2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren

2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren
2.2
39
Eigenwerte und Eigenvektoren
Lineare Abbildungen werden je nach Basiswahl durch unterschiedliche Matrizen
beschrieben. Besonders einfach ist die Diagonalform. Wir werden in diesem Abschnitt
der Frage nachgehen, welche linearen Abbildungen sich durch eine Diagonalmatrix
darstellen lassen.
Schauen wir uns zunächst genauer an, welche Wirkung eine durch eine Diagonalmatrix definierte lineare Abbildung hat.
2.21 Beispiel
Sei L: R2 → R2 die durch Multiplikation mit der Matrix A =
1
0
2
definierte Abbildung. Hier handelt es sich um eine Reskalierung der Achsen.
0 2
In x-Richtung wird um den Faktor 1/2 gestaucht, in y-Richtung um den Faktor 2
gestreckt. Dabei
bleiben die x-Achse
und die y-Achse als Ganzes stabil. Es gilt:
1
0
= 2e2 .
L(e1 ) = 2 = 21 e1 und L(e2 ) =
0
2
2.22 Definition Eine Zahl λ ∈ R ist ein Eigenwert einer linearen Abbildung
L: V → V , falls ein Vektor 0 6= v ∈ V existiert mit L(v) = λ · v. In diesem
Fall bezeichnet man v als einen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektor . Die von v
aufgespannte Gerade lin(v) bleibt unter der Abbildung L stabil, es ist eine Eigenrichtung von L. Denn für jedes Vielfache w = αv von v gilt L(w) = L(αv) = αλv =
λ(αv) = λw. Der Vektor w behält also unter der Abbildung seine Richtung, nur die
Länge wird um den Faktor λ geändert.
1. Die durch die Matrix A =
1
0
2
definierte Abbildung
0
LA : R2 → R2 hat den Eigenvektor e1 zum Eigenwert 12 und e2 zum Eigenwert 2.
3 2
1
2
2. Sei B =
. Die Vektoren v1 =
und v2 =
sind Eigenvektoren
1 4
−1
1
5
4
2
2
von LB : R → R . Denn Bv1 =
= 5v1 und Bv2 =
= 2v2 . Die zu
5
−2
v1 und v2 gehörigen Eigenwerte sind also 5 bzw. 2.
2.23 Beispiele
2
2.24 Definition Eine lineare Abbildung L: V → V heisst diagonalisierbar , wenn
es eine Basis B von V gibt, so dass MB (L) eine Diagonalmatrix ist.
2.25 Satz Die Abbildung L ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear
unabhängige Eigenvektoren in V besitzt (für n = dim V ).
Beweis. Für eine Basis B von V gilt genau dann


λ1
0
..
,
MB (L) = 
.
0
λn
40
Kapitel 2. Lineare Algebra II
wenn L(vj ) = λj vj für j = 1, . . . , n. Das bedeutet aber gerade, dass die Basis B nur
aus Eigenvektoren von L besteht.
q.e.d.
2
2
Ist wie im Beispiel oben
L=
LB : R → R die bezüglich der kanonischen Basis
3 2
durch die Matrix B =
definierte lineare Abbildung, und wählen wir als
1 4
5 0
Basis die Eigenvektoren v1 und v2 , dann ist Mv1 ,v2 (LB ) =
. Man kann
0 2
Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit auch für Matrizen definieren.
2.26 Definition Eine Zahl λ ∈ R ist ein Eigenwert einer n × n-Matrix A, falls ein
Vektor 0 6= v ∈ Rn existiert mit Av = λ · v. In diesem Fall bezeichnet man v als
einen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektor . Die Matrix A heisst diagonalisierbar ,
wenn es eine invertierbare n × n-Matrix S gibt, so dass S −1 AS Diagonalform hat.
Nun gilt wieder der entsprechende Satz über Diagonalisierbarkeit:
2.27 Satz Eine n × n-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear
unabhängige Eigenvektoren in Rn besitzt.
Beweis. Nehmen wir an, v1 , . . . , vn seien linear unabhängige Eigenvektoren zu den
Eigenwerten λ1 , . . . , λn . Wir bilden aus den Spalten v1 , . . . , vn eine Matrix S. Diese
Matrix ist dann invertierbar und es gilt einerseits:
AS = ( Av1
Andererseits ist

λ1
..

S
.
0
0
λn

. . . Avn ) = ( λ1 v1

 = (v1 . . . vn ) 
λ1
0
..
0
.
λn
. . . λn vn ) .

