Theorie des Sternaufbaus

Universität Konstanz
Theorie des Sternaufbaus
Vorlesung Astrophysik
(WS 2009/2010)
Achim Weiß
Max-Planck-Institut für Astrophysik, Garching
[email protected]
Plan:
1. Physik und Modelle
• Grundgleichungen
• Mikrophysik
• einfache und numerische Modelle
2. Sternentwicklung und Anwendung
• Entwicklung massearmer Sterne und der Sonne
• Entwicklung Sterne mittlerer Masse
• Anwendungsbeispiele
Teil 1:
Physik und Modelle
Literatur:
Kippenhahn & Weigert: Stellar Structure and Evolution, Springer (1990)
Salaris & Cassisi: Evolution of Stars and Stellar Systems, Wiley (2005)
Weiss, Hillebrandt, Thomas, Ritter: Cox and Giuili’s
principles of stellar structure, Cambridge Scientific Publishers (2004)
Weiss: Sterne, Spektrum Akademischer Verlag (2008)
Die Strukturgleichungen
• Sterne sind selbst-gravitierende heiße Plasmakugeln;
• verlieren Energie in Form von Photonen von ihrer
Oberfläche;
• sphärisch symmetrisch (ohne Rotation und magnetische Felder);
→ Eindimensionales Problem mit dem Radius r als
natürlicher Koordinate (Euler-Beschreibung).
Masse und Radius
Eulersche Beschreibung:
Masse dm in Schale bei r und mit Dicke dr ist
dm = 4πr 2 ρdr − 4πr 2 ρvdt
Lagrange Beschreibung:
Massenelemente m (Masse in einer konzentrischen Schale).
⇒ r = r(m, t)
Variablenwechsel (r, t) → (m, t):
∂
∂ ∂r
=
∂m
∂r ∂m
und
µ
∂
∂t
¶
=
m
∂
∂r
µ
∂r
∂t
¶
+
m
µ
∂
∂t
¶
r
⇒
∂r
1
=
∂m
4πr 2 ρ
(1)
Das ist die erste Strukturgleichung (Massengleichung
oder Massenerhaltung).
Beinhaltet auch Transformation zwischen Euler- und
Lagrange-Beschreibung:
1 ∂
∂
=
∂m
4πr 2ρ ∂r
Gravitation
Poisson-Gleichung für Gravitationspotential
∇2Φ = 4πGρ
(G = 6.673 · 10−8 dyn cm2 g−2).
In sphärischer Symmetrie:
1 ∂
r 2 ∂r
g=
∂Φ
∂r
→ g=
Gm
r2
µ
∂Φ
r2
∂r
¶
= 4πGρ
ist Lösung der Poisson-Gleichung.
Potential Φ verschwindet für r → ∞.
R∞
− 0 Φdr ist die Energie, die benötigt wird, um alle
Massenelemente ins Unendliche zu befördern.
Hydrostatisches Gleichgewicht
Auf Schicht der Dicke dr wirken zwei Kräfte (pro
Flächeneinheit):
Schwerkraft Fg /(4πr 2) = −gρdr und
Druck △P = − ∂P
△r.
∂r
Soll sich diese Schicht in Ruhe befinden (hydrostatisches Gleichgewicht), so muss gelten:
Gm
∂P
+ 2 ρ=0
∂r
r
oder in Lagrange-Koordinaten
Gm
∂P
=−
∂m
4πr 4
(2)
Zweite Aufbaugleichung → hydrostatisches Gleichgewicht.
Gleichungen (1) und (2) werden auch die mechanischen Gleichungen genannt.
Abschätzung für Zentralwerte der Sonne:
Ersetze Ableitungen in hydrostatischer Gleichung durch
Unterschiede zwischen Zentral- (Pc) und Oberflächenwert
(P0 ≈ 0) →
2GM 2
Pc ≈
πR4
(M/2 und R/2 wurden für Mittelwerte von Masse und
Radius angesetzt)
Ergebnis Sonne: Pc = 7 · 1015 (cgs-Einheiten).
Mit ρ =
µP
RT
und ρ̄ = (3M )/(4πR3) ⇒
Tc =
8 µ GM ρ̄
< 3 · 107 K
3 R R ρc
Sonnenwerte (Beobachtung und Modelle):
M⊙ = 1.99 · 1033 g
R⊙ = 6.96 · 1010 cm
L⊙ = 3.83 · 1033 erg/(gs)
Tc = 1.6 · 107 K
Pc = 2.4 · 1017 dyn/cm2
ρc = g/cm3
Bewegung:
Gm
1 ∂ 2r
∂P
+
=−
∂m
4πr 4
4πr 2 ∂t2
1. P = 0 → Freier Fall Gm/r 2 = r̈.
2. Zeitskala τf f =
3. G = 0, τexpl
p
p
R/|r̈| ≈ R/g.
p
≈ R ρ/P (Isotherme Schallgeschwindigkeit)
4. Hydrostatische Zeitskala τhydro ≈ 12 (Gρ̄)−1/2
5. Beispiele: τhydro =
• 27 Minuten für Sonne
• 18 Tage für Roten Riesen (R = 100R⊙)
• 4.5 Sekunden für Weißen Zwerg (R = R⊙ /50)
Schlussfolgerung: Sterne kehren in extrem kurzer
Zeit in das hydrostatische Gleichgewicht zurück.
