SternaufbauSedlmayr - Franz-Josef Schmitt – und mein Blog

Sternaufbau
Skript zur Vorlesung
von Prof. Dr. Sedlmayr
erweitert um zahlreiche Kapitel und
diverse lustige Karikaturen
Verfasser:
Franz- Josef Schmitt
1
Sternaufbau / Sternentwicklung
Sterne
-
bestehen aus Sternatmosphären
und Sterninnerem ( alles was nicht zur Atmosphäre gehört)
Sternatmosphäre
Bereich, in dem Photonen "letztmalig" wechselwirken, also der Bereich , der τ
Das bedeutet:
Dκ = τ = 1 für die optische Dicke
mit dem Absorptionskoeffizienten κ und entsprechend der freien Weglänge D
è
= 1 liefert.
I ( x) = I 0 e −κx
è ergibt sich für die gesamte Sternatmosphäre
I ( Ende) = I Anfang e −1
è ergibt für die Sternatmosphäre eine Schicht mit Wechselwirkungswahrscheinlichkeit
P=
I 0 − I (x )
e −1
= 1 − e −1 =
= 63,2%
I0
e
Sterninneres
Hier ist die Optische Dicke weit größer als 1:
κx = τ >> 1
Der Wert kann
τ ~ 10 5 sein ! -> Abschwächung um den Faktor exp(100000) !
Somit können wir au dem Sterninneren nichts über elektromagnetische Photonen erfahren !
Statt dessen besteht die Wahrscheinlichkeit, dass uns Neutrinos aus dem Sterninneren erreichen. Über diese
können wir dann sehr wohl etwas über das Sterninnere erfahren !:
Es gilt:
σ ~ 10 −44 für Neutrinos.
11
Dabei erreicht uns von der Sonne pro Sekunde die ungeheure Zahl von 10
keine Wechselwirkung gibt !)
Neutrinos / s / cm 2 ( gut, dass es
Bedenkt man, dass die Opazität, bzw. hier der Absorptionskoeffizient radiusabhängig ist, so ergibt sich
τ = ∫ dr´κ(r´)
r
0
Für eine Atmosphäre der Dicke
τ = ∆rκ(r ´) ≈ ∆rκ
Dabei bezeichnet
∆r folgt:
κ einen mittleren Absorptionskoeffizienten, mit der Definition eines κ =
κ´ κ´
=
⋅V
ρ
g
Somit gilt für die optische Dicke einer Sternatmosphäre
τ ≈ ∆rκρ wobei natürlich auch die Dichte, weil radiusabhängig, zu mitteln ist !
Die Dicke der Sternatmosphäre folgt zu:
∆r ≈
1
κρ
2
Womit als Masse der Sternatmosphäre folgt:
4πR 2
M = 4πrR ∆rρ ≈
κ
2
Weiter gilt:
κ´= σn definiert über mittlere Teilchendichte und Wirkungsquerschnitt.
Beispiel Sonne:
κ´= σn -> kann mit Massendichte der Teilchen dann noch auf obige Formel gebracht werden:
κ=
κ´ κ´
=
⋅V
ρ
g
Sonne:
κ = 1cm 2 g −1 mit ρ = 10 −7
g
cm 3
RO = 7 ⋅ 1010 cm
1
∆r ≈
= 107 cm
κρ
Somit beträgt der Anteil der Sternatmosphäre am Sonnenradius
∆r
≈ 10 −4
RO
Dies ist vergleichbar damit, dass eine 10 m große Sonne von einer 1 mm dicken Atmosphäre umgeben ist. Nur
diesen Teil sehen wir ! Der Rest ist optisch zu dicht !
4πR 2
∆M = 4πR ∆rρ ≈
≈ 6 ⋅ 10 22 g ≈ 10 −10 ⋅ M O
κ
2
Dabei wurde noch grob genähert ! Da die beiden Dichten gegeneinander gekürzt wurden. Das Ergebnis könnte
jedoch um Größenordnungen abweichen, wenn man die sterngemittelte Dichte gegen die atmosphärisch
gemittelte kürzt. In jedem Fall wird gelten:
∆M
<< 10 −10
MO
Für alle Sterne, die wir betrachten, gilt:
∆r
<< 1
RO
∆M
<< 1
M
Im Gegensatz dazu existieren auch rote Riesen mit
∆r
~ 1000 !
RO
Das bedeutet: Die Sterne bestehen quasi nur aus Atmosphäre !
Inneres der Sterne
Einblicke bekommt man nur mittels theoretischer Betrachtungen
è die Theorie muss dann mit dem gemessenen Spektrum übereinstimmen !
è Dann haben wir Vorstellungen vom Sternaufbau mit Wahrheitsanspruch !
3
Beginn der Vorlesung
1.
Grundgleichungen des Sternaufbaus
vereinfachte Annahmen
1)
Keine Rotation: In Wirklichkeit rotiert die Sonne in 28 h einmal differenziell um ihre eigene Achse !
-> Vernachlässigung von Zentrifugalkräften !
-> dies würde bei Pulsaren zu massiven Fehlern führen ! Da sind die Zentrifugalkräfte wichtig !
Außerdem: Nicht mal die Zentrifugalkräfte spielen dabei eine so enorme Rolle ! Aber durch den relativistischen
Effekt der Umwandlung von magnetischen Feldern in elektrische bei Bewegung wirken dann Pulsare wie
Unipolgeneratoren ! ( Siehe unten !)
2)
Kein Magnetfeld -> das Magnetfeld der Sonne ist jedoch sehr wichtig für äußere Sonnengebiete, wie die
Sternatmosphäre oder die Korona ! -> wir vernachlässigen jedoch zunähst die magnetischen Kräfte im
Sterninneren !
è die große Hoffnung ist : Wenn der Grundkörper mal verstanden ist, dann können wir noch die Rotation und
das Magnetfeld einbauen !
3)
4)
5)
kein Begleiter ! -> Keine Gezeitenkräfte ! -> Nur Einzelsternsysteme
Bei der Erde stammen 1/3 der Gezeitenkräfte von der Sonne. 2/3 stammen dagegen vom Mond. Dabei hebt
sich der Boden jeden Tag zweimal 30 cm durch die Gezeitenkräfte !
Konstante Masse ( vorläufig !) -> in Wahrheit enden alle Sterne, die Wasserstoffbrennen betreiben und unter
acht Sonnenmassen schwer sind als Weiße Zwerge mit 0,8 Sonnenmassen. Der Rest wurde dann vollständig
durch Sternwinde davongetragen !
Keine Viskosität im Inneren η = 0 !
Magnetisierung M und Polarisierung P
Wir haben gezeigt, dass sich P die Polarisation und M die Magnetisierung nicht unabhängig voneinander
transformieren, sondern wie die Komponenten eines Vierertensors, nämlich des Momententensors. bewegt sich
speziell K´ mit v in x- Richtung, so gilt nach der Lorentz- Transformation für die einzelnen Komponenten von
{P } :
µν
Px ´= Px
Py ´=


 Py + β ε0 M z 


µ0
1 − β2 

Pz ´=


 Pz − β ε0 M y 


µ0
1 − β2 

1
1
M x ´= M x
M y ´=


 M y − β µ0 Pz 

ε0 
1 − β2 
M z ´=


 M z + β µ0 Py 


ε0
1 − β2 

1
1
Diese Gleichungen beschreiben die gegenseitige Verknüpfung zwischen den dreidimensionalen Vektoren P und
M beim Übergang von K in K´.
Ein im Ruhesystem elektrisch polarisierter, jedoch nicht magnetisierter Körper erscheint im bewegten System
auch magnetisiert. Umgekehrt hat ein im Ruhesystem nur magnetisierter Körper von einem bewegten
Beobachter aus gesehen auch eine Polarisierung.
4
An zwei speziellen Beispielen wollen wir die Erscheinung noch genauer betrachten, die bei der Bewegung eines
polarisierten Dielektrikums bzw. eines Magneten auftreten.
Dazu stellen wir uns einen unendlich langen Stab mit quadratischem Querschnitt vor, der sich mit v in xRichtung bewegt:
Im ersten Fall sei der Stab in K´, dem Ruhesystem der Materie, lediglich in y´- Richtung polarisiert:
(
P´= 0, Py ´,0
)
M ´= (0,0,0)
Px ´= Px
Py ´=


 Py + β ε0 M z 


µ0
1 − β2 

Pz ´=


 Pz − β ε0 M y 


µ0
1 − β2 

1
1
M x ´= M x
M y ´=


 M y − β µ0 Pz 

ε0 
1 − β2 
M z ´=


 M z + β µ0 Py 


ε0
1 − β2 

1
1
Die gegebenen Transformationsgleichungen erlauben, die Trafo von K´ der Materie auf das Laborsystem K des
Beobachters sofort auszuführen: Man beachte lediglich, dass sich von K´ aus gesehen das System K mit -v
bewegt:
5
Px = 0
Py ´
Py =
1 − β2
Pz = 0
Mx =0
My = 0
−β
Mz =
µ0
P´
ε0 y
1− β2
Das bedeutet: Die Materie zeigt im Laborsystem eine homogene Magnetisierung in z- Richtung.
Im zweiten Fall sei der Stab im Ruhesystem K´ der Materie nur in z´- Richtung magnetisiert:
P´= (0,0,0 )
M ´= (0,0, M z ´)
Nach der entsprechenden Trafo auf das Laborsystem K findet man nun:
Px = 0
−β
Py =
ε0
M z´
µ0
1 − β2
Pz = 0
Mx =0
My = 0
Mz =
M z´
1− β2
Also zeigt sich eine zusätzliche elektrische Polarisation in y- Richtung.
Das heißt: Ei homogen magnetisierter Körper, etwa ein Stabmagnet trägt bei Bewegung ein elektrisches Feld (
elektrische Polarisierung). Diese Effekte können auch anschaulich verstanden werden:
Elektrische Polarisierung führt in Materie zu einem elektrischen Dipolmoment pro Volumen, also zur
Ladungsverschiebung und damit zu Oberflächenladungen. Eine Bewegung des Mediums und damit auch dieser
Oberflächenladungen ergibt dann einen Oberflächenstrom, der zu v proportional ist. Dieser Strom wirkt dann
wie eine Magnetisierung des Mediums.
Im zweiten Fall herrscht durch die Magnetisierung M´ im Inneren der Materie ein B- Feld. Bei der Bewegung
(
)
werden durch die Lorentz- Kraft e v × B die positiven und die negativen Ladungen, aus denen die Materie
besteht, nach verschiedenen Seiten hin abgelenkt. Dadurch kommt es zur Ausbildung von Oberflächenladungen.
Dies geschieht dann bis zum Kräftegleichgewicht durch das elektrische Feld.
Dieses elektrische Feld, also auch die Polarisation, ist damit ebenfalls proportional zu v
Mit diesen anschaulichen Überlegungen kann jedoch der relativistische Faktor
1 − β 2 nicht erklärt werden.
Dieser Faktor entsteht, wie mehrfach diskutiert, aus der Lorentz- Kontraktion.
6
Schon vor der SRT fand der Effekt, dass ein bewegter Magnet ein elektrisches Feld erzeugt technische
Anwendung im Unipolgenerator:
Dieser besteht im Prinzip aus einem zylindrischen Eisenkörper, der um seine Achse rotiert und parallel zur
Achse magnetisiert ist. Die Rotation des Zylinders bewirkt - analog zum translatorisch bewegten magnetischen
Stab, ein radial nach außen gerichtetes E- Feld. Dies schafft eine elektrische Potenzialdifferenz zwischen
Mantelfläche und Achsen. Mit Hilfe von Schleifkontakten an der Achse und am Mantel kann dann eine
Gleichspannung abgegriffen werden, die allerdings bei den technisch realisierbaren Anordnungen sehr klein ist.
Anders ist dies im Kosmos. Hier entstehen Unipolarinduktionen mit gewaltigen Spannungen. Eindrucksvolle
Beispiele sind Radiopulsare, isoliert stehende, stark rotier3nde und magnetisierte Neutronensterne. Solch ein
Neutronenstern hat typischerweise eine Masse von 1-2 Sonnenmassen. Einen Radius von 10 km und ein
Magnetfeld der Stärke 10 − 10 Tesla am Pol.
Mit diesen Werten entsteht durch die Rotation des Sterns mit etwa 33 Umdrehungen pro Sekunde, wie sie der
8
9
1018 Volt. Die Umsetzung dieser
18
Differenz liefert dann geladene Teilchen mit Geschwindigkeiten bis zu 10 eV. Derartige Protonen können
Radiopulsar im Crabnebel aufweist, eine Unipolarinduktion von bis zu
tatsächlich in der kosmischen Strahlung beobachtet werden.
Die Feldstärke durch die Unipolarinduktion an der Oberfläche von Neutronensternen erreicht bis zu 30.000 Volt
/ nm !!!!!
Massenverteilung im Stern
Äußere Kraft : Nur Gravitation !
è Zentralkraft -> Sterne sind sphärisch symmetrisch !
è Nur 1 Ortskoordinate ist zur Beschreibung nötig ( es gibt 2 zyklische Ortskoordinaten in den
Lagrangegleichungen der Teilchen : Die Winkel Theta und Phi ! -> Drehimpulserhaltung )
è Berechnung der Masse in r:
M (r ) =
4 3
πr ρ
3
7
bei radiusabhängiger Masse:
M (r ) =
r
∫0
4πr´2 ρ(r´)dr´
( Integraldarstellung)
Wir können hier derart differenzieren, dass
è Ableitung nach der oberen Grenze den Integranden ausgewertet an dieser Grenze ergibt ( Minus den
Integranden an der unteren Grenze !):
dM (r )
= 4πr 2 ρ(r ) − 0 = 4πr 2 ρ(r )
dr
Die Verallgemeinerung auf parameterabhängige Integrationsgrenzen lautet bei Differenziation unter dem
Integralzeichen: Zuerst sei gefordert, dass f x, y , definiert im Intervall c ≤ y ≤ e im Rechteck
(
)
a ≤ x ≤ b und c ≤ y ≤ e stetig ist und eine partielle Ableitung nach y besitzt. Falls die Funktionen
α( y ), β( y ) im Intervall [ c, e] definiert, stetig und differenzierbar sind und wenn die Kurven
x = α( y ), x = β( y ) das Rechteck a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ e nicht verlassen, so gilt:
β ( y ) ∂f ( x, y )
d β(y )
f ( x, y) dx = ∫
dx + β´( y ) f (β( y ), y ) − α´( y ) f (α( y ), y )
∫
α ( y)
dy α ( y )
∂y
Wegen
r ≠ r´ und damit
(
)
∂ 4πr´2 ρ(r´)
= 0 folgt aus dem Satz der Differenziation unter dem Integralzeichen
∂r
obige Behauptung !
M (r ) als Variable an !
M (r ) ist dabei eine monotone Funktion von r, also hängen M (r ) und r eindeutig ( bijektiv) zusammen !
Wir erhalten dann den Radius r = r (M (r )) als Funktion der VARIABLE M (r )
Für die Beschreibung des Sterns bietet sich
è Warum ist die Variable
M (r ) nun besser ?
Beim Radius r gilt:
0≤r≤R
Der Radius R ist jedoch unbekannt ! -> er folgt erst als Ergebnis !
è also kennen wir aber die Grenze von r gar nicht !
è -> Ausnahme sind die größten Roten Riesen
Bei den größten Roten Riesen kann man einen "Strahlungsradius" aus der gesamten Leuchtkraft bestimmen.
Aber: Der Strahlungsradius ist meist viel kleiner als der wahre Radius:
r( Strahlung)<< r( Stern)
Weiter: r& = v ist unbekannt ! und folgt auch nicht direkt aus der Konvektion! Die hier verwendete "Eulersche"
Koordinate r läßt sich dann in Zeitableitung nicht sinnvoll bestimmen !
M(r )
0 ≤ Mr ≤ M
Dabei ist die Masse eines Sterns jedoch aus den Keplerschen Gesetzen bei Doppelsternbewegungen bestimmbar.
Hilfreich ist das Helligkeits- Farben Diagramm ! Denn: Die Hauptwellenlänge des emittierten Lichtes ist bei
Sternen Temperatur- und damit masseabhängig ! Weitere Zusammenhänge bekommt man mittels der MasseLeuchtkraft - Beziehung
8
M& r = 0
& r aus der Konvektionsgleichung bestimmen !
oder aber, was möglich ist ( Lagrange- Koordinate): M
Ohne Konvektion kann man weiterhin annehmen:
Masse der Sterne
Die Zahlenwerte der Sternmassen reichen von 0,07 Sonnenmassen, den kleinsten bisher ermittelten Massen
sichtbarer Sterne, bis 100 Sonnenmassen.
Die meisten bekannten Sterne haben jedoch Massen im Bereich 0,3 bis 3 Sonnenmassen !
Der Zusammenhang mit anderen Zustandsgrößen der Sterne wurde evident, als Eddington 1924 im
Zusammenhang mit seiner Theorie vom inneren Aufbau der Sterne die Masse- Leuchtkraft - Beziehung
entdeckte.
Wir verstehen das heute folgendermaßen: Die Sterne der Hauptreihe befinden sich in einem ähnlichen
Entwicklungsstadium ! ( Sie decken alle ihren Energiebedarf durch Umwandlung von Wasserstoff in Helium !)
Zu einer bestimmten Masse M gehört demnach eine innere Energiequelle von ganz bestimmter Größe, welche
ihrerseits dann die Leuchtkraft eines Sterns festlegen !. Also existiert eine Beziehung zwischen der Masse M und
der Leuchtkraft L eines Sterns, bzw. zwischen M und der absoluten bolometrischen Helligkeit M bol .
Die Auswertung von Beobachtungsdaten zeigt dann, dass für die Sterne der Hauptsequenz eine solche
Beziehung existiert, die im oberen Massenbereich, also ab 0,2 Sonnenmassen durch die Formel
log
L
M
= 3,8 log
+ 0,08 angenähert werden kann !
LO
MO
Sterne, die sich von der Hauptreihe wegentwickelt haben fallen jedoch aus dieser Beziehung heraus ! Dies gilt
besonders für die weißen Zwerge mit einer mittleren Masse von 0,58 Sonnenmassen und erst recht für die
Neutronensterne mit Massen der Größenordnung 1 Sonnenmasse. Auch für Rote Reisen, bei denen die
Massebestimmung besonders schwer ist, kann die Masse- Leuchtkraft- Beziehung nicht angewendet werden, da
die Roten Riesen von ihrer Entwicklung her eine uneinheitliche Gruppe bilden. Im statistischen Mittel liegen die
Massen der Roten Riesen bei 1,1 Sonnenmassen !
Betrachten wir die Radien R der Sterne als gegeben ( Vergleiche Unsöld, Kapitel 6.3.5), so können wir die
Schwerebeschleunigung einfach ausrechnen, die für die Theorie des Sternaufbaus enorm wichtig ist. Für die
wichtigsten Hauptreihensterne ist g dabei konstant bis auf einen Faktor 2 und liegt im Mittel bei 200 m/ s².
Die Schwerebeschleunigung ist für Riesen und Überriesen erheblich kleiner und kann bei enormen Radien bis
zur Größe von 4,5 AE dann auf 0,02 m/s² herunter gehen.
Weiße Zwerge dagegen erzeugen eine Schwerebeschleunigung von 10
−6
m / s2 .
Mittels
4πr 2 f = 4πR 2 F = 4πR 2σTeff 4 = L für die Leuchtkraft der Sterne
können wir noch eine bedeutsame Beziehung zwischen Leuchtkraft , absoluter bolometrischer Helligkeit ,
Effektivtemperatur Teff. , Radius R sowie Schwerebschleunigung g an der Oberfläche zusammenstellen !
 R
L
= 
LO  RO
2
  Teff .
 ⋅
  Teff .O




4
 L 

M bol − M O,bol = −2,5 log 
 LO 
 M   R
g
 ⋅
= 
g O  M O   RO



−2
9
Die Daten der Sonne sind dabei:
LO = 3,85 ⋅ 10 26 W
M bol ,O = 4,74mag
Teff .,O = 5780 K
RO = 6,96 ⋅ 108 m
g O = 274 m / s 2
Aus der Analyse der Sternspektren kann man die Effektivtemperatur und auch die Schwerebeschleunigung ( aus
der Linienbreite) bestimmen.
Daraus folgt mit der obigen Formel dann das Verhältnis von Masse zu Leuchtkraft gemäß
M  1
g
=

L
4πGσ Teff . 4





Erst mit Hilfe der Theorie des Sternaufbaus oder über empirische Daten kann man dann die Masse eines Sterns
für sich alleine bestimmen !
Lagrangekoordinaten
Wir bezeichnen als Eulerkoordinate die Darstellung
dM r
= 4πr 2 ρ(r )
dr
als Lagrangekoordiate dagegen:
dr
1
=
2
dM r 4πr (M r ) ρ(r ( M r ))
In der Hydrodynamik hat man Materieelemente als Funktion des Ortes. Dies wird in Eulerkoordinatengelst.
Dagegen bei einem bewegten System mit ruhenden Materieelementen bewegt man sich im Kooridnatensystem
mit Lagrangekoordinaten . Ein fixiertes Materielement nimmt dabei den Ortsvektor mit !
1.
Grundgleichung des Sternaufbaus
Euler
dM r
dx
= 4πr 2 ρ(r ) entsprechend
dr
dy
Lagrange
dr
1
dy
=
entsprechend
2
dM r 4πr (M r ) ρ(r ( M r ))
dx
Diese Gleichung beschreibt keine Massenerhaltung !
Massenerhaltung wird vielmehr beschrieben durch die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+ div ( ρv ) = 0
∂t
bei uns ( stationärer Sternzustand), den wir betrachten, brauchen wir jedoch keine Massenerhaltung. Es folgt
damit nämlich
∂ρ
= 0 div ( ρv ) = 0 jeweils für sich schon.
∂t
Statt dessen betrachten wir die Änderung der Sternmasse über dem Radius ( Eulergleichung) bzw. die
Radiusfunktion, die einer linearen Massenzunahme folgt ( Lagrange).
10
Bei uns gilt:
M = ∫ 4πr 2 ρ(r )dr = ∫ ρ(r )dV
genauso wie im zeitabhängigen Fall:
M (t ) =
∫ ρ(r , t )dV
beide Gleichungen haben jedoch mit der Massenerhaltung, ergo Kontinuitätsgleichung nix zu tun !
Die Kontinuitätsgleichung findet besonders in dynamischen Systemen Anwendung, also beispielsweise bei der
Betrachtung von Sternwinden !
2.
Impulsbilanz
Zuerst mache man sich klar, dass Impuls eine innere Größe des stellaren Mediums ist. Eine innere Energie pro
Geschwindigkeit der Komponenten. So trägt eine Box mit chaotisch bewegten Teilchen einen Impuls und dieser
kann dann transportiert werden.
Dabei nehmen wir an, dass der Transport des Impulses mit den Massenelementen erfolgt, die ja durch
Druckgradienten bewegt werden.
Also betrachten wir den räumlichen Gradienten des Drucks:
p bezeichnet hier den Druck. Zur Unterscheidung werden wir den Impuls direkt mit p(imp.) bezeichnen.
Wir betrachten dabei den Gradienten des Drucks, der durch die Zunahme der gravitativen Anziehung nach außen
erreicht wird. Zunächst gilt für den Gradienten:
dr 

p(r ) − p (r + dr ) 
 − dp (r )  dFdr =  − dp(r ) dV
dF = 



dr

 dr 
 dr 
Also gilt für einen differenziellen Kraftunterschied durch diesen Druckgradienten:
− dK = d ( p * F ) =
dp
dFdr
dr
 − dp(r ) 
⇒
dV = dK
 dr 
Das Minuszeichen wird benötigt, da der Druckgradient nach innen Zeigt ( innen ist der Druck größer, er nimmt
nach außen ab), dadurch aber eine Kraft zu Stande kommt, die Massenelemente nach außen treibt !
11
Weiter aber ergibt sich ein Kraftunterschied durch die Gravitation !:
dK = dm | g |=| g | ρdV
GM
| g |= 2 r
r
Das heißt, die gravitative Beschleunigung wird nur durch die eingeschlossene Masse bestimmt. Bei einem
1
r2
- Gesetz der Kraft hebt sich nämlich der Einfluss der äußeren schale weg. Da Potenzial im inneren einer
homogenen Kugelschale ist konstant !
Weiter:
dp
4πr 2 ρ(r )dr
=
dp
dM r
Im hydrostatischen Gleichgewicht muss nun die differenzielle Kraft, die durch den Druck nach außen wirkt
gerade die gravitative Kraft kompensieren !
− dp (r ) 
dK =| g | ρdV = 
 dV
 dr 
dp(r )
⇒ −|g |ρ=
dr
Also haben wir eine Formulierung nach Euler:
dp (r )
dr
dp (r ) − GM r
⇒
=
ρ(r )
dr
r2
−| g | ρ=
Integration erfolgt von außen nach Innen, da der Druck von außen nach Innen zunimmt:
p (r*)
dp (r ) = ∫
− GM r
ρ(r )dr
r2
R GM r
⇒ p(r *) − p (R ) = ∫
ρ(r )dr
r*
r2
p (R ) = 0
R GM r
⇒ p(r *) = ∫
ρ(r )dr
r*
r2
∫p ( R)
r*
R
bzw. nach Lagrange
dp(M r ) − GM r
=
dM r
4πr 4
p (M r* )
M r* − GM
∫p (M R ) dp (M r ) = ∫M R 4πr 4 r dM r
MR = M
M
GM r
⇒ p( M r* ) − p(M ) = ∫
dM r
M r* 4πr 4
p (M ) = 0
M
GM r
⇒ p( M r* ) = ∫
dM r
M r * 4πr 4
12
Dabei setzt sich der Druck im Übrigen aus diversen Komponenten zusammen:
-
Strahlungsdruck
Gasdruck ( kinetischer)
Gasdruck( Quantenkorrekturen: Fermidruck)
Druck aus Turbulenzen
magnetischer Druck
Neutrinodruck etc...
Definition: Ein Gas heißt entartet, wenn der Druck der Quantenkorrektur, also der Fermidruck den kinetischen
Druck überwiegt !
Warum Impulsbilanz ?
Bisher scheint unser Problem ein Kräftegleichgewicht ! Warum aber reden wir von einer Impulsbilanz ?
Nun:
ρ ⋅ v = Massenstrom = Impulsdichte= Massenstrom pro Fläche und Sekunde= Impuls pro Volumen !
Wenn man die Massendichte links einsetzt !
Also erhalten wir einen Impulsstrom, einen Impuls, der pro Sekunde durch eine Fläche strömt:
( ρ ⋅ v )v
Dies kann man natürlich komponentenweise auswerten !
so ergibt sich ein Transport der x- Komponenten des Inmpulses in y- Richtung, ein y- Strom der xKomponenten des Impulses, gemäß:
( ρ ⋅ v x )v y
Der nötige Zusammenhang lautet nun:
F
K
:=
A F
K := F ( Kraft)
F := A( Fläche)
p=
für den Druck ( Kraft pro Fläche), dabei benennen wir jetzt Flächen und Kräfte um zur gewohnten Bezeichnung
!
Also:
dp F
= : der Druckgradient ist gleich der Kraft pro Volumen
dr V
Aber:
dpimp
dp
⋅V = F =
dr
dt
Kraft ist ja nach Newton gleich der zeitlichen Änderung des Impulses, also gilt:
dp F d  p imp
= = 
dr V dt  V




Also: Der Druckgradient ist gleich der zeitlichen Änderung der Impulsdichte !
Somit:
dp (r ) =
r*
∫R
d  pimp

dt  V
 d  pimp
 
 dt  V

 dr



R
  dr = ∫ GM r ρ(r )dr

r*
r2
 
13
Also erhalten wir aus unseren Überlegungen über den Druckgradienten dann einen Ausdruck für die zeitliche
Änderung der Impulsdichte !
Kraft pro Volumen = zeitliche Änderung der Impulsdichte = Impulsänderung ( zeitliche) pro Volumen
-> Aus dem Druckgradienten folgt die Impulsbilanz !
 p imp  dp
= ∇ ⋅ j imp. = ∇ ⋅ 
⋅ v  =
V

 dr
p& imp
V
Also:
die zeitliche Änderung der Impulsdichte ist die Divergenz der Impulsstromdichte und die ist gleich dem
Druckgradienten !
In Viererschreibweise:
Impulsdichte
 p imp

 V


 = ρv µ

µ
Der Impulsstrom ( Transport der Impulsdichte in ν - Richtung !)
schreibt sich damit:
 p imp

 V


 vν = ρv µνν

µ
Die Divergenz hiervon gibt aber gerade den Druckgradienten, also eine Kraftdichte !
Also schreiben wir
 p imp

 V

 p imp

 V


 vν = ρv µνν als den Drucktensor:

µ

 vν = ρv µνν = Pµν

µ
und wie gesagt: Die Kraftdichte ergibt sich als Divergenz des Drucktensors
kµ =
(
∂ ρv µνν
∂xν
) = ∂Pµν
∂xν
Dann erhalten wir weiter als zeitliche Änderung der Drehimpulsdichte
(
L& µν ~ Pµν − Pνµ
)
Also als antisymmetrischer Anteil des Drucktensors
Wesentlich: Hier sei nur auf die Doppeldeutigkeit der physikalischen Größen hingewiesen:
j µ = ρv µ
als Massenstrom ( fließend)
aber auch, wenn man nur einen "Screenshot" betrachtet: eine Impulsdichte:
 p imp

 V


 = ρv µ

µ
Durch Multiplikation mit einer beliebigen Geschwindigkeitskomponente wird dann dieses Gebilde zur
Bewegung der Impulsdichte, also zu einem Impulsstrom:
 p imp

 V


 vν = ρv µ vν Dies ist ein Impuls pro Fläche und Zeit, also eine flächenartige Kraft, was obige

