g ∈ G
erzeugendes Element ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
d) Sei (G, ?) eine kommutative Gruppe mit vier Elementen a, b, c, d. Zudem gilt a?c = b,
c ? c = d, d ? a = a und b ? b = c. Geben Sie das neutrale Element der Gruppe an und
berechnen Sie die Verknüpfungstafel von (G, ?).
Das neutrale Element der Gruppe ist . . . . . . . . .
Verknüpfungstafel:
?
a
b
c
d
a
b
c
d
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Aufgabe 5:
a) Geben Sie die Matrix M an, die die Spiegelung σx an der x-Achse darstellt. Begründen
Sie Ihre Aussage.
Matrix:
M=
Begründung:
b) Seien A = (2, 2), B = (4, 1) und C = (0, 0) Punkte in der Ebene und g die Gerade
durch C und A. Konstruieren Sie die Bildpunkte A0 = f (A) und B 0 = f (B) für die
Kongruenzabbildung f = σg ◦ τCA . Geben Sie zudem die Koordinaten der Bildpunkte
A0 und B 0 an.
Die Koordinaten sind : A0 = . . . . . . . . ., B 0 = . . . . . . . . .
c) Betrachten Sie die Abbildung f : C → C, f (z) = (z − i)2 + (5 + 2i)z + 14. Bestimmen
Sie (rechnerisch) alle Fixpunkte dieser Abbildung.
Fixpunkte sind . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Nebenrechnung:
7
Aufgabe 6:
a) Begründen Sie, dass (Dn , ◦) nicht zyklisch ist.
b) Sei g eine Gerade und A ein Punkt im R2 . Geben Sie alle Kongruenzabbildungen
f ∈ K2 an, die die beiden Bedingungen f (g) = g und f (A) = A erfüllen. (Hinweis:
Beachten Sie, dass eine Fallunterscheidung bzgl. der Lage von A notwendig ist.)
c) Gibt es im R2 eine spiegelsymmetrische Figur X mit endlicher Symmetriegruppe SX ,
für welche die Anzahl aller echten“ (d.h. von der Identität verschiedenen) Symme”
trien gerade ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Notizen und Nebenrechnungen
Dieses Blatt wird nicht korrigiert.
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