Energie-Reservoirs:
1. Thermische (oder innere) Energie (für ein ideales
Gas)
P =
R
ρT
µ
R
2
= cP − c v = cv
µ
3
Mit der thermischen Energie pro Masseneinheit
u = cv T
und der gesamten thermischen Energie aus dem Integral von u über die Masse
Et =
Z
0
M
cv T dm =
Z
0
M
cv
3R
3R
T dm =
hT iM
2µ
2µ
Für die Sonne mit hT i ≈ 107 K → Et,⊙ ≈ 5 × 1048 erg
2. Gravitationsenergie
Z M
GMr
GM 2
Eg = −
dMr ≈ −
r
R
0
Für Sonne, Eg,⊙ = −4 × 1048 erg
Allgemein,
−Eg ≈ Et
Warum sind beiden Reservoire etwa gleich groß?
Die Kelvin-Helmholtz (thermische) Zeitskala
¯ ¯
¯ g¯
|Eg |
Et
L ≈ ¯ dE
→
τ
:=
≈
.
¯
KH
dt
L
L
|Eg | ≈
GM 2
2R
⇒ τKH ≈
GM 2
.
2RL
Sonne: τKH = 1.6 · 107 yrs.
⇒ Sonne könnte also nur einige 10 Millionen Jahre
scheinen, wenn Gravitations- oder thermische Energie
ihre einzige Energiequelle wäre!
Das Virial Theorem
Integriere Gleichung (2) nach Multiplikation mit 4πr 3 :
Z
0
M
∂P
dm = −
4πr 3
∂m
Z
M
Gm
4πr 3dm
4
4πr
0
Rechte Seite entspricht der gesamten Gravitationsenergie
Z M
GM
Eg = −
dm
r
0
Linke Seite durch partielle Integration lösbar:
Z
0
M
£
¤M
3 ∂P
3
4πr
dm = 4πr P 0 −
∂m
Z
0
M
µ
∂r
12πr 2
∂m
Die rechte Seite dieses Ausdrucks wird zu
2Ei
R
¶
P dm
3P/ρdm =
so dass insgesamt das Ergebnis lautet:
Eg = −2Ei
Das ist das Virial-Theorem. Sehr zentral und wichtig!
Gesamtenergie (ohne nukleare Quellen):
W = Ei + Eg = −Ei = 21 Eg
Die Leuchtkraft eines Sterns muss sich aber aus diesem
Reservoir speisen:
L = − dW
>0
dt
⇒
L = − Ė2g = Ėi
Star werden global heißer, weil sie Energie verlieren! Die Energie dafür nehmen sie aus dem
Gravitationsreservoir
N.B.: Annahmen!
Hydrostatisches Gleichgewicht, ideales Gas.
Weiße Zwerge verlieren Energie, werden aber kälter!
Warum?
Energie-Erhaltung
dLr = 4πr 2ρǫdr,
ǫ (erg/gs): spezifische Energie-Erzeugungsrate
Energiequellen für ǫ:
~
• in einer stationären Massenschale: ǫ = ǫn(ρ, T, X);
nukleare Energieerzeugung;
• nicht-stationär: Wechselwirkung mit Nachbarschichten
über P dV
µ
∂Lr
ǫn −
∂m
¶
dt = dq = du + P dv
∂Lr
∂m
∂u
P ∂ρ
+ 2
∂t
ρ ∂t
δ ∂P
∂T
+
= ǫn − cP
∂t
ρ ∂t
= ǫn −
ǫg : gravothermische Energie
δ ∂P
∂T
+
= −cP T
ǫg = −cP
∂t
ρ ∂t
µ
1 ∂T
∇ad ∂P
−
T ∂t
P ∂t
¶
(3)
Energieverlust durch Plasma-Neutrinos: −ǫν .
Insgesamt also Gleichung für die Energieerhaltung/erzeugung
∂Lr
= ǫn + ǫg − ǫν .
∂m
(4)
Globale Energieerhaltung
Die Änderung des gesamten Energiereservoirs ist identisch mit dem Verlust an Energie durch Photonen (von
der Oberfläche) und Neutrinos (aus dem Sterninnern):
Ẇ =
d
(EG + Ei + En) = −(L + Lν ),
dt
Diese Gleichung erhält man in der Tat durch Integration von Gleichung (4) über m.
Nukleare Zeitskala
τn := En/L
Nukleares Energiereservoir: Masse des Brennstoffs x
Energieausbeute [erg/g] des Brennstoffs
Sonne ist in der Phase der Wasserstofffusion, die eine
Energieausbeute von q = 6.3 · 1018 erg g−1 hat.
entsprechend einem gesamten Energievorrat von
8.75 · 1051 erg.