µ
Analogie zum wieder stationär anzusehenden Drucktensor rechtfertigt !
14
Massenverteilung
dM r
= 4πr 2 ρ(r ) ( Euler)
dr
dr
1
=
( Lagrange)
2
dM r 4πr (M r ) ρ(r ( M r ))
mit
M r = ∫ 4πr´ 2 ρ(r´)dr´
r
0
Dabei entspricht der Übergang von Lagrange zu Euler und umgekehrt einem variablentausch !
M r = ∫ 4πr´ 2 ρ(r´)dr´ als Variable geht gut, da monotone Funktion in r r
Dieser Übergang zu
0
>Integrationsgrenzen lassen sich leicht finden etc...
würde man z.B. Qr als eingeschlossene Ladung als Variable wählen, so könnte dies Probleme machen wenn Qr
keine Monotone Funktion des Radius ist !
2. Hydrostatisches Gleichgewicht
Euler:
dp (r )
dr
dp (r ) − GM r
⇒
=
ρ(r )
dr
r2
−| g | ρ=
Integration erfolgt von außen nach Innen, da der Druck von außen nach Innen zunimmt:
p (r*)
dp (r ) = ∫
− GM r
ρ(r )dr
r2
R GM r
⇒ p(r *) − p (R ) = ∫
ρ(r )dr
r*
r2
p (R ) = 0
R GM r
⇒ p(r *) = ∫
ρ(r )dr
r*
r2
∫p ( R)
r*
R
Der Druckgradient, wie oben gezeigt wurde, entspricht einer Kraftdichte, also der Gravitationsdichte
− GM r
r2
ρ(r )
15
bzw. nach Lagrange
dp(M r ) − GM r
=
dM r
4πr 4
p (M r * )
M r* − GM r
dp
(
M
)
=
r
∫p (M R )
∫M R 4πr 4 dM r
MR = M
M
GM r
M r*
4π r 4
⇒ p(M r * ) − p(M ) = ∫
p(M ) = 0
M
GM r
Mr*
4πr 4
⇒ p (M r * ) = ∫
Hier haben wir mit
dM r
dM r
dp(M r ) − GM r
=
keine Kraftdichte mehr, sondern eine Kraft pro Masse und Fläche
dM r
4πr 4
bzw. eine Energiedichte pro Masse ! Dies ist gerade eine Potenzialdichte.
Man merke sich dazu Potenzialdichte ist die Änderung des Drucks über der eingeschlossenen Masse !
2.2 Die Bewegungsgleichug
Ausgangspunkt: Navier- Stokes- Gleichung ( Massenpunktbewegungsgleichung der Hydrodynamik !)
∂v
1
η
4η
+ (v ⋅ ∇ )v = F − ∇ p − ∇ × ∇ × v +
∇ (∇ ⋅ v )
∂t
ρ
ρ
3ρ
dp(M r ) − GM r
=
dM r
4πr 4
p& = ∑ F
F
v& = ∑
m
F , dem Gradienten des skalaren Drucks ∇p .
dv ∂v
Dabei ist der Term
=
+ (v ⋅ ∇ )v
dt
∂t
mit der Kraft pro Masse
Ganz allgemein gilt:
d
∂
= + (v ⋅ ∇ )
dt ∂t
Die Totale zeitliche Änderung ist die explizite zeitliche Änderung einer Größe zuzüglich die Änderung entlang
des Gradienten, skaliert mit der Geschwindigkeit, mit der man sich parallel zu diesem Gradienten bewegt !
Also: Temperaturfeld: Ändert sich einerseits über die explizit zeitabhängige Temperaturveränderung, skaliert
andererseits entlang der Bewegung durch das Temperaturfeld mit der Geschwindigkeit, mit der man sich bewegt
und dem Gradienten, der an dem Feld anliegt !
Viskosität
η
16
Schreibe also für Navier Stokes:
dv
1
η
4η
= F − ∇p − ∇ × ∇ × v +
∇ (∇ ⋅ v )
dt
ρ
ρ
3ρ
Vereinfachungen
η = 0 -> keine innere Reibung
F = −∇Φ mit dem Gravitationspotenzial Φ
3) Gravitationspotenzial
Φ sei kugelsymmetrisch, Somit: ∇Φ ~
∂
∂
Φ=
Φ =0
∂ϕ
∂ϑ
v = (r& ,0,0) -> differenzielle Rotation ( beispielsweise) fällt weg !
∂
Φ
∂r
mit
Also:
grad →
d
dr
Unsere Navier- Stokes- Gleichung schrumpelt zusammen auf
&r& = F − 1 ∇p = − d Φ − 1 dp
ρ
dr
ρ dr
d
Wir gewinnen
Φ durch Lösen der Poissongleichung ( obwohl wir es schon kennen)
dr
Formal nochmal:
1 d  2 d 
Φ  = 4πGρ
r
r 2 dr  dr 
dM r
d 
d 
⇒ r 2
Φ  = 4πGρr 2 = G
dr  dr 
dr
d 

⇒ r 2
Φ  = GM r
 dr 
GM
d
⇒
Φ= 2r
dr
r
∆Φ =
Somit schreiben wir die Navier- Stokes- Gleichung:
&r& = − GM r − 1 dp
ρ dr
r2
&r&
GM r
dp
=−
−
2
4
dM r
4πr
4πr
Also: unter Vernachlässigung der inneren Reibung ergibt sich als vereinfachte Navier- Stokes - Gleichung eines
sphärisch symmetrischen Zentralpotenzials, welches der gravitativen Poissongleichung folgt zu:
&r&
4πr
2
=−
GM r
4πr
4
−
dp
dM r
Fürs hydrostatische Gleichgewicht schreiben wir:
&r& = 0
und los geht’s...
17
was mal echt toll wäre: eine experimentelle Sternsimulation ( beispielsweise durch eine brennende, chemisch
reagierende Kugel aus giftigen Chemikalien, die sinnlos verbrannt werden. Damit es richtig schön stinkt am
besten richtig groß Feuer machen !!! ( Wir können das Experiment ja irgendwo in Afrika durchführen))
Am besten: Mit Helium- Flash !
2.3 gestörtes Hydrodynamisches Gleichgewicht
Als noch genähertes hydrodynamisches Gleichgewicht können wir annehmen:
&r&
4πr
&r&
<<
GM r
2
4πr
2
<<
dp
dM r
4πr 4
Also viel kleiner als jeder Terme für sich !
Erste Annahme: Sei nun der Stern nicht im hydrostatischen Gleichgewicht:
GM r
dp
<<
_> wir können eine druckfreie Bewegung setzen.
dM r
4πr 4
Es gilt:
&r& ≈ GM r
r2
&r&
Die druckfreie Bewegung ist der freie Fall -> in einem solchen Fall gilt natürlich
4πr 2
&r&
4πr
2
<<
GM r
<<
dp
dM r
4πr 4
nicht mehr ! Wir sind fern vom hydrostatischen Gleichgewicht !
Wir können jedoch eine sogenannte Skalenabschätzung durchführen ! Das bedeutet: Wir überlegen uns, wie
lange ein Massenelement frei fällt von der Oberfläche der Sonne bis zum Zentrum ! Allerdings nur als ganz
grobe Abschätzung ! Dazu können wir auch mal die Näherung nehmen, dass die Masse ganz im Zentrum
lokalisiert ist !
Skalenabschätzung:
R
&r& ≈ GM r ≈
2
R
(τchar ) 2
⇒ τchar =
R3
GM r
als charakteristische Einstellzeit für die Freifallbewegung !
Beispiel:
Sonne: R = 1 Sonnenradius
M = 1 Sonnenmasse
è t(char) = 25 min.
Riesenstern mit 100 Sonnenradien und 1 Sonnenmasse -> 20 Tage !
Weißer Zwerg mit 0,01 Sonnenradien , einer Sonnenmasse: 1,5 Sekunden ! ( passiert beim Kollaps des
Eisenkerns in einem Riesen -> Supernova !)
è durch das Schalenbrennen rieselt immer mehr Eisen auf den Eisenkern herunter. Dabei ist es möglich, dass
die Fusion schließlich gänzlich zum Erliegen kommt oder dass der Eisenkern kollabiert.
18
è In beiden Fällen stürzt dann die den Stern umgebende aufgeblasene Schicht auf den Eisenkern zurück ,
prallt an diesem ab und erzeugt dadurch einen unglaublichen Energiestoß, der als Fusionsexplosion die
Supernova freisetzt !
Neutronenstern: charakteristische Zeit des Freifallens bei
R = 10 −5 RO , M = M O , τchar = 10 −4 s .
Hier: überwindet die Gravitation bereits die Fermi- Abstoßung ( wird beim Weißen Zwerg noch nicht
überwunden, beim weißen Zwerg jedoch ist die Entartung, also der Fermidruck schon der dominierende
Stabilisierungsfaktor !
Neutronensterne finden wir oft in Doppelsternsystemen -> ein Begleiter ist kollabiert zum Neutronenstern und
nimmt Masse vom Begleiter auf, kollabiert dabei weiter !
τchar << Entwicklungszeitskala 10 6 − 1010 a für alle Objekte
Wichtig:
Also können wir annehmen: Sterne sind immer im hydrostatischen Gleichgewicht ! Denn: eine solche
Freifallsituation würde sich auf mikroskopischer Zeitskala äußern !
Ausnahme:
Pulsationen
Supernovae
Sternentstehung
Zur Kontrolle: Starke Druckstörung:
GM r
dp
>>
dM r
4πr 4
1 dp
⇒ &r& ≈
ρ dr
grobe Abschätzung
dp
p
≈
dr R
d 2r
dt
⇒
2
≈
R
τchar 2
p
R
R
≈
⇒
≈
2
Rρ τchar
τchar
p
= Vs
ρ
also gerade die Schallgeschwindigkeit !
è klar ! Schall IST ja eine Druckstörung -> Schallgeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit von
Schall ist damit die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Druckstörungen !
τchar =
R
-> abgeschätzte Schallaufzeit durch den Stern
VS
Es gilt:
p
~ T ( Temperatur) ( bei konstantem Volumen)( eine weitere Näherung)
ρ
1
Also:
p
~ Vs ~ T 2
ρ
19
In jedem Fall sind die Schallgeschwindigkeiten im Stern damit enorm groß ! Besonders im Kern des Sterns !
è Schallaufzeit wird dennoch im Wesentlichen durch die äußeren Regionen eines Sterns bestimmt !
è bei entarteten Kernen im Inneren eines Roten Riesen beispielsweise ist dieser Effekt erst einmal egal !
2.4 Zwischenbilanz
Bisher haben wir 2 Gleichungen für die drei Unbekannten
r , ρ, p
dr
1
=
dM r 4πr 2 ρ
( sehr exakte Gleichungen)
GM r
dp
=−
dM r
4πr 4
unbekannt sind:
r (M r ), ρ( M r ), p (M r )
Als weitere Gleichung bedienen wir uns der Zustandsgleichung !
f (ρ, p ) = 0
Nutze: Ideales Gas :
f (ρ, p, T ) = 0
nämlich:
p=
ρ
kT mit dem gemittelten Molekulargewicht m !
m
è wir benötigen noch eine weitere Gleichung für
T ( M r ) , ansonsten fangen wir uns nur ne neue Variable ein
!è Dies alleine ist der Grund, warum wir uns komplizierte Energieverteilungen im Stern ansehen werden !
2.5 Abschätzung von zentralem Druck und zentraler Temperatur
pc=p(r=0)
Tc=T(r=0)
dp − GM r
=
ρ
dr
r2
p
dp pc − p0
≈
= c
dr
R
R
Demnach erhalten wir die mittlere Dichte bei R/2
Annahme für diese Näherung: linearer Zusammenhang !
bei
R
M
R M
→ ρ/
also: M r   =
2
2
2 2
Dass wir mit einer gemittelten Dichte rechnen können ist klar ! Wir wissen jedoch gar nicht, wo wir diese
mittlere Dichte finden ! Da wir keine Funktion für T( r) haben müssen wir hier abschätzen ! -> wir nehmen ganz
willkürlich R/2 !
GM r
r2
M
2 ρ = 2GM ρ
ρ→
2
R2
R
 
2
G
20
Somit ergibt sich
2GM
3 GM 2
pc =
ρ=
R
2π R 4
für die Sonne ergibt sich damit ein zentraler Druck von
p c = 6 ⋅1015
dyn
cm
2
= 6 ⋅ 10 9 bar
Nach dem idealen Gasgesetz:
p=
R´
ρT
µ
mit der idealen/ molaren Gaskonstante R= 8,314
und dem Molekulargewicht in / mol: µ
Leicht ergibt sich damit dann die zentrale Temperatur zu:
Tc =
2Gµ M
R´ R
Da der Wasserstoff in der Sonne vollständig ionisiert ist ( ab 140.000 K) beträgt das mittlere Molekulargewicht:
µ=
1
2
es ergibt sich als zentrale Temperatur:
Tc = 10 7 K
21
3. Energiereservoire / Virialsatz
3.1 Energiereservoire
Wie wir gesehen haben, muss ein Stern im Gleichgewicht sein, denn augenscheinlich sind Sterne stabil !
Für die Teilchen gilt:
EWW << E kin
mit gewissem recht: Durch die Abstrahlung nach außen muss der Stern im Inneren heißer sein als außen !!
è das ideale Gas ist sicherlich gerechtfertigt !
è Durch das Stabilitätsargument kann man etliche Alternativen ausscheiden lassen ! So scheidet eine Sonne
mit kühlerem Zentrum aus Stabilitätsgründen ebenfalls aus !
è eine Sonne mit kühlerem Zentrum wäre nicht stabil -> vergl. Schalenbrennen !
è das sich die Sterne auch auf längerer Zeitskala nicht verändern wird beispielsweise von der Existenz des
Lebens auf der Erde bestätigt !!
3.1. a) Thermische Energie ( ideales Gas)
p=
R´
ρT
µ
R´= c p − cv =
Cv =
2
c
3 v
3 R´
2 µ
als spezifische Wärme pro Masseneinheit bei konstantem Volumen !
Damit erhalten wir als thermische Energie pro Masseneinheit:
Etherm = Cv T =
3 R´
T
2µ
Einwurf: Mittelwertsatz der Integralrechnung: Jede positive Fläche ist durch ein Rechteck approximierbar
Also: für jedes Integral existiert ein Funktionswert , er von der Funktion angenommen wird, der mit dem
Abstand der Grenzen multipliziert das Integral selbst ergibt !
Als Totale thermische Energie:
M
M
0
0
ET = ∫ Etherm dM r = ∫
=
C vTdM r = ∫
M
0
3 R´
TdM r
2µ
3 R´
T M
2µ
wobei just bei der letzten Identität der Mittelwertsatz der Integralrechnung verwendet wurde !
Sonne:
M = 2 ⋅ 1033 g
T ~ 107 K
1 g
2 mol
⇒ ET ,O = 5 ⋅ 10 48 erg
µ=
Als Gesamte thermische Energie der Sonne !
22
Weiter gilt : Gleichverteilungssatz. Aus diesem folgt, dass
R´= c p − cv =
2
cv , weil die mittlere Energie pro
3
Freiheitsgrad, der quadratisch in die Energie eingeht
1
kT pro Freiheitsgrad !
2
Ekin =
Also folgt:
Ekin (Gas ) =
3
kT für das ideale Gas !
2
Definition der Gravitationsenergie
Wir betrachten als Gravitationsenergie die Energie, die benötigt wird bzw. frei wird, um Massenschalen aus dem
Unendlichen auf den Stern zu bringen. Eigentlich insgesamt die Arbeit , die man aufbringen muss, um
Massenelemente aus dem Unendlichen in den Stern zu bringen und den Stern komplett zusammenzusetzen !
Es folgt:
∞
dE g = − dM r ∫
r
Eg
∫0
dE g = − ∫
M
0
GM r
x
dx = −dM r
2
dM r
GM r
r
GM r
r
Dies ist jedoch nicht ganz einfach zu integrieren, da
Eg = ∫
Eg
0
dE g = − ∫
M
0
dM r
M
GM r
GM r
= −∫ dM r
0
r
r (M r )
Grobe Abschätzung:
Eg ≈ −
GM r 2
R
Es ergibt sich für die Sonne:
GM r 2
Eg ≈ −
≈ −4 ⋅ 10 48 erg
R
die ähnliche Größenordnung zur thermischen Energie ist hier jedoch rein zufällig !
è hoher Druck macht noch keine Kraft ! Erst die Gradienten !
Also gibt es keinen Grund, anzunehmen, dass beide Größen gleich sind !
23
Warum aber dann
E g ≈ Etherm ??
Lebensdauer der Sonne bei gravitativer oder thermischer Energieabstrahlung
1000W / m 2
9
Dabei eine Kugel vom Radius 150 ⋅ 10 m
2
W
9
Also: P = 150 ⋅10 m π ⋅ 1000
≈ 7,07 ⋅ 1025W = 7,07 ⋅1032 erg / s = 7 ⋅10 25W
2
m
angenommene Solarkonstante:
(
)
Merke:
10 7 erg = 1J
Als Lebensdauer ergibt sich bei
5 ⋅ 10 48 erg Energievolumen:
τ = 7 ⋅ 1015 s ≈ 220Mio . Jahre
Dies ist aber in jedem Fall zu wenig !
Kant:
Das Alter einer Sache kann nur an sich selbst gemessen werden ! Die Veränderung eines Dings selbst beeinflusst
dessen Alter !
è man muss deshalb die Lebensdauern bemessen an den Lebensdauern eine Sache selbst !
è Man kommt damit dann zu charakteristischen Zeiten.
è Eine charakteristische Lebensdauer wäre der Betrag einer Sache über seiner Veränderung
Also:
τchar . =
y
y&
y = Etherm / E g
y& = LO
è die Leuchtkraft der Sonne !
Dies ist ein Eigenwertproblem des Zeitableitungsoperators !
Wir müssen die Zeit als Eigenwert der Größe selbst finden !
d
1
y& =
y
dt
τchar.
è der Eigenwert des Zeitableitungsoperators ist das Inverse der charakteristischen Lebenszeit !
è -> Man redet von einem Eigenwert, als einem Wert, der einem System eigen ist !
Genaue Rechnung zeigt:
τchar. =
Etherm E G GM 2
=
≈
= 1015 s. ≈ 25 Mio. a
L
L
RL
In jedem Fall gewinnen wir:
τchar . << τ Leben
è Kernfusion !
24
Warum aber gibt es keine Tiere auf der Erde, die 7 Millionen mal größer sind als ein Dinosaurier ?
Wir gewinnen ungeheure Mengen an Energie aus Kernfusion
E = mc 2
aber: Die Temperaturen sind selbst in der Sonne zu klein !
è es sind hohe Kräfte nötig, um die Kerne zusammenzubringen. Auch in der Sonne geht dies nur statistisch
(Überwindung der Coulomb- Barriere )
Fazit: Im Stern entstehen Dinge, die im Labor so nicht funktionieren ! -> Vielleicht ist Leben so entstanden ?
Jedenfalls nicht im Labor !
Nukleare Energie macht sehr viel Sinn !
es gilt:
∆M 
 ∆M 
= 



 M  Fusion  M  Sonnenwind
∆Mc 2
Mc
2
≈ 3 ⋅ 10 −4
Das also ist dann die Energie, die der Sonne insgesamt zur Verfügung steht.
Das mit dem Sonnenwind ist im nicht der Massendefekt der Kernfusion !
Nein ! Der Massendefekt der Kernfusion wird ja in Strahlungenergie umgewandelt.
Statt dessen haben wir den interessanten Fall, dass Strahlung der Masse M´ nochmal Masse der Masse M´
mitnimmt !
25
Rechnung für die Kernfusion
y=E
y& = L
E Mc 210 −210 −1
⇒ τchar . = =
L
L
−3
Wir haben hier 10
angenommen, könnte also auch um nen Faktor 10 niedriger sein !
Jedenfalls: ∆M ist bei Kernfusion etwa 1 % der Masse und die Sonne verbrennt nur 10 % des Wasserstoffs, den
sie zur Verfügung hat.
Als charakteristische Zeit ergibt sich jedoch.
τchar. =
E Mc 2 10 −210 −1
=
= 1011 a
L
L
Die Sonne verbrennt vor allem deshalb nur einen solchen geringen Teil des Wasserstoffs, da sie nur im Zentrum
heiß genug ist, um überhaupt Kernfusion zu machen !
Annahme: Die Sonne ist aus Kohle:
Dann wäre sie schwarz !
Annahme: Die Sonne ist aus brennender Kohle :
Wasserstoff liefert 20 MeV pro Fusion, Kohle nur 10 eV ! pro Reaktion
Außerdem ist Kohle zehnmal schwerer.
6
Wir müssen unser obiges Ergebnis also etwa durch 10 teilen.
Es ergibt sich die lächerliche Zahl von 100000 Jahren !
Ha , Ha, Ha !
Virialsatz
Ekin ≈
1
E pot
2
dp
− GM r
=
dM r
4πr 4
dp
− GM r
4πr 3 =
dM r
r
⇒∫
M − GM r
dp
4πr 3 dM r = ∫
dM r = E g
0
dM r
r
M
0
dM r = 4πr 2 ρdr
M
dp
⇒∫
4πr 3 dM r = 4πr 3 p
0
dM r
[
[4πr p ]
3
⇒∫
M
0
M r =M
M r =0
]
M r =M
M r =0
−∫
M
0
12 pπr 2
dr
dM r
dM r
=0
12 pπr 2
M GM r
dr
dM r = ∫
dM r
0
dM r
r
26
Wegen
dM r = 4πr 2 ρdr
⇒∫
M
0
12 pπr 2
dr
dM r =
dM r
M
∫0
3
p
dM r = −E g
ρ
p R
2
= T = Cv T
ρ µ
3
M
M
M
p
2
⇒ ∫ 3 dM r = ∫ 3 Cv TdM r = 2 ∫ Cv TdM r = 2 ET
0
0
0
ρ
3
M 3 p
⇒ ET = ∫
dM r
0
2ρ
1
⇒ ET = E g
2
M
p
∫0 3 ρ dM r = −E g = 2ET
Das bedeutet aber: Wenn ein Stern kontrahiert , dann wird Gravitationsenergie frei - und davon geht genau die
Hälfte in Strahlung ! ( Annahme: Ideales Gas !)
Das bedeutet: Nur die Hälfte der Gravitationsenergie, die in den noch unzusammengefügten Teilen steckt kann
von dem Reservoir überhaupt aufgenommen werden. Der Rest wird zur thermischen Energie !
Also: Die Gravitationsenergie wird genau zur Hälfte in thermische Energie umgewandelt ( Temperatur steigt)
und zur andere Hälfte in Strahlungsenergie ! ( Bei Kontraktion eines Sterns !)
− δE g > 0
1
⇒ δET = − δE g > 0
2
è Anstieg der Temperatur
1
δE Strahl = − δE g > 0
2
Ein Stern kontrahiert: Nach diesem Modell kann ein beliebiges gravitatives System Energie durch Kontraktion
freigeben ! Aber: Physikalisch muss dabei die Hälfte der Energie abtransportiert werden !
Also:
ηmax. =
1
2
4. Energiesatz
Lr ist die Energie durch eine Kugelschale im Abstand r
Wir suchen:
 0 für M r = 0
Lr ( M r ) = 
L für M r = M
Allerdings wissen wir dabei nicht, wie die Leuchtkraft des Sterns über der radialen Masse wirklich zunimmt !
27
Möglich wäre beispielsweise folgender Verlauf:
Dabei wäre der verlauf von L genau dann monoton, wenn
∇ ⋅ Fκ = 0
Ganz allgemein gilt: Ein Energiefluss ist divergenzfrei <-> es existieren keine Quellen und Senken !
Senken:
beispielsweise könnte die Strahlung Konvektion antreiben !
è dies wäre dann auch eine Senke !
4.1 Der Energiesatz in differenzieller Form
Energiequellen: Nukleare Energien
εN : Nukleare Energie: Pro Zeit und Masseneinheit frei werdende Energie !
Neutrinoverluste ( Senke)
εν pro Zeit und Masseneinheit !
Gravitation
Gravitation kann verdichtend oder verdünnend ( "Aufblasen - beim Schalenbrennen" wirken, je nachdem
wie die anderen thermodynamischen Kräfte dagegen spielen ( wobei die Gravitation selbst natürlich als
verdichtende Komponente wirkt)
εg durch Gravitation
Kernphysik
εN , εν gewinnen wir aus der Kernphysik ! -> vergleiche dazu: solar Neutrino- Problem ( NeutrinoOszillationen !) -> Neutrinos mit Masse !
(
εN = εN p, T , x i
(
εν = εν p, T , x i
)
)
es ist wohl einfacher, zuerst die gravitative Energie
εg abzuschätzen !
28
Wiederholung:
Wir gewinnen die gravitative Energie, die durch direkte Kontraktion des Sterns gewonnen wird durch
thermodynamische Betrachtungen. Im 19. Jahrhundert wurde erstmals der Gewinn an Gravitationsenergie durch
Kometeneinschläge auf der Sonne ernsthaft als Energiequelle diskutiert. Lord Kelvin und Helmholtz haben
dagegen um 1850 eingewendet, dass die Sonne in einem solchen Fall vornehmlich durch Eigenkontraktion
Wärme erzeugen könnte, dass umgekehrt Kometeneinschläge gegen die Sonnenmasse vernachlässigbar sind.
Dies ist die Grundlage der folgenden Überlegungen ( dass diese Energiequelle auf der Zeitskala der solaren
Existenz nicht reicht, wurde bereits gezeigt !)
dLr
= εN − εν + ε g
dM r
(
εN = ε N p, T , x i
(
εν = εν p, T , x
i
)
)
Berechnung der gravitativen Energie:
εg =
− dQ
dS
= −T
dt
dt
die Wärmemenge, die pro zeit- und Masseneinheit abgestrahlt wird ! Unser kleines Epsilon ist hier der
Energiegewinn pro zeit- und Masseneinheit !
(
)
Berechnung von dQ ρ, T
Nach dem ersten Hauptsatz:
1
dQ( ρ, T ) = du + pdv = du + pd  
 ρ
Dabei
1
d  
 ρ = − 1
dρ
ρ2
1
1
⇒ d   = − 2 dρ
ρ
 ρ
Somit:
 ∂u 
 ∂u 
du =   dT +   dρ
 ∂T  ρ
 ∂ρ  T
dQ( ρ, T ) = du + pdv = du −
 ∂u 
p
 ∂u 
dρ = 
 dT +   dρ − 2 dρ
ρ
 ∂T  ρ
ρ
 ∂ρ  T
p
2
 ∂u 
p 
 ∂u 
dQ( ρ, T ) = 
 dT +   − 2  dρ
 ∂T  ρ
 ∂ρ T ρ 
Annahme: Dichte weitgehend konstant !
dρ = 0
 ∂u 
⇒ dQ( ρ,T ) =   dT
 ∂T  ρ
konstante Dichte ist gleich konstantem Volumen. Dadurch ist im Falle konstanter Dichte
29
 ∂u 
dQ( ρ, T ) =   dT
 ∂T  ρ
 ∂u 
  = Cv
 ∂T  ρ
⇒ dQ( ρ, T ) = Cv dT
Wichtig: Wir haben hier eine Näherung verwendet . Das gerade d als Differenzial der Wärme simuliert, dass es
sich hier um in ( wegunabhängiges) totales Differenzial handelt. Dies ist nicht der Fall ! Wir brauchen erst einen
integrierenden Faktor. Der Wärmeaustausch dQ eines Systems ist nämlich KEINE Zustandsgröße im Gegensatz
zur Entropie. Es kann kein totales Differenzial gebildet werden. Die Änderung des Wärmeinhaltes eines Systems
ist vielmehr eine Pfaffsche Differenzialform !
Wir brauch4en einen integrierenden Faktor, der uns eine Zustandsgröße erzeugt ( Zustandsgrößen sind
wegunabhängig !) -> Die Zustandsgröße über einen geschlossenen weg integriert gibt gerade Null !
ds =
dQ
T
 ∂u 
p 
 ∂u 
dQ( ρ, T ) = 
 dT +   − 2  dρ
 ∂T  ρ
 ∂ρ T ρ 
1  ∂u 
1  ∂u 
p 
⇒ ds =   dT +   − 2  dρ
T  ∂T  ρ
T  ∂ρ  T ρ 
s = s(T , ρ)
 ∂s 
1  ∂u 
1  ∂u 
p 
 ∂s 
⇒ ds = 
 dT +   dρ =   dT +   − 2  dρ
T  ∂T  ρ
T  ∂ρ  T ρ 
 ∂T  ρ
 ∂ρ  T
Wir können jedoch Temperatur und Dichte unabhängig voneinander variieren, wenn wir auf beiden Seiten totale
Differenziale haben ( Einsichtig, wenn man einen geschlossenen Weg betrachtet. Dann muss sich
Temperaturweg und Dichteweg unabhängig voneinander zu Null ergänzen !)
Also:
1  ∂u 
 ∂s 
  = 

 ∂T  ρ T  ∂T  ρ
 ∂s 
1  ∂u 
p 
  =   − 2 
 ∂ρ T T  ∂ρ  T ρ 
Eine weitere Eigenschaft der totalen Differenzialformen ist die Schreibbarkeit in aufgedröselten partiellen
Differenzialen, wie wir es hier gemacht haben und dann Vertauschbarkeit zweifacher partieller Ableitungen (
Eigenschaft der partiellen Ableitung im Allgemeinen !)
Also:
 ∂ 2s 
 ∂ 2s 



=
 ∂T∂ρ 
 ∂ρ∂T 

 ρ ,T 
T ,ρ
30
Also:
1
T
 ∂2u 
1  ∂u 
1  ∂ 2 u 
p
1  ∂p 


= − 2   +
+ 2 2 − 2

 ∂ρ∂T 


T  ∂ρ  T T  ∂T∂ρ  ρ ,T T ρ
Tρ  ∂T  ρ

T ,ρ
1
T
 ∂2u 
1  ∂ 2u 


=
 ∂ρ∂T 



 T , ρ T  ∂T∂ρ  ρ ,T
 ∂u 
p
T  ∂p 
⇒   − 2 = − 2 

ρ  ∂T  ρ
 ∂ρ  T ρ
 ∂u 
 ∂u 
p 
p 
 ∂u 
dQ( ρ, T ) = 
 dT +   − 2  dρ = Cv dT +   − 2  dρ
 ∂T  ρ
 ∂ρ T ρ 
 ∂ρ T ρ 
T  ∂p 
⇒ dQ( ρ, T ) = Cv dT − 2 
 dρ
ρ  ∂T  ρ
Um Verwirrungen zu vermeiden:
 ∂ 2u

 ∂ρ∂T


∂u 

= ∂ ρ 


 ∂T  ρ
T ,ρ
ist zu interpretieren als die Änderung mit der Dichte, der bei jeweils konstanter Dichte vorliegenden
Abhängigkeit der inneren Energie von der Temperatur !
Also:
T  ∂p 

 dρ
ρ2  ∂ T  ρ
Berechnung von dQ( ρ, T ), ρ = ρ( p , T ) ⇒ dQ( p, T )
dQ( ρ, T ) = Cv dT −
 ∂ρ 
1
 ∂ρ 
dρ =   dp + 
 dT ⋅
ρ
 ∂T  p
 ∂p  T
⇒
dρ p  ∂ρ  dp T  ∂ρ  dT
=  
+ 

ρ ρ  ∂p T p ρ  ∂T  p T
Dies sind sehr steile Funktionen ! Da jedoch der Logarithmus monoton ist, erhalten wir durch Einführung des
Logarithmus die gleiche Info bei viel glatteren Funktionen !
Bezeichnungen
α :=
p  ∂ρ 
 ∂ ln ρ 
  = 

ρ  ∂p  T  ∂ ln p T
δ := −
⇒
T  ∂ρ 
 ∂ ln ρ 
  = −

ρ  ∂T  p
 ∂ ln T  p
dρ
p  ∂ρ  dp T  ∂ρ  dT
dp
dT
= d (ln ρ) =  
+ 
=α −δ

ρ
ρ  ∂p T p ρ  ∂T  p T
p
T
Somit setzt sich die RELATIVE Volumenänderung ( hier invers: als relative Dichteänderung) zusammen aus der
relativen Druckänderung und der relativen Temperaturänderung ! Sehr einleuchtend !
31
Die Koeffizienten α, δ skalieren dabei den Einfluss dieser relativen Änderungen auf die Dichte und sind beim
idealen Gas beide EINS !:
pV = RT ⇒ p
1
= RT
ρ
⇒α = δ =1
dρ dp dT
=
−
ρ
p
T
Allgemein schreiben wir:
d (ln ρ) = α
dp
dT
−δ
p
T
Also:
dQ( ρ, T ) = Cv dT −
T  ∂p 

 dρ
ρ2  ∂ T  ρ
 ∂ρ 
 ∂ρ 
dρ =   dp +   dT
 ∂T  p
 ∂p T
⇒ dQ( ρ, T ) = Cv dT −

T
dQ( ρ, T ) =  Cv − 2

ρ

T  ∂p   ∂ρ 
T  ∂p   ∂ρ 
  dp − 2     dT
2  ∂T   ∂p 
ρ 
 ρ  T
ρ  ∂T  ρ  ∂T  p
T
 ∂p   ∂ρ  

 
  dT − 2
 ∂T  ρ  ∂T  p 
ρ
 ∂p   ∂ρ 

   dp
 ∂T  ρ  ∂p T
bei konstantem Druck: dp = 0
⇒ 

dQ(ρ, T ) 
T  ∂p   ∂ρ 
 := C p = Cv − 2 
 
 dT
dT
p
ρ  ∂T  ρ  ∂T  p
Aus der Funktionaldeterminante ( über den Satz von Liouville) gewinnen wir
 ∂p   ∂T   ∂ρ 
      = −1
 ∂T  ρ  ∂ρ  p  ∂p  T
 ∂ρ 
 
