Musterlösung 7

29. März 2017
Elektrizitätslehre II
Martin Loeser
Musterlösung 7
1
Induktionsspannung
Eine Spule mit 80 Windungen, Durchmesser D = 10.0 cm, Länge l = 30 cm und Widerstand R = 30.0 Ω befindet sich ein einem Magnetfeld, dessen Richtung senkrecht
zur Ebene der Spulenwindungen steht.
(a) Wie schnell muss sich die Stärke des Magnetfeldes ändern, damit in der Spule
ein Strom von I = 4.0 A induziert wird?
Φ = AN B
|ui | = AN Ḃ = IR ⇒ Ḃ =
RI
= 191T/s.
AN
(b) Man bestimme die Induktivität L der Spule.
L = µo N 2
A
= 0.21 mH
l
(c) Welche Energie ist im Magnetfeld der Spule gespeichert, wenn sie vom Strom I
durchflossen wird?
1
E = LI 2 = 1.68 mJ
2
2
Dynamische Kondensatorschaltung (I)
Ein Kondensator mit Kapazität C = 100 pF werde mit Hilfe einer Spannungsquelle
auf die Spannung U0 = 10 V geladen – im Anschluss daran wird der Kondensator
von der Spannungsquelle getrennt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Kondensator über
einen Widerstand R = 50.0 Ω entladen.
Musterlösung 7 , Elektrizitätslehre II
2
(a) Man skizziere die Schaltung und erstelle eine Differentialgleichung für das Zeitverhalten der Kondensatorspannung u(t).
RC u̇C + uC = 0
(b) Man bestimme die Zeitkonstante τ der Schaltung.
τ = RC = 5 ns
Es handelt sich dabei um einen Entladevorgang für den Kondensator - der Zeitverlauf ist im Skript gezeigt. Gleiches gilt für den Strom.
(c) Für 0 ≤ t ≤ 4τ skizziere man den Zeitverlauf von Ladung und Spannung des
Kondensators.
(d) Man bestimme einen analytischen Ausdruck für den Strom i(t), der durch den
Widerstand fliesst und skizziere i(t).
U0
t
i(t) = −
exp −
EL2,
Übung
R
τ
3
1/3
8.6
Schaltvorgänge
Dynamische Kondensatorschaltung
(II)
Aufgabe 1
Gegeben sei die in Abbildung 1 dargestellte Schaltung. Vor dem Schliessen des SchalZur Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter in folgender Schaltung geschlossen. Vor dem Schliessen des
ters
sei der Kondensator
zunächstüber
entladen.
Schalters,
betrage die Spannung
dem Kondensator u(t < 0) = U .
0
R1
i(t)
+
Uq
R2
C
u(t)
a) Bestimmen Sie die Werte
der Spannung
u und der Stromstärke i für Zeitpunkt unmittelbar nach dem
Abbildung
1: RC-Schaltung.
Schliessen des Schalters, sowie für den stationären (eingeschwungenen) Zustand nach unendlich langer
Zeit.
(a)b)Man
bestimme
Differentialgleichung,
das Zeitverhalten
angibt,
Stellen
Sie die eine
Differentialgleichung
(DGl) die
in normierter
Form fürfür
die u(t)
Spannung
u(t) auf.
sobald der Schalter geschlossen
wurde.
du( t )
τ
+ u( t ) = U e
normierte Form:
dt
Strom durch
Kondensator:
ic U
= u̇der
C normierten DGl.
τ und
Bestimmen und interpretieren
Sie den
die Konstanten
e
uC
R2 : iund
c) Geben Sie die Lösung u(t) Strom
der DGldurch
graphisch
2 =formal an. Skizzieren Sie in der selben Graphik den
R2
zeitlichen Spannungsverlauf für die Anfangsbedingungen
U0 = 0 und U0 = Uq.
Strom durch R1 : i1 = i2 + iC
d) Bestimmen Sie graphisch und formal den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i(t) für die
Uq = u1 + uc = R1 i1 + uc
AnfangsbedingungMaschenregel:
U0 = 0.
e) Stellen Sie ein Simulink-Blockschaltbild zur Simulation der Schaltung auf.
Aufgabe 2
Zwei ideale Kondensatoren mit den Kapazitäten C1 und C2 werden zum Zeitpunkt t = 0 parallel geschaltet.
Vor dem Zeitpunkt der Verbindung waren C1 mit der Ladung q1(t < 0) = Q 10 > 0 und C2 mit Q 20 = 0
geladen. Die Verbindungsleitung kann als konzentriertes Schaltelement mit Widerstand R betrachtet
Musterlösung 7 , Elektrizitätslehre II
3
Uq = R1
Uq =
=⇒
uc
+ R1 C u̇C + uc
R2
R1 + R2
uc + R1 C u̇C
R2
R2
R1 R2
Uq = uc +
C u̇C
R1 + R2
R1 + R2
Mit
Ũq =
und
τ̃ =
R2
Uq
R1 + R2
R1 R2
C = (R1 ||R2 )C
R1 + R2
ergibt sich
τ̃ u̇C + uc = Ũq
(b) Man bestimme mit Hilfe der Differentialgleichung einen analytischen Ausdruck
für u(t) und skizziere diese Funktion. Mit den gerade definierten Grössen ergibt
sich
R2
uc (t) = Ũq (1 − exp −t/τ̃ ) =
Uq (1 − exp −t/τ̃ )
R1 + R2
(c) Was geschieht mit u(t) für t → ∞? Im Grenzfall ergibt sich
uc →
R2
Uq
R1 + R2
(d) Man bestimme einen Ausdruck für die Stromstärke i(t).