⇒ τn ≈ 1011 yrs
τn ≫ τKH ≫ τhydr
Dies ist die für die meisten Sterne in fast allen Phasen
entscheidende Zeitskala, auf der sie sich entwickeln.
∂Lr
≈ ǫn ist eine sehr gute Näherung, und impliziert
∂m
auch ǫg ≈ 0, bzw. dass der Stern sich im thermischen
Gleichgewicht befindet. Außerdem herscht mechanisches (hydrostatisches) Gleichgewicht, insgesamt das
sogenannte vollständige Gleichgewicht, in dem (in erster Näherung) alle Terme mit dt fehlen.
Energie-Transport
Die im Innern erzeugte Energie muss zur Oberfläche
transportiert werden. Das geht nur entlang eines Temperaturgradienten, der in der Sonne
△T /△r ≈ 107/1011 = 10−4 (K/cm) beträgt.
Der Energietransport kann durch Strahlung, Konvektion, oder Leitung stattfinden (Leitung i.A. unwichtig,
außer im Fall von Elektronenentartung).
Formale Gleichung für den Temperaturgradienten:
∂T
T Gm
=−
∇
∂m
P 4πr 4
Aufgabe: bestimme ∇ für die oben erwähnten Fälle!
Strahlungstransport
Abschwächung der Strahlungsintensität I gemäß
dI = −Iκρdr ⇒ −
1
d ln I
= κρ =:
dr
l
~ (cm2/g).
Opazität κ(T, ρ, X)
Werte im Sonneninnern:
ρ¯⊙ = 1.4 g/cm3, κ⊙ ≈ 1 cm2 /g ⇒ l⊙ ≈ 1 cm!
Strahlungsdiffusion:
Wegen der kurzen freien Weglänge, des geringen Temperaturgradienten und der damit verbunden nahezu
perfekten Isotropie des Strahlungsfeldes findet radiativer Energiestransport als diffusiver Prozess statt.
Behandlung analog zur Teilchendiffusion:
Diffusiver Fluss ~j von Teilchen ist
~ = − 1 vlp ∇n
~
~j = −D∇n
3
(D Diffusionskonstante; v Diffusionsgeschwindigkeit;
lp freie Weglänge und n Teilchendichte).
Benutzen U := aT 4 für die Strahlungsdichte (statt
Teilchendichte), l = 1/(κρ) für die freie Weglänge
der Photonen, und c statt v. In 1-dimensionaler For~ zu
mulierung reduziert sich ∇U
∂T
∂U
= 4aT 3
∂r
∂r
und somit der radiative Energiefluss F (statt ~j)
4ac T 3 ∂T
,
F =−
3 κρ ∂r
oder F = −Krad ∇T .
Krad =
4ac T 3
3 κρ
ist die radiative Konduktivität.
Mit Lr = 4πr 2F ergibt sich
3 κρLr
∂T
=−
∂r
16πac r 2T 3
oder in Lagrange-Formulierung
3
∂T
κLr
=−
∂m
64acπ 2 r 4T 3
(5)
Das Rosseland-Mittel der Opazität
Gleichung (5) ist bisher nur für monochromatische
Strahlung richtig. κ = κ(ν). Man möchte aber gerne
κ̄Lr
3
∂T
=−
∂m
64acπ 2 r 4T 3
haben, wobei κ̄ eine geeignete Mittelung κ(ν) über ν
sein muss.
Dieses Mittel ist
R∞
1 ∂Bν
dν
1
0 κν ∂T
:= R ∞ ∂Bν
κ̄
dν
0 ∂T
wobei
Bν (T ) =
2hν 3
c2
µ
exp
µ
hν
kT
¶
−1
¶−1
die Planck-Funktion für den Energiedichte-Fluss
eines
R
4
Schwarzkörpers ist. (U = aT = (4π/c) Bν dν).
κ̄ heißt das Rosseland-Mittel der Opazität, meist κR
oder auch nur κ genannt.
Es wird dominiert von den Frequenzbereichen, wo κν
am geringsten ist.
(Elektronen-) Leitung
Die freie Weglänge von entarteten Elektronen ist sehr
groß, so dass sie effektiv Energie transportieren können.
In diesem Fall lässt sich der gesamte Energiefluss als
Summe zweier Prozesse mit zwei Konduktivitäten schreiben:
F = Frad + Fcond = −(Krad + Kcond )∇T
Man führt formal κcond ein:
Kcond
4ac T 3
,
=
3 κcond ρ
und kann damit κ in Gleichung (5) ersetzen durch:
1
1
1
+
=
κ
κrad
κcond
Der Mechanismus mit der kleineren “Opazität” erledigt
den Energietransport!