 ∂T  p
 ∂p 
⇒
 =−
 ∂ρ 
 ∂T  ρ
 
 ∂p T
32
Somit:

T
dQ( ρ, T ) =  Cv − 2

ρ

T
 ∂p   ∂ρ  

   dT − 2
 ∂T  ρ  ∂T  p 
ρ
T  ∂ρ 
⇒ dQ( ρ, T ) = C p dT + 2   dp
ρ  ∂T  p
 ∂p   ∂ρ 
    dp
 ∂T  ρ  ∂p  T
T  ∂ρ 
 ∂ ln ρ 
  =
 = −δ
ρ  ∂T  p  ∂ ln T  p
δ
dp
ρ
dQ
dT δ dp
⇒ εG = −
= −C p
+
dt
dt ρ dt
⇒ dQ( ρ, T ) = C p dT −
Also folgt:
dT δ dp
+
dt ρ dt
∂Lr
dT δ dp
⇒
= εN − εν − C p
+
∂M r
dt ρ dt
εG ( p, T ) = −C p
Als Zeitableiter Pflicht für jeden Haushalt wurden:
Bei normalen Sternen εν
im Prozentbereich !
<< max (ε N , εG ) -> die Neutrinoverluste sind gegen den gesamten Energieumsatz
33
p-p- Zyklus ( mehr dazu folgt später)
p + p → 2 H1 + e + + νe
ν e − > einige eV
H1 + e + + νe − > 10 MeV
Neutrinoverluste als Kühlungsverluste -> hier: wenig Kühlungsverluste -> Viel Energie wird davongetragen !
Stationäre Sterne
∂
=0
∂t
⇒ p& , T& = 0
∂Lr
= εN
∂M r
Druckänderung und Temperaturänderung tragen gar nicht bei.
Der Stern wird lediglich durch nukleare Energie versorgt !
Vorsicht ! Umgekehrt darf man nicht schließen:
ε´G = 0 heißt NICHT, dass der Stern stationär ist !
schließlich ist möglich, dass
Cp
dT δ dp
=
dt
ρ dt
c) adiabatische Änderungen
dQ = 0 . Wenn adiabatische Prozesse reversibel durchlaufen werden, so gilt grundsätzlich
ds = 0 ⇒ dQ = 0
adiabatisch heißt:
Achtung ! irreversible adiabatische Prozesse, wie die wechselwirkungsfreie Expansion eines Gases in einer Box
sind nicht ds = 0 sondern ds ≥ 0 !! Das sind aber Fälle außerhalb des Gleichgewichts, die wir hier nicht
betrachten !
Wenn aber dQ =0,
so gilt:
C p dT −
δ
dp ⇒ εG = 0
ρ
Also:
TC p
dT δp dp
−
=0
T
ρ p
 ∂ ln T 
δp
⇒ 
 =
:= ∇ a
 ∂ ln p  s ρTC p
Wir bezeichnen diese Größe, also die relative Änderung der Temperatur über der relativen Änderung des
Drucks im adiabatischen Fall, dass also kein Wärmeaustausch erfolgt und im Gleichgewicht ( dann ist
auch Reversibilität garantiert) , dass also auch ein isentropischer Prozess garantiert ist,
diese Größe
 ∂ ln T 
δp

 =
:= ∇ a also als adiabatischen Temperaturgradienten !
 ∂ ln p  s ρTC p
Der adiabatische Temperaturgradient entspricht dabei dem Schwarzschildradius der Konvektion.
In der Natur sollte bei mehreren Möglichkeiten immer der Vorgang realisiert werden, der unter den gegebenen
rahmenbedingungen die geringste Entropieproduktion verursacht, der also " möglichst adiabatisch" läuft !
34
Am wenigsten dQ und damit ds soll entstehen !
Dies ist einsichtig wenn man davon ausgeht: Im Stern wird der Energietransport realisiert ( unter vielen), der am
leichtesten " geht" bei uns spezifiziert: Der am wenigsten Entropie verursacht !
Zur Auswahl stehen Konvektion, Strahlung und Wärmeleitung
Wie hat man sich den Verlauf vorzustellen ?
Start
Alle drei Transportwege laufen an ! produzieren simultan Entropie. Die Prozesse, die jedoch mehr Entropie
produzieren, geraten ins Hintertreffen. Dann aber weiten sich die Tore des entropiearmen Vorgangs im
Verhältnis zu denen stärker und die gesamte Energie, die transportiert werden soll geht durch diesen
isentropischen Prozess. Die anderen beiden sterben ab !
Vergleich mit einem Auto
35
Wir stellen uns dies folgendermaßen vor: Ein Auto ( sicherlich ist das Bremsen eines Autos ein komplexervielleicht chaotischer Prozess ) will an einem Abhang bremsen. Es rollt, fängt dann an zu rutschen. Wenn die
Entropieproduktion des Rollens aber gegen die des Rutschens überwiegt ( wie beispielsweise beim Rollen gegen
die Bremskraft mehr Wärme an den Scheiben entsteht als zwischen Reifen und Boden beim Rutschen), dann
fängt das Auto nicht nur zu rutschen an, sondern der Rutschprozess wird endgültig angenommen ( vergleiche
Phasenraum -> Oszillation zwischen 2 Attraktoren und schließlich Annahme des Rutschprozesses). Eine
ähnliche Bifurkation könnte auftreten, wenn plötzlich Purzeln möglich ist.
Jedenfalls müsste man, um den Prozess, der tatsächlich realisiert wird, nach einer Art Minimum der
Entropieproduktion über den einzelnen Prozessen suchen.
Also:
 ds 
d 
 dt  = 0
d ( Pr ozess )
1  dQ 


T  dt 
⇒
=0
d (Pr ozess )
d
è Durch das Einsetzen verschiedener thermodynamischer Potenziale könnte man vielleicht Einsicht in das
Problem gewinnen ! Sedl ist die Lösung noch nicht gelungen !
Jedenfalls nehmen wir auch für den Stern an: Wärme durchläuft einen Stern. Dies ist aber ein Prozess
 dQ  ≠ 0 .


 dt 
Nun suchen wir den Prozess, bei dem gleichzeitig
1  dQ  ds
≠ 0 minimal wird !

=
T  dt  dt
Die bisherigen differenziellen Betrachtungen sind im Übrigen ganz allgemeingültig ! Sie gelten nicht nur für
Sterne sondern auch für Motoren oder irgendwelche thermodynamischen Systeme !
Jetzt: Integrale Formen des Energiesatzes !
36
4.4 Integrale Form des Energiesatzes
Remember:
dLr
= εN − εν + ε g
dM r
(
εN = ε N p, T , x i
(
εν = εν p, T , x i
)
)
Somit:
dT δ dp
+
dt ρ dt
∂Lr
dT δ dp
⇒
= εN − εν − C p
+
∂M r
dt ρ dt
εG ( p, T ) = −C p
bzw.:
∂u
p ∂ρ
dT δ dp
+ 2
= −C p
+
∂t ρ ∂t
dt ρ dt
∂Lr
dT δ dp
∂u
p ∂ρ
⇒
= εN − εν − C p
+
= ε N − εν −
+ 2
∂M r
dt ρ dt
∂t ρ ∂t
−
Als integrale Form verstehen wir:
M
∫0 {...}dM r
∂Lr
∂u
p ∂ρ
= ε N − εν −
+ 2
∂M r
∂t ρ ∂t
mit:
M
εN dM r = −
M
εν dM r = Lν
∫0
∫0
∂E N
∂t
∂E
∂u
∂U
dM r = − T = −
∂t
∂t
∂t
M
∂E
∂E
p ∂ρ
L = − N − Lν − T + ∫
dM r
0
∂t
∂t
ρ 2 ∂t
M
∫0
−
Beispiel: Heliumflash ! Zünden des Helium im ENTARTETEN Stern -> das merkt man außen gar nicht ! Nur
innen ! -> einzig beobachtbar: Neutrinostrom !
Betrachtung des nuklearen Terms
M
∫0
p ∂ρ
dM r
ρ 2 ∂t
è Virialsatz: benutze
− E g = 3∫
M
0
p
dM r
ρ
∂E g
−
= 3∫
∂t
M
0
M
1 ∂p
dM r − 3∫
0
ρ ∂t
p ∂ρ
dM r
ρ2 ∂ t
Weiter:
− GM r
∂p
=
∂M r
4πr 4
∂ ∂p
∂ ∂p GM r  dr 
3 M
⇒
=
=
  ⋅ 4πr ∫0 dM r
5
∂t ∂M r ∂M r ∂t
πr  dt 
M
M GM r ∂r
∂ ∂p
⇒ ∫ 4πr 3
dM r = 4 ∫
dM r
0
0
∂M r ∂t
r 2 ∂t
M
M
 ∂ 3  ∂p
∂ ∂p
∂p 

4πr
dM r = 4πr 3  − ∫ 4π
r  dM r
0
∂M r ∂t
∂t  0

 ∂M r  ∂t
M
∫0
3
M
 3 ∂p 
4πr ∂t  = 0( p M = 0, r0 = 0 )
0
⇒∫
M
0
⇒ −∫
M
 ∂ 3  ∂p
M GM r ∂r
∂ ∂p
dM r = − ∫ 4π
r  dM r = 4 ∫
dM r
0
0
∂M r ∂t
r 2 ∂t
 ∂M r  ∂t
 ∂r  ∂p
M GM r ∂r
 dM r = 4∫
12πr 2 
dM r
0
r 2 ∂t
 ∂M r  ∂t
4πr 3
M
0
 ∂r

 ∂M r
− 3∫
M
0
M 1 ∂p
M GM r ∂r

1
 =
⇒
−
3
dM
=
4
r
∫0 ρ ∂t
∫0 r 2 ∂t dM r
2
 4πr ρ
M GM r ∂r
1 ∂p
dM r = 4 ∫
dM r
0
ρ ∂t
r 2 ∂t
Weiter für den Term auf der rechten Seite:
∂r
∂ M GM r
dM
=
−
4
rdM
r
0
∂ t ∫0
r
r 2 ∂t
M
1 ∂p
∂ M GM r
⇒ 3∫
dM r = 4
rdM r
0
ρ ∂t
∂ t ∫0
r
3 M 1 ∂p
∂ M GM r
dM r =
rdM r :
∫
4 0
ρ ∂t
∂ t ∫0
r
4∫
M
GM
r
∫0
M
⇒
GM
3
4
r
r
rdM
r
:= E G
1 ∂p
dM
ρ ∂t
M
∫0
r
r
=
∂
EG
∂t
Andererseits
− EG = 3∫
M
0
−
M
∂E
p
dM r ⇒ − G = 3∫
0
ρ
∂t
∂EG
3 M
=− ∫
∂t
4 0
M
1 ∂p
dM r − 3∫
0
ρ ∂t
p ∂ρ
dM r
ρ2 ∂ t
1 ∂p
dM r
ρ ∂t
38
M
∂E G
∂E
p ∂ρ
= −4 G − 3∫
dM r
0
∂t
∂t
ρ 2 ∂t
M
∂E G
p ∂ρ
⇒∫
dM
=
−
r
0
∂t
ρ2 ∂ t
−
Also haben wir eine ganz neue Darstellung für die integrale gravitative Energie:
M
∫0
∂E
p ∂ρ
dM r = − G
2 ∂t
∂t
ρ
Remember: Diese Form haben wir aus dem Virialsatz gewonnen !
∂EG
ist negativ. Wenn ein Stern kontrahiert
∂t
und diese negative Gravitationsenergie freisetzt , so wird bei Kontraktion die Hälfte der Energie zum Aufheizen
und die andere Hälfte zum Leuchten verwendet !
è interessant: Wenn ein Stern, beispielsweise, weil ihm die Energie ausgeht kontrahiert, o erhöht er dadurch
seine Temperatur !! -> Helium- Flash möglich !
è Beim Helium- Flash liegt das ganze Helium in entarteter Form vor. Das bedeutet aber, dass der Druck nicht
von der Temperatur abhängt, ( jedoch von der Dichte). Die Entartung ist natürlich temperaturabhängig !!
Sobald eine gewisse Temperatur erreicht wird, wird die Entartung aufgehoben. Der Druck merkt dies
schlagartig, die Entartung hebt völlig auf und das Helium zündet explosionsartig !
Erst wenn er sich in Folge des Schalenbrennens aufbläst zum Roten Riesen kühlt der Stern wieder ab !
In integraler Form gilt:
L + Lν = −
∂
[E N + ET + EG ]
∂t
Lν : Neutrinokühlung !
Beispiel:
Lν = 0
E N = const . ⇔ E& N = 0
⇒ L = − E& T − E& G
Aus dem Virialsatz:
E& G = −2 E& T
⇒ L = E&
T
1
E& T = − E& G
2
1
L = − E& G
2
Wie strahlt der Stern überhaupt ab ?
Bei Staub: gibt es Absorption !
è L wirkt auf den Staub durch Strahlungsdruck. Dies heizt den Staub auf, schließlich wird irgendwann die
kollabierende Wolke gestoppt !
è Die Fusion wird gestoppt weit bevor Fusion in nennenswerten raten startet ! ( zu mindest bei optisch dicken
Sternen !)
è Also: Anregung -> Stoßdämpfung -> höhere kinetische Energie der Teilchen !
è Sternentstehung wird also gestoppt, bevor ein Stern entsteht !
39
è erst Festkörper bringen die nötige Kühlung, weil sie kein Infrarot absorbieren. Erst dann kann der Stern so
weit kollabieren, dass es heiß genug wird ! Also nochmal: Es muss erst kalt genug sein, damit der Stern
überhaupt so weit kollabiert, damit es heiß genug wird. Ist es zu heiß, so kollabiert der Stern nicht so weit,
dass es für Fusion heiß genug wird !
è Wie aber kann ein Stern entstehen ohne die Existenz eines Festkörperchens ?? -> Es sind erste Keime nötig,
nach allen mathematischen Modellen
è -> Heute noch brandheißes Forschungsgebiet !
4.5 Zusammenhang zwischen Energiesatz und Virialsatz
∂Lr
∂u
p ∂ρ
∂ 1
− ε N + εν +
= 2
= − p  
∂M r
∂t ρ ∂t
∂t  ρ 
M
∂ 1
L + Lν + E& N + U& = − ∫ p  dM r
0
∂t  ρ 
Dabei ist
M
∫0
p
∂ 1
 dM r zu interpretieren als mechanische Leistung des Sterns
∂t  ρ 
Bewegungsgleichung
&r&
∂p
GM r
=−
−
∂M r
4πr 4 4πr 2
V&r = 4πr 2 r&
4π 3
r
3
∂Vr
1
⇒
:=
∂M r
ρ
Vr :=
dVr = 4πr 2 dr
dM r = ρ4πr 2 dr
Nun:
GM
∂p
∂  GM r 1 2 
V&r
= − 2 r r& − r&&r& = 
− r& 
∂M r
∂t  r
2 
r
∂
∂ &
∂ &
∂ &
∂ 1
V&r
p=
Vr p − p
Vr =
Vr p − p
∂M r
∂M r
∂M r
∂M r
∂t ρ
[ ]
⇒ −p
⇒∫
[ ]
[ ]
[ ]
∂ 1
∂p
∂ &
∂ &
∂  GM r 1 2 
= V&r
−
Vr p = −
Vr p −  −
+ r& 
∂t ρ
∂M r ∂M r
∂M r
∂t 
r
2 
M
0
−p
[ ]
M
M ∂  GM r
∂ 1
∂ &
1 
dM r = ∫
−
Vr p dM r − ∫
−
+ r& 2  dM r

0
0
∂t ρ
∂M r
∂t 
r
2 
Weiter gilt:
[V&r p ] = 4πr 2 r&p = Fpr& einer Gesamtkugelfläche F
Aber:
Fp := K
Gesamtkraft des Drucks auf eine Kugelfläche !
40
Also:
[V&r p] = Kr&
Brauchen wir aber gar nicht, denn:
[ ]
M
M ∂  GM r
∂ 1
∂ &
1 
dM r = ∫
−
Vr p dM r − ∫
−
+ r& 2  dM r

0
0
∂t ρ
∂M r
∂t 
r
2 
M
∂
M
∫0 − ∂M r V&r p dM = − V&r p 0 = 0
2
Denn: Im Zentrum geht V&r = 4πr r& auf Null, am Rand dagegen der Druck p
M
∫0
−p
[ ]
M
∫0
M
∫0
∂
∂t
∂
−p
∂t
−p
E K := ∫
M
0
[ ]
M ∂  GM r
1
1 2
∂ M  GM r 1 2 
&
dM r = −∫
−
+
r
dM
=
−
−
+ r&  dMr
r
0
ρ
∂t 
r
2 
∂t ∫0 
r
2 
1
∂
dM r = − [EG + E K ]
ρ
∂t
1 2
r& dM r
2
Also die kinetische Energie in der Kugelschale
Also:
L + Lν = −
∂
[E N + U + EG + E K ]
∂t
Setzt sich zusammen aus der zeitlichen Abnahme der nuklearen Energie, der thermischen inneren Energie, der
Gravitationsenergie durch Kontraktion und der kinetischen Energie ( durch Stoßanregung etc..)
Der Virialsatz
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung analog zum Energiesatz : Aber: Wir multiplizieren diesmal nicht mit
V& sondern mit 3V:
GM r
&r&
∂p
=−
−
∂M r
4πr 4 4πr 2
( )
GM r
GM r 1 ∂ 2 2
∂p
=−
− r&r& = −
−
r + r& 2
2
∂M r
r
r
2 ∂t
∂V
 
∂p
∂
Vr
=
(Vr p ) − p r = ∂ (Vr p ) − p 1 
∂M r ∂M r
∂M r ∂M r
 ρ
⇒ 3Vr
⇒3
( )
2
 
M
∂
(Vr p ) − 3 p 1  = − GM r − 1 ∂ 2 r 2 + r& 2 ⋅ ∫0 dM r
∂M r
r
2 ∂t
 ρ
41
Es folgt:
( )
M
M
M 1 ∂2
M
∂
1
GM r
2
3
(Vr p )dM r − ∫0 3 p  dM r = ∫0 −
dM r − ∫
r
dM
+
r& 2 dM r
r
∫
2
0
0
∂M r
r
2 ∂t
 ρ
∂
3
(Vr p )dM r = 3(Vr p )M0 = 0
∂M r
M
∫0
M
∫0
( )
M 1 2
M
M
GM r
1
1 ∂2 M
2
& dM r = ∫
r
dM
−
2
r
−
dM
+
3
p
 dM r
r
r
∫
∫
∫
0
0
0
2 ∂t 2 0
2
r
 ρ
M 1 2
∫0 2 r& dM = E K
M
GM
∫0 − r r dM r = EG
M
3
2
∫0 r dM r := 2 Θ
⇒
( )
mit dem Trägheitsmoment Θ :
Also:
M
 1
3 &&
Θ − 2 E K = E G + ∫ 3 p   dM r
0
4
ρ
Dies ist der verallgemeinerte Virialsatz für beliebige Zustandsgleichungen !
Mit beliebigen Zustandsgleichungen kann der Virialsatz dann in der Form gelöst werden, dass über z.B.
allgemeine Zustandsgleichung der Thermodynamik:
p
= (γ − 1)u
ρ
⇒
M
3 &&
Θ − 2 E K = E G + 3(γ − 1)∫ udM r = E G + 3(γ − 1)U
0
4
mit der thermischen Energiedichte pro Masse/ mol:
u
Stationärer Fall:
∂
=0
∂t
∂V = 0
hydrostatischer Stern:
&& = 0
&r& = Θ
⇒ 3(γ − 1)U = − E G
42
Beispiel:
a) einatomiges ideales Gas
p = nkT
3
nkT
2
p 2
= u
ρ 3
ρu =
2
uρ
3
⇒ 2U + EG = 0
⇒ p=
Also: die gesamte thermische Energie des Sterns ist immer die Hälfte der Gravitationsenergie EG !
Weiter: Sei keine Neutrinokühlung: Lν = 0
Ek = 0
&r& = 0
E& = 0
N
Also: Gar kein Energiegewinn aus Kernfusion !
b) zweiatomiges ideales Gas , 5 Freiheitsgrade: 3 translatorische, 1 rotierender, 1 vibrierender
γ = 1+
2 7
=
f 5
Somit:
6
U + EG = 0
5
5
⇒ U& = − E& G
6
1 &
⇒ L = − EG
6
Hier: Nur 1/6 der Gravitationsenergie geht in die Leuchtkraft ! Der Rest spannt den Stern auf ! ( thermisch)
c) Photonengas
p = p strahlung =
1
aT 4
3
ρ strahlungu str . = aT 4
ρ strahlung
dabei als Dichte pro mol.
Damit ergibt sich:
1
1
aT 4 = ρ strahlungU str .
3
3
1
= U str .
3
p strahlung =
p strahlung
ρ strahlung
⇒γ =
4
3
Dies gilt für alle relativistischen Teilchen. Auf Volumen bezogen gilt:
1
p strahlung = u str .
3
43
Annahme:
Lν = 0
Ek = 0
EN = 0 ⇒ L = 0
d) Gesamtenergie
Ek = 0
EN = 0
E ges = E G + U = − (3γ − 4 )U =
(3γ − 4) E
G
3(γ − 1)
Die Leuchtkraft ergibt sich als:
L=
(3γ − 4) E&
G
3(γ − 1)
Hieraus folgt: Eg ist negativ, thermische Energiedichte muss positiv sein
è ist nur möglich, wenn
è γ >
3
4
è Somit können nur Sterne mit γ >
3
stabil sein !
4
Stabilität ( remember) war gegeben als längere Lebensdauer in der Eigenzeit des Sterns, charakteristische Zeit
als " Eigenwert":
f (t )
t char. = &
f (t )
als charakteristische Zeit für die Funktion f !
4.4 Zeitskalen ( Annahme: Stern lebt nur von nuklearer Energie)
a)
Nukleare Zeitskala:
E& T , E& G << E& N
⇒
∂LT
= ε N − εν
∂M r
∂E N
∂t
L + Lν
1
⇒
=
τN
EN
L + Lν = −
Leuchtkraft geteilt durch das zugehörige Energireservoir
⇒
1
τN
τN =
=
L + Lν
∂ ln E N
=
EN
∂t
EN
L + Lν
die nukleare Zeitskala !
Bei Neutronensternen überwiegt Lν . Dabei ist also τ N vor allem durch die Neutrinoleuchtkraft gegeben.
Ansonsten überwiegt die optische Leuchtkraft deutlich !
Thermische Zeitskala:
44
E& N = 0
⇒
∂LT
= εG
∂M r
( Energieproduktionsrate pro Gramm)
L=−
∂E
∂
[E G + ET ] = − (3γ − 4) G
∂t
3 (γ − 1) ∂ t
1 ∂ E G ∂ ET
=
2 ∂t
∂t
L
1 ∂ ln E G
1
=−
=
EG
2 ∂t
τ HK
L=−
Helmholtz- Kelvin- Zeitskala für charakteristische Zeiten der Kontraktion
L
E therm
=
L ∂ ln ET
1
=
ET
∂t
τt
Thermische Zeitskala
τ HK =
τt =
EG
L
ET
L
Wann ist die gravitative Energieproduktion, also Energieproduktion durch Kontraktion wichtig = ε G
Bedeutung von ε G
L=
⇒
ET E N
−
τt
τN
τ T τ HK
≈
τN
τN
Wie groß ist EN ?
Maximal:
E N = Mc 210 −3
Energieverlust
∂
[E N + E G + U ] = − ∂ [E N − (3γ − 4)U ] = − ∂ [E N − U ]
∂t
∂t
∂t
5
Denn: ideales Gas: γ =
3
L=−
Man kann nun eine Zeitskala wählen, in der der Stern seine thermische Energie verbraucht:
∆E T
≈1
ET
Dies ist die Energie, die thermisch maximal zur Verfügung steht !
45
L=
∆E T ∆E N
∆E N ∆E T ET
−
=−
+
⋅
∆t
∆t
∆t
ET ∆t
∆ET
ET
L=−
≈1
∆EN
+
Lτ T
∆t
∆t
∆E N
 τ 
L1 − T  = −
∆t 
∆t

Wenn ein Stern sich nun weit gegen die thermische Zeitskala entwickelt hat, also etwa um
∆ET
ET
≈ 1 thermische
Energie abgegeben hat, so ist die nukleare Energieproduktion wichtig ! Ansonsten ,müsste der Stern ja
zusammenstürzen ! Also: Wenn ∆t >> τT , so wird der Stern alleine durch die nukleare Energieerzeugung
dominiert, denn:
∆E N
 τ 
L1 − T  = −
∆t 
∆t