iC = C u̇C =
Uq
exp −t/τ̃
R1
(e) Zu welchem Zeitpunkt ist i(t) maximal? Wie gross ist dieses Maximum?
i maximal für t = 0; imax =
4
Uq
R1
Dynamische Kondensatorschaltung (III)
An einem (idealen) Kondensator der Kapazität 100 nF verläuft die Spannung dreieckförmig: Amplitude: 1 V, Periodendauer: = 1 ms.
(a) Skizzieren Sie den entsprechenden Stromstärkeverlauf für die Dauer 2T . Die
Spannung starte zu Periodenbeginn mit −1 V und einem Spannungsanstieg.
(b) Bestimmen Sie die (numerischen) Eckwerte des Stromstärkenverlaufs.
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5
4
Laden eines Kondensators
Eine zeitvariable, lineare Spannungsquelle mit Spannung u0 (t) und Innenwiderstand
R speist einen Kondensator5.C.Aufgabe
uR(t)
R
+
u0(t)
uC(t)
C
i(t)
Abbildung 2: Eine Spannungsquelle
die einen Kondensator
uR (t ) + uCmit
(t ) −Innenwiderstand,
u0 (t ) = 0
lädt.
uR (t ) = R ⋅ i (t )
1
i (t ) ⋅ dt
C∫
uR (t) + uC (t) = u0 (t)
1
R ⋅ i (t ) +uR (t)
i (t ) ⋅ dt − u0 (t ) = 0
C ∫ = Ri(t)
uC (t ) =
1
6. Aufgabe
uC (t) =
C
Zt
i(τ ) dτ
0
Ri(t) +
1
C
Zt
i(τ ) dτ = u0 (t)
0
6
Dynamische Kondensatorschaltung (IV)
Ein Kondensator der Kapazität C = 1 µF ist in Serie mit einemWiderstand C = 1 Ω
6. Aufgabe
an eine ideale Stromquelle angeschlossen. Die Schaltung ist in Abbildung 3 abgebilEin Kondensator der Kapazität C = 1 µF ist in Serie mit einemWiderstand R = 1 Ω an eine
det. Für t < 0 ist keine Ladung im Kondensator gespeichert, für t ≥ 0 verläuft die
ideale Stromquelle angeschlossen.
R
i0(t)
C
uC(t)
Für t <
ist keine Ladungmit
im Kondensator
gespeichert. Für t ≥ 0 verläuft die Stromstärke d
Abbildung
3:0RC-Schaltung
Stromquelle.
Quelle i0(t) nach folgender Graphik:
Stromstärke i0 (t) der Quelle wie in Abbildung 4 dargestellt.
R
i0(t)
C
uC(t)
Musterlösung 7 , Elektrizitätslehre II
5
Für t < 0 ist keine Ladung im Kondensator gespeichert. Für t ≥ 0 verläuft die Stromstärke der
Quelle i0(t) nach folgender Graphik:
5. Aufgabe
uR(t)
R
+
u0(t)
Zeichnen Sie den Verlauf der Spannung uc(t) am Kondensator in die Graphik ein.
Abbildung 4: uStromverlauf
der Quelle.
(t)
C
C
i(t)
Man skizziere und berechne den Verlauf der Kondensatorspannung uc (t) unter der
VoraussetzunguuR c(t(t) +=uC0)
(t )=
− u0.0 (t ) = 0
Wie aus der vorherigen
bekannt, gilt
u (t ) = R ⋅ iAufgabe
(t )
R
1
Zt
i (t ) ⋅ dt
1
∫
C
uC (t) =
i(τ ) dτ.
C
1
R ⋅ i (t ) + ∫ i (t ) ⋅ dt − u0 (t ) = 0 0
C
uC (t ) =
Damit ergibt sich der in Abbildung 5 dargestellte Verlauf.
6. Aufgabe
ZHAW, M. Nussberger, 02.02.2015
2/2
Abbildung 5: Spannung über dem Kondensator.
7
Ausgleichschaltung
Zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten C1 und C2 tragen die Ladungen Q1 bzw.
Q2 . Zum Zeitpunkt t = 0 werden diese beiden Kondensatoren über einen Widerstand
R parallel geschaltet.
(a) Man skizziere diese Schaltung.
(b) Man erstelle eine Differentialgleichung für die Spannung u1 (t) über dem Kondensator 1.
ZHAW, M. Nussberger, 04.02.2015
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Musterlösung 7 , Elektrizitätslehre II
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(c) Man bestimme einen analytischen Ausdruck für den Strom, der zwischen den
beiden Kondensatoren fliesst und skizziere i(t).