Effektives ∇ in Transportgleichung:
∇ = ∇rad =
3
κLr P
16πacG mT 4
Stabilität gegen Konvektion
Wird der Temperaturgradient in einer Schicht zu groß,
setzt Konvektion ein. Zur Herleitung eines Stabilitätskriteriums
betrachtet man folgendes (idealisiertes) Bild:
Der Temperaturunterschied DT = Te − Ts ist positiv,
wenn Element heißer als Umgebung ist; DP = 0 (hydrostatisches Gleichgewicht. Falls Dρ < 0 (Ideales
Gas), bewegt sich das Element nach oben. Bei Verschiebung um △r:
·µ ¶
µ ¶¸
∂ρ
∂ρ
Dρ =
−
△r
∂r e
∂r s
Das Stabilitätskriterium lautet daher
µ ¶
µ ¶
∂ρ
∂ρ
−
> 0.
∂r e
∂r s
Ist es erfüllt, wird das Element relativ zur Umgebung
währender der Aufwärtsbewegung schwerer und kehrt
um.
Mit der Zustandsgleichung d ln ρ = αd ln P − δd ln T −
ϕd ln µ, kann man das Kriterium umformen zu
µ
¶
µ
¶
µ
¶
δ dT
δ dT
ϕ dµ
−
−
>0
T dr s
T dr e
µ dr s
und nach Mulitplikation mit der Druckskalenhöhe
HP := −
µ
d ln T
d ln P
¶
s
∇s
dr
dr
P
= −P
=
>0⇒
d ln P
dP
ρg
µ
¶
µ
¶
d ln T
ϕ d ln µ
<
+
d ln P e
δ d ln P s
ϕ
< ∇ad + ∇µ
δ
Der konvektive Temperaturgradient
∇rad < ∇ad +
ϕ
∇µ
δ
(6)
Diese Gleichung ist allgemein gültig und heißt das
Ledoux-Kriterium für dynamische Stabilität. In chemisch
homogenen Gebieten ist ∇µ = 0, und das SchwarzschildKriterium gilt.
Ist das Stabilitätskriterium verletzt, setzt Konvektion
ein und erledigt den Energietransport. Der sich tatsächlich einstellende konvektive Temperaturgradient ∇con muss aus einer Konvektionstheorie berechnet werden.
In der Sternentwicklungstheorie wird meist die
Mischungswegtheorie verwendet, die einen freien Parameter, das Verhältnis von Mischungsweg zu HP , enthält:
αMLT, das von der Größe 1 ist und anderweitig “kalibriert” werden muss.
Im Extremfall, wenn die konvektiven Elemente keine
Energie an die Umgebung während der Bewegung abgeben,
ergibt sich
∇con = ∇ad
was nur noch eine Funktion der Zustandsgleichung ist.
Allgemein gilt in konvektiven Gebieten
∇rad > ∇con > ∇ad
Die chemische Zusammensetung
Die chemische Zusammensetzung beeinflusst ρ, κ, ǫ.
Sie kann sich durch nukleare Fusion, Diffusion, Konvektion und andere Mischungsprozesse ändern.
Notation:
mi ni
,
ρ
P
relative Massenanteile: Xi :=
i Xi = 1;
speziell:
Wasserstoff X, Helium Y , “Metalle” Z = 1 − X − Y .
typische Werte:
X ≈ 0.7 · · · 0.75; Y ≈ 0.24 · · · 0.30; Z ≈ 0.0001 · · · 0.04
Änderungen durch Kernreaktionen:
X
mi X
∂Xi
=
[
rji −
rik ]
∂t
ρ j
k
rji impliziert, dass Isotop i aus Isotop j entsteht, und
rik , dass i zur Bildung von k verbraucht wird.
Dabei entstehende Energie ist ǫij = 1ρ rij eij . rij ist Zahl
der Reaktionen pro Sekunde eij Energie pro Reaktion;
pro Teilchenmasse ist sie qij = eij /mi .
Im einfachsten Fall, der Umwandlung von H zu He,
erhalten wir
ǫH
∂Y
∂X
=−
=−
,
∂t
qH
∂t
eH,He ≈ 26.7 MeV/Reaktion = 4.72 · 10−5 erg und
qH,He = 2.5 · 1019 /4 = 6.44 · 10−18 erg/g.
Zusammenfassende Übersicht
m ist die Lagrange-Koordinate;
r, P, T, Lr sind die abhängigen Variablen;
Xi sind die Elementhäufigkeiten;
ρ, κ, ǫ, . . . sind physikalische Funktionen, die alle von
~ abhängen.
(P, T, X)
Die vier zu lösenden Strukturgleichungen lauten:
∂r
∂m
∂P
∂m
∂Lr
∂m
∂T
∂t
wobei ∇ von der
1
(7)
4πr 2ρ
Gm
1 ∂ 2r
= −
−
(8)
4πr 4 4πr 2 ∂t2
∂T
δ ∂P
= ǫn − ǫν − cP
+
(9)
∂t
ρ ∂t
GmT
= −
∇
(10)
4πr 4P
Art des Energietransportes abhängt:
=
κLr P
3
16πacG mT 4
∇ = ∇con (≈ ∇ad )
∇ = ∇rad =
(11)
(12)
Für die Zusammensetzung haben wir (schematisch)


X
mi X
∂Xi
(13)
=
rji −
rik 
∂t
ρ
j
k
wobei auch ein Mischungsterm auftreten kann, z.B.
aufgrund von Konzentrations-Diffusion
·
¸
∂Xi
∂
∂X
i
=
(4πr 2ρ)2D
(14)
∂t
∂m
∂r
Lösung der Aufbaugleichungen
• Wir haben I+4 Gleichungen für die I Elemente
(Isotope) plus die 4 abhängigen Variablen → System ist also lösbar!