∆ t >> τ T ⇒ ε G ≈ 0
Bemerkenswertes:
Das Licht der Sterne braucht vom Zentrum bis an die Oberfläche rund 1-10 Mio. Jahre !
( Wenn gleich es nicht wirklich die selben Quanten sind, die dann an die Oberfläche kommen !)
è Ein Einbruch der Produktion im Kern macht sich nach 1-10 Mio. Jahren an der Oberfläche, also für uns
bemerkbar !
è Man merkt jedoch sofort ,was Sache ist am Neutrinofluss!
è Das Spektrum eines Sterns erlaubt Rückschlüsse auf den Zustand des Sterns, der im Zentrum vor 1 Mio.
Jahren vorgelegen hatte !
Allerdings bleiben uns noch sehr viele Lücken in der Sternentheorie: Eine der größten ist die Frage: Wo kommen
die Eiszeiten her ?
Keiner kanns sagen ( vielleicht war da ja einfach ein großes Raumschiff vor der Sonne !)
5. Strahlungstransport
Transportwege für Wärme:
Konvektion
Strahlung
Leitung
Grundsätzliche Voraussetzung: ∇T =
dT
≠0
dr
Konvektion: Ein Massenelement mit höherer/ niedriger Energie wird einfach verschoben !
Wärmeleitung: Leichte Teilchen, wie Elektronen geben durch Stöße Überschuss an E kin ab !
5. Strahlung
5.1 Temperaturgradienten
-
vereinfachte Abschätzung des Temperaturgradienten:
Strahlungstransport geht von innen nach außen !
Dies kann nur realisiert werden, wenn die Temperatur irgendwie von innen nach außen fällt !
46
Man kann die über alle Raumwinkel gemittelte Intensität einführen:
Jν =
1
4π
∫ Iν dΩ
Des wird für jede Frequenz ν einzeln durchgeführt !
Auf der linken Seite hat man dann den Energiefluss, wenn man rechts die Intensität, die von k abhängt noch über
die Richtungen der k - Vektoren integriert:
4π Jν = ∫ d 2 kIν ( r, k )
für jede Frequenz und besonders gemittelt über alle Raumrichtungen
Betrachten wir Abstände des Temperaturfeldes von einem Punkt, von dem ein gemittelter Fluss in alle
Raumrichtungen ausgeht, so gilt: ( Nur für Strahlung !):
Jedenfalls beobachten wir als Leuchtkraft
Lr ~ (Li −>a − L a −>i )
⇒ La −>i < Li −>a
als ganz banale Abschätzung !
Die Leuchtkraft kommt aus der Differenz dessen, was reinfließt und was raufließt !
è Diese Abschätzung wird beliebig genau für beliebig kleine Gebiete ( also besser gesagt: wird exakt für
differenzielle Betrachtung)
è Dennoch darf auch in beliebig kleinen Gebieten kein exakter Ausgleich herrschen !
è Strahlung wird dann an allen Raumpunkten anisotrop ! Ansonsten könnte es keine Leuchterscheinung geben
!
Mittlere freie Weglänge
è charakteristische Größe für die Intensität !
è -> mittlere Fluglänge eines Quants bis Absorption eintritt !
Es gilt für Wirkungsquerschnitt, Dichte und freie Weglänge:
σ ⋅ n ⋅l = 1
Dies kommt einfach Aus Betrachtung eine Röhre mit Querschnittsfläche σ . Eine solche Röhre mit der Länge l
beinhaltet dann genau ein Teilchen, denn sie hat als Länge die Weglänge bis zum nächsten Teilchen und als
Fläche den Wirkungsquerschnitt des Teilchens.
47
Das reziproke Volumen der Röhre ist also die Teilchendichte:
Somit: σ ⋅ n ⋅ l = 1
1
1
=
σ ⋅ n κρ
Dabei hat κ die Dimension einer Fläche ( spezifische Querschnittsfläche) pro kg
l=
Merke: ein charakteristsicher Eigenwert einer Änderung der Größe y(x) ist
y( x)
y
=
y´(x ) dy
dx
Für unser Problem betrachten wir die charakteristsiche Änderung der Intensität, dabei der Abfall auf 1/e,
also: generell: Die von Sedl eingeführten "charakteristischen" Änderungen sind immer die Änderungen, in denen
sich das System charakteristisch, nämlich auf 1/e verändert hat !
charakteristisch in dieser Form ändert sich die Intensität über dem Radius:
Lambert- Beersches Gesetz, wobei wir
Somit gilt:
κ als einen Absorptionskoeffizienten über der Dichte betrachten.
dI = −κρ Idr
I (r ) = I 0e −κρr
Also:
d ln ( I )
1
= −κρ = −
dr
l
1
⇒l=
κρ
κ als einen Absorptionskoeffizienten über der Dichte ! Normal sind die Absorptionskoeffizienten 1/ Länge !
Hier dagegen:
gerechnet bei halbem Radius für die Sonne:
κ O =1
ρO ≈
cm 2
g
1,4 g
cm 3
⇒ l O ≈ 1cm
als freie Weglänge !
betrachten wir ein mittleres
∆T
über l O ≈ 1cm , so gilt:
∆ TO =
dT
lO
dr
in erster Näherung:
∆ TO =
Tc
R
l O ( exakt für linearen Verlauf !)
Jedenfalls gilt auch hier:
dT 15 °
K
≈
≈ 1,5 ⋅ 10 −4
dr
km
cm
Dieser Temperaturunterschied liegt an den Enden einer freien mittleren Photonenweglänge !
Das bedeutet aber, dennoch ist dieser Temperaturunterschied verantwortlich für das leuchten der Sonne, zu
mindest für das "aktive" leuchten, der nicht durch Abkühlen der Randregionen zu Stande kommt ( müsste man
ausrechnen, wie schnell die abkühlen), sondern durch das Speisen von innen !
48
das Strahlungsfeld ist mit
∆T ≈ 1,5 ⋅ 10−4 K extrem isotrop !
Von 10.000 Photonen, die von innen nach außen eine Weglänge überwinden, kehren 9999 wieder zurück !
Das Ganze befindet sich also näherungsweise in einem Gleichgewicht !
Für den Fluß gilt im Gleichgewicht:
F ~T4
Wie gut sind derartige lineare Näherungen ?
è Das ganze wurde linearisiert schon mal für ne Schweißbrennerflamme durchgerechnet ! dabei hat sich
gezeigt, dass das Ganze sehr gut mit der Realität übereinstimmt !
è Also scheinen lineare Näherungen hier angebracht und gut zu funktionieren !
è wir nehmen auch Richtigkeit für unsere Sternmodelle an
è wir nehmen also generell thermodynamisches Gleichgewicht an !
Taylorentwicklung:
T (r + l ) = T (r ) +
dT
l + ....
dr
∆F ∆F
∆T
∆ F = 4T 3∆ T ⇒ 4 ~
~4
F
T
T
∆F
∆T
∆T ∆r
T
l
=4
=4
≈4 O
F
T
∆r T
R O TO
⇒
∆F
l
≈4
≈ 10 −10
F
RO
Der Fluß ist also noch viel ungeheuerlicher isotrop !
−10
Die Fluß- Kugel ist also eine winizige Ellipse mit einer 10
- Anisotropie nach vorne !
Bei einer Kugel wäre der Nettofluss identisch gleich Null !
è es würde sich gar nichts mehr bewegen !
è Die kleinste Anisotropie treibt die gesamte Leuchtkraft der Sonne. Aber: die Diffusion der Photonen geht
extrem langsam !
è -> man muss sich vorstellen, das Photonengas diffundiert durch einen normalen Diffusionsprozess nach
außen !
Das ist sehr interessant: Wie bereits für das Erliegen des Stroms genannt: jede Inhomogenität, jede starke
Energiedichte, die im Zentrum deltaartig auftritt, verteilt sich sehr, sehr langsam nach außen !
das bedeutet, die Gaußglocke dieser Störung verbreitert sich, wenn sie rein strahlungsartig ist ! sehr, sehr, sehr
langsam !
Während die Schallgeschwindigkeit hier bei vielen Mio. km pro Stunde liegt, schafft das Licht nur einen Meter
am Tag ! Das Licht macht also einen Random- Walk !
Statistische Rechnungen zeigen: Trotz der hohen Lichtgeschwindigkeit braucht das Licht vom Zentrum 2 Mio.
Jahre für normale Sterne ! Wäre die Sonne vor 2 Mio Jahren ausgegangen, wir würden es heute erst merken ! An
den Neutrinos merken wir dies gleich !
Neutronensterne
Vor allem durch Wärmeleitung dominiert !! Die Photonen werden dann erst alleine an der Oberfläche
umgesetzet !
In Neutronensternen kommt der Strahlungstransport also ganz zum Erliegen !
P.S.: Vielleicht stecken in den Neutronensternen ja Unmengen von Licht, die nicht rauskommen -> na, ja, hier
kann man einfach zeigen, wieviel schneller der Wärmeleitungsprozess für Ausgleich sorgt !
Bei Neutronensternen wird das Licht außerdem noch durch die Gravitation rotverschoben !
49
Unser Vorteil ist, dass sich alle Sterne im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. In diesem Zustand sind
die Diffusionsprobleme relativ einfach im Vergleich zu den Problemen, mit denen man beispielsweise bei der
Sternatmosphäre konfrontiert ist !
Bei Sternatmosphären gilt l << R nicht mehr ! Es gibt folglich keine Oberflächenstöße ! Man sagt, die
Sternatmosphäre wird zum Kutsen- gas !
è interessant wäre die Frage: Wie stark wird ein Photon rotverschoben, wenn es sich von innen nach außen
durch die Sonne kämpft -> entspricht dies vielleicht gerade dem Temperaturgradienten ? pro Längenskala
???
è Wesentlich ist doch: Die Gravitation eines Objektes bestimmt die Oberflächentemperatur !
5.2 Diffusion der Strahlungsenergie
Gleich vorweg: Dieses Problem ist ungleich schwerer handzuhaben !
Voraussetzung für Konvektion:
l << R
j = −Dgradn
Beispiel: Diffusionsstrom !
Voraussetzung für den Ansatz:
Die Ströme
j = −D(∇n)
j sind den sie treibenden Kräften ∇n proprtional !
X( Ströme) ~ Y( Kräfte)
Strahl der Teilchen, die pro Sekunde durch eine Fläche fließen ist proprtional zu den Kräften und Kräfte sind die
Gradienten der Zustandsvariablen !
Betrachte eine Größe z als Dichte, beispielsweise eine Impuls- oder eine Drehimpulsdichte !
Diese Dichte wird mit der Geschwindigkeit v transportiert !
Also folgt als Strom j = zv
Das bedeutet aber, dass
j = zv proportional zur treibenden Kraft ist also proportional zum Gradienten der
Größe z selbst, also: zv ~ ∇z mit der Kraft ∇z
Betrachten wir die Entropie, so gilt:
dS ~ Kraft ⋅ Strom ≥ 0
è Kraft ⋅ Strom ≥ 0 muss eine quadratische Form sein:
è
dS ~ y 2
Somit kann man für die Entropie nach einer quadratischen Form suchen, da der zweite Hauptsatz fordert, dass
dS ~ Kraft ⋅ Strom ≥ 0
wegen:
F = u ⋅ c ~ ∇u
finden wir sofort einen Ansatz für die Strahlung, der lautet:
F rad = u ⋅ c = − D rad ∇u rad
Ideen wie
zv ~ ∇z schaffen heuristische Ansätze für Teilchendichte/ Teilchenstrom
wie Strahlungsdichte/ Strahlungsstrom usw... ( vergl. Priogine)
Forderungen
F rad = u ⋅ c = − D rad ∇u rad
mit
D=lv
[D]=cm²/s
50
Gesetz: Generell kann man physikalische Formeln nach Vorbildern bilden wie Dimensionsanalyse, dann
Einsetzen der Größen in ihrer charakteristischen Form !
Hier: Ich brauche etwas der Dimension [D]=cm²/s
Was charakterisiert den Ausbreitungsprozess ?
è sicherlich Größen wie die freie Weglänge oder wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit !
Also setzen wir D=lv
è derartige Überlegungen sind besonders wichtig z.B. in der Turbulenztheorie
Ergebnis:
Sind oft echte Maße in der Physik / echte Einheiten, nämlich in Naturkonstanten !
Setzt man alle Naturkonstanten auf 1 , so erwischt man demnach die natürliche Dimension eines Systems !
è Aus diesem Grund werden auch so oft die Naturkonstanten auf 1 gesetzt !
Dennoch ! Es gibt für die Ausbreitungsrichtungen der Strahlung noch 3 Möglichkeiten !
Also gewinnt man noch einen Geometriefaktor, der die drei Raumdimensionen berücksichtigt !
D=
1
lc
3
mit freier Weglänge l und der Lichtgeschwindigkeit c !
Weiter: für die radiale Komponente alleine:
F rad ( r) = − D rad (r )
∞
F rad =
∫0
u rad =
∫0
∞
du rad
dr
dνFν rad
d νuν
rad
= aT 4
( )
d aT 4
F ( r ) = − D (r )
dr
1
c
D rad = lκ c =
3
3κρ
rad
F rad ( r) =
rad
− 4 ac 3 dT
T
3κρ
dr
Also folgt für die radiale Leuchtkraft
L r = 4π r 2 F rad (r ) =
− 16π r 2 ac 3 dT
T
3κρ
dr
das ist die ultimative Omega- Integralgleichung für ALLES !
Aber: wir diffundiert die Strahlung in den verschiedenen Spektralbereichen ?
l=
1
κρ
Dabei ist allerdings der Absorptionskoeffizient κ energieabhängig !
Faktisch müssen wir für die Frequenzen einzeln rechnen und dann später mitteln ! ( integrieren)
51
Also:
F radν = − D radν (r )
D radν =
( )
d aT 4
dr
1
c
lκ c =
3
3κ ν ρ
F rad ( r) =
− 4 ac 3 dT
T
3κ ν ρ
dr
è große Energien können beispielsweise ionisieren und werden dann absorbiert ! -> nicht nur ThomsonStreuung !
è Auch die Rayleigh- Streuung ist schon energieabhängig !
Im Mittel müssten wir genau rechnen:
F rad ( r) =
− 4ac 3 dT
T
3κν ρ
dr
Aber: Der mittlere Absorptionskoeffizient ist schwer zu berechnen ( möglicherweise mit Hilfe der Physik der
Sternatmosphären)
∞
∫0
d νF radν =
⇒ F rad ( r) =
∞
∫0
∞
∫0
d νF radν
( )
∞
du
d aT 4
= ∫ d ν − D radν ( r ) ν
0
dr
dr
c ∞
1 duν
= − ∫ dν
0
3
κ ν ρ dr
d ν − D radν ( r )
Dabei rechnen wir aber auch die Energieverteilung genauer mit der Planck- Formel ( wir werden später sehen,
dass man einen mittleren Absorptionskoeffizienten ( Rosseland- Mittel) rausziehen kann und es aufs selbe
rauskommt, wie wenn man gleich Stefan- Boltzmann verwendet)
Also: im Gleichgewicht:
uν =
3π hν 3
 hν

3  kT
c e − 1




als Energiedichte eines schwarzen Strahlers !
Nun steckt aber die einzige Abstandsabhängigkeit ( r- Abhängigkeit ) in der Temperatur:
F rad (r ) = ∫
∞
0
dνF radν = −
c ∞
1 duν
c ∞
1 duν dT
dν
= − ∫ dν
∫
3 0
κ ν ρ dr
3 0
κ ν ρ dT dr
è wir dürfen die totalen Differenziale in dieser Art trennen !
Also:
∞
F rad (r ) = −
c dT
3 dr
∫0
−
c dT
3 dr
∫0
F rad (r ) =
∞
dν
dν
1 duν
κ ν ρ dT
1
duν
κ ν ρ dT
∞
duν
∫0 dν dT
∞
∫0
dν
duν
dT
52
Mit Hilfe der "Mittelungsformel" ( bekannt aus Funk und Fernsehen):
a=
∫ af ( x)dx
∫ f (x )dx
∞
⇒
∫0
dν
∞
∫0
duν
1
κ ν ρ dT
1
=
du
κρ
dν ν
dT
Dass sich ein solchen Kappa finden läßt folgt schon aus dem Mittelwertsatz !
Wir haben hier die Mittelwertsatzanwendung derart, dass:
∞
∫0
dν
1
duν
κ ν ρ dT
=
∞
1
κρ
∫0
dν
duν
dT
Also schreiben wir für den Fluss:
F rad (r ) = −
c dT 1
3 dr κ ρ
∞
∫0
dν
duν
dT
Dies ist das sogenannte Rosseland- Mittel
uν =
3πh ν 3
 hν

c 3  e kT − 1 




hν
h kT
c
e 3πh ν 3
duν
kT
⇒
=−
2
dT
 hν

c 6  e kT − 1 




3
einfacher:
∞
∫0
dν
duν
dT
=
d
dT
∞
∫0
dνu ν =
d
aT 4 = 4aT 3
dT
( Stefan Boltzmann als Gesamte Energiedichte !)
Also:
F rad ( r) = −
c dT 1
4aT 3
3 dr κρ
F rad ( r) = −
4ac 1 3 dT
T
3 κρ
dr
Wesentliche Erkenntnis: Wir können immer frequenzunabhängig rechnen und erhalten die frequenzabhängig
richtigen Resultate !
è Man nehme nur das κ statt κ
Problem: Ein kleines
κ macht den Term F rad ( r) = −
4ac 1 3 dT
riesig !
T
3 κρ
dr
Das bedeutet aber: gerade die Frequenzen mit großen freien Weglängen tragen zum Strahlungstransport m
stärksten bei ! Ist ja klar -> die kommen ja auch am schnellsten voran !
Das bedeutet: spätestens bei Spektren- Rechnungen kann man nicht mehr frequenzunabhängig vorangehen ! Man
bräuchte schon eine anständige Gewichtungs- Funktion !
53
Im Sterninneren werden vor allem die Photonen mit langen Wellenlängen in κ bevorzugt ! Sternatmosphäre:
Hier geht es schlecht ! Gerade die Linien will man ja berechnen, die man sehen will ! Also sucht man ach
Frequenzen mit großem κ , wo nur ein kleiner Strahlungsstrom durchkommt !
Das Rosseland- Mittel ist somit relativ gut geeignet für das Sterninnere, aber besonders schlecht für
Sternatmosphären !
Ein Modell für den Einfluss von κ auf den Strahlungstransport ist beispielsweise eine Dunstabzugshaube: Die
Durchflussgeschwindigkeit durch ein Gitter ist
~ (Lochgröße)4
è die gleiche Fläche wenn offen ist leitet den Dunst nur ganz schlecht, wenn die Löcher zu klein sind !
è ( Gesetz von Hagen Poisson)
è das gleiche gilt für Photonen !!
5.4 Die Strahlungstransportgleichung
monochromatishe Intensität:
è die Intensität, die von einer Fläche d σ in den Raumwinkel d ω bei monochromatischem Licht der Breite
d ν emittiert wird, ergibt sich laut Zeichnung zu:
zu:
Iν d νdω d σ cos ϑ
Dabei hat man den Anteil der Intensität, der genau in dem gezeigten Kegel steckt !
Die Gesamtintensität wird durch Integration gewonnen:
I =
∫∫∫
Iν dνd ω dσ cos ϑ
Transport- Gleichung
Der Transport ist eine Folge von Absorptions- und Emissionsprozessen.
Mit der spektralen optischen Dicke d τ ν und dem Wissen, dass die Schwächung einer Größe proportional zur
geschwächten Größe selbst ist, schreiben wir:
dIν d νd ωd σ cos ϑ = d τν Iν d νdω d σ cos ϑ
d τν = κ ν ρds
Also:
dIν = −κ ν ρdsIν
dIν = − I ν dτ ν
54
Der Abstand ist ds ( zwischen den Platten)
jedenfalls kann man diese Überlegungen auf zig Situationen verallgemeinern, beispielsweise bei emittierenden
Massenelementen:
Emission eν pro Gramm usw....
Dann ist eν ein "Massenemissionskoeffizient"
An sich ist Emission immer isotrop, wenn die Atome nur nicht ausgerichtet sind !
Absorption kommt aus einer bestimmten Richtung , weil Licht aus dieser bestimmten Richtung kommt
Wir schreiben für den Fall der winkelabhängigen Massenemission:
d Iν d νd ωd σ cos ϑ = eν dmd νd ω cos ϑ
dm = ρdsdσ
insgesamt ergibt sich also für Emission und Absorption:
d Iν
= ρ (eν − κ ν Iν )
ds
Abschätzung der charakteristischen Längen
ds = cdt
d
=
∂
+c
∂
dt ∂t
∂s
1 ∂ Iν ∂ Iν
+
= ρ (eν − κ ν I ν )
c ∂t
∂s
∂ Iν
∂ Iν  eν

1
1
⇒
+
= 
− 1 
c κ ν Iν ρ ∂ t
κ ν Iν ρ ∂s  κ ν Iν

∂ Iν τ r ∂ Iν
1
=
cκ ν I ν ρ ∂t
Iν ∂ t
∂I ν
1
κ ν Iν ρ ∂ s
lr =
=
l r ∂ Iν
Iν ∂ s
1
κν ρ
τr =
lr
c
also:
 e

τ r ∂ Iν
l ∂I
+ r ν =  ν − 1 
Iν ∂t
Iν ∂s  κ ν Iν

55
Nun:
l r ,O ≈ 1cm
⇒ τ r , O ≈ 10 −10 s
Wir können dies als Einstellzeit fürs Gleichgewicht betrachten ! Innerhalb ds darf getrost Gleichgewicht
zwischen den Prozessen angenommen werden. Die Einstellzeit liegt bei sagenhaft kurzen τ r ,O ≈ 10
− 10
s
Man kann sagen:
Die Einstellzeit ist so kurz, dass der Strahlungstransport zu den aktuellen Bedingungen immer stationär ist !
Bei roten Riesen haben wir
l r ,O ≈ 10 14 cm
⇒ τ r ,O ≈ 10 4 s
Hier muss die Lichtlaufzeit immer mitberücksichtigt werden !
Rote Riesen sind reine Atmosphärensterne !
Bei uns aber:
 l ∂I
τ r ∂ I ν l r ∂ Iν  eν
+
= 
− 1  ≈ r ν
Iν ∂t
Iν ∂ s  κ ν Iν
 Iν ∂s
wir lassen also die Lichtlaufzeit ( eine Retardierung) vollständig weg !
im thermodynamischen Gleichgewicht:
I =
∫
dνI ν
bevorzugte Definition:
⇒ Fν (n ) =
∫Ω
Iν cos ϑ dω -> man sortiert die Photonen aus, die Richtung n fliegen !
Also:
F = ∫ d νFv (n ) = ∫ d ν ∫
Ω
uν =
Iν cos ϑd ω
1
Iνd ω
c ∫Ω
k
ω
c
E = hν
Betrachten wir nun Photonen in einem Strahlungshohlraum, so gilt für Photonen in Richtung k =
Als Richtungsvektor führen wir einen k- Einheitsvektor ein gemäß:
k c
=
k c
⇒ Fν = h ν ⋅ nν ⋅ c = h ν ⋅ nν ⋅ c
k
k
Dabei beschreibt nν die Zahl der Photonen pro Volumen, die Richtung
k
fliegen !
k
Jetzt wählen wir die Photonen aus, die eine Energie zwischen E = h ν und
E = h(ν + dν ) haben !
Deren Zahl pro Volumen ist dann die spektrale Photonendichte !
Energie: h νnν ist eine Energiedichte, hier in Richtung
k
k
Der Fluss folgt gemäß
56
Fν = h ν ⋅ nν ⋅ c = h ν ⋅ nν ⋅ c
Also entlang der Richtung
k
und entspricht hier einer Intensität über Raumwinkel integriert !
k
n
n ⋅ Fν = h ν ⋅ nν ⋅ c n = hν ⋅ nν ⋅ c
k
n = hν ⋅ nν ⋅ c ⋅ cos ϑ
k
Damit erhalten wir den Fluss = Intesität über Raumwinkel integriert, also immer noch Intensität als Energie pro
Fläche und Zeit -> W/ m²
è Intensitätsbegriff kann mittels Photonen in einer Box plausibel gemacht werden !
Zusammenhänge
Strenges TE ( thermodynamische Gleichgewicht = thermodynamical equillibrium)
Für alle Prozesse treten Hin- und Rückprozesse GLEICHZEITIG auf !
è das heißt ! Ein Gleichgewicht herrscht genau dann, wenn es nicht in der Summe als Gleichgewicht in
Erscheinung tritt sondern für jeden Prozess einzeln !
è Im Gleichgewicht gilt Zeitumkehr: Hin- und Rückprozess sind gleich wahrscheinlich !
TE:
∂ Iν
=0
∂s
 e

⇒  ν − 1  = 0
 κν I ν

eν = κ ν Iν
eν
κν
= Iν
Planck zeigte bereits: Im Strahlungshohlraum folgt
Iν =
2 hν 3
c2
1
 hν 


e  kT 
eν
κν
= Iν der Kirchhoff- Planck- Strahlungsfunktion, also:
:= Bν
−1
Also:
eν
κν
= Bν
Aber: Die Schwarzkörperstrahlung, also die Funktion Iν =
2 hν 3
c2
1
 hν 


e  kT 
:= Bν ist völlig unabhängig vom
−1
Material, anderen Randbedingungen, nur von Naturkonstanten und der Temperatur abhängig !
eν
κν
eν
κν
= Bν ist also auch materialunabhängig.
= Bν ist der Kirchhoffsche Satz !
57
Integrale Beziehungen im strengen TE
∫
d ν Bν =
σ 4
T Stefan- Boltzmann- Gesetz.
π
Dabei ist Bν = Iν eine Intensität und eine Intensität ist ein Fluss !
mit
F=
∫ dνFv (n ) = ∫
uν =
dν∫
Ω
I ν cos ϑ d ω
1
Iνd ω
c ∫Ω
können wir schreiben:
B
B
1
1
Iν d ω = ∫ Bν d ω = ν ∫ d ω = 4π ν
∫
c Ω
c Ω
c Ω
c
B (T ) 4σ 4
1
⇒ u = ∫ d ν ∫ Iν d ω = ∫ d ν 4π ν
=
T := aT 4
c Ω
c
c
4σ
a=
c
uν =
Für den Strahlungsdruck gewinnen wir:
1
a
p rad = u = T 4
3
3
für thermodynamisches Gleichgewicht !!
Aber: Wenn das Gleichgewicht wirklich vollständig ist, so gilt ja:
∂ Iν
∂s
=0
Was wiederum bedeutet, dass der Stern gar nicht abstrahlt ! Im Vollständigen Gleichgewicht hätte der Stern ja
durch und durch konstante Temperatur !
denn:
( )
∂I
d
d
=0⇒
d ν Iν ⇒
aT 4 = 0
∫
∂s
ds
ds
T = const.
Also würde gar nichts passieren !
Wichtig: Ganz strenges TE macht physikalisch gar keinen Sinn. Wir brauchen eine Alternative wie das LTE:
Lokales thermisches Gleichgewicht !
jeder Prozess für sich hebt sich auf im TE !
Lösung für TE: Alle Teilchen haben Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung mit einer Temperatur T
Durch den Kirchoffschen Satz:
eν
κν
= Bν
fallen alle materialspezifischen Größen heraus !
Aber: Im Spektrum haben wir sehr wohl Eigenschaften des Drucks und der Sternchemie !
è Weg vom STE
STE: ( strenges thermodyn. GGW): Maxwell für alle Spezies B=I= Planck- Funktion !
58
weiter gilt im STE:
è Saha- Gleichung für alle Ionisationsprozesse !
è für JEDES verlorene Photon wird ein neues Photon emittiert !
è -> es existieren gar keine Spektren ! Nur die Planck- Funktion
è Sternchemie, Spektren können mit STE- Annahmen gar nicht verstanden werden.
Also arbeiten wir mit dem LTE
è beibehalten der Maxwell- Verteilung ( Energieausgleich stellt sich schnell ein !)
è Beispiel: Billiard: Man kann zeigen, dass eine Kugel mit der Tausendfachen Energie nach 5 Stößen
Ausgleich mit weniger als 1% Differenz zwischen den Kugeln geschafft hat !
è Mathematischer Hintergrund ist EBEN die Maxwell- Verteilung !
è Maxwell- Verteilung ist "robust"
Boltzmann- Faktor:
nj
ni
=
gj
gi
−
e
E j − Ei
kT
ist ebenso robust ! Stellt sich nach 10
Absorptionsprozesse !
−8
Sekunden ein ! -> typische Einstellzeit für alle Emissions- und
Also: Was ist das LTE ( das uns aus der misslichen Lage herausführen soll):
-
Behalte Maxwell- Verteilung bei
behalte Boltzmann- Verteilung
behalte Saha- Gleichung
Saha- Gleichung ist im Prinzip das Massenwirkungsgesetz:
A+ + e − ↔ A
A + B ↔ AB
dann gilt:
n( A )n (B )
= K (T ) also eine Konstante, die nur noch von der Temperatur abhängt !
n ( AB )
è Saha- Gleichung ist in der Chemie eingebaut. Ebenfalls eine sehr robuste Formel gegen Schwankungen des
Gleichgewichts !
Wo wir etwas machen können, ist unsere Formel
τ r ∂ Iν
Iν ∂t
+
 e

=  ν − 1 
∂s  κ ν Iν

l r ∂ Iν
Iν
wegen der schnellen Einstellzeit behalten wir
1 ∂ Iν
=0
c ∂t
∂ Iν
≠0
∂s
wir nehmen also an, dass die Intensität nicht vollkommen isotrop abgestrahlt wird !
unsere Strahlungstransportgleichung lautet in diesem Fall:
59
wir nehmen also an, dass die Intensität nicht vollkommen isotrop abgestrahlt wird !
unsere Strahlungstransportgleichung lautet im strengen Fall: ( STGL)
d Iν
= ρ (eν − κ ν Iν )
ds
Weiter behalten wir
eν
κν
= Bν , da diese Verteilung ja " robust" gegen Gleichgewichtsstörungen ist und demnach eine Näherung
höherer Ordnung darstellt !
Weiterhin brauchen wir ein TE wegen
Maxwell, Boltzmann und Saha !!
Aber: Wir nehmen nun an, dass die Temperatur nur lokal gleich ist,
Also:
LTE: man fordert, dass die Temperatur lokal gleich bleibt, aber insgesamt global doch von Zentraltemperatur auf
Außentemperatur abfällt:
Also: Summary:
- Saha ( Massenwirkungsgesetz):
A + + e − ↔ A mit T(r )
A + B ↔ AB
dann gilt:
n( A )n (B )
= K (T ) also eine Konstante, die nur noch von der Temperatur abhängt !
n ( AB )
d Iν
strenges thermodynamische GGW:
= ρ (eν − κ ν Iν )
ds
-
Boltzmann: T(r )
Maxwell: T ( r)
Überall können wir T als radiale Funktion einsetzen. Nur in
d Iν
ds
= ρ (eν − κ ν Iν ) brauchen wir das strenge
Gleichgewicht !
eν
κν
= Bν
Erfüllt man gerade die Forderungen
1.) Saha ( Massenwirkungsgesetz):
A + + e − ↔ A mit T(r )
A + B ↔ AB
60
dann gilt:
n( A )n (B )
= K (T ) also eine Konstante, die nur noch von der Temperatur abhängt ! und zwar von T( r)
n ( AB )
d Iν
2) strenges thermodynamische GGW:
= ρ (eν − κ ν Iν )
ds
3)
4)
Boltzmann: T(r )
Maxwell: T ( r)
Überall können wir T als radiale Funktion einsetzen. Nur in
d Iν
ds
= ρ (eν − κ ν Iν ) brauchen wir das strenge
Gleichgewicht !
5)
eν
κν
= Bν
so ist darüber das LTE definiert !
Das LTE ist um so besser, je weniger Photonen sich in ein solcher " Temperaturbox" der fallenden T8 r)- Kurve
befinden !
Falls
l ( Photonen) >> l (Teilchen) für die freien Weglängen, so wäre das LTE schlecht ! denn: Dann würden
die Photonen in die Box reinfliegen, wie sie wollen !
è exakte LTE- Definition:
eν
= Bν
κν
dI ν
= ρ (eν − κ ν Iν )
ds
⇒ Iν ≠ Bν
Die Intensität muss nun vielmehr aus einer Differenzialgleichung bestimmt werden !
è uns bleibt die Frage: was ist die Temperatur ??
è Wir erhalten aus Boltzmann:
nj
ln 
 ni

g
 − ln  j

g

 i
E − Ei

=− j

kT

Also die Temperatur definiert über das Verhältnis zweier Dichten !
Auch:
n( A )n (B )
= K (T ) gibt uns eine temperaturabhängige Zahl
n ( AB )
und auch in
eν
κν
= Bν (T ) taucht die Temperatur als Zahl auf !
è wie sind diese Größen jedoch zu verstehen ?
Wie verstehen wir hier den Temperaturbegriff ? Bei Lasern beispielsweise redet man gar von negativen
Temperaturen.
Wir werden jedenfalls unter Schmerzen sehen: Außerhalb des GGW existiert gar keine Temperatur mehr !
è eine skalare Zusammenfassung wie " Temperatur " macht nur bedingt Sinn !
Nun: betrachten wir eine starke Spektrallinie -> in diesem Fall muss κ ν sehr groß sein !
Unsere ganze Rechnung aber kollabiert für dünne Atmosphären.
61
Beispiel: Schwarzraumstrahlung:
Iν =
2 hν 3
c2
1
 hν 


e  kT 
:= Bν
−1
è wir können nicht sagen, was passiert, wenn man aus dem Hohlraum einfach ein Photon wegnehmen würde !
è Jedenfalls, falls dies nur möglich ist, so schaut Bν schon ganz anders aus !
è -> das heißt: Man braucht modifizierte Gleichungen, falls es möglich ist, dass Photonen ins Vakuum
verschwinden können !
5.6 LTE
TE: Maxwellverteilung
Bedingung für LTE: l ( Photonen)
>> l (Teilchen)
Dies ist ein Widerspruch zu oben. ich konnte nicht in Erfahrung bringen, was richtig ist. Nehmen wir mal an,
dass l ( Photonen) >> l (Teilchen) eine Voraussetzung für das LTE ist !
damit können wir schreiben:
∂T
l teilchen
∂r
∆T =
was verschwindend klein ist gegen das Einsetzen der freien Photonen- Weglänge -> lokal Gleichgewicht !
Es gilt:
l teilchen :=
σm
m
1
1
= Teil =
nσ
ρσ
ρσ m
(
)2
σ
10 −8 cm
cm 2
1cm 2
= ≈
≈ 10 8
>> κ ≈
m
g
g
10 −24 g
Es folgt:
l teilchen = l phot.
κ
= 10 −8 l phot.
σm
⇒ l teilchen << l phot.
Wir brauchen diese Bedingung, damit wir zwischen den auszutauschenden Photonen, die ja einen
Temperaturgradienten brauchen eine Box einbasteln können, die kleiner ist und in der näherungsweise konstante
Temperatur herrscht. Das geht nur, wenn diese Temperatur über kleinere Teilchenstöße ausgeglichen werden
kann als die Länge der fliegenden Photonen !
Also:
∆T =
∂T
K
l teilchen ≈ 2 ⋅ 10 −4
⋅ 10 −8 cm ≈ 10 −12 K
∂r
cm
è dieser Temperaturunterschied wird durch die Teilchenstöße noch zugelassen, ist extrem klein -> so klein,
dass wir Maxwell- Verteilung beliebig exakt annehmen können !
Aber:
Die Strahlung stört nun das LTE ( Aha!)
è die Frage ist nun: Wie schnell stellt sich das LTE ein ?
Abschätzung der Einstellzeit:
t st . =
l teilchen
= l teilchen
v teilchen
m
s
−16
also 10
s
≈ 10 −8 cm ⋅ 10 −8
3kT
cm
62
Dabei ist tst die Stoßzeit !
−16
das bedeutet, in der Größenordnung10
s ist die Energiedifferenz zwischen Teilchen ausgeglichen !
è Maxwell, Boltzmann, Saha sind alle PERFEKT ausbalanciert !
è Dies gilt nicht mehr für Kernreaktionen !!!
Für Kernreaktionen gilt: t st. ≈ 10
10
a
Kernreaktionen sind also immer Prozesse im extremen Nichtgleichgewicht -> der Ausgleich der
Kernreaktionsenergie durch Stöße erfolgt in 10 Mrd. Jahren !
5.6 Lösung der Transportgleichung
1 d Iν
= (eν − κ ν Iν )
ρ ds
Ansatz: Taylorreihe der Abstrahlcharakteristik ( besser: Potenzreihenansatz):
Iν =
∞
∑
I ν, n cos n ϑ =
n= 0
∞
∑
n= 0
Iν ,n µ n
µ = cos ϑ
n=
r ˆ
=r
r
µ = cos ϑ =
sr
s r
Also:
∞


d
Iν,n µ n =  eν − κ ν ∑ Iν,n µ n 


ds
n= 0

n= 0

dr = ds cos ϑ = dsµ
1
ρ
∞
∑
ds =
⇒
dr
µ
1
ρκ ν
∞
∑
µ n +1
n= 0
∞
e
d
I ν, n =  ν − ∑ I ν, n µ n
κ
dr
 ν n= 0




