Einführung in die Diskrete Mathematik ¨Ubung 4

Technische Universität Chemnitz
M. Wappler
Chemnitz, 1. November 2006
Abgabe: 8. November 2006
Einführung in die Diskrete Mathematik
Übung 4
1. Seien für i = 1, . . . , n nichtnegative Zahlen vi (Values) und wi (Weights)
gegeben, sowie eine nichtnegative Zahl c (Capacity). Das Knapsack Problem
P ist die Aufgabe,
P eine Teilmenge S ⊆ {1, . . . , n} zu finden, so dass
j∈S wj ≤ c und
j∈S vj maximal ist. (Wähle unter n mit Gewicht und
Wert gegebenen Gegenständen eine Rucksackbepackung aus, so dass das
gegebene Höchstgewicht des Rucksacks nicht überschritten wird und der
Wert des Rucksacks maximal ist.) Beschreibe das Knapsackproblem als
Maximierungsproblem über einem Unabhängigkeitssystem.
(2 Punkte)
2. Zeige: Sei E eine endliche Menge, und E1 , . . . S
, Ek seien nicht-leere Teilmengen von E mit Ei ∩ Ej = ∅ für i 6= j und ki=1 Ei = E. Seien b1 , . . . , bk
nicht-negative ganze Zahlen, dann ist (E, F = {F ⊆ E : |F ∩ Ei | ≤ bi , i =
1, . . . , k}) ein Matroid (genannt Partitionsmatroid ). Insbesondere sind beide Matroide aus Übung 3.4 Partitionsmatroide.
(3 Punkte)
˙ 2 , E) ein bipartiter Graph. Ein (bipartites) Matching ist ein
3. Sei G = (V1 ∪V
′
E ⊆ E mit e ∩ f = ∅, ∀e, f ∈ E ′ , e 6= f . Zeige, dass
[
(V1 , F := {V ⊆ V1 : ∃Matching E ′ mit V =
(V1 ∩ e)})
e∈E ′
ein Matroid ist.
(4 Punkte)
4. Gib das System der Kreise und das System der Cokreise des graphischen
2
5
1
Matroids mit folgendem Graphen an:
(3 Punkte)
8
7
3
6
10
9
4
5. Ein (gerichteter) Weg in einem Digraphen D = (V, A) heißt hamiltonscher
Weg, wenn er alle Knoten aus V besucht. Formuliere das Problem, in einem
Digraphen D = (V, A) einen hamiltonschen Weg zu finden, als die Suche
nach einer unabhängigen Menge maximaler Kardinalität im Schnitt dreier
Matroide.
(4 Punkte)