• Gleichungen sind nicht-lineare partielle Differentialgleichungen in t und m (Mr ). Benötigt werden
noch zusätzliche Randbedingungen bei Mr = 0
und M (für den räumlichen Teil) und Anfangswerte
bei t = 0 (für den zeitlichen Teil). Sternentwicklung ist also ein Anfangs- und Randwert-Problem.
• Ein Sternmodell ist die räumliche Lösung für die
Struktur zum Zeitpunkt t0 (r(Mr , t0), T (Mr , t0),
. . . XI (Mr , t0)).
• Anfangswerte: notwendig für alle Variablen für
t = 0. Entweder aus vorherigem Modell, einem
vereinfachten Modell, oder “gut geraten”.
• Ist das Anfangsmodell nahe genug an der Realität, wird es sich über τKH daran angleichen.
• Problem kann in räumliches und zeitliches Unterproblem geteilt werden:
Schritt 1 löse Gl. (7)–(10) für t1 (Xi (Mr , t1) gegeben)
Schritt 2 löse Gl. (13) und (14) für räumliche Struktur
zwischen t1 und t2 = t1 + △t unter Benutzung
von ǫ(Mr , t1 )
Schritt 3 ändere Zusammensetzung:
¡ i¢
△t → Schritt 1
Xi (t2) = Xi (t1) + ∂X
∂t t
1
Randbedingungen
im Zentrum: Mr = 0 →
r(0) = 0,
Lr (0) = 0
an der Oberfläche: verschiedene Möglichkeiten
(1) “Null-Werte”:
bei Mr = M : P (M ) = 0, T (M ) = 0;
tiefes Innere dadurch einigermaßen realistisch berechenbar, aber äußere Schichten (Beobachtung!) falsch
(2) photospherische R.W.: Randwerte werden an
Photosphäre genommen, meist bei
optischer Tiefe τph = 2/3, wo T = Teff
Stefan-Boltzmann Gesetz:
4
L = 4πσR2 Teff
Stellt die erste Randbedingung an der Photosphäre
dar und verbindet 3 der 4 Variablen.
Die zweite Randbedingung (für P(R,L)) ergibt sich
aus einer Atmosphäre, die im einfachsten Fall die graue,
masselose Eddington-Atmosphäre ist:
T 4(τ ) =
3 4
T (τ + 2/3)
4 eff
Der Druck ergibt sich aus der Integration der Druckgleichung, wobei der Radius durch die optische Tiefe
dτ = κρdr → τph =
Z
∞
κρdr
R
ersetzt wird.
Für ein gemitteltes κ und konstantes g ergibt sich z.B.
Pph :
2 GM 1
(15)
Pph =
3 R2 κ̄
In der Praxis werden genauere Atmosphären berechnet.
Damit ist das System geschlossen und lösbar.
Numerische Methoden
1. Integrator-Methoden (Runge-Kutta)
Integriere Gleichungen von Randwerten nach außen
bzw. innen.
Problem: nur je zwei Randwerte verfügbar, die anderen beiden müssen geraten werden.
Integrationen treffen sich in der Mitte; Übereinstimmung
nur, wenn Randwerte richtig geraten. ⇒ Iteration der
“geratenen” Randwerte.
Vorteil: kein Startmodell nötig; Genauigkeit kontrollierbar
Nachteil: funktioniert nur gut bei einfachen Strukturen
Verwendung: für “Ur-Modell” nützlich (homogene Vorund Hauptreihen-Modelle)
2. Relaxations-Methoden (Newton-Verfahren)
Löse Gleichungen auf räumlichem Gitter; relaxiere Gitterwerte aller Variablen, bis Gleichungen erfüllt sind.
Iterationsverfahren.
Führt auf Matrix-Inversion zur Berechnung der Korrekturen.
Vorteil: “gutmütig”; funktioniert meistens
Nachteil: benötigt gute Startwerte; große Matrix (Lösung:
Henyey-Verfahren für Blockmatrizen); Genauigkeit unkontrolliert
Verwendung: meist verwendete Standardmethode
Einfache Sternmodelle
Homologie
für chemisch homogenene (z.B. unentwickelte, Alter0, Hauptreihen) Sterne.
Grundlegende Homologie-Annahme:
Zwei Sterne heißen zueinander homolog, wenn
bei
m1
M1
=
m0
M0
→
r1
R1
=
r0
R0
Daraus resultieren Skalierungsfunktionen:
¡m¢
¡m¢
r M
= Rfr M
¡m¢
¡m¢
= LfL M
Lr M
¡m¢
¡m¢
P M
= PcfP M
¡m¢
¡m¢
T M
= TcfT M
wobei die fi unabhängig von M sind, nicht aber die
Konstanten (R, Pc , etc.), die auch von der chemischen
Zusammensetzung (µ) abhängen.