Diese Potenzreihe ist nun dann und nur dann erfüllbar, wenn Koeffizienten mit gleichen Potenzen gleich sind !
Polynome sind nur dann gleich, wenn die Koeffizienten mit gleichen Potenzen gleich sind !
Also Vorsicht: Wir setzen auf beiden Seiten die Potenzen von µ gleich, dann sind die Potenzen gleich und dann
schauen wir, welche Is das sind. Da links n+1 und rechts n ist das gerade KEINE Gleichung für gleiche n !!
Sondern: Die n unterscheiden sich jeweils immer um 1
Also:
µ0 =1
e

0 =  ν − Iν ,0 
 κν

Auswertung für LTE:
eν
κν
= Iν , 0 = Bν (T )
63
µ 1 = cos ϑ
1
d
µ
Iν , 0 = − Iν ,1 µ
ρκ ν dr
Jetzt fällt der Term
eν
κν
weg. Er war praktisch eine Konstante in unserem Polynom !
Also:
µ 1 = cos ϑ
1 d
I ν, 0 = − Iν ,1
ρκ ν dr
Weiter:
µ 2 = cos 2 ϑ
1 d
I ν,1 = − Iν, 2
ρκ ν dr
µ n = cos n ϑ
1 d
I ν, n −1 = − Iν,n
ρκ ν dr
Die Entwicklung in
Polynome !
µn = cos n ϑentspricht den Multiplomomenten und liefert als Lösung die Legendre-
è das heißt: Das Feld ist isotrop für µ0 = 1 , geht über in ein Dipolfeld für µ = cos ϑ usw...
è die höheren Terme sind für uns jedoch gerade wichtig, um die Anisotropie abzuschätzen !
è Also:
1
ρκ ν
1
ρκ ν
⇒
d
Iν, n −1 = − Iν,n
dr
d
Iν ,0 = − I ν ,1
dr
− Iν ,1
1
d
Iν ,0 =
ρκ ν Iν ,0 dr
Iν ,0
1
≈ l r ,ν ≈ 1cm( Sonne)
ρκ ν
( ) zentrum − ( Iν ,0 )oberfl. ( Iν ,0 )zentrum
I ν ,0
d
Iν , 0 ≈
dr
≈
RO
RO
dr = ∆ R = RO = 10 10 cm
⇒
⇒
Iν ,1
Iν ,0
Iν ,1
Iν ,0
≈
≈
(Iν , 0 )zentrum
RO
l r ,ν
RO
1
( Iν ,0 )Zentr. l r ,ν
≈ 10 −10
Das ist superklein !! und entspricht der maßgeblichen Korrektur durch Anisotropie des Strahlungsfeldes !
Vergleich: entspricht einer Scheibe mit 10 km Durchmesser und 1/1000 mm Abweichung von der exakten
Kreisform !
64
Nur Gravitationsdetektoren sollen genauer arbeiten:
Ziel:
∆l
≈ 10 −22
l
Cern: 10 km lange Lichtleiter werden auf 5 A° gleich lang zugeschnitten ! Auch ein Stern isotropisiert sein
Strahlungsfeld mit einer solchen Genauigkeit !
Also:
Iν ,n ~ Iν ,0 ⋅ 10 −10n
Iν ≈ I ν , 0 + I ν ,1 cos ϑ
Wir haben jedoch in der Ableitung dieser Formel einen Fehler gemacht ! denn: Wir haben keine Entwicklung in
einem Orthogonalsystem durchgeführt ! Das bedeutet auf deutsch: Iν ,1 cos ϑenthält einen Anteil von Iν ,0 !
Man müsste genauer rechnen, also nach orthonormierten Funktionen wie Kugelfunktionen entwickeln !
cos n ϑ ist kein Orthonormalsystem !!
Ansonsten aber wäre der Strahlungsausgleich noch perfekter !!
Aber: Diese Anisotropie schafft es, dass der Strahlungsstrom der Sonne von Null abweicht !
Iν ≈ Iν,0 + Iν,1 cos ϑ
d ω = sin ϑ dϑ dϕ
Iν ≈ Iν,0 + Iν,1 cos ϑ
Schreibe:
F = I ( n ) = ∫ I ν cos ϑ dω
(Iν ,0 + Iν ,1 cos ϑ )cos ϑdω = ∫ ( Iν ,0 + Iν ,1 cos ϑ )cos ϑ sin ϑdϑdϕ
= ∫ (Iν ,0 )cos ϑ sin ϑ dϑ d ϕ + ∫ Iν ,1 cos 2 ϑ sin ϑd ϑ dϕ
∫ (Iν ,0 )cos ϑ sin ϑdϑdϕ = 0
=∫
∫
Iν ,1 cos 2 ϑ sin ϑ dϑ d ϕ = Iν ,1
4
π
3
der erste Part ist ja der völlig isotrope Part. Zur Theta- gerichteten Intensität, ergo zum Strom trägt dieser teil
also nichts bei !
Statt dessen gewinnen wir als Anisotropie
Fν = Iν ( n ) =
∫
Iν cos ϑ d ω =
∫
4
Iν ,1 cos 2 ϑ sin ϑ d ϑd ϕ = Iν ,1 π
3
Merke:
2π
∫ (Iν,0 )cos ϑ sin ϑdϑdϕ = − ∫0
( Iν,0 )cos ϑd (cos ϑ )
π
− ∫ (Iν,0 )cos ϑ d (cos ϑ ) = (Iν,0 ) − (Iν,0 ) = 0
0
π
dϕ ∫
0
Ergo:
4
Fν = Iν ,1 π
3
65
Wir können dies jedoch einsetzen in:
µ 1 = cos ϑ
1 d
I ν, 0 = − Iν,1
ρκ ν dr
⇒
∫
1 d
3
B ν(T ) = −
Fν
ρκ ν dr
4π
dν
1 d
1 d
dT 1 dT
Bν (T ) = ∫ d ν
Bν (T )
=
ρκ ν dr
ρκ ν dT
dr ρ dr
∫
dν
1 d
3
3
Bν (T ) = ∫ dν −
Fν = −
F
κ ν dT
4π
4π
Also:
1 dT
ρ dr
∫
dν
1 d
3
Bν (T ) = −
F
κ ν dT
4π
1 d
Bν (T )
κ ν dT
d
dr  3 
⇒
dν
Bν (T ) = ρ
−
F
∫
d
dT
dT  4π 
∫ dν dT Bν (T )
1 d
∫ dν κ ν dT Bν (T ) 1
=
d
κ
(
)
d
ν
B
T
∫ dT ν
d
ac 3
∫ dν dT Bν (T ) = π T
ac 3
dr  3 
T =ρ
−
F
κπ
dT  4π 
∫
dν
Alle Integrale laufen natürlich von Null bis unendlich !!
Wir haben verwendet:
d
d
Bν (T ) =
dT
dT
∫
dν
∫
d ν Bν (T ) =
a=
⇒
4σ
c
d ν Bν (T )
∫
σT 4
π
d σ T 4 acT 3
=
=
dT π
π
∫
dν
d
Bν (T )
dT
Finale Gleichung:
ac 3
dr  3 
T =ρ
−
F
κπ
dT  4π 
Als kleines Konstantengefimmel merke man sich noch:
∫
dν Bν (T ) = σT 4
∫
dν u ν (T ) = aT 4
Wobei eben einmal über den Energiestrom und einmal über die Energiedichte integriert wurde !
66
Merke:
u ν (T ) ⋅ c = Bν (T )
bis auf unwichtige Faktoren wie Pi oder 4....
Was bringt uns die Gleichung ?
In der Physik schreibt man in Gleichungen immer links eine Größe, die kausal von den Termen auf der rechten
Seite erzeugt wird:
dT ac 3
 3 
T
−
F =
dr ρ κ π
 4π 
ist beste Darstellung: Der Fluss im Stern, der Strahlungsfluss wird durch den Temperaturgradienten erzeugt !
Irreführend ist die Schreibweise
dT  3 ρκ π 
= −
F
dr  4πacT 3 
In diesem Fall kann man gar nicht erkennen, was genau von was erzeugt wird -à kein Temperaturgradient wird
erzeugt ! Er ist einfach da !
Motivation für
dT
-> ir schreiben eine Energiegleichung als Differenzialgleichung:
dr
y´= A y -> DGL - System
so wie
dp
dr
dM r
dr
dT
dr
è aber dann gehen uns die ganzen Ursache- Wirkungs- Prinzipien verloren !!
Die Leuchtkraft gewinnen wir durch Multiplikation mit 4πr
Also:
2
dT  3 ρκ π 
= −
4πr 2 F
3
dr  4πacT 
 3ρ κ π 
⇒ 4πr 2 dT =  −
 L r dr
 4π acT 3 
4πr 2
è diese Formeln brauchen wir nicht auswendig lernen ! Viel wichtiger ist: Kräfte treiben die Ströme !
Kontinuitätsgleichung etc...
es ist doch sooo einfach:
Alle physikalischen Größen, die transportiert werden, werden von einem Prinzip transportiert !
Linearität: Maxwell- Boltzmann weichen nur 1 % von Linearität ab !!
Nun: transportiert werden andererseits immer Dichten
è Teilchenstrom durch Teilchendichte, die transportiert wird
è Strom der inneren Energie
67
Also:
Mit:
∇ ⋅ j = u&
j = vu
è dann ändert sich die Größe u zeitlich , motiviert durch die Divergenz des Flusses !!
Beispiel: Energie sei x, Spin sei x, Magnetisierung sei x etc... sei x:
j x = vu x
Ein Strom der Größe x -> die Ströme hängen immer so über Geschwindigkeit und Dichte zusammen !
Was aber treibt die Ströme ??
a ja, immer der Gradient von u !
è die Treibende Kraft ist der Gradient der Dichte:
F x = ∇u x = −
∂u x
∂r
Aber: Immer vom dichten zum dünneren -> Minuszeichen !!
Also:
jx ~ F
x
= ∇u x = −
∂u x
∂r
Das heißt aber:
Die Entropieproduktion ist proportional zum Produkt aus Strom und Kraft !!
ds ~ j x F
x
gleichzeitig gilt:
ds > 0
2
ds ~ j x F x ~ F x > 0
Schöner geschlossener Schluss ! ( Gäähn)
Bei uns:
j x ~ −∇ u x
⇒ v u x ~ −∇ u x
gehe in
dT − 3πρ κ
=
F
dr 4πacT 3
( )
du d aT 4
dT
=
= 4 aT 3
dr
dr
dr
68
6. Wärmeleitung
Nach diesen allgemeinen Überlegungen können wir nun kompakt schreiben:
Fr = − k r gradT
kr =
FWL
kL =
4πacT 3
3ρ κ
= − kWL gradT
4πacT 3
3 ρκ WL
κ WL = κ WL ( p , T , xi )
Wann brauchen wir das ?
Nun:
F = Fr + FWL = −
1
1
 +
κ κ

WL
4πacT 3
3ρ
1
1
 +
 κ κ WL

 gradT

 1
 :=
 κ´

Falls
κ WL << κ
so überwiegt die Wärmeleitung !
Es bleibt quasi nur
1
κ WL
als nennenswerter teil übrig !
Diesen Fall haben wir in Neutronensternen, z.B. entartetets Elektronengas -> Strahlungstransport fällt weg !
entartetes Gas:
kT << εF
Das heißt: Die Stabilisierung des Objekts erfolgt nicht über Wärme sondern Fermiabstoßung !
Der Fermidruck ist jedoch dichteabhängig -> das Objekt stabilisiert sich auch hier bei einem so komprimierten
Fermigas, bis der Druck die enorme Gravitation hält !! ( Ausnahme ist der Gravitationskollaps !)
Was passiert bei Entartung ?
è Die Teilchen besetzen alle ihre Phasenzellen -> Fermikugel voll besetzt !
è -> vollständige Delokalisation der Elektronen !
è wie in einem Metall: Elektronen haben große freie Weglängen !
è -> Elektronenbewegung transportiert die gesamte Energie. Dies ist hier nun viel effektiver als
Wärmestrahlung !!
è grundsätzlich zeigt aus diesem Grund die Materie metallische Eigenschaften, wenn die Materie dicht gnug
gepackt ist !!
è in den Leitungsbändern ist für die Elektronen immer freie Beweglichkeit
è wir haben sehr pathologische Zustände: Weiße Zwerge, Neutronensterne !! Auch im Zentrum Roter Riesen
!!
Weiße Zwerge sind durch die Entartung isotherm ( überall gleich heiß !)
Metalle sind grundsätzlich entartet.
Die Zustandsgleichung lautet:
p = p(ρ)
Das heißt: der Druck ist nur noch dichte- und nicht mehr temperaturabhängig !!
Der Druck reagiert also nicht mehr auf Temperaturanstieg. Schließlich wird dann die Zündtemperatur für
Heliumbrennen erreicht !
è es wird schlagartig noch heißer, ohne dass der Druck das merkt !!
è Druck reagiert also nicht
è es wird lokal extrem heiß und Helium zündet Flash- Artig
69
Helium FLASH !
è irgendwann aber ist
kT << εF nicht mehr gültig ( 50 Mio. K)
è Druck merkts
è Stern adjustiert sich im neuen Gleichgewicht !
è Stern springt im HRD auf den Horizontalast !!
7. Konvektion
Konvektion ist sehr effektiv, aber scheiße schwer zu beschreiben !!
Wärmeleitung: Es existieren tausend gute Beschreibungen
Konvektionsbeschreibung bringt den Nobelpreis !!
Physik hat heute weiter üble Probleme Bei Clusterbeschreibungen im Mesoskalenbereich ! Das merkt
beispielsweise auch die Meterologie !
Hauptsorgenkinder der Physik:
Turbulenzen
Mesoskalen !
Grundprinzip der Konvektion:
ρ heiss < ρ kalt !
è Materieelement mit gewisser Energie ! kann aufsteigen !
Man bringt ein temperaturbehaftetes System direkt in eine andere, z.B. "kältere" Umgebung ein
Also: Einbringen eines temperaturbehafteten, sei Energiepaket in eine Umgebung ganz ohne direkten
ungerichteten Austausch:
7.1 Das Schwarzschildkriterium ( entwickelt um 1900)
Dazu betrachte man 2 Schichten:
70
Wir haben dabei verschiedenste Größen, also Druck, Dichte, Entropiedichte und Temperatur.
Die kleine Wolke ist natürlich ein willkürlich umgrenztes Gebiet.
Das heißt: Die kleine Wolke ist im Grunde nur das Gleiche wie ihre Umgebung
Annahme:
Die kleine Wolke wird unter ansonsten völligem Gleichgewicht ausgelenkt.
Das könnte allerdings zu einem Problem führen:
Was machen wir, wenn die kleine Wolke gar nicht ausgelenkt werden will ?
Wenn die kleine Wolke möglicherweise psychischen Stress bekommt wenn man sie auslenkt ?
Womöglich ist es der kleinen Wolke durch ein traumatisches Kindheitserlebnis, wie durch den Entzug der
Mutterliebe, nicht möglich, sich unverkrampft auslenken zu lassen. Statt dessen wehrt sich die Wolke panisch
gegen das auslenken und reagiert mit drastischen Hormon- und Enzymausschüttungen...
Zunächst dachte man sicherlich, so eine Wolke ist nicht normal und man darf sie ruhig mit Gewalt auslenken.
Mit dem Fortschritt der Psychoanalytik jedoch wurde klar, dass man die Unfähigkeit der Wolke, sich auslenken
zu lassen akzeptieren muss.
Nach §§ 103 ff. des konvektiven Gesetzbuches ist es deshalb inzwischen unbedingt nötig, die kleine Wolke zu
fragen, ob sie ausgelenkt werden will. Die meisten Wolken schämen sich jedoch ihrer Abwehrhaltung gegen das
Auslenken und man muss sehr sensibel an das Problem herangehen. Am besten, man verwickelt die Wolken in
ein Gespräch und versucht dann unwillkürlich, die Wolke ein Stückchen auszulenken. reagiert die Wolke gar
nicht oder sogar mit Zuneigung, so kann die Auslenkung mit sanften aber zügigen Bewegungen intensiviert
werden.
Wir betrachten die ausgelenkte Wolke. Geschieht die Auslenkung der Wolke unter völligem Ausgleich:
so gehen die Zustandsgrößen
p 0 (r ), ρ 0 (r ), T 0 (r ), s0 (r )
während des Auslenkungsprozesses in
p 0 (r + δr ), ρ 0 (r + δ r ), T0 (r + δ r ), s 0 (r + δ r )
über !
in Gedanken lenken wir die Wolke nun blitzschnell aus !
zunächst: Druckausgleich geht mit Schallgeschwindigkeit und bei
vs =
T
ρ
können wir deshalb davon ausgehen, dass der Druck immer ausgeglichen wird.
Wärmeinhalt und Temperatur, also auch die Entropie soll dagegen gar nicht ausgeglichen werden !
Das bedeutet für die Dichte: Sie ergibt sich ganz neu als Funktion des neuen Drucks und der alten Entropie über
die Zustandsgleichung
ρ( p, s )
Also: Summa summarum:
(r + δr ) spürt die Kleine Wolke
p 0 (r + δr ), ρ 0 (P0 (r + δ r ), s 0 (r )), T0 (r ), s0 (r )
ρ 0 (P0 (r + δr ), s0 (r )) := ρ~ ( P0 (r + δ r ), s 0 (r ))
An ihrem neuen Platz
71
Wir haben also eine adiabatische Bewegung mit Druckausgleich !
Betrachten wir nun die durch das Einbringen der Wolke nach r + δr erzeugte Störung, so gilt für die
(
)
Druckstörung:
δρ = ρ~ ((r + δ r )) − ρ 0 ((r + δr ))
= ρ~ ( p 0 (r + δ r ), s 0 (r )) − ρ 0 ( p 0 (r + δr ), s0 (r + δ r ))
Nun gibt es drei Möglichkeiten
δρ > 0 -> Massenelement ( Wolke) sinkt wieder zurück !
δρ = 0 -> ρ~ ( p 0 (r + δ r ), s 0 (r )) = ρ 0 ( p 0 (r + δ r ), s 0 (r + δ r ))
oder
δρ < 0
è Instabilität / Konvektion !
Wir haben also ein Kriterium für Konvektion gefunden, nämlich dass δρ < 0
Ein Vorgang ist immer dann instabil, wenn er sich selbst antreibt !
Wenn die Ursache also eine Wirkung hervorruft, die die Ursache verstärkt !
In diesem Fall haben wir die Situation: ein Stückchen, um es mal so zu nennen, wird leicht gestört, steigt auf,
wenn dann δρ < 0 , so steigt es weiter auf !
è sogenannte Konvektionsinstabilität !
Betrachten wir nun den Fall der Stabilität:
δρ > 0
δρ = 0
Dazu entwickeln wir die Störung
δρ = ρ~ ( p 0 (r + δr ), s0 (r )) − ρ 0 ( p 0 (r + δr ), s0 (r + δ r ))
δρ ≥ 0
 ∂ρ
⇒ −  0
 ∂ s0
 ∂ρ 0

 ∂s
 0
 ds0

>0
 p dr
 ∂ρ 0

 ∂ T0

 =

 p  ∂ s0
 ∂T
 0
 ∂s
c p = T 0  0
 ∂ T0


p


p


p
dQ = SdT = c p dT
 ∂ρ 0

 ∂ s0

T  ∂ρ
 = 0  0
 p c p  ∂T 0


p
Für normale Materie gilt:
cp > 0
 ∂ρ 0

 ∂T
 0

 <0

p
Materie zieht sich zusammen, wenn es kälter wird ! -> typischerweise für Gase !
72
Also:
 ∂ρ 0

 ∂ T0

 < 0
p
Somit gewinnen wir als Stabilitätskriterium:
ds0
>0
dr
Das heißt: Wenn die Entropie nach außen abnimmt !! so entsteht Konvektion !
Nimmt die Entropie dagegen mit dem Radius zu, so ist der Stern stabil gegen Konvektion !
Nun ! Wärmestrahlung ist entropischer pro Energieeinheit, wenn die Temperatur sinkt. Also ist im Allgemeinen
der Entropiegehalt der Strahlung in den Außenbereichen größer als innen !
Somit sollten Sterne sehr stabil gegen Konvektion sein !
Ausnahmen sind: Änderung der chemischen Zusammensetzung ! Da kann beispielsweise die Dichte fallen, wenn
es kälter wird, weil sich beispielsweise Stoffe zersetzen etc... aber sind auch sehr pathologische Zustände !
Nun:
s = s(T , p )
ds0  ∂s 0
=
dr  ∂T 0
 dT0  ∂ s0

+ 
 p dr  ∂ p 0
 ∂s 
 ∂V 
  = −

 ∂T  p
 ∂p T
 1
∂
ρ
= −
 ∂T


 dp 0 c p dT0
β dp 0

=
+
T0 dr
ρ 0 T0 dr
 T dr


 = 1  ∂ ln ρ 

ρ  ∂T  p

p
1
 ∂ ln ρ  1
1
1
ρ
1

 = ⇒ ∂ ln ρ =
∂ρ ⇒
=− 2
2
ρ
∂ρ
ρ
ρ
 ∂ρ  ρ
1
∂V = ∂
ρ
∂
 ∂s 
1  ∂ ln ρ 
1  ∂ ln ρ 
  = 
 =


ρ  ∂T  p ρT  ∂ ln T  p
 ∂p T
 ∂ ln ρ 0

 ∂ ln T0

 := β
p
Auch hier gilt wieder: Normale Materie verdichtet sich bei Erniedrigung der Temperatur, also ist
 ∂ ln ρ 0

 ∂ ln T 0

 := β < 0
p
denn:
y
>0
x
1
dy
dy
y
d ln y
< 0⇒
<0⇒
<0
1
dx
d ln x
dx
x
73
Jedenfalls
 ∂ s0

 ∂p 0

β
 =
T ρ 0 T0
Also:
ds0 c p dT0
β dp 0
=
+
dr T 0 dr
ρ 0 T0 dr
Gute Physik gibt’s übrigens in Landau Lifschitz, Band 2,4,5,8 ( Die Krone der theoretischen Physik, sehr klar !)
1. band Mechanik ist unbrauchbar. Gut ist lediglich, wie die Erhaltungssätze aus gruppentheoretischen
Eigenschaften -> gut zum Nachlesen !
2.
Band: Aus dem Wirkungsintegral komplette Ableitung der Elektrodynamik !
Erhaltungssätze -> Invarianz der Lagrangegleichungen -> Invarianz der Physik gegen Translation im Ort, in der
zeit oder gegen Rotation !
S = ∫ dt L
δS = 0
⇒# A µ = j µ
Wir wissen nicht, in welchem Bewegungszustand wir uns befinden ! -> wir haben nur eine Chance, die Welt zu
beschreiben, wenn die Physik davon nicht abhängt -> Erhaltungssätze !
Ohne Invarianzgesetze wäre nur lokale Physik möglich, besonders fatal: Wir haben auch keinen Zugriff auf
absolute Zeit !
Aber: Kosmologie kann man ganz vergessen !
Es gäbe gar keine Schönheit der Gesetze, die man auf andere Epochen sinnvoll übertragen könnte !
Natürlich: Physik kann weder Wahrheit noch Absolutheit beinhalten ! Aber: Sie enthält gewisse Richtigkeit !
-> und: Physik ohne Invarianzen wäre auch in gewissen, überprüfbaren Situationen einfach unrichtig !
Wissen: Ist überzeugend darstellbar
Glauben: Subjektiv wahr, aber nicht darstellbar
Meinen: Ich weiss es selbst nicht genau !
Vergl. Steven Wolfram: " New kind of science "
è alles ist Selbstorganisation der Materie -> sehr krass
è Besser wäre es vielleicht, das Kusalitätsprinzip aufzugeben
è Keine retardierte ohne avancierte Lösung
è ein völlig anderer Zugang zur Welt als die Physik ! -> Biologie wird auf Selbstorganisationsprinzipien
zurückgeführt
è Kausalität: im Rahmen der Unschärfe gehen Ursache und Wirkung eh ineinander über -> eine Kanne ist
bereits zerbrochen, wenn sie nichts mehr am Fallen hindern Kann !
Zurück zur Konvektion
ds0 c p
=
dr T 0
ds0 c p
=
dr T 0
dT0
β dp 0
+
> 0 als Stabilitätskriterium
dr
ρ 0 T0 dr
dT0
β dp 0
+
>0
dr
ρ 0 T0 dr
74
Aus dem Gleichgewicht wissen wir:
dp 0
GM (r )
= −ρ
dr
r2
GM (r )
:= g
r2
 ∂ ln ρ 0 


 ∂ ln T  := β < 0

0 p
d ln x =
1
dx
x
gleichzeitig gilt:
g
 dT 
= −

cp
 dr  s
also erhalten wir als Stabilitätsbedingung:
c p dT 0 βg dp 0
−
>0
T 0 dr
T 0 dr
⇒
dT0 βg
>
dr
cp
⇒
dT0  dT0 
>

dr  dr  S
Die Temperatur nimmt nach außen ab, also sind beide Gradienten negativ !
Stabilität herrscht also dann, wenn
dT0
 dT0 

 >
dr
 dr  S
Konvektion also bildet sich aus, wenn
dT0
 dT0 

 <
dr
 dr  S
Wenn also der Temperaturgradient im Stern den adiabatischen Temperaturgradienten überschreitet !
Im Stern gilt:
dT0
− 3 κ Lν
=
dr
16 π acr 2 T 3
Also:
 d ln T0   d ln T0  dr
3 κ Lν p

 = 
p0 =

16π acr 2 T 4 ρg
 d ln β   dr  dp 0
dr
1
=−
dp0
ρg
75
Adiabatengleichung:
T 0 = Cp 0
γ =
 1
 1 − γ 


cp
cv
s = const.
1 dp
dT dp 0

1
 dT0 
0

 = 0
= C 1 −  p 0 − γ
γ
dr
 dr  s dP0 dr



1 −1
C 1 −  p 0 γ
γ
dp 0 
dp
 d ln T0 
1  dT0 
1 dT0 dp 0
1
= 
= 1 −  p 0 −1 0

 =

 =
1
dr  γ 
dr
 dr  s T 0  dr  s T0 dP0 dr
Cp 0 1− γ

 d ln T0 
1  d ln p 0
⇒
 = 1 − 
 dr  s  γ  dr
Konstante Entropie
 d ln T 0 


 dr  s  d ln T0
= 
 d ln p 0 
 d ln p 0


 dr  s


1
 = 1 − 
s  γ 
Also hamma ein subba gutes Kriterium für Konvektion:
 d ln T 0

 d ln p 0


1   d ln T0
 = 1 −  < 
 s  γ   d ln p 0


r
wobei
 d ln T 0

 d ln p 0

 der Index r den radiation / Strahlungs- Gradienten meint !
r
Das heißt nichts anderes ( wie bereits diskutiert) -> der Verlauf der Strahlungstemperatur über Druck muss in der
gezeigten Weise einen adiabatischen Vrlauf übertreffen, dann können Konvektionszonen entstehen !
Für die Strahlung gilt das Nämliche:
 d ln T0

 d ln β
  d ln T0
 = 
  dr
 d ln T0
 dr
p 0 = 

 dp 0
 d ln p 0

3 κ Lν p
 =

2
4
 r 16 π acr T ρg

1
3 κ Lν p
⇒ 1 −  <
2
4
 γ  16π acr T ρ g
Also:
Summary unserer Überlegungen: Konvektion muss man rechnen, falls
 1
3 κ Lν p
1 −  <
2
4
 γ  16 π acr T ρ g
76
In der Hydrodynamik kürzt man ab:
 d ln T 0 

∇ = 
 d ln p 0 
 d ln T0 

∇ S = 
d
ln
p

0 S
 d ln T0
∇ r = 
 d ln p 0


r
Mit Konvektionskriterium
cp
−1
c p − cv
1 γ − 1 cv
∇r > ∇ S = 1 − =
=
=
cp
γ
γ
cp
cv
interessanter Effekt: Kühlen Sterne ab, so rekombinieren die Plasma- Ionen. Dadurch heizt sich der Stern auf !
(es wird mehr Rekombinationsenergie frei als vorher abkühlte)
Also: Ein Stern, der sich abkühlt, wird heißer
77
b) der konvektive Energiestrom
physikalisch motivierter Ansatz:
Fkonv = ρc p δT ⋅ vkonv.
mit der Energiedichte ρc p δ T
Es gilt:
v konv. = 0
v konv. 2
1
2
≠0
c p = c p (T )
Somit:
T
Fkonv = ρ ∫
0
c p (T )dT ´⋅vkonv.
 dT
Fkonv = ρc p δT ⋅ vkonv. = ρ c p vkonv. 
 dr
−
E
dT
dr
U

∆ r


mit dem Gradienten
dT
dr
im Element
E
und
dT
dr
in der Umgebung.
U
Die Ableitung erfolgte hier nach der Trapezregel
Trapezregel sagt nur:
δ f ~ 1/2 ( rechtes Ende - linkes Ende)
Also:
 dT
δ T ~ 
 dr
−
E
dT
dr
U

∆r


nach
δT ~
dT
∆r
dr
im obigen Fall ( Trapezregel) haben wir zwei Kurve. Dabei bilden wir deren Mittelwert und ziehen den
Mittelwert beider voneinander ab !
Der richtige Mittelwertsatz / die richtige Trapezregel arbeitet dann mit ∆ r =
l
, wobei l den " Mischungsweg"
2
bei der Konvektion angibt !
78
Also:
 dT
Fkonv = ρc p δ T ⋅ v konv. = ρc p v konv. 
 dr
 1 dT
1 dT
Fkonv. = ρc p v konv.T 
−
 T dr E T dr U
−
E
dT
dr
U
l

2

l

2

mit dem Begriff der Skala:
y
können wir die Druckskalenhöhe Hp einführen:
y´
p
d ln p
=
dp
dr
dr
p = g ρH p
H p :=
−1
=
p
gρ
d ln p
1
=−
dr
Hp
dp
2
2
= V s = γVT = gH p
dρ
mit der adiabatischen Schallgeschwindigkeit V s und der isothermen Schallgeschwindigkeit
Somit:
 d ln T
d ln T
Fkonv. = ρc p v konv.T 
−
 d ln p
d ln p