 = ( λ1 v1
. . . λn vn ) .
Also hat S −1 AS Diagonalform. Das heisst, A ist diagonalisierbar. Diese Argumentation
lässt sich auch umkehren.
q.e.d.
Nun wollen wir die Frage behandeln, wie man Eigenwerte und Eigenvektoren
einer vorgegebenen Matrix finden kann. Nehmen wir zunächst an, v ∈ Rn sei ein
Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Dann ist v 6= 0 und es gilt λv − Av =
(λE − A)v = 0. Das Gleichungssystem (λE − A)x = 0 hat also zusätzlich zu der
trivialen Lösung x = 0 noch eine Lösung v 6= 0. Daraus folgt
det(λE − A) = 0 .
Betrachtet man jetzt λ als Unbekannte, so gilt: Die Eigenwerte von A sind gerade
die Lösungen der Gleichung
det(λE
− A) = 0.
3 2
Für die Matrix B =
zum Beispiel ist
1 4
λ − 3 −2
det(λE − B) = det
= λ2 − 7λ + 10 .
−1 λ − 4
2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren
41
Die Nullstellen dieses Polynoms, λ1 = 5 und λ2 = 2, sind die Eigenwerte der
Matrix B. Allgemein gilt:
2.28 Satz Sei A ∈ Mn×n . Dann ist pA (λ) := det(λE − A) ein normiertes Polynom
in λ von Grad n. Man nennt pA das charakteristische Polynom von A. Die reellen
Eigenwerte von A sind gerade die reellen Nullstellen von pA . Deshalb hat A höchstens
n verschiedene Eigenwerte.
Beweis. Wir zeigen per Induktion über n, dass pA ein Polynom von Grad n ist. Für
n = 1 ist A = (a) und pA = λ − a. Für n > 1 entwickeln wir die Determinante von
λE − A nach der ersten Spalte:


λ − a11
−a12
...
−a1n
 −a21
λ − a22 . . .
−a2n 

pA (λ) = det 
..
..
..


.
.
.
−an1
. . . λ − ann
n
X
(−1)k+1 ak1 det((λE − A)k1 ) .
= (λ − a11 ) det(λEn−1 − A11 ) +
k=2
Per Induktion ist det(λEn−1 −A11 ) ein Polynom von Grad n−1, und det((λE −A)k1 )
sind Polynome von Grad ≤ n−2 für alle k ≥ 2. Denn (λE −A)k1 entsteht aus λE −A
durch Streichung der ersten Spalte und der k-ten Zeile, die Variable λ kommt also
nur noch in jeweils n − 2 Zeilen vor. Also folgt, dass der Grad von pA gleich n ist.
q.e.d.
Schauen wir unsden Fall
Polynom einer
n = 2 genauer an. Das charakteristische
a b
λ−a
−b
2 × 2-Matrix A =
lautet pA (λ) = det(λE − A) = det
=
c d
−c
λ−d
(λ − a)(λ − d) − bc = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc). Die Summe der Diagonaleinträge
einer Matrix wird als ihre Spur bezeichnet. Damit gilt:
pA (λ) = λ2 − Spur(A)λ + det A .
Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Spur und die Determinante
einer Matrix, wie im zweidimensionalen Fall schon nachgerechnet, immer als Koeffizienten
des charakteristischen Polynoms auftreten. Genauer gilt:
2.29 Satz Für n × n-Matrizen A gilt:
pA (λ) = λn − Spur(A)λn−1 + · · · + (−1)n det(A) .
Bezeichnet man mit λ1 , . . . , λn sämtliche (möglicherweise auch komplexen) Nullstellen
von pA und zwar mit Vielfachheit gezählt, dann folgt:
Spur(A) = λ1 + · · · + λn
und
det(A) = λ1 · · · · · λn .
42
Kapitel 2. Lineare Algebra II
Um nun zu einem gegebenen Eigenwert λ von A die zugehörigen Eigenvektoren
zu bestimmen, ist das lineare Gleichungssystem
 
x1
.. 