Einfache (Potenz-) Gesetze für die physikalischen Funktionen:
R
ρT
(16)
P =
µ
ǫ = ǫ0 ρλ T ν
(17)
n −s
κ = κ0 ρ T
(18)
Damit erhalten wir im Fall der radiativen Strukturgleichungen einfache Skalierungsrelationen; z.B. für den
Druck (mit x := m/M ):
dP
dfP dx
Pcx d ln fP 1
Pc P M d ln fP
P d ln fP
= PC
=
=
=
dm
dx dm
fP d ln x M
Pc mM d ln x
m d ln x
Wenn wir das mit der Druckgleichung gleichsetzen,
erhalten wir folgende Beziehung für P und analoge
für die anderen Variablen:
dP
P d ln fP
Gm
=
=−
dm
m d ln x
4πr 4
dr
r d ln fr
1
=
=
dm
m d ln x
4πr 2ρ
T d ln fT
3κ
Lr
dT
=
=−
dm
m d ln x
64πac r 4T 3
dLr
Lr d ln fL
=
=ǫ
dm
m d ln x
→
→
→
→
P
m
∼ 4 (19)
m
r
r
1
∼ 2 (20)
m
r ρ
Lr
T
∼ 4 3(21)
m
r T
Lr
∼ǫ
(22)
m
Aus (19) und (20) ergeben sich Ausdrücke für P und
ρ als Funktionen von r and m. Durch Division und
Verwendung der idealen Gasgleichung folgt dann
P
m
T
∼
∼
ρ
r
µ
(oder rT = µm) und mit (21) für Lr
⇒ Lr ∼ µ4 m3
Das gilt auch für x = 1 oder m = M , so dass
L ∼ µ4 M 3 ,
Das ist die Masse–Leuchtkraft–Beziehung für Hauptreihenstere. Sie hängt nicht von der Energieerzeugung ab, aber die Proportionalität wird von der Opazität
bestimmt!
Da auch Lr ∼ mǫ ∼ mρλ T ν gilt, erhalten wir auch
(wieder für x = 1, unter Benutzung von ρ ∼ m/r 3 und
T ∼ µm/r)
ν−4
R ∼ µ ν+3λ M
λ+ν−2
ν+3λ
Für λ = 1 und ν ≈ 5 (pp-Ketten) ⇒
R ∼ µ0.125 M 0.5
Für λ = 1 und ν ≈ 15 (CNO-Zyklus) ⇒
R ∼ µ0.61 M 0.78
Dies sind Masse–Radius Beziehungen für die beiden
nuklearen Prozessmechanismen auf der Hauptreihe.
Ein mittlerer Wert für ν ist 13, was 0.75 für den M Exponent ergibt.
Damit ist R ∼ M 3/4 (mittlerer Exponent), L ∼ M 3,
und
4
L ∼ R2Teff
⇒
log L = 8 log Teff + const,
was die Gleichung für die Hauptreihe im HertzsprungRussell-Diagram ist; für R=const. erhält man
log L = 4 log Teff + const;
Linien konstanten Radius sind also flacher als die Hauptreihe (Radius der HR-Sterne nimmt mit Masse zu).
Da außerdem L ∼ M 3 gilt, und
τnuc ∼ M/L,
folgt für die Hauptreihen-Lebensdauer
→ τnuc ∼ M −2
Massereichere Sterne sind heller, leben aber deutlich kürzer als massearme!
Zentralwerte auf der Hauptreihe:
Setze λ = 1 und µ=const.
Pc ∼ P ∼
P (x)
fP (x)
Ebenso T ∼
und Tc ∼ T ∼
M
,
R
P ∼
M2
,
R4
T (x)
fT (x)
ν−1
Pc
Tc
ρc ∼
und R ∼ M ν+3 ;
⇒
4
Tc ∼ M ν+3
Pc ∼ M −
2(ν−5)
ν+3
ρc ∼ M −
2(ν−3)
ν+3
−
Tc ∼ ρc
2
ν−3
Tc wächst mit M ;
aber ρ fällt mit M für ν > 3 (M > 0.8 M⊙ )!
(23)
(24)
(25)
(26)
Zwei unterschiedliche Arten von Sternen auf der
Hauptreihe:
Teff
Kern
Hülle
H-Fusion
ν
Strahlungsdruck
< 1.5 M⊙
M∼
> 1.5 M⊙
M∼
niedrig
radiativ
konvektiv
pp-Ketten
> 10
niedrig
hoch
konvektiv
radiativ
CNO-Zyklus
<7
hoch
Numerische und empirische Ergebnisse:
Theoretische und beobachtete M -L-Beziehung:
Theoretische und beobachtete M -R-Beziehung:
Die Mikrophysik
Zustandsgleichung, Opazität, nukleare Reaktionsraten, . . .