U
1
l
Fkonv. = ρ c p vkonv.T
(∇ U − ∇ E )
2
Hp
VT .
l 1

2 H
p
E
Hauptprobleme:
v konv. ist die sogenannte Turbulenzgeschwindigkeit -> folgt aus keiner Theorie
Ursache für Konvektion: Auftrieb
è v konv. über Auftriebabschätzen ! -> betrachte Auftrieb als Antriebsmechanismus !
Auftriebskraft: g ∆ρ
Fauftrieb = − gδρ
(
δρ = ρ Element − ρ Umgebung
p=
)
ρ
kT
µ
mit dem mittleren Molekulargewicht µ !
Also:
p=
ρ
kT
µ
⇒ ln p − ln ρ + ln µ − ln T = ln K = const.
⇒ d ln p − d ln ρ + d ln µ − d ln T = 0
µ
kann sich auch ändern, beispielsweise durch Kernreaktionen !
79
µ ist in diesem Sinne Funktion der Temperatur !
è Ionisation, Dissotiation, Kernreaktionen
è -> fast nur von T abhängig ! ( viel stärker als p, etc...)
è exponenziell von T abhängig aber linear / quadratisch von p ....
d ln ρ = d ln p +
d ln µ
d ln T
d ln T − d ln T
p
Wegen der hohen Schallgeschwindigkeit gilt näherungsweise Druckgleichgewicht, also
d ln p = 0
Somit:
δρ
= d ln ρ
ρ
p
δρ
= d ln ρ
ρ
p
 d ln µ
= − 1 −

d ln T


 d ln T

p
ist eine ungefähr richtige Darstellung ! Mathematisch nicht korrekt , denn:
dρ
= d ln ρ
ρ
p
Hier ersetzen wir das exakte Differenzial durch die Differenzen ( wieder eine Näherung nach der Trapezregel !)
Fehler ist jedoch maximal Faktor 2:
δρ
≈ d ln ρ
ρ
δρ ≈ d ln ρ
 d ln µ
= − 1 −

d ln T

p
p

d ln µ
= −1 −

d ln T

p
p

d ln T



d ln Tρ


Wieder zurück zur Auftriebskraft:
 d ln T
Fkonv. = ρc p v konv.T 
 d ln p


d ln µ  δ T
f a = ρ g 1 −

d ln T p  T


d ln µ  1
f a = − ρg 1 −

d ln T p  T

−
U
d ln T
d ln p
l 1

2 Hp
E

d ln µ
= − ρ g 1 −

d ln T

 dT

 dr

−
U
dT
dr
p
1

T

 dT

 dr

−
U
dT
dr

 ∆r

E

∆ r

E
kommen wir wieder auf unser altes Problem zurück: Die Geschwindigkeit der Konvektion ist eine statistische
Größe, also:
v konv. = 0
v konv.
1
2 2
≠0
Die durch Konvektion transportierte Energie ist damit nicht gleich Null !!, sondern:
E kon =
1
m v konv. 2
2
80
Definition :
Über Arbeit, die an konvektiven Elementen geleistet wird:
A =∫
l/ 2
0
d (∆r ) f a (∆ r )
 
d ln µ
=  ρ g 1 −

d ln T
 
l /2
p


(∇ − ∇ ) 1 1 (∆ r )2 
U
E

Hp 2


0


1
d ln µ
=  ρgH p 1 −

8
d ln T


p


(∇ − ∇ ) l
U
E
 Hp







2



Nach dem Virialsatz wird:
1
A zu Wärme
2
und
1
A zu kinetischer Energie !
2
also:

 d ln µ
1
1
1
2
A = ρ vkon =  ρ gH p 1 −

16
2
2
d ln T


v kon




2



1
1

 A  2 1
 =  gH p 1 − d ln µ
= 


d ln T
8
 ρ 

p


(∇U − ∇ E ) l
 Hp



p
2

(∇ − ∇ )  l
U
E

  H p





Also:
Fkonv = ρc p δT ⋅ vkonv.
1
 d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 32

1
p
 2
3
 ρc T (∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E

Hp






2
Dabei interpretieren wir:
1

d ln µ
 gH p 1 −

d ln T p
 32

ρ c p T als Energiedichte
1
 2
 als Konvektionsgeschindigkeit


3
(∇ U
− ∇ E ) 2 als dimensionslose " antreibende " Kraft
 l

Hp


 als ein Skalenfaktor der Dimension 1:


2
Also: Fkonv. = Geschwindigkeit * Energiedichte * dimensionslose Kraft * Skalenfaktor
gH p = V S die Schallgeschwindigkeit zum Quadrat !
Langer Rede kurzer Sinn
unsere Überlegungen haben uns eingebracht:
è Strahlungsstrom
è Wärmeleitungsformel
è Konvektionsformel
81
Problem:
∇U , ∇ E
sind noch unklar !
Wir kennen nur
∇T
∇S
als die charakteristischen Temperaturgradienten über dem Druck für Isothermen und Adiabaten !
Wir müssen uns irgendwie ∇U , ∇ E noch überlegen.
Es zeigt sich: Die Ergebnisse für
Fkonv = ρc p δ T ⋅ vkonv.
1
 d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 32

1
p
3
 2
 ρ c T ( ∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E

 Hp






2
liefern uns letztendlich Ergebnisse, die bei Turbulenzrechnungen total versagen -> Prozesse, die durch Turbulenz
gemacht werden lassen sich so gar nicht gescheit berechnen !
Aber: Ansonsten O.K. !
Also:
Fkonv = ρc p δ T ⋅ vkonv.
1
 d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 32

1
p
3
 2
 ρ c T ( ∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E
H

 p





2
mit
Fkonv als Energiestromdichte
gH p = V S 2 die Schallgeschwindigkeit mit dem Modifikationsfaktor
1 
d ln µ
1−

32 
d ln T
p

 Modifikationsfaktor


ρ c p T Energiedichte
3
(∇ U
− ∇ E ) 2 dimensionslose Kraft
 l

Hp





2
Skalenfaktor !
Die Gradienten lassen sich über das Maß des Austauschs mit der Umgebung folgendermaßen ordnen:
∇S < ∇ E < ∇U < ∇ rad
dabei sind die Extremfälle
∇S -> adiabatisch, konstante Entropie -> gar kein Austausch
und
∇rad -> maximaler Austausch ( Strahlung)
82
Eine willkürliches Volumenelement, das wir betrachten, wird aufsteigen und sich irgendwann auflösen:
Dabei müssen wir phänomenologisch vorgehen:
Wir führen den Effizienparameter ξ ein !
ξ := Überschussenergie des Elements zum Zeitpunkt der Auflösung / Energieverlust während der Lebensdauer !
Aber:
an jedem Punkt gilt ja: die transportierte Energie ist: ∇U − ∇ E als tatsächlich transportierte Energie, nachdem
der Austausch mit der Umgebung abgezogen wurde !
Ohne Wechselwirkung wäre die transportierte Energie
∇U − ∇ ad = ∇U − ∇ S
∇ S = ∇ ad
Also haben wir als Verlust:
∇U − ∇ ad − (∇ U − ∇ E ) = ∇ E − ∇ ad -> Differenz zwischen transportierter Energie ohne Abstrahlung und
der tatsächlich transportierten Energie !
Also folgt als Effizienzparameter
ξ =
∇U − ∇ E
∇ E − ∇ ad
Aber wir können die Größen auch physikalisch ausdrücken, nämlich:
Überschussenergie:
ρc p δT ⋅ V
wobei δ T die Temperaturdifferenz gegen die Umgebung bei Auflösung repräsentiert !
Und die Verluste:
W& t LV
mit den Energieverlusten pro Zeiteinheit und Volumeneinheit W& , der Lebensdauer des Elements
tL =
l
v konv.
und dem Volumen V, also:
Energieverlust während der Lebensdauer = W& V
l
v konv.
83
Grenzfälle:
Ist das Medium optisch dick, so kann die Wärmeabstrahlung nur durch Diffusion erfolgen:
Bei optischer Dicke τ << 1
folgt:
W& V
l
= 4π κ ∆B
vkonv.
l
vkonv.
⋅V
Dabei haben wir eine Leistungsdifferenz, eine Differenz der Intensität, die sich als Differenz von
Diffusionsabstrahlung ergibt ! Nämlich die Planckfunktion integriert über alle Frequenzen und damit eine
Differenz des Stefan- Boltzmann- Gesetzes:
σT 4
B=
π
l
l
l
W& V
= 4π κ ∆B
⋅ V = 16 κ σT 3 ∆ T
⋅V
vkonv.
vkonv.
vkonv.
Nach Trapezregel:
∆T =
1
δT
2
è der durchschnittliche Temperaturunterschied als Hälfte des gesamten Temperaturunterschiedes !
somit können wir Zähler und Nenner kürzen und erhalten die übersichtliche Formel
ξ τ<<1 =
τ = κl
ρc p
8σT 3 τ
vkonv.
für
τ >> 1
kann das Element dagegen frei abstrahlen !
Das bedeutet:
Im Nenner W& V
l
ist bei Abstrahlung aus dem ganzen Volumen W& genau die Leuchtkraft, also:
v konv.
4a
dT
cT 3
A bei einer Oberfläche A
3κ
dr
dT δ T
≈
dr
l
4 a
δT
⇒ L=−
cT 3
A
3κ
l
4σ
=a
c
16 σ 3
L=−
T δ TA
3 κl
l
W& = L
v konv.
L=−
Somit:
16 σ 3
1
W& = −
T δ TA
3 κ
vkonv.
84
und es folgt die einfache Formel:
ξ τ >>1 =
ρc p
16σ T 3
vkonv. 3κ
V
A
Jetzt müssen wir weitere Annahmen machen !
Z.B, dass die Volumenelemente Kugeln sind:
V=
4 3
r π
3
A = 4r 2π
⇒
V r
= 
A 3
Betrachten wir Makroturbulenz, so muss man versuchen, die Aufstiegslänge und die Größe der
Volumenelemente in Relation zu setzen !
Modelle der Makroturbulenz zeigen, dass man annehmen kann, ein Volumenelement " stülpt sich einmal um ",
wenn es aufsteigt. Derartige Konvektionsströhmungen führen dann später4 zu Erscheinungen wie Bernard´Zellen und ähnliches:
Die Blasen stülpen sich also einmal um, bis sie sich auflösen. Wir setzen deshalb l ~ r
Somit folgt:
ξ τ<<1 =
τ = κl
ξ τ >>1 =
ρc p
8σT 3 τ
ρc p
16σ T 3
vkonv.
vkonv. 3κ
ρc p
ρc p
ρc p
V
r
=
v konv. 3κ ≈
v konv.κ l =
v konv.τ
A 16 σT 3
3 16 σT 3
16 σT 3
Also gewinnen wir eine Interpolationsformel, nämlich
1
1+ τ 2
2
ξ (τ ) =
v
3 konv.
τ
8σ T
ρc p
Dieser Verlauf ist dann für tau ( optische Dicke) der Folgende. Er beschreibt das Maß an Energie, welches durch
Konvektion übertragen werden kann in Abhängigkeit von der optischen Dicke des Materials.
85
Aufgetragen in arbitrary units für 500.000 K und 5 Mio K:
Man kann die Efficienc für 5 Mio K kaum erkennen. Sie geht mir der dritten Potenz der Temperatur in den
Keller !
Zunächst, wie man sieht, fällt die Effizienz hyperbelartig mit der optischen Dicke, also der Undurchsichtigkeit .
Dann aber überwiegt bald der Wärmeleitungseffekt und die Effizienz beginnt ab einer gewissen optischen Dicke
wieder zu steigen:
jedoch werden die Werte bei optisch dünnen Medien erst wieder bei sehr hohen Opazitäten und entsprechend
großen Tau wieder erreicht:
86
Jedenfalls:
1
1+ τ 2
1
∇ −∇E
2
ξ (τ ) =
v konv.
= u
~ (∇ u − ∇ E ) 2
τ
∇ E − ∇ ad
8σ T 3
ρc p
wegen
1
v konv. ~ (∇ u − ∇ E ) 2
1
∇ E − ∇ ad ~ (∇ u − ∇ E ) 2
Setzen wir nun unsere konvektive Geschwindigkeit ein, so folgt mit:
1
 A 2

v kon = 

 ρ 
1

d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 8

1
p
2 

(∇ − ∇ )  l
E
 U
  H p





dass:
ξ (τ ) =
⇒
⇒
ρc p
8σT
v konv.
∇u − ∇ E
∇ E − ∇ ad
=
∇ E − ∇ ad
(∇U
⇒
3
1+
1
(∇U
1
− ∇ E )2
2
τ
ρc p
8σ T 3
τ2
1+
=
∇u − ∇ E
∇ E − ∇ ad
τ2 

d ln µ
1
2
 gH p 1 −

8
τ
d ln T


8σT
1
ρ c p  gH p
8

=
1
1
=
− ∇ E )2
∇ E − ∇ ad
1
τ
3

1 − d ln µ

d ln T

16 2σT
p
2

( ∇ − ∇ )
E
 U



3


d ln µ
ρ c p  gH p 1 −


d ln T


p
H p

 l

1
1 2
 2 1 + 2 τ


p 
Hp
τ

1
1 2  l
 2 1 + τ
2



 l

H
 p












87
Nun gilt:
Fges . = Frad + Fkonv. = σTeff . 4
Konvektion tritt auf, wenn das Schwarzschildkriterium erfüllt ist !
Konvektion geht um so besser, je besser das Schwarzschild Kriterium erfüllt ist, welches wir kurz schreiben
können als:
∇ rad > ∇ U > ∇ ad
Das bedeutet, der Anteil des Strahlungstransports, also
Frad .
ist um so kleiner, je größer ∇ rad bzw. je kleiner ∇U . Natürlich ist ∇U gebunden an die Bedingung
Fges.
∇U > ∇ ad und kann sich nur beliebig nahe an den adiabatischen Temperaturgradienten annähern ( wir reden
hier dauernd von Temperaturgradienten. Es ist natürlich zu beachten, dass es sich bei den definierten ∇ um den
Verlauf der Temperatur über dem Druck handelt !
näherungsweise:
Frad .
∇
~ U
Fges . ∇ rad
Frad . =
∇U
∇
F ges. = σ Teff . 4 U
∇ rad
∇ rad
∇ 
4
Fkonv. = σT eff . 1 − U 
 ∇ rad 
∇ F
⇒ (∇ rad − ∇U ) = rad konv.
σT eff .4
den konvektiven Energiestrom haben wir bereits ausgerechnet:
Fkonv = ρc p δ T ⋅ vkonv.
1
 d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 32

1
p
3
 2
 ρ c T ( ∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E
H

 p





2
Also:
(∇ rad
− ∇U ) =
∇ rad
σT eff .4
Fkonv = ρc p δT ⋅ vkonv.
1

d ln µ
 gH p 1 −

d ln T
 32

1
 d ln µ
=  gH p 1 −

d ln T
 32

3
⇒ ⋅a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 = (∇ rad − ∇U
1
 2
3
  ρ c T (∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E

 Hp
p 


1
p




3
 2
 ρc T ( ∇ − ∇ ) 2  l
p
U
E
Hp



2
2
4
3

σ Teff .
 :=
⋅ a ⋅ (∇ U − ∇ E ) 2

∇ rad

)
3
⇒ a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 + ∇U − ∇ E + ∇E − ∇ ad = (∇ rad − ∇ U ) + ∇U − ∇ E + ∇ E − ∇ ad
3
⇒ a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 + ∇U − ∇ E + ∇E − ∇ ad = ∇ rad − ∇ ad
Wir nehmen die Gleichung
3
a ⋅ (∇U − ∇ E ) 2 + ∇U − ∇ E + ∇E − ∇ad = ∇ rad − ∇ ad
88
mit
1
 d ln µ
∇
a = rad 4  gH p 1 −

d ln T
σTeff .  32

1
p
 2

 ρc T  l
p

Hp






2
Außerdem hatten wir bereits gezeigt:
∇ E − ∇ ad
( ∇U
=
1
− ∇ E )2
16 2σT 3
τ
1
1 2


 2 1 + 2 τ
d
ln
µ

ρ c p  gH p 1 −


d
ln
T

p 


16 2σ T 3
b :=

 d ln µ
ρ c p  gH p 1 −

d ln T


1
p
 2



τ
1
1+ τ 2
2
Hp

 l

Hp

 l









1
⇒ ∇ E − ∇ ad = b ( ∇U − ∇ E ) 2
Somit:
3
a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 + ∇U − ∇ E + ∇E − ∇ad = ∇ rad − ∇ ad
3
1
⇒ a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 + ∇U − ∇ E + b( ∇U − ∇ E ) 2 = ∇ rad − ∇ ad
3
1
a ⋅ ( ∇U − ∇ E ) 2 + (∇U − ∇E ) + b( ∇U − ∇ E ) 2 = ∇ rad − ∇ ad
also haben wir eine kubische Gleichung für
(∇ U
1
− ∇E )2
Falls also
∇ rad − ∇ ad
1
gegeben ist, so können wir unter den genannten Annahmen und Näherungen (∇U − ∇ E ) 2 ausrechnen !
Im Allgemeinen nimmt man an, wie bei Eruptionen und Protuberanzen zu sehen ist, dass solare
Turbulenzelemente etwa so groß sind wie die Atmosphäre der Sonne -> wie groß jedoch sind die Elemente
gegen den Weg, den sie durchlaufen ?
è wie kann man Annahmen hierzu begründen ?
Bei Kochtöpfen beobachtet man: Blasen steigen auf, wenn Wärme von unten nach oben fließt -> die Blasen sind
so groß wie der ganze Pott !
Summary:
Als Schwarzschildkriterium für die Konvektion haben wir:
dT
dr
>
rad
dT
dr
S
∇ ad > ∇ ad
∇ ad = ∇ S = 1 −
1
γ
bei gewisser optischer Dicke gilt:
89
dT
steigt, wenn
dr rad
κ steigt, wenn ξ steigt !
dT
dr
fällt, wenn sich γ − > 1 annähert !
S
beides Effekte, die Konvektion begünstigen !
Die Situation in der äußeren Stern hülle ist vergleichbar :
Wegen
H + + e − → H + 13 ,6 eV
wird Konvektion begünstigt
è denn: die Rekombinationen in den einzelnen aufsteigenden Konvektionswolken heizt diese Wolken und
begünstigt weiteres Aufsteigen !
Ebenso denkbar: Dissoziationswärme:
H2
→
←
H − 4 eV
Verlauf der Ionisation
Wir bezeichnen mit ξ den mittleren Ionisationsgrad der Materie:
ξ =
ne
ng
mit der Atomkerndichte n g und der Dichte der freien Elektronen n e
Die Zustandsgleichung für ein ideales Gas, welches wir bei diesen Temperaturen annehmen können, lautet:
(
)
(
)
p = n g + n e kT = 1 + ξ n g kT
90
Dabei ist ξ =
ne
gegeben durch die Einzelionisationsgrade der einzelnen Elemente
ng
ξ = ∑ xiξ i =
i
Eisen
∑
i =Wasserstof f
Eisen
∑
i =Wasserstof f
xi ξ i
xi = 1
xi
bezeichnet die relative Häufigkeit des Elements i:
nun:
dn g
dp
dξ
dT
=
+
+k
p 1+ξ
ng
T
((
)
⇒ d (ln ( p )) = d ln 1 + ξ n g kT
)
Für die Energiedichte u haben wir die kalorische Zustandsgleichung
u=
(
)
3
kT 1 + ξ n g + ∑ x iξ i χ i n g
2
i
wobei die Summe über alle Ionisationsenergien, nämlich
∑
xi ξ i χ i n g addiert wurde.
i
Es ist χ i die individuelle Ionisationsenergie, die pro Atom zur Ionisation aufgewendet werden muss !
Als der Anteil der Energiedichte
verstehen, während wir in
∑
(
)
3
kT 1 + ξ n g ist die durch den Druck verursachte Translationsenergie zu
2
xi ξ i χ i n g die Ionisationsenergie finden !
i
Langer Rede kurzer Sinn:
(
)
3
3
kT 1 + ξ n g = p
2
2
Somit:
u=
3
p + ∑ xi ξ i χ i n g
2
i
91
Bedingung für Adiabasie
dS=0 Somit folgt nach dem ersten Hauptsatz:
dE + pdV = 0
E = uV
dE = duV + udV
duV + udV + pdV = 0
Vdu + (u + p )dV = 0
ng =
Ng
V
⇒ dn g =
N g dV
1
dN g −
V
V V
1
dN g = 0
V
dn g
dV
⇒
=−
ng
V
Also schreiben wir die Adiabatengleichung:
dp 5 dT
=
+
p
2 T
∑
i
 5 χi 
 +
 xi dξ i
 2 kT 
1 +ξ
Verallgemeinerte Adiabatengleichung im Falle von Ionisationsprozessen !
Annahme: Nur Wasserstoff ionisiert !
Somit:
dξ i = 0
i ≠1
ξ1 =
np
n HI + n p
Beispielsweise liegt Eisen schon ionisiert vor ! - verändert sich jedoch nicht mehr ! Die zweite Ionisation von
Eisen benötigt 30 e V
Wir betrachten also nur Änderungen d ξ der Wasserstoffionisationsrate !
Massenwirkungsgesetz: K (T ) =
ξ1 =
np
n HI + n p
n ( A )n (B )
n ( AB )
K (T )kT =
∏ c(Edukte)
lokales thermodynamisches Gleichgewicht:
Massenwirkungsgesetz:
K (T ) =
∏ c(Pr odukte)
A + B − >< − AB
A + + e − − >< − A
( )( )
n A+ n e −
kT
n ( A)
92
Betrachte: Saha- Gleichung
np
p e :=
np
n HI
n HI
p e := n e kT
n e kT
Saha Gleichung lautet:
np
n HI
χ
− 1
2 e kT
5
p e = constT
mit dem Phasenraumvolumen , de Broglie- Wellenlänge etc.. in der Konstanten und dem Boltzmannfaktor der
−
χ1
Ionisation: e kT !
Saha- Gleichung als Ionisationsgleichgewichtsbeschreibung
betrachten wir ein nichtentartetes Gas in beliebigem Volumen V. Das Wasserstoffgas sei teilweise ionisiert ! ->
gleich viele Elektronen wie Protonen !
Die Entartung jedes Energielevels ε n liegt bei 2n
2
Durch die Spinentartung des Protonenspins
(Hyperfeinstruktur) bekommen wir dann eine Gesamtentartung von (2 I + 1)2 n 2 mit dem Isospin des Kerns von
1
2
I =   also eine Gesamtentartung von 4 n = g n
2
 
Die Zahl der Quantenzustände in einem Volumen V für ein Wasserstoffatom im Impulsintervall
[ p, p + dp]
ergibt sich für das Energielevel ε n zu:
Gn ( p ) dp = g n
4π p 2 dp
h3
V
Wobei die Formel aus der Integration der Fermiverteilung zum Gewinn der elektronischen Gesamtdichte folgt:
ne =
8π
h3
∫
p 2 dp
(ε− µ)
e kT + 1
Betrachten wir die Zahl der möglichen Zustände, in denen Elektronen im Impulsintervall
[
]
[ p1 , p1 + dp1 ] und
Protonen im Impulsintervall p2 , p2 + dp2 vorliegen, so erhalten wir diese Zustandsdichte und damit die
Zahl der möglichen Zustände durch Multiplikation:
Ge ( p1 )dp1 G p ( p 2 )dp 2 =
8πp1 2 dp1 8π p 2 2 dp 2
h
3
h
3
V2
Dabei wird die n² - Entartung aufgehoben ... genauere Details müssten anderweitig nachgeschlagen werden:
Zieht man noch die Boltzmannverteilung für 2 verschiedene Energielevel heran:
n1 g 1 −
=
e
n2 g 2
(ε −ε )
1
2
kT
Diese gilt natürlich nur im Gleichgewicht.
Also erhalten wir unter Voraussetzung des Gleichgewichts:
2
N e ( p1 ) dp1 N p ( p 2 ) dp 2
N n ( p )dp
=
V 8πp1 2 e
−
p1
2 mkT
−
εn
kT
2
dp1 8πp 2 2 e
−
p
−
p2
2 mkT
dp 2
2
4πp e
dp
Dabei entsprechen die auftretenden Terme: N e ( p1 ) dp1 ist die Anzahl der Elektronen im Impulsintervall
3
h g ne
[ p1 , p1 + dp1 ] ,
2
2 m H kT
N p ( p 2 )dp 2 die Anzahl der Protonen im Impulsintervall [ p2 , p2 + dp2 ] . Wir haben
93
N n ( p )dp als Gesamtzahl der Wasserstofatome im Energielevel n und im Impulsintervall [ p, p + dp] .
Um die relative Besetzung der Quantenzustände zu charakterisieren wurde die Boltzmannverteilung eingesetzt !
Diese Gleichung muss nun über die elektronischen und protonischen Impulse integriert werden, dann invertiert
werden und anschließend über die Impulse der Wasserstoffatome integriert werden.
Als Ergebnis erzielen wir:
−
3
εn
kT
3
2
 mH


 mp 


N nV
h gne
=
3
NeN p
4 (2π mkT ) 2
m bezeichnet die Elektronenmasse. Die Masse von Wasserstoffatom und Proton kann näherungsweise
gegeneinander gekürzt werden, wodurch das Ergebnis zusammenschrumpelt zu
−
3
εn
kT
nn
h gne
=
3
ne n p
4(2πmkT ) 2
zu beachten ist noch, dass ε n negativ ist, da alle Energielevel im Wasserstoffatom negative Energie besitzen !
Da nun die folgt:
n H = ∑ n n und die Dichte der Protonen gleich der Elektronendichte sein muss, können wir schreiben.
n
h
nH
=
ne 2
3
∑
gne
−
εn
kT
n
3
4 (2π mkT ) 2
Dies ist die Saha- Gleichung.
Wasserstoff und Helium sind die am stärksten vorhandenen Elemente in Sternen Das thermodynamische
Ionisationsgleichgewicht eines Gemisches aus Wasserstoff und Helium wird dann durch die Gleichungen
h
nH
=
n p ne
3
∑
g ne
−
εn
kT
n
3
4 (2π mkT ) 2
ε  χ

 (1) − kT  kT
3
h ∑ gn e
e


n
n He


=
4ε
n He n e

3
−

2 (2πmkT ) 2 ∑  g n e kT
n 
1
He
n
+
n




und
n He
h
+
n He n e
++
=
3
4 εn
g n − kT
e
2
∑
n
3
2 (2π mkT ) 2
Dabei bezeichnet χ das Ionisationspotenzial von Helium und g n
He
(1)
ist der Entartungsgrad des n.
Energielevels
1
εn von neutralem Helium. Einfach ionisiertes Helium ist ein Wasserstoffatom mit doppelter Kernladung wenn
man so will. Seine Energielevels haben dementsprechend einen Wert von
Z 2ε n = 4ε n , wenn ε n die Energieniveaus eines Wasserstoffatoms kennzeichnet ! Da das Alphateilchen einen
Spin Null hat, geht die Kernspinentartung in den letzten beiden Gleichungen verloren, weshalb nur durch einen
Faktor 2 und nicht wie beim Wasserstoff durch 4 dividiert wird.
94
Intermezzo á la Sedl
interessant ist, dass Weisse Zwerge von Elektronen bestimmt werden, Neutronensterne von Neutronen ! Die DeBroglie- Wellenlänge des Elektrons verhält sich zur De- Broglie- Wellenlänge des Neutrons wie die inverse
Elektronenmasse zur Neutronenmasse. So aber verhalten sich auch die Radien von Weissen Zwergen und
Neutronensternen, also ihre Ausdehnung !
Brisante offene Fragen: Warum hat sich die Materie so und nicht anders entwickelt
warum sind Sterne so groß wie sie sind ?
è man kann zeigen, dass Sterne über 100 Sonnenmassen nicht mehr stabil sind !
Beschreibung des Ionisationsgleichgewichts im Stern
χ
− 1
2 e kT
5
np
n HI
p e = constT
n p = n g ξ1
n HI = n g (1 − ξ 1 )
pe =
ξ
p
1+ ξ
mit dem Gasdruck p
Also:
ng ξ1
5
χ1
5
χ1
−
ξ
p = constT 2 e kT
n g (1 − ξ1 ) 1 + ξ
−
ξ1
ξ
⇒
p = constT 2 e kT
(1 − ξ 1 ) 1 + ξ
Mit der Gasdichte n g , also der Dichte der Atomkerne und der Elektronen zusammen !
Betrachte Vollständige Differenziale:
 ξ1 
 = ln ξ 1 − ln (1 − ξ1 )
ln 
 (1 − ξ 1 ) 
 ξ1 
 = d ln ξ 1 − d ln (1 − ξ 1 )
⇒ d ln 
 (1 − ξ 1 ) 
⇒
 1
dξ 1 d (1 − ξ 1 ) d ξ 1
dξ1
1
−
=
+
= dξ 1  +
ξ1
1 − ξ1
ξ1
1 − ξ1
 ξ1 1 − ξ1


1
 = d ξ 1 

 (1 − ξ 1 )ξ 1



 d ξ 1   dξ  dp 5 dT χ 1 dT
 + 
 +
⇒ 
=
+
(
1
−
ξ
)
ξ
1
+
ξ
ξ
kT T

1 1 
 p 2 T
(
)
Nun können wir verwenden, dass sich lediglich der Ionisationszustand des Wasserstoffs ändert:
d ξ = x1 dξ 1
Also bricht das Ganze zu folgender Form der Saha- Gleichung zusammen:
 dξ 1
⇒ 
 (1 − ξ 1 )ξ1
  dξ 1
 + 
  1+ξ ξ
(
)
 dp 5 dT χ 1 dT
 +
=
+
kT T
 p 2 T

x1 
1
dp dT  5 χ1 
d ξ 1 +
⇒ 
+
=
 +

1+ ξ ξ 
p
T  2 kT 
 (1 − ξ 1 )ξ1
(
)
Diese Gleichung beschreibt das Ionisationsgleichgewicht von Wasserstoff unter Vernachlässigung aller anderen
Elemente
è nun versuchen wir, dξ1 in der Adiabatengleichung zu eliminieren !
95
dp 5 dT
=
+
p
2 T
nur
∑
i
 5 χi 
 +
 xi dξ i
 2 kT 
1 +ξ
dξ1 trägt bei:
 5 χ1 
 +
 x1 dξ 1
dp 5 dT  2 kT 
=
+
p 2 T
1+ ξ
(
5


 d ln p − d ln T  1 + ξ
 dp 5 dT 
1 +ξ
2

⇒ d ξ 1 = 
−
 ⋅
=
p
2
T
5
χ
5
χ






 + 1  x1
 + 1  x1
2
kT


 2 kT 
)
Dies können wir in die Saha- Gleichung einsetzen:

x1
1

+
1+ ξ ξ
 (1 − ξ 1 )ξ 1
(
)

dp dT  5 χ 1 
d ξ 1 +
=
 +

p
T  2 kT 


x1 
1
dp  1
1 dT  5 χ 1 
 dξ 1 +
⇒  
+
=
 +


p  d ln p d ln p T  2 kT 
  (1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ 
d ln T
∇=
d ln p
(
)


x1 
1
1
5 χ 
⇒  
+
 dξ 1
+ 1 = ∇ + 1 
 (1 − ξ )ξ

d ln p
1 +ξ ξ 
 2 kT 
1 1


(
)



5 d ln T 


1 −
 1 + ξ
2 d ln p 

x1  

1
5 χ 
⇒  
+

+ 1  = ∇ + 1 
(1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ   5 + χ 1  x
 2 kT 



 1


 2 kT 


(
(
)


1
x1

⇒  
+
(1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ
 

(
)
)

5 


1 − ∇  1 + ξ

2 
5 χ 


+ 1  = ∇ + 1 
 2 kT 
  5 + χ1  x

1
 2 kT 

(
)
Für den adiabatischen Temperaturgradienten schreiben wir dann einfach


 5



1 − ∇ s  1 + ξ
x1  
1
2
5 χ 
 



⇒ 
+
+ 1 = ∇ s  + 1 
(1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ   5 + χ 1  x
 2 kT 
 


 1
 2 kT 


(
(
)
)
Also:


x1
1

⇒  
+
(1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ
 

(
)

 5


1 − ∇ s  1 + ξ
 2
 5 χ1  


−∇s +
  = −1
 2 kT  
  5 + χ 1  x
1

 2 kT 

(
)
96
Weiter folgt:




x1 

x1 
1
1+ξ
5
1
1 +ξ
 5 χ1  
 


⇒ 
+
− ∇ s 
+
−∇s +
 = −1
(
(
1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ   5 χ 1 
2
1 − ξ 1 )ξ 1
1 + ξ ξ   5 χ 1 
2 kT  





 +
 x1
 +
 x1
 2 kT 
 2 kT 


(
(
)
)
(

x1
5 χ  5
1
⇒ ∇ s  + 1  + ∇ s 
+
 2 kT  2
 (1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ
(