Zustandsgleichung
Ideales Gas:
R
ρT
µ
wobei ρ = nµmu; µ: Molekulargewicht, Teilchenmasse
pro mu .
P = nkB T =
Mehrere Komponenten mit Massenanteil Xi =
ni =
ρXi
mu µi
P = Pe +
X
Pi = (ne +
i
X
ni )kB T.
i
Vollständig ionisierte Atome:
X Xi(1 + Zi)
R
ρT = ρT
P = nkB T = R
µi
µ
i
´−1
³P
Xi (1+Zi )
: mittleres Molekulargewicht
µ :=
i
µi
Neutrales Gas: µ =
³P
Xi
i µi
´−1
.
ρi
ρ
→
Strahlungsdruck
Prad
a 4 ³
erg ´
1
−15
a = 7.56 · 10
= U = T
3
3
cm3 K4
β := PPgas .
³ ´
³ ´
4(1−β)
∂β
∂β
=− T
=
and ∂P
∂T
P
T
(1−β)
.
T
Ionisation
Boltzmann-Verteilung, angewandt auf Ionisationsstufen
⇒ Saha-Gleichung
ur+1 (2πme)3/2
nr+1
(kT )5/2 exp(−χr /kT ),
Pe =
2
3
nr
ur
h
wobei nr : Teilchendichte im Ionisatinszustand r; χr
Ionisationsenergie; ur Zustandsfunktion; Pe = ne kT
Elektronendruck (k = kB )
Weitere Defintionen und Relationen:
¶
µ
1
∂ ln ρ
=
α :=
∂ ln P T
β
µ
¶
∂ ln ρ
4 − 3β
δ := −
=
∂ ln T P
β
µ
¶
∂ ln ρ
ϕ :=
=1
∂ ln µ T,P
·
¸
R 3
3(4 + β)(1 − β)
4 − 3β
cP :=
+
+
µ 2
β2
β2
Rδ
∇ad :=
βµc
µ P ¶
d ln P
1
γad :=
=
d ln ρ ad
α − δ∇ad
Für β → 0, cP → ∞, ∇ad → 1/4 und γad → 4/3.
, ∇ad → 2/5, und γad → 5/3.
Für β → 1, cP → 5R
2µ
Weitere Größen in der Literatur, die sogenannten
Gammas:
γad =: Γ1
Γ2 − 1
∇ad =:
µ Γ2 ¶
d ln T
+1
Γ3 :=
d ln ρ ad
Γ1
Γ2
=
Γ3 − 1
Γ2 − 1
Ionisation von Wasserstoff und Helium in
einer stellaren Hülle. Im Bild (b) wird der
entsprechende Verlauf von ∇ad gezeigt. Die Absenkung kommt vom Anstieg der spezifischen
Wärme cP . Da ∇ad kleiner wird, werden solche
Zonen leicht konvektiv.
Elektronen-Entartung
Wichtig für dichte Kerne von Sternen, z.B. Sonne
nach Hauptreihe. Daraus werden später die Weißen
Zwerge.
Bei nahezu vollständiger Entartung (trotz T > 107 K)
gilt:
1. pF ≪ me c (nicht relativistisch)
µ ¶5/3
ρ
Pe = 1.0036 · 1013
µe
2. pF ≫ me c (relativistisch)
µ ¶4/3
ρ
Pe = 1.2435 · 1015
µe
Pe =
2
Ue
3
Pe =
1
Ue
3
In solchen Fällen ist Pi ≪ Pe und der Elektronendruck
stabilisiert Sterne.
Weitere Effekte:
1. Nicht-ideale Effekte (Coulomb-Abschirmung; vander-Waals Kräfte)
2. Kollektive Effekte wie Kristallisierung (Weiße Zwerge)
3. Bei Kerndichten, Neutronisation (Neutronensterne)
In der Praxis:
Verwendung vorberechneter Tabellen mit Zustandsgleichung für verschiedene Mischungen
Opazität
Für κ wichtige physikalische Effekte:
1. Elektronenstreuung: (Thomson-scattering)
re2
= 0.20(1 + X) cm2g−1
κsc = 8π
3 me mu
2. Comptonstreuung:
T > 108: Impulsübertrag → κ < κsc
3. Frei-frei-Übergänge:
κff ∝ ρT −7/2 (Kramers Formel)
4. Gebunden-frei-Übergänge:
κbf ∝ Z(1 + X)ρT −7/2
Hauptquelle unter 6000 K: H − -Ion
5. Gebunden-gebunden-Übergänge:
unter 106 K
6. e− -Leitung: κc ∝ ρ−2 T 2
7. Moleküle für T < 104 K
8. Staubabsorption für T < 3000 K
In der Praxis wieder Tabellenwerke von Spezialisten.
Beispiel: Rosseland-Opazität für “solare” Zusammensetzung (X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02); nur atomare
Prozesse
Zwei Tabellen mit atomarer, moleklarer und
“conduktiver” Opazität für solare (links) und
metallarme (rechts) Zusammensetzung:
N.B.: weniger Metalle → niedrigere Opazität → niedrigeres
∇rad → höhere Oberflächentemperatur. Pop. II Sterne
sind i.A. heißer als Pop. I!
Nukleare Energie-Produktion
Massen-Defekt → Energie
Beispiel:
4 1 H (Protonen) : 4 · 1.0081mu 4He: 4.0089mu.
Unterschied (0.7%) : 26.5 MeV ⇒
erlaubt Sonne 1011 Jahre zu leuchten.
Bindungsenergie:
EB := [(A − Z)mn + Zmp − Mnuc]c2
B.E. pro Nukleon f := EB /A (um 8 MeV). Maximum
(8.4 MeV) wird erreicht bei 56 Fe.
Praxis: auch hier wieder Verwendung nuklearer Reaktionsraten, die aus Experimenten/theoretischen Rechnungen stammen.
Haupt-Brennphasen in Sternen
Abfolge der Fusionsstufen: Wasserstoff → Helium →
Kohlenstoff/Sauerstoff → Neon → Silizium → Eisen
Wasserstoff-Brennen
Die pp-Ketten für die Fusion von Wasserstoff zu Helium
Energie pro beendeter Kette: 26.20 (ppI), 25.67 (ppII),
19.20 MeV (ppIII).
Der CNO-Zyklus
• qCNO ≈ 25M eV
• Die e+ Reaktionen geschehen nahezu instantan
• Prozessgeschwindigkeit bestimmt durch langsamste Reaktion: 14 N (p, γ)15 O.
• Im Gleichgewicht, ≈ C & O ⇒
• und
12 C/13 C
14 N .
= 3 · · · 6 (solarer Wert: 85)
• Bei niedrigerem T (Sonnenzentrum) ist der CNOZyklus zu langsam, um wichtig zu sein. Allerdings
kann die C → N -Transformation stattfinden.
• Mit zunehmender Temperatur (Entwicklung, Masse)
wird der CNO-Zyklus dominant.
Helium-Brennen
Brenntemperatur: ≥ 108 K; Reaktionen
1. 3−α-Prozess: 2α(α, γ)12 C; eigentlich zwei Schritte:
α(α, γ)8Be und 8Be(α, γ)12 C; q = 7.27 MeV.
2.
12 C(α, γ)16 O:
3.
16 O(α, γ)20 N e:
unsichere Reaktionsrate; q = 7.6M eV
wichtig nur gegen Ende dieser Phase;
q = 4.77 MeV
4. resultierende Zusammensetzung: C/O = 50/50
. . . 20/80
Weitere Brennphasen:
nur noch Schwerionen-Reaktionen
1.
12 C
+12 C (bei 6 − 7 · 108 K)
• viele Ausgangskanäle:
→24 Mg + γ (13.93 MeV) !
→23 Na + p (2.238 MeV) !!
→20 Ne + α (4.616 MeV) !!
→23 Mg + n (-2.605 MeV) –
→16 O + 2α (-0.114 MeV) !
• Beginn der komplizierten Nukleosynthese
• nukleare Netzwerke; zunehmend Annäherung
an nukleares statistisches Gleichgewicht
2.
16 O
+16 O: (bei ≈ 1 · 109 K)
• ähnliche Ausgangskanäle wie für
→32 S + γ (16.539 MeV)
→31 P + p (7.676 MeV)
→28 Si + α (9.593 MeV)
→31 S + n (1.459 MeV)
→24 Mg + 2α (-0.393 MeV)
12 C
+12 C:
• starke ν Energieverluste durch Plasma-Neutrinos
in der Grß̈e der nuklearen Energieerzeugung
3. Photo-Desintegration (T ≥ 8 · 108 K)
• ähnlich Ionsiation
•
20 Ne
+ γ →16 O + α
• Produkte früherer Phasen werden auch wieder
zerstört
4. . . . danach nukleares statistisches Gleichgewicht,
kontrolliert durch Emission und Absorption von
Teilchen und Photo-Desintegration um 56 Fe (Max.
in Bindungsenergie/Nukleon)
Typische Brennzeiten:
H
He
C
...
Si
:
:
:
:
:
1010 (Jahre)
108
104
...
Stunden
Welche Brennphasen können Sterne erreichen?
Braune Zwerge (M < 0.075M⊙) erreichen nicht
einmal das H-Brennen:
Plasma Neutrino Emission
Stellare Plasmen emittieren Neutrinos, die den Stern
ohne wesentliche Wechselwirkung mit der Materie verlassen können und dadurch zu einem Energieverlust Lν
führen.
Prozesse:
1. Paarvernichtung: e− + e+ → ν + ν̄ für T > 109 K.
2. Photoneutrinos: γ + e− → e− + ν + ν̄
(wie Compton-Streuung)
3. Plasmaneutrinos: γpl → ν + ν̄; Zerfall eines Plasmazustands γpl.
4. Bremsstrahlung: inelastische Kern–e− Streuung
5. Synchroton-Neutrinos
Bereiche in der ρ–T Ebene, in denen die
verschiedenen Neutrino-Prozesse wichtig
sind