1
x1
1 + 
+
 (1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ
(
⇒ ∇s =
)
)
(
(
)
)
(
)


x1
1+ξ
1

= 1 + 
+
  5 + χ 1  x
 (1 − ξ 1 )ξ 1 1 + ξ ξ
1
 2 kT 
(
)

1+ξ

  5 + χ 1  x
1
 2 kT 
(
)
(
)

1+ξ

  5 + χ 1  x
1
 2 kT 
)
x1 
1+ξ
 5 χ1  5 
1

+
 +
 + 
1 + ξ ξ   5 χ1 
 2 kT  2  (1 − ξ 1 )ξ1
 +
 x1
 2 kT 
(
)
Wir haben also über die Ausbeutung der Sahagleichung verquickt mit der Adiabatengleichung einen Ausdruck
für den adiabatischen Temperaturgradienten gefunden, ergo:
(
)

x1 
1
1+ ξ
1 + 
+

 (1 − ξ 1 )ξ1 1 + ξ ξ   5 + χ 1  x
1
 d ln T 
 2 kT 
∇ s = 
 =
x1 
1
1 +ξ
 d ln p  S  5 + χ 1  + 5 
+




 2 kT  2  (1 − ξ 1 )ξ1 1 + ξ ξ   5 χ 1 
 +
 x1
 2 kT 
(
)
(
)
(
)
1+ ξ
x
5 χ 
+ 1 + x1  + 1 
 d ln T 
(
1 − ξ 1 )ξ 1 ξ
 2 kT 
⇒ ∇ s = 
 =
2
 d ln p  S
x 
5  1 +ξ
5 χ 

+ 1  + x1  + 1 
2  (1 − ξ1 )ξ1 ξ 
 2 kT 
(
)
Annahme: Reiner Wasserstoff
Somit:
x1 = 1
xi = 0, i = 2,3,..
weiter:
ξ = ξ 1 =: ξ
χ = χ1
wodurch sich das Ganze dramatisch vereinfacht zu
 d ln T 
∇ s = 
 =
 d ln p  S
5 χ 
2 + ξ (1 − ξ ) +

 2 kT 
χ 
5
5 + ξ (1 − ξ ) +

 2 kT 
2
97
Nun: Innen: Materie vollständig ionisiert:
 d ln T 
2
ξ = 1 ⇒ ∇ s = 
 = = 0,4
 d ln p  S 5
Nun: Außen: Materie gar nicht ionisiert
 d ln T 
2
 = = 0,4
ξ = 0 ⇒ ∇ s = 
 d ln p  S 5
Was aber passiert dazwischen ?
nehmen wir an, dass ξ von außen nach innen linear fällt ! Was natürlich Blödsinn ist, da die Ionisation bei
100000 K sprunghaft einsetzen dürfte, so ergibt sich folgender verlauf des adiabatischen Temperaturgradienten
zwischen Oberfläche und Zentrum:
Wie man sieht, ist dieser sehr stabil ! Allerdings nur wegen unserem fälschlicherweise stabil angenommenen
Verlauf !! unserem linearen Verlauf des Ionisationsgrades !
98
Nehmen wir an, dass Die Ionisation schon innerhalb der ersten 1 Mio Kelvin auf 1 steigt, so ergibt sich:
sollte die Ionisation während der ersten 500000 K auf 1 steigen, so folgt
also ein massiver Stabilitätsbruch !
Wir haben nämlich im Grunde eine Art chaotischer Gleichung:
dy
= f ( y( y − 1))
dt
wie hier -> Gleichung für explosives Aussterben / Wachstum !
Wir können die Wirkung abschätzen, wenn wir kleine Störungen betrachten:
ξ = ξ 0 ± ∆ξ
nach oben eine kleine Störung zur vollständigen Ionisation
99
 d ln T 
 =
⇒ ∇ s = 
 d ln p  S
5 χ 
2 + ∆ξ  +

 2 kT 
5 χ 
5 + ∆ξ  +

 2 kT 
2
jetzt gehe man etwas nach innen und setze für 10.000 K ∆ξ = 0 ,01 , also auf 1 % Änderung der Ionisationsrate
!
So bricht ∇ s auf 0,26 zusammen.
Wie man auch den obigen Diagrammen entnehmen kann ist Konvektion superempfindlich gegen Ionisation /
Dissoziation von Elementen !
Wir erhalten etwa folgende Situation für den Verlauf des konvektiven Energiestroms:
Fkonv.
F
Die Konvektion setzt also ab einem bestimmten Abstand sehr plötzlich ein und springt auf 1 !
Jedoch haben wir sowohl innen, wie auch außen gar keine Konvektion ( Außen geht die Opazität auf 1, also
Kappa -> 0)
Außenbereich:
è frei fliegende Strahlung
è die treibende Kraft, nämlich die Strahlung haut einfach ab
è es kann keine Konvektion mehr geben !
einzige Möglichkeit: Konvektion im Photonenfeld selbst.
Möglicherweise kann es unter den extremen stellaren Bedingungen Wirbel im photonischen Feld geben, die
dann blasenartige Ausbreitung der Strahlung verursachen.
Das Photonenfeld wird turbulent:
100
Die Situation könnte vergleichbar sein mit beobachteten chaotischen Strukturen ( inkl. Selbstorganisation) in
Sandkästen:
Steigt Wasser auf, so wird es durch den Sand gedrückt und spürt Reibung.
Ab einem gewissen kritischen Druck kommt es jedoch vor, dass ganze Wasserblasen fast reibungslos durch den
Sand gedrückt werden:
möglicherweise existieren derartige Vorgänge auch in Strahlungsfeldern stellarer Atmosphären und verursachen
konvektiven Transport von photonischen Wirbelfeldern !
Dieser Effekt wird von der Erdölindustrie in Cracktürmen genutzt !
è kann das auch für Photonen gelten ?
è man müsste in diesem Fall Dispersionsrelationen ausrechnen !
Dispersionsrelation von Gas/ Wasser, welches durch ein Sandbecken gedrückt wird, ist durch die
Absorptionskoeffizienten bestimmt !
è Dispersionsrelation von Licht in Gas ist die Gleiche wie die von Wasser in Sand !
è eventuell entstehen Lichtblasen, die an der Oberfläche der Sterne zerplatzen
è dies könnte das blitzartige Leuchten der Sterne ( massive Helligkeitsschwankungen) erklären !
Hilfreich für interstellare Photonenantriebe wäre eine Emission der photonischen Antriebsmaterie in Form
derartiger Lichtblasen. Die photonische Energie könnte damit gebündelt werden !
ob sich makroskopische Wellenpakete wie starke Laserfelder derart selbstorganisieren können ist jedoch noch
nicht geklärt !
101
Energieproduktion
dLr
dM r
+
(
d 4πr 2 Fkonv
dM r
y
y&
t char . =
t=
)= ε
E E
=
E& L
Ganz allgemein als charakteristische Zeit eines Systems
Wir gewinnen:
t O ,Kernreak .
M O c 2 10 −210 −1
=
≈ 10 18 s ≈ 10 10 − 10 11 a
L
Dabei sind 0,01 der Massendefekt und 0,1 der Anteil, der überhaupt verbrennt !
Für die Chemie:
t O ,Chemie
M O c 2 10 −210 −3
=
≈ 10 16 s ≈ 10 8 − 10 9 a
L
viel zu wenig wegen des geringen chemischen Massendefekts !
Für die Gravitationsenergie:
t O ,Gravitatio n =
dabei ist α =
α GM O
RO L
2
2
( bei Kugel) ein Geometriefaktor !
5
es folgt:
t O ,Gravitatio n
αGM O 2
=
≈ 10 15 s ~ 3 ⋅ 10 7 a erst recht zu wenig !!
RO L
Fazit: Die Sonne muss Kernfusion betreiben !
5.2 Kernreaktionen
EK = m K c 2
A(Z , N ) = Z + N
die Bindungsenergie eines Kerns äußert sich als Massendefekt !
Somit folgt für die Kernbindungsenergie:
Bindungsenergie = Energie( Teile) - Energie( Kern)
[
]
∆ E K = m p Z + ( A − Z )m n − mk c 2 := B
ist positiv -> beim Zusammenfügen der Teile muss Energie gewonnen werden !!
∆E K
>0
Teilchen
∆E K
B
betrachten wir den Verlauf
=
> 0:
A Teilchen
was auch immer passiert:
102
Bindung ist ein Zustand negativer Energie !, um so stärker die einzelnen teile gebunden sind, um so merh
Energie also beim Zusammenfügen der teile frei wird und dementsprechend leichter das ganze im Vergleich zur
Summe der teile ist, um so NEGATIVER ist die Bindungsenergie !
Kernfusion schafft Bindungsenergie ( negative Energie), also wird bei der Kernfusion positive Energie frei ->
man spricht von einer Wärmetönung
Im unteren Beispiel würde man versuchen, Kerne schwerer als Eisen zu fusionieren. Dabei würde quasi "
negative Energie " frei werden. -> also: Man müsste Energie aufwenden, um Kernfusion zu betreiben !
per Definition ist Bindungsenergie negativ ! ( ansonsten wäre das System gar nicht gebunden !)
103
Stabilitäten:
häufig liegt die Protonenzahl im Bereich der Neutronenzahl -> Stabilität !
magische Zahlen -> stabile Kerne bei günstiger
l − s - Kopplung !
bisher sind die Kerne nicht hundertprozentig verstanden -> besonderes Problem machen die schweren Kerne !
Alternativmodelle
-
Tröpfchenmodell
Schalenmodell
-> für alle Kerne haben die verschiedenen Modelle Vor- und Nachteile !
Für Sterne kommen prinzipiell Kern- Spaltung und Fusion in Frage.
Nötig für Fusion
-
MeV- Energie
kT = 1eV = 10.000 K* k
Also: MeV = 10 Mrd. K !!
Das ist tausendmal heißer als im Sterninneren tatsächlich vorliegt !
Hoffnung: Breite der Maxwellverteilung -> Schwanz von Atomen, die Kenfusion machen können !
Lösung
Tunneleffekt kommt dazu -> Fusion auch bei niedrigeren Temperaturen !
5.3 Bedingungen für Fusionsreaktionen
ρ , T , p der Sonne !
hydrostatische Gleichung
Mr
dp
=G
dM r
4π r 4
−∫
Rand
dp =
Zantrum
MO
∫0
G
Mr
4π r 4
dM r = p zentrum − p rand = p Zentrum
Also:
p Zentrum = ∫
MO
0
p=
1
MO
[M r p] M0
⇒ p=−
⇒p=
MO
∫0
O
G
Mr
4π r 4
dM r ≈ G
MO2
8πr 4
1 
M
p (M r )dM r =
 [M r p ] 0 −
MO 
O
MO
∫0
dM r M r
dp 

dM r 
=0
1
MO
MO
∫0
dM r M r
dp
1
=
dM r M O
MO
∫0
GM r 2
4πr 4
dM r
3
GM O 2 2
1 GM O
=
= p zentrum
M O 12π r 4
3
12 πr 4
104
Hier begegnen uns interessante mathematische Strukturen bei Mittelungsprozessen nach dem Schema:
T =−
1
MO
MO
∫0
dM r T =
µm P M
M O k ∫0
O
dM r
p
ρ
mit
µmP p
kρ
µ = const.
T=
Mitteln einer Größe( in M):
~ M− >
1
2
1
3
1
~ M 3 − > ...
4
~ M 2− >
ist die Größe selbst jedoch schon integriert, so kommt immer noch ein Faktor 2 drauf, also:
2
3
2
~ M 3− >
4
2
~ M 5 − > ....
5
1
~ M n− > 2
⋅ Variable ( Zentrum) = Variable
n +1
~ M 2− >
jedenfalls gewinnen wir als mittlere Temperatur:
T =
µm P
MO
M O k ∫0
dM r
R
p µm P
=
4π ∫ drr 2 p
0
ρ MO k
O
µ = const.
wir sind dabei von den Mr- Koordinaten auf r zurückgewechselt !
T =
 r3
µmP
R
µmP
R
4π ∫ drr 2 p =
4π ∫ dr 
 3
0
0
MOk
MOk

O
 3 
µmP
 r
=
4π   p
M O k  3 

 r3

 3

O
RO
−

p



1 0 3 
r
dp

3 ∫p

c
0
RO

p
=0

 0
⇒T =
p
0
µm P
µ mP
dp
4π ∫ r 3 dp =
4π ∫ r 3
dr
0
R
3M O k
3M O k
dr
C
O
GM r
dp
dp
dr =
dM r = −
dM r
dr
dM r
4π r 4
0
M
µmP
Mr
µmP
⇒T = −
G∫
dM r =
G∫
3M O k M
r
3M O k 0
O
O
Mr
dM r
r
105
dp
dp
GM r
dr =
dM r = −
dM r
dr
dM r
4πr 4
⇒T =−
0
µmP
G∫
3M O k M
O
Mr
G 1
dM r = µ m P
r
3k M O
MO
∫0
Mr
dM r
r
Neue Variablen
~
Mr
M :=
MO
r
~
r :=
RO
Mr Mr2 Mr
,
,
r
r4
r4
treten bei uns
~
dM r
dM r =
MO
auf
Wir haben also
~ −j
M i~
r
führe ein:
1
~ ~ −j
Ai , j = ∫ dM M i ~
r
0
pC =
p=
T =
GM O 2
4π RO 4
GM O 2
A1,4
A2 ,4
4πR O 4
GM O µm P
A1,1
3R O
k
1
∫
~ ~
Jetzt: läuft von 0-1 als dM- Integral ! Ai , j =
dM M i ~
r −j
0
1
~ ~ −j
Ai , j = ∫ dM M i ~
r
0
⇒ A ∈ O (1)
Das Integral ist der Ordnung 1
-> dieses Verfahren ist schön, um zu strange Integralen Zugang zu bekommen, eine schöne Rechnung fürs
Diplom !
Mr
ρ (r ) =
Mr
MO
MO
=
4 3  3 4
3
r
πr
  3 π RO
3
 rO 
Dabei ist
ρ ( RO ) =
MO
4
3
πR O
3
die bis zum Sonnenrand gemittelte Dichte !
106
Also:
~
ρ (r )
M
=
ρ (RO ) ~
r3
j
~
r −j
 ρ (r )  3 ~ − 3
 M
= 
 ρ ( RO ) 
j
j
Ai , j =
1
∫0
~ ~ −j
dM M i ~
r
= Ai , j =
1
∫0
~  ρ (r )  3 ~ i − 3
 M
d M 
 ρ (R O ) 
j
Annahmen
dρ (r )
≤0
dr
 ρ (r )   ρ (0 )  ρ C (0 )
 =

Max
  ρ (R )  = ρ (R )
ρ
(
R
)

O  
O 
O
 ρ (r ) 
 = 1
Min
 ρ (R O ) 
1
∫0
~ ~
dM M
i−
3
j
1
∫0
⇒
j
j
≤ Ai , j
~ ~ i−
dM M 3 =
 ρC 3

≤ 
 ρ ( RO ) 
j
1
∫0
~ ~ i−
dM M 3
3
3(i + 1) − j
j
3

 ρC
3
3

≤ Ai , j ≤ 

3(i + 1) − j
 ρ (R O )  3(i + 1) − j
physikalisch sinnvolle Lösungen ergeben sich nur für
3(i +1) > j
dies ist jedoch für alle drei Fälle erfüllt:
pC =
p=
T =
GM O 2
4π RO 4
GM O 2
4πR O 4
A1,4
A2 ,4
GM O µm P
A1,1
3R O
k
107
Nun:
4
3
3  ρc 3

A1, 4 ≥ , A1, 4 ≤ 
2
2  ρ ( RO ) 
pC =
GM O
2
4πRO
4
A2, 4 ≥
A1, 4 ≥
3GM O
8πR O
2
4
≈ 1,33 ⋅ 10 15
dyn
cm 2
3
5
2
3 GM O
dyn
p≥
≈ 5,4 ⋅ 10 14
4
5 4πRO
cm 2
3
5
3GM O µm P
T ≥
≈ 4 ,58 ⋅ 10 6 µ [K ]
15 RO
k
A1,1 ≥
µ ≈ 1,5
⇒ T ≥ 7 ⋅ 10 6 K
Also
pC =
GM O 2
4πRO
4
A1, 4 ≥
3GM O 2
8πR O
4
≈ 1,33 ⋅ 10 15
p≥
3 GM O 2
dyn
≈ 5,4 ⋅ 10 14
4
5 4πRO
cm 2
T ≥
3GM O µm P
≈ 4 ,58 ⋅ 10 6 µ [K ]
15 RO
k
dyn
cm 2
Gleichheit gilt genau bei homogenen Systemen.
Aber:
ρ (r ) = ρ (RO ) = 1,41
E = kT ≥
g
cm3
3GM O µ m P
≈ 4,58 ⋅ 10 6 µ [K ] = 400 eV
15 R O
k
bestenfalls zu erwarten sind Ruheenergien der Teilchen im Bereich E ≈ 1keV
è Fusion nur als statistisches Ereignis.
è Aber: Schlecht zu messen -> deutlicher Niederenergiebereich der Kernphysik -> wenige, vielleicht 3-4
Ereignisse pro Monat !
è -> heute noch Forschungsgebiet !
Mechanismus der Fusionsreaktionen !
a + x → y +b
dabei sind a und b die Austauschteilchen
!
x(a, b )y
108
Beispiel
x =2 H
a=p
y = 3 He
b=γ
als eine Teilreaktion des CNO- Zyklus !
2
H ( p , γ ) He
3
15
N ( p , α )12 C
13
C (α , n )16 O
Genauer ( Tröpfchenmodell) ist die Bildung sogenannter Compound- Kerne:
a + x → (ax)* → y + b
Bildung des Compoundkerns mit anschließendem Zerfall
a + x → C* → x + a elastische Streuung
a + x → C * → x * + a inelastaische Streuung
a + x → C* → y + b Teilchenemission ( Alph., Beta, Neutron)
a + x → C* → c + γ Teilcheneinfang mit Gammaemission !
Allgemein: Hohe Anregungsenergien von C *
è eher Emission von Teilchen
+
−
è niedrige Anregungsenergien -> meist Abreaktion über Gamma oder evtl. über e / e - Emission
Das Kernpotenzial
Kann im Innenbereich durch den steilen Anstieg zum Hard- Core- Pot als sehr, sehr tiefer Potenzialtopf genähert
werden:
Das Coulombpotenzial bildet den wesentlichen abstoßenden teil, die starke Kernkraft überwindet im
Innenbereich diesen Positiven teil jedoch und verhält sich wie ein sehr, sehr tiefer Potenzialtopf !
109
Näherung: / Basis unserer Diskussion:
näherungsweise Bestimmung des Kernradius:
Rker n = R a + R x
1
 1
Rker n ≈ 1,44 ⋅ 10 −13  Aa 3 + A x 3


cm

mit dem Atomgewicht A, proportional zum Volumen, deshalb: dritte Wurzel !
Teilchen könnten nun von außen die Barriere überwinden. Man könnte sich vorstellen, wie diese Teilchen dann
ins Kernpotenzial eindringen könnten:
ein Teilchen, das durch die äußere Barriere aufgrund seiner positiven kinetischen Energie dringt "rast" dann im
Inneren den fast senkrechten Potenzialberg herunter. Damit ist Ekin ´ im Inneren sehr groß.
Die Wellenlänge im Inneren ist sehr, sehr kurz
E kin =
k 2h2
2m
110
Also: An dem Modell ist sofort ersichtlich: eingefangene Teilchen sind dann im Kern sehr, sehr schnell !
Die Wellenlänge verkürzt sich nach Innen und die Amplitude dürfte sich im Allgemeinen wohl verringern wegen
der im Vergleich zur Reflexion geringeren Tunnelwahrscheinlichkeit und damit geringeren
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Inneren:
Um das Problem mathematisch zu beschreiben machen wir , wie oben für den Kern skizziert die Näherung einer
Potenzialstufe für den 1/r Abfall außerhalb des Kernabstands ! Die Hauptnäherung dabei ist die
Vernachlässigung der sukzessiven Verringerung der kinetischen Energie an den Potenzialwall:
Nun wollen wir das Problem berechnen.
Dazu fordern wir:
Stetigkeit der Wellenfunktion und der ersten Ableitung
Gültigkeit der Dispersionsrelation:
k 2h 2
2m
1
⇒k=
2 m( E − V )
h
E kin =
Nähern wir das Problem nun durch eine Potenzialstufe, wie angekündigt, so gilt für den Wellenvektor:
111
Außen:
(
1
2 mr E a ≈ 2 ,18 ⋅ 10 12 Ar E [MeV ]
h
Aa Ax
Ar :=
~ O (1)
Aa + Ax
k ´=
)2 cm −1
1
Ar ein Skalenfaktor für verschiedene Elemente, eine relative Atommasse sozusagen, ist der Größenordnung 1
Innen:
k =
2π
≈ 10 13 cm −1
λ Kern
In unserem Fall gilt: E ≈ 1 ..10 keV
Näherung: k´=
(
1
2 mr E a ≈ 2 ,18 ⋅ 10 12 Ar E [MeV ]
h
)2 cm −1 als Wellenvektor im Unendlichen,
1
kein Übergangsbereich -> Potenzialstufennäherung !
Wir führen den aus der Quantenmechanik bekannten Durchlässigkeitsfaktor des Potenzials ein (
Transmissionsfaktor):
D l (a ) = 1 −
Ψ→
2
Ψ←
2
der Bruchteil der durchgelassenen Welle ( Differenz zwischen eins und dem Bruchteil der reflektierten Welle)
Dieser Durchlässigkeitsfaktor ist abhängig von der Drehimpulsquantenzahl !
Stetigkeitsbedingungen
ΨI
r= R
dΨ
dr I
= Ψ II
=
r =R
r =R
dΨ
dr II
r= R
Die Stetigkeit der Ableitung ist einsichtig: Die Wellenfunktion Ψ entspricht einem Fluss ! ! Damit kein Impuls
übertragen wird, muss ∇ ⋅ j , also bei uns ∇ ⋅ Ψ stetig sein !
Für die Wellenfunktion selbst gilt:
ΨI
r=R
= Ψ II
r =R
≠0
es gilt:
k´<< k
Die Wellenlänge ist außen etwa zehnmal so groß wie innen !
Das Problem ist schwer aneinanderzuflicken ! Dies geht " besonders einfach", wenn die Phase konstant ist, also
dΨ
dr I
=
r =R
dΨ
dr II
=0
r =R
In diesem Fall ändert sich die Amplitude innen und außen NICHT !
Das bedeutet, die Tunnelwahrscheinlichkeit ist so groß wie die Reflexionswahrscheinlichkeit, jedoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
dΨ
dr I
=
r =R
dΨ
dr II
= 0 erreicht wird entsprechend klein!
r =R
Es ist der sogenannte Resonanzfall:
112
Wir haben für das Tunneln die Bedingung, dass die Wellenfunktion des Produktzustandes Ψ K Ψ0 (r ) zwischen
Target- Kern und dem anfliegenden Teilchen bei
r = RK glatt an die Wellenfunktion des Compoundkerns , der sei ΨK ´ anschließt !
Das Verständnis der folgenden Behauptungen setzt tiefere Kenntnis der Streutheorie voraus. Jedoch wird der
maximale Streuquerschnitt, also der Resonanzfall genau dann erreicht, wenn die Energie des anfliegenden
Teilchens einem Resonanzzustand des zu entstehenden Compoundkerns entspricht:
E = E res
In unserem obigen Potenzialtopf gibt es nicht nur stabile Zustände ( gebundene Zustände) mit
E res < 0 sondern auch mit
0 < E res < E b . Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Tunnelns nicht mehr Null, aber die Zustände können
dennoch sehr langlebig sein !
Der Resonanzzustand ist nun damit vergleichbar, dass gar kein Potenzialwall die Teilchen am Verlassen des
Potenzialtopfs hindert ! Dass allerdings die gesamte Anregungsenergie des Compoundkerns sich auf ein
Teilchen im Inneren konzentriert ist sehr unwahrscheinlich !
Für
d (Ψ K Ψ 0 (r ) )
= 0 wird die Wellenlänge des tunnelnden Teilchens praktisch unendlich ! Die Energie des
dr
einlaufenden Teilchens entspricht gerade dem Compoundkern ! Die Amplitude ist innen genauso groß wie
außen. Die Wahrscheinlichkeit des Tunnelns wird maßgeblich durch die geringe Wahrscheinlichkeit bestimmt,
dass die Energien so genau übereinstimmen !
nichtresonantes Tunneln
der allgemeine Fall mit höherer Wahrscheinlichkeit ist das nichtresonante Tunneln
dΨ
dr I
=
r =R
dΨ
dr II
≠0
r =R
Dabei wird die Welle beim Tunneln durch die Barriere gedämpft gemäß
e
−
E
x
h
k ´x
− k ´x
also e
bzw. von außen nach Innen e
:
Die Amplitude ist dann im Kerninneren deutlich geringer als außen !
113
Durchlässigkeit im Nichtesonanzfall
Im Nichtresonanzfall kann man sich den Durchlässigkeitsfaktor anhand einer Partialwellenzerlegung berechnen !
Dabei gilt für den Nichtresonanzfall:
Dl (a ) = Tl (a ) ≈
4 k´
Pl (a )
k
Dabei tauchen die Streuamplituden aus der Partialwellenzerlegung auf !
Resonanzfall
Hier wird der Durchlässigkeitsfaktor um die Breit- Wiegner Formel, eine Profilfunktion verstimmt:
Dl (a ) = Tl (a )w (a )
Die Funktion
w(a ) beschreibt das Profil des Energieniveaus des Compoundkerns, welches von dem zu
tunnelnden Teilchen im Fall resonanten Tunnelns zu treffen ist !
Die Profifunktion kommt zu Stande, da durch vorbeifliegende Teilchen im Außenraum Einfluss auf das Atom
ausgeübt wird , wodurch Starkeffekt und Zeemanneffekt in Aktion treten. Die Niveaus verschieben sich leicht
und sind im zeitlichen Mittel gemäß einer gewissen " Breite" angelegt !
Schematisch:
114
Bestimmung der Verstimmung:
Die energetischen Niveaus werden durch Lösen der Schrödingergleichung gewonnen:
ih
∂Ψ
= HΨ
∂t
⇒ En = Ry
1
n2
Das Wasserstoffatom ist jedoch nicht alleine:
Statt dessen fliegen andere Wasserstoffatome vorbei:
ih
∂Ψ
= (H 0 + H St )Ψ
∂t
im zeitlichen Augenblick hat jedes Atom etwas andere Zustände
es folgt für die Energie der Niveaus:
∂Ψ
= ( H 0 + H St )Ψ
∂t
1
E n = R y 2 + ∆E
n
ih
Damit ist die WSK, das Niveau zu treffen, entsprechend verbreitert !
Philosophische Konsequenzen
Im momentanen Zustand der Energieniveaus ist innerhalb eines Atoms quasi das gesamte Umfeld abgebildet !
Also: Das Umfeld eines Atoms bildet sich im momentanen Energieniveauzustand dieses Atoms ab !
Das momentan von einem Atom hinterlassene Absorptions- / Emissionsspektrum bildet dann die Situation der
umgebenden Welt, zu mindest im Rahmen der Unschärfe ( wodurch Information gelöscht wird) ab:
Also: Linienspektrum entspricht augenblicklichem Weltzustand zum Zeitpunkt der Wechselwirkung zwischen
Licht und Materie. Dieses Spektrum breitet sich jedoch als Minkowski- Kegel aus und ist demnach gespeichert > er geht uns nur in der zeit verloren.
Das Objekt selbst ist jedoch von seinem Spektrum nicht mehr zu unterscheiden. Also haben wir die
Verflüchtigung des ursprünglichen Objektzustands in der Zeit in Form eines Minkowski- Raumzeitkegels
vorliegen.
Ein Beobachter, der das Spektrum erreicht könnte einen Weltzustand gemäß dem ehemaligen rekonstruieren !
Das momentane Umfeld eines Atoms wird überallhin durch die Raumzeit expandiert.
Überall im Universum wird dieser Zustand des momentanen Atoms hier und jetzt hintransportiert ! Wichtig: Der
Zustand muss nur " ausgelesen " werden -> Licht mit hinreichend breitem Spektrum muss auf dieses Atom
einfallen
è Gott ist das Licht !
115
Frage: Wie genau wird das Linienspektrum verbreitert ?
Das Profil, welches hieraus im zeitlichen Mittel entsteht ist das Lorentzprofil !
Also:
! Dabei gilt für den Nichtresonanzfall:
Dl (a ) = Tl (a ) ≈
4 k´
Pl (a )
k
Dabei tauchen die Streuamplituden aus der Partialwellenzerlegung auf !
Resonanzfall
Hier wird der Durchlässigkeitsfaktor um die Breit- Wiegner Formel, eine Profilfunktion verstimmt:
Dl (a ) = Tl (a )w (a )
w(a ) ist die gleiche Verbreiterungsformel wie die bei Druckverbreiterung auftauchende !
w(E ) =
δ
2π
Γ2
( E − E r )2 +  Γ 
2
 2
wobei Γ die mittlere Lebensdauer der Zustände charakterisiert !
116
Interferenz und Mehrfachstreuung
natürlich wird jedes Linienspektrum wieder an jedem anderen Atom "unterwegs" gestreut und mit dessen
Linienspektrum überlagert ! Dies könnte zu fraktalen Abbildungen der Weltzustände aus verschiedenen
Zeitaltern innerhalb jeder Kugelwelle führen Das Problem ist fraktal und hochdimensional ! in jedem Fall müsste
es selbstkonsistent gelöst werden. Denn: Jeder abgebildete Weltzustand ist sozusagen als Bild ein Repräsentant
des Weltzustands , bildet aber selbst ab. Das heißt : Quelle des Speichers ist der Speicher selbst. Eine
konsistente Lösung, die das Fraktale Wieder- und Wieder- Spiegelns an jedem Atom berücksichtigt müsste erst
noch entdeckt werden.
Folge: Im Weltall sind nicht nur alle Zeiten zur gleichen "Zeit" vorhanden, sondern auch die Abbilder aller
Zustände, die je gewesen und sein werden zur gleichen Zeit !
Diese Parallele Koexistenz aller zustände an jedem Raumzeitpunkt des Universums sollte als " Einheit" des
Universums verstanden werden !
In wieweit der Pompon Bonghirn dann beim versuch der Rekonstruktion von Rabbit Rastlos , Knut Knallkopf
und Bird Blöd mit Informationsmischung -> Verlust ( Anstieg der Entropie) konfrontiert ist, ist fraglich und
müsste näher diskutiert werden:
117
118
Explizite Angabe des Durchlässigkeitsfaktors
Frage: Wie genau wird das Linienspektrum verbreitert ?
Das Profil, welches hieraus im zeitlichen Mittel entsteht ist das Lorentzprofil !
Also:
D l (a ) = 1 −
Ψ→
2
Ψ⇐
2
! Dabei gilt für den Nichtresonanzfall:
Dl (a ) = Tl (a ) ≈
4 k´
Pl (a )
k
Dabei tauchen die Streuamplituden aus der Partialwellenzerlegung auf !
Resonanzfall
Hier wird der Durchlässigkeitsfaktor um die Breit- Wiegner Formel, eine Profilfunktion verstimmt:
Dl (a ) = Tl (a )w (a )
w(a ) ist die gleiche Verbreiterungsformel wie die bei Druckverbreiterung auftauchende !
w(E ) =
δ
2π
Γ2
( E − E r )2 +  Γ 
2
 2
wobei Γ die mittlere Lebensdauer der Zustände charakterisiert ! Nämlich der Breite des Übergangs entspricht !
Γ ist die natürliche Linienbreite des Resonanzzustandes, also Γ =
h
τ
Das bedeutet -> beim möglichst genauen Treffen der Resonanz:
w(a )− > 1
dies wird gewährleistet durch den Normierungsfaktor
δ
!
2π
Wir erhalten dabei als Wahrscheinlichkeit Pl (a ) für das Tunneln:
Pl (a ) = 1 für Neutronen
Ansonsten für geladene Teilchen:
Pl (a ) =
k l (R ) − 2 ∫
e
k (∞ )
r0
R
k l (r )dr
1
 2 m U (r )
2
k l (r ) =  r 2 l
− k 2 (∞ )

h

1
 2m E  2
k (∞ ) =  2r 
 h 
ma mx
mr =
ma + mx
U l (r0 ) = E
U l (r ) =
Z a Z x e2 l (l + 1)h 2
+
r
2 mr r 2
119
Mit
Za Zx e2
l (l + 1)h 2
= V ( r ) und dem Zentrifugalpotenzial
r
2 mr r 2
l charakterisiert die Abhängigkeit vom Drehimpuls !
Wir betrachten lediglich s- Wellen, also zentrale Stöße ohne Drehimpuls -> l=0
Dann ist die WSK noch maximal !!
Za Zx e2
ZaZ x e2
= V (r ) = U 0 ⇒ r0 =
r0
E
Also folgt:
⇒
r0 V (R ) MeV
=
=
≈ 1000
R
E
keV
dabei haben wir den sehr tiefen Potenzialtopf gegen die Energie im keV- Bereich ! ( einfallende Energie)
r0 ≈ 1000 R im Vergleich zum Kernradius R !
Das heißt: Klassisch nähert sich das Teilchen bis r0 ≈ 1000 R , also tausendmal weiter als der Eigenradius des
Kerns !
Das klingt sehr entmutigend !
Die Mittlere freie ist:
l≈
1
σN
mit
N ≈ 10 26 cm −3
σ ≈ 10 −26 cm 2 ⇒ l ≈ 1cm
die höchste Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich zu P0 ≈ 10
Also: Von 10
21
−21
.
Stößen funktioniert EINER !!
Typische Probleme in diesem Zusammenhang:
Streuung von Teilchen an einem Zylinder !
Viel komplizierter: Was macht das Teilchen, wenn es erst mal IM Kern ist ?? Wie relaxiert es ?
120
Richtig verstanden ist der Atomkern bis heute nicht ! Man muss den Kern als Einheit verstehen !
Festkörperphysik:
-
kritische Cluster ( kleinste Cluster, die nicht mehr verdampfen !)
-> Minimum der Gibbschen Energie ->physikalisches Gleichgewicht mehrerer Phasen !
-> klassische Rechnungen liefern dabei eindeutig falsche Ergebnisse !
Quantenmechanik mit den BESTEN Methoden liefert dann Ergebnisse für den kritischen Cluster !
Vergleich mit Experimenten liefert Erstaunliches: Die klassische Rechnung war eigentlich ganz gut ! Das
Quantenmechanische mit den BESTEN METHODEN weicht bis zu 10
10
ab !
Man kann die Cluster einfach nicht aus ihren Teilen zusammensetzen ! Wenn ich die Ziegelsteine verstehe, so
verstehe ich das Haus noch nicht ! Neue Eigenschaften emergieren.
Das ist das generelle Problem der Physik, dass es ihr so schwer fällt, zusammenzusetzen !
So lange man nicht zu genau hinschaut, passen manche Dinge sehr sehr gut ! Unter Umständen aber passen sie
gar nicht !
Tunnelwahrscheinlichkeiten
für geladene Teilchen gilt:
Pl (a ) =
k l (R )
k (∞ )
−2
e ∫
r0
R
kl (r )dr
1
 2 m r U l (r )
2
k l (r ) = 
− k 2 (∞ )

h2

1
 2m r E  2
k (∞ ) = 

 h2 
mamx
mr =
ma + m x
U l (r0 ) = E
U l (r ) =
Z a Z x e 2 l (l + 1)h 2
+
r
2 mr r 2
121
Also ergibt sich als maximale WSK im Falle zentraler Stöße:
1
 2 m r U 0 (r )
2
− k 2 (∞ )

h2
 e − 2∫
P0 (a ) = 
k (∞ )
r0
R
1
2
 2 mr Z a Z x e

− k 2 (∞ )
2


h R


P0 (a ) =
k (∞ )
2
kl (r )dr
− 2 ∫R kl (r )dr
r0
e
1
J := 2 ∫
r0
R
 2 mr Z a Z x e 2
2
2

 dr
−
k
(
∞
)
2


h
r


1
 2 mr Z a Z x e 2
2
2


−
k
(
∞
)
2


h
R

 −J
⇒ P0 (a ) =
e
k (∞ )
Klassische Annäherung:
E = U l (r )
− > E =U0
U0 = E =
⇒ r0 =
Z a Z xe2
r0
Z a Z xe2
E
1
1
 2m Z Z e 2
2
r r r
 2 dr
J := 2 ∫  r a2 x − k 2 (∞ ) dr = 2 0 ∫  0 − 1 

R 
λ R  r
h r
 r0


λ
h
h
λ=
= k −1 (∞ ) = =
≈ 4,6 ⋅ 10 −13 ⋅ [ Ar E MeV ]cm
2π
p
2m r E
r0
0
Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist also bestimmt bis auf den Ausdruck
[Ar E MeV ]
m r = Ar ⋅ m p
mit der reduzierten Kernladungszahl
Für Kohlenstoff:
Ar =
Ar !
6 ⋅1
6 +1
122
Also:
r0 =
Z a Z xe2
E
R
E
=
<< 1
r0 V (R )
1
r
J =2 0
λ
r0
∫R
 r0
 2 dr
 − 1
 r
 r0
 r 
dr
= d  
r0
 r0 
Somit kann der Exponent J für
1
r
J =2 0
λ
r0
∫R
R
E
R
entwickelt werden !
=
<< 1 um
r0 V (R )
r0
r
 r0
 2 dr
≈4 0
 − 1
λ
 r
 r0
1
3


π  E  2 1  E  2

 4 −  V (r )  + 6  V (r )  + ...






wir können
h
2 mr E
≈ 4 ,6 ⋅10 −13 ⋅ [Ar E MeV ]cm angeben bis auf den Klammerausdruck !
Somit erhalten wir in erster nichtverschwindender Ordnung:
1
 2m r Z a Z x e 2
2

− k 2 (∞ )


h2 R
 e− J
P0 (a ) = 
k (∞ )
1 


1
1
 e 1
 2   − 2 − 2πη

P0 ≈ V (R ) 2 exp 8  m r Z a Z x R    E e
 
 h2



1
2
 m  2 Za Zxe
η :=  r 
h E
 2 
Dabei sollte die Näherung in erster Ordnung gut sein, da ja
E
keV
1
≈
≈
V MeV 1000
Einsetzen:
1
2
 mr  2 Z a Z x e
η := 

 2 
h E
1
E = mr v 2
2
⇒ η :=
ZaZ x e2
hv
Dies wurde alles von Gamov bereits gerechnet.
123
è
è
è
è
Gamov hatte den Urknall vorausgesagt,
Gamov hatte auch die 3K- Strahlung vorausgesagt...
aber: er war Whiskeytrinker und Playboy und das hat dem Nobel- Komitee nicht gefallen !
kein Nobelpreis an Gamov !
Beispiel
1
H + 12 C
Aa = 1, Z a = 1
Ax = 12 , Z x = 6
Annahme: 10 keV , entsprechend 10 Mio. °K
⇒ P0 = 10 −21 als Eindringwahrscheinlichkeit !
Aber: Wir brauchen die Fusionsrate !
Also brauchen wir auch den Wirkungsquerschnitt !
Denn:
Die Kernfusion besteht ja einmal aus einer Trefferwahrscheinlichkeit und andererseits auch aus der berechneten
Eindringwahrscheinlichkeit !
Reaktionswahrscheinlichkeit = Treffer der Fläche * Eindringwahrscheinlichkeit
Also: σ ausrechnen !
Heuristisch:
a( x, y )b
Somit:
σ l (a , b ) = π λ 2 (2 l + 1)ωTl (a )
mit der Entartung des Spins: ω und der Transmissionswahrscheinlichkeit T l (a ) !
es ergibt sich:
σ 0 (a , b ) = π λ 2
Aus der Partialwellenzerlegung gewinnen wir mit σ l (a , b ) = π λ (2 l + 1)ωTl (a ) den l. Beitrag zum
Wirkungsquerschnitt !
2
σ 0 (a , b ) = π λ 2 entspricht der Querschnittfläche: Pi * De- Broglie- Wellenlänge !
Bestimmung von ω und Tl (a ) unter Berücksichtigung Spin- Bahn- Kopplung !
ω als Vielfachheit der Niveauentartung
Weitere Faktoren
Evtl.: resonantes Ankoppeln:
ω(E ) -> Profilfunktion !
Evtl.: Symmetriefaktor: x = a ⇒ a − a - Reaktionen ⇒ ξ := Faktor , hier : 2 wegen Symmetrie !!
⇒ ξ = 1 für a ≠ x ( nur ein Teilchen von a verschwindet pro Stoß)
⇒ ξ = 2 für a = x -> zwei Teilchen a verschwinden pro Stoß !
Evtl. Berücksichtigung von mehreren Zerfallskanälen: G- Faktor -> Compoundkern kann über verschiedene
Zerfallkanäle verschiedener Lebensdauern zerfallen, die sich dann reziprok addieren !
Endergebnis:
σ l (a , b ) = π ⋅ λ 2 ⋅ (2l + 1) ⋅ ω ⋅ Tl (a ) ⋅ ω ( E ) ⋅ ξ ⋅ G
Bedeutung mehrerer Zerfallskanäle:
Angenommen es entsteht ein Compoundkern:
(C )* Dieser könnte nun entlang verschiedener Zerfallskanäle zerfallen ! möglicherweise entsteht das
gewünschte Produkt b jedoch nur bei einem Kanal !
124
→b
a + x → (C ) → x *
*
→x
Dann gilt:
G=
Γb
Γ
mit der Summe aller Resonanzbreiten: Γ !!
1
τb
G=
1
1
1
+
+
τ b τ x* τ x
Niveauentartung
ω als Vielfachheit der Niveauentartung
H +C→N
σ (E ) = σ 0 (a , b ) = S
e − 2πη
E
für:
l=0
E << V (r )
ω (E ) = 1
mit dem sogenannten S- Faktor S !
σ (E ) = σ 0 (a , b ) = S
e −2 πη
E
Reaktionsrate und damit: Energieproduktionsrate
2 Teilchensorten: 1 und 2 reagieren miteinander !
Stöße -> Schnelle Einstellung eines Geschwindigkeit- Gleichgewichts ( Maxwell- Verteilung)
n1 / 2 (x ) = ∫ d 3 v1 / 2 f1 / 2 (x , v1 / 2 )
3
1 mi v i
 m 2 −
f i ( x , vi )d vi = n i (x ) i  e 2
 2πkT 
3
kT
2
d 3 vi
ist die Maxwell- Verteilung i= 1/2
mit der Teilchendichte n i ( x )
Maxwell- Verteilung für die beiden Stoßpartner i= 1/2
Reaktionsrate ( lokale): lokale Reaktionsrate
α ( x ) := ∫ d 3 v1 ∫ d 3 v 2 f1 ( x, v1 ) f 2 ( x, v 2 ) v 2 − v1 σ ( v 2 − v1
)
Beim Streuquerschnitt
σ v 2 − v1 ist die Richtung egal !! Nur der entsprechende Beitrag der Relativgeschwindigkeit ist interessant !!
(
)
è relative Geschwindigkeiten !!
Führe ein: Relativgeschwindigkeit:
v = v 2 − v1
125
Schwerpunktgeschwindigkeit:
V =
v 2 m2 − v1 m1
m1 + m 2
⇒ d 3 v1 d 3 v 2 = d 3 vd 3V = 4πv 2 dv4πV 2 dV
Kugelkoordinaten im Geschwindigkeitsraum einführen !
Der Energiesatz schreibt sich dann gemäß
1
1
1
1 m1 m 2 2
m1 v1 2 + m 2 v 2 2 = (m1 + m2 )V 2 +
v
2
2
2
2 m1 + m 2
V =
v 2 m2 − v1 m1
m1 + m 2
3
1 mi v i
 m 2 −
f i ( x , vi )d vi = n i (x ) i  e 2
 2πkT 
3
kT
2
d 3 vi
d 3 vd 3V = 4π v 2 dv4π V 2 dV
Dies wird eingesetzt in
α ( x ) := ∫ d 3 v1 ∫ d 3 v 2 f1 ( x, v1 ) f 2 ( x, v 2 ) v 2 − v1 σ ( v 2 − v1
3
 m 2
α ( x ) = 4πn1 n 2  r 
 2π kT 
∞
∫0
dve
−
1 mr v
2 kT
)
2
v 3σ ( v )
Kugelkoordinaten machen hier besonders wegen der Rotationssymmetrie Sinn !
sie wären schlecht, wenn die Reaktionsrate richtungsabhängig wäre !
è Reaktionsrate an jedem Ort ausrechnen.. wäre eh ein Fass ohne Boden !
è Die Schwerpunktsintegration ist leicht auszuführen
Für uns:
1
 2E  2
1
 ⇒ dE = mr vdv
E = mr v 2 ⇒ v = 
2
 mr 
3
 m 2
α ( x ) = 4πn1 n 2  r 
 2πkT 
⇒ α (x ) =
3
22
∫0
∞
n1 n 2
πm r (kT )
∞
3
∫0
E
dE − kT 2 E
e
σ (E )
mr
mr
−
dEe
E
kT
E σ (E )
Eσ (E ) := Se −2 πη
⇒ α (x ) =
3
22
∞
n1 n 2
πm r (kT )
∞
3
S ∫ dEe
α ( x ) = Const (T )S ∫ dEe
0
−
E
kT
0
−
E
kT
e − 2 πη
e − 2πη
126
Schwerpunktsgeschwindigkeit
1
1
1
1 m1 m 2 2
m1 v1 2 + m 2 v 2 2 = (m1 + m2 )V 2 +
v
2
2
2
2 m1 + m 2
v 2 m2 − v1 m1
m1 + m 2
V =
3
2
 m
f i ( x , vi )d 3 vi = n i (x ) i  e
 2πkT 
−
2
1 mi v i
2 kT
d 3 vi
d 3 vd 3V = 4π v 2 dv4π V 2 dV
Dies wird eingesetzt in
2
3
3
d v1 d v 2 e
−
1 m1v1 1 m2 v2
−
2 kT 2 kT
⇒ 4π v 2 dv4πV 2 dVe
−
2
v2 − v1 σ ( v 2 − v1 )
1 (m1 + m2 )V 2 1 m r v 2
−
2
kT
2 kT
mit der reduzierten Masse
v σ (v
)
mr in Schwerpunkts- und Relativkoordinaten.
Also folgt für unser Integral:
−
4πv dv4πV dVe
2
2
1 (m1 + m 2 )V 2 1 mr v 2
−
2
kT
2 kT
α ( x ) := ∫ dv∫ dV 4πv 4π V e
2
2
−
v σ (v )
1 (m1 + m2 )V 2 1 m r v 2
−
2
kT
2 kT
v σ (v )
hier kann die Schwerpunktsintegration leicht ausgeführt werden !
∫
Wir erhalten als Integral der Form
α ( x ) = (4π ) Γ ∫ dvv e
2
2
−
1 mr v 2
dV 4πV 2 e −V die Γ - Funktion also kurz geschrieben:
2
v σ (v )
2 kT
è man kann hier weiterrechnen und komplizierte Ersetzungen vornehmen nach dem obigen Schema.
Jedenfalls folgt:
α=
n1 n 2
3
22
π mr kT
S∫
∞
0
ˆ
ˆ
d Eˆ e − E − AE
−
1
2
e
Eˆ =
kT
1
A = π (2 mr ) 2
Z a Z xe2
h kT
1
∞
ˆ −2
S ∫ dEˆ e − E − AE
ˆ
0
e − E − AE
ˆ
ˆ
−
1
2
:= I (t )
()
:= Y Eˆ
Neben den konstanten Vorfaktoren sieht man besonders, wie die Reaktionsrate vom Integranden
e − E − AE
ˆ
ˆ
−
1
2
()
= Y Eˆ
maßgeblich beeinflusst wird.
127
Betrachtet man sich dies grafisch, so folgt:
− Eˆ − AEˆ
−
1
2
()
für die differenzielle (spektrale) Reaktionsrate e
= Y Eˆ
ergibt sich dann ( helle Kurve) folgender Verlauf: Der sogenannte Gamov- Peak:
Die gesamte Fusionsrate ergibt sich als Integral unter dem Produkt, also als Integral unter dem Gamov- Peak
Dabei kommt ein nennenswerter Beitrag zur Fusionsrate nur um die Energie
1
ˆ− 2
e −E = e − AE
ˆ
herum !
Das Maximum des Gamov- Peaks liegt dabei dennoch nicht unbedingt am Kreuzungspunkt !
Statt dessen:
1
e
−
− Eˆ − AEˆ 2
ableiten, gleich Null setzen
Somit:
128
2
Eˆ max.
 A3
= 
2
Nun:
Taylor um Ê max.
also:
∞
∫0
d Eˆ e − E − AE
ˆ
ˆ

∞ 
1
Eˆ
e
≈ τe −τ ∫ d 

−1
ˆ
3
E
−
1
 max

1
−
2
τ  Eˆ 
− 
4  Eˆ max −1 
2
τ  Eˆ 
− 
4  Eˆ max −1 
2
Weil nun:
2
τ  Eˆ 
− 
4 Eˆ −1 
e  max 
∞
∫0
= 0 unter -1 !
d Eˆ e − E − AE
ˆ
ˆ

∞ 
1
Eˆ
e
≈ τe −τ ∫ d 

−1
ˆ
3
E
−
1
 max

1
−
2


∞
1
Eˆ
e
≈ τe −τ ∫ d 

−∞
ˆ
3
E
−
1
 max

τ  Eˆ 
− 
4  Eˆ max −1 
2
τ := 3 Eˆ max
∞
∫0
ˆ
ˆ
d Eˆ e − E − AE
−
τ  Eˆ 
 − 4  Eˆ max −1 
e
2

∞
1
Eˆ
≈ τe −τ ∫ d 

− ∞  Eˆ
3
 max − 1 
1
2
1
2
=
π τ 2 e −τ
3
Fehler unsererseits:
n1 , n2 Dichten für verschiedene Sorten ! -> bei Reaktionen wird immer ein Teilchen rausgenommen ! Bei
identischen Teilchen: Reaktion zweier Protonen -> Noch zusätzlicher Faktor !
jedenfalls können wir die integrierte Fusionsrate angeben zu
3
α=
∞
1
22
ˆ
ˆ
n1 n 2
S ∫ dEˆ e − E − AE
0
1 + δ 12
π mr kT
−
1
2
e
Eˆ =
kT
1
A = π (2 mr ) 2
S∫
∞
0
Z a Z xe2
h kT
ˆ
ˆ
dEˆ e − E − AE
e − E − AE
ˆ
ˆ
−
1
2
−
1
2
:= I (t )
()
:= Y Eˆ
Der Gamov- Peak liegt im hochenergetischen Schwanz der Maxwell- Verteilung !
lokalisiert um
2
Eˆ max.
 A3
= 
2
n bekommt man aus den Dichten ρ . Das kann dann noch umgerechnet werden für jede Reaktion !
è Multiplikation mit der Energie, die eine Reaktion freisetzt liefert Gesamtenergie
è Energieproduktion
è alle möglichen Reaktionen sind aufzusummieren
è Ergebnis: gesamte Energieprodution des Sterns
è Wir haben eigentlich schon alle Gleichungen und Energieproduktionsraten des Sterns berechnet !
129
Hauptgrund für das langsame Brennen der Sterne: Tunnelwahrscheinlichkeit benötigt hohe Energien und steigt
mit
1
e
−
− AEˆ 2
Die Anzahl der Teilchen mit hohen Energien dagegen fällt mit e − E
ˆ
Energieproduktionsraten
α ~ n1 n 2
⇒α =
n1 n 2
=
t1
t2
mit der Reaktionsrate
[
t1,2 = n 2 ,1 vσ (v )
α ~ n1n2
v− Raum
]−1
beschreibt die charakteristische Stoßzeit von Teilchen 1 mit 2
Energie ε , die pro Reaktion freigesetzt wird:
ε =α
n
∆ E n1
=
Q= 2Q
ρ
t1
t2
∆E
=Q
ρ
Die Wärmemenge / Wärmetönung
∆E
= Q gilt dabei für einen Reaktionstyp !
ρ
Für eine Reaktionskette sind die Wärmemengen zu addieren:
r
ε = ∑ ´ε i =
i =1
1
ρ
r
∑´α i ∆E i
i =1
Wobei der Strich an der Summe den Weg von 1 -> nach von 2 -> 3 usw. verknüpft ( die vorhandenen
Reaktionspartner der x. Reaktion kommen ja von der Reaktion x-1)
Außerdem soll die Kette stationär durchlaufen werden:
Die vorhandenen Zwischenprodukte sollten proportional zur Reaktionszeit vorliegen ( reagieren
Zwischenprodukte langsam, so sind sie stärker vertreten !)
Jedenfalls: Analogie wie bei einem Bach ! Ist eine Stelle eng, so staut sich dort viel Wasser und umgekehrt...)
è außerdem: Divergenzfreiheit des Flusses: Sterne in einem langlebigen Zustand sind häufig zu beobachten,
bzw. häufig beobachtbare Sterne müssen sich in einem langlebigen Zustand befinden !
Divergenzfreiheit: Trotz der ungleichen Verteilung der Reaktonszeiten der Zwischenprodukte bleibt der Strom
im Mittel gleich !
è es muss eine stationäre Lösung existieren ( Eigenlösung eines DGL- Systems !)
charakteristische Zeit:
ni
n& i
Stationarität:
n i = const ⋅ t i
r
r
i =1
i =1
∑´ni = const∑ ´t i
130
mit den charakteristischen Zeiten t !
r
n = ∑ ´n i
i =1
r
t = ∑ ´t i
i =1
 r
 ∑ ´n i
r
r
r

ni
ε = ∑ ´ε i = ∑ ´ Qi = const.∑ ´Qi =  i =r1
t
i =1
i =1 i
i =1
 ´t
∑ i
 i =1


 r
∑ ´Qi
 i =1


r
∑´Qi := Q
i =1
Also:
ε=
n
Q - die Energieproduktionsrate pro Gramm und Sekunde ist gesamte Teilchendichte durch Gesamtzeit
t
zum Durchlaufen der Kette * gesamte Wärmetönung der Reaktionskette !
6. Wasserstoffbrennen
zentrale Temperatur liegt unter 20 Mio. K -> pp- Kette als wichtigste kette !
pp- Kette
Reaktionsweg
p + p
H 1 + H 1 → D 2 + e + + ν e + 1,19 MeV 
4 ⋅ 10 17 s (ganz langsam)
2× → 13 ,36 MeV

5 s(schnell )

D 2 + H 1 → He 3 + γ + 5,49 MeV
He 3 + He 3 → He 4 + 2 H 1 + 12 ,85 MeV
3 ⋅ 10 13 s
− − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −−
26 ,21 MeV (− 2% Neutrinoverluste )
oder:
H 1 + H 1 → D 2 + e + + ν e + 1,19 MeV
D 2 + H 1 → He 3 + γ + 5 ,49 MeV
He 3 + He 4 → Be 7 + γ + 1,58 MeV
Be 7 + e − → Li 7 + ν e + 0 ,05 MeV
Li 7 + H 1 → 2 He 4 + 17 ,34 MeV
− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − − −− − −− − −− − −− −
25 ,65 MeV (− 4 % Neutrinoverluste )
131
oder
H 1 + H 1 → D 2 + e + + ν e + 1,19 MeV
D 2 + H 1 → He 3 + γ + 5, 49 MeV
He 3 + He 4 → Be 7 + γ + 1,58 MeV
Be 7 + H 1 → B 8 + γ + 0 ,14 MeV
B 8 → Be 8 + e + + ν e + 7,7 MeV
Be 8 → 2 He 4 + 3,0 MeV
− − − − − −− − − − − −− − − − − − −− − − − − −− − − − − − −− − − − − −− − − −
19 ,1MeV (− 29 % Neutrinoverluste )
Dabei dominiert die erste Kette für Sterne mit
T c ≤ 10 7 K
die letzte Kette dagegen dominiert für heiße Sterne mit
Tc > 10 7 K
Die Energieerzeugungsrate läßt sich dabei geschickt nähern:
Sei T 6 die Temperatur in Mio. K,
so gilt: 1) 6 ≤ T6 ≤ 10
εp
+
≈ 10 −6 ρ x H 2 T6 5
p+
erg
g⋅s
so gilt: 2) 11 ≤ T6 ≤ 16
εp
+
≈ 10 −5 ρx H 2 T6 4
p+
erg
g ⋅s
mit
ρH
als Wasserstoffgehalt ( Häufigkeit in Gramm )
ρ
xH =
Massenbezogene Leistung
Somit ergibt sich für die Sonne eine theoretische Leistung:
Alter: 0- Hauptreihe -> vor 5 Mrd. Jahren, bei Eintritt in die Hauptreihe:
ρ C = 77
g
cm 3
T C ≈ 1,24 ⋅ 10 7 K ⇒ T 6 = 12 ,4
x H ≈ 0,744
⇒εp
+
p+
≈ 12 ,3
erg
Watt
= 1,2
g ⋅s
Tonne
è da sieht man, wie schwach die Sonne eigentlich vor sich hinkokelt !
è 1,2 Watt pro Tonne ist wahnsinnig wenig ! Viel weniger als eine einfache Taschenlampe !
è
erg
10 6 Watt
= 7
g ⋅ s 10 Tonne
132
Heutiger Zustand:
ρ C = 7135
g
cm 3
TC ≈ 1,46 ⋅ 10 7 K ⇒ T6 = 14 ,6
x H ≈ 0 ,5
⇒ε p
+
p+
≈ 15
erg
Watt
= 1,5
g ⋅s
Tonne
Diese Angaben natürlich nur für den p-p- Zyklus alleine !
Der CNO- Zyklus:
Voraussetzung: Hinreichend C,N,O
C 12 + H 1 → N 13 + γ + 1,95 MeV
N 13 → C 13 + e + + ν e + 1,50 MeV
C 13 + H 1 → N 14 + γ + 7 ,54 MeV
N 14 + H 1 → O 15 + γ + 7 ,35 MeV
O15 → N 15 + e + + ν e + 1,73 MeV
N 15 + H 1 → C 12 + He 4 + 4,96 MeV
− − −− − −− − −− − −− − −− − − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− −
25 MeV (− 6 % Neutrinoverluste )
Im vorletzten schritt schaltet sich ein um den Faktor 2000 verlangsamter Nebenzyklus dazwischen, der Schritt 4,
also rückläufig in der Reaktionskette, mit Stickstoff- 14 versieht und die Energieerzeugung des gesamten Zyklus
noch erhöhen kann !
Dieser verläuft folgendermaßen:
N 15 + H 1 → O 16 + γ
O16 + H 1 → F 17 + γ
F 17 → O17 + e + + ν e
O17 + H 1 → N 14 + 4 He
Für beide Zyklen ! pp- Kette und CNO- Zyklus sind die Nettoreaktionen gleich !! Die Zwischenprodukte oder
das C-12, welches beim CNO- Zyklus anfangs zur Verfügung stand, ist auch am Ende wieder frei verfügbar und
wirkt demnach als Katalysator !
Nettoreaktion
4 H 1 → 4 He + 2 e + + 2ν e
was hier zum Ladungsausgleich unterschlagen wurde ist die Sache, dass natürlich alle Reaktionspartner
vollständig ionisiert sind. Demnach wäre es besser gewesen, die Zyklen mit Protonen und Alpha- Teilchen zu
formulieren !
133
Auch für den CNO- Zyklus können wir eine Näherungsformel für die Energieerzeugung angeben:
ε CNO ≈ constρ x H x C T 6ν
erg
g ⋅s
dabei ist der Exponent der Temperatur selbst stark temperaturabhängig und zwar über:
T6
ν
10
15
20
25
30
35
22,9
19,9
18
17,7
15,6
14,8
Das bedeutet: Die Energieproduktionsrate ändert sich explosionsartig bei winzigen Temperaturschwankungen !
134
z.B:
Bei Abweichung um 10.000 K im Zentrum bei 10 Mio K !
[(1 + 0,001) ⋅10 ]
7 20
= 1,02 ⋅ 10 140
Besondere Beispiele:
entarteter Kern: - > ansteigende Temperatur erhöht den Druck nicht mehr ! -> Der Kern zündet im entarteten
Zustand !
è Energie wird frei, kein Druck, keine Expansion !
è Temperatur geht rauf ohne Kühlung !
è Energieproduktionsrate steigt mit Potenzen um die 20 !
è Helium- Flash, kann vom Stern gerade noch abgefangen werden !
è Stern geht auf den Horizontalast !
Kohlenstoffbrennen
è ebenso: entartetes Kohlenstoff zündet
[ ]45 -> das kann der Stern nicht mehr abfangen
è Energieproduktionsrate steigt bei Kohlenstoffusion mit T6
è SUPERNOVA
Zusammenfassung
Wir haben 4 Grundgleichungen, 4 Differenzialgleichungen
Gleichungen
Innen
Außen
 r

 p
T

L
 r
 M r = 0


 r =0 
 p

c


 Tc 
 L =0
 r

 M r = M* 


 r = r0 
 p =0 


 T=0 
 L =L 
 r
* 



( M r )



Der Vorteil: Man kann Sternsysteme einmal von innen nach außen rechnen und einmal von außen nach innen.
Wenn die Annahmen richtig getroffen wurden, so müssten sich die beiden Wege in der Mitte treffen !
wir haben jedenfalls ein n dimensionales System von Differenzialgleichungen mit 1/2 der Randbedingungen
innen und 1/2 außen !
è Ricatti- Transformation , welche die äußeren Randbedingungen nach innen projiziert !
è Das kann dann gekoppelt gerechnet werden !
Einfachere Methode
Man gibt sich irgendwas für p c , Tc vor und schaut dann, ob die beiden Wege von außen nach Innen und
umgekehrt sich treffen !
Bei der Ricatti- Transformation werden die inneren Randbedingungen dann auf die äußeren abgebildet !
Also:
die Dimension des Problems verdoppelt sich gleich mal !
Hauptproblem der Sternentwicklung
Gut messbar: Strahlung im MeV- Bereich bis runter auf 100 keV
è viele Ereignisse, hübsche Messung !
aber: Im Niederenergiebereich ! hat man quasi keine Ereignisse: Beispiel: 3 Ereignisse pro Monat im Gran Sasso
!
135
7.2 Lösungen der Sternaufbaugleichungen
136
gemäß der angegebenen analytischen Ausdrücke ergeben sich folgende Verläufe für
137
Druck ( in log(dyn/cm²))
Für die Temperatur in Kelvin:
Für die Dichte in g/ cm³
138
und für die Schwerebeschleunigung in m/s²
139
In einem Diagramm / umskaliert:
von links unten nach links oben: Druck ( logarithmisch), Temperatur in Mio K, Dichte und
Schwerebeschleunigung:
140