=0
(λE − A)
.
xn
zu lösen. Den Lösungsraum dieses Gleichungssystem bezeichnet man als den Eigenraum
zum Eigenwert λ. Wir schreiben dafür Lλ . Der Raum Lλ besteht aus allen Eigenvektoren
zum Eigenwert λ zusammen mit dem Nullvektor. Für jeden Eigenwert λ gilt:
dim Lλ = n − Rang(λE − A) ≥ 1 .
3 2
2.30 Beispiele
1. Das charakteristische Polynom der Matrix B =
1 4
2
lautet pB (λ) = λ − 7λ + 10 = (λ − 5)(λ − 2). Um den Eigenraum zum
Eigenwert λ1 = 5 zu bestimmen, betrachten wir:
2 −2
x
0
(5E − B)v =
=
.
−1 1
y
0
Der Lösungsraum dazu ist
x
1
L5 =
|x=y = α
|α∈R .
y
1
Für den Eigenwert λ2 = 2 ergibt sich entsprechend:
−1 −2
x
0
(2E − B)v =
=
.
−1 −2
y
0
Der Lösungsraum dazu ist
x
−2
L2 =
| x = −2y = α
|α∈R .
y
1


1 1 0
2. Das charakteristische Polynom der Matrix A =  0 1 0  lautet
0 0 2


λ − 1 −1
0
pA (λ) = det(λE − A) = det  0
λ−1
0  = (λ − 1)2 (λ − 2) .
0
0
λ−2
Also hat A einen doppelten Eigenwert, nämlich λ1 = 1 und einen einfachen
Eigenwert λ2 = 2. Es gilt L2 = lin(e3 ). Bestimmen wir nun den Eigenraum zu
dem doppelten Eigenwert. Dazu lösen wir das Gleichungssystem

 
0 −1 0
x



(E − A)v = 0 0
0
y  = 0.
0 0 −1
z
Der Lösungsraum L1 = lin(e1 ) ist nur eindimensional. Die Matrix A kann
deshalb nicht diagonalisierbar sein.
2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren
43
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind automatisch linear unabhängig
(siehe Übungsaufgabe). Deshalb gilt:
2.31 Satz Eine n × n-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn gilt:
dim(Lλ1 ) + . . . + dim(Lλr ) = n .
Dabei bezeichnen λ1 , . . . , λr sämtliche verschiedenen Eigenwerte von A.
Wir wollen nun zeigen, dass sich das charakteristische Polynom einer Matrix bei
einem Basiswechsel nicht ändert. Dazu führen wir folgenden Begriff ein.
2.32 Definition Zwei Matrizen A, B ∈ Mn×n heissen ähnlich, wenn eine invertierbare
n × n-Matrix S existiert, so dass
B = S −1 AS .
2.33 Satz Sind A, B ähnliche n × n-Matrizen, so gilt:
pA = pB
und insbesondere
Spur(A) = Spur(B) und
det(A) = det(B) .
Beweis. Die charakteristischen Polynome stimmen überein, denn
pB (λ) = det(λE − B) = det(λS −1 S − S −1 AS) = det(S −1 (λE − A)S)
= det(λE − A) = pA (λ) .
q.e.d.
2.34 Definition Sei L: V → V eine lineare Abbildung, dim V = n. Sei A = MB (L)
für eine Basis B von V . Dann nennt man p(λ) := pA (λ) auch das charakteristische
Polynom von L. Das Polynom p hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Denn
Basiswechsel führen zu ähnlichen Matrizen.
44
2.3
Kapitel 2. Lineare Algebra II
Jordannormalformen für kleine Matrizen
In diesem Abschnitt soll ein Überblick über die möglichen Typen von 2 ×2-Matrizen
und 3 × 3-Matrizen gegeben werden.
Beginnenwir mit
dem Fall n = 2. Das charakteristische Polynom einer 2 × 2a b
Matrix A =
lautet wie bereits nachgerechnet:
c d
pA (λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = λ2 − Spur(A)λ + det A .
Die Nullstellen dieses Polynoms sind
1
1p
λ1,2 = (Spur(A)) ±
(Spur(A))2 − 4 det A .
2
2
1. Fall: (Spur A)2 > 4 det A. Dann hat A zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ1 , λ2 .
Wählt man zu jedem dieser Eigenwerte einen Eigenvektor vi , so bildet B = (v1 , v2 )
eine Basis und für S = (v1 , v2 ) gilt:
λ1 0
−1
.
S AS =
0 λ2
Man beachte, dass hier v1 und v2 nicht senkrecht aufeinander stehen müssen!
2. Fall: (Spur A)2 = 4 det A. In diesem Fall hat A einen doppelten Eigenwert,
nämlich λ = 12 Spur(A). Ist der zugehörige Eigenraum Lλ zweidimensional, so muss
Lλ = R2 sein. Das bedeutet, Av = λv für alle v ∈ R2 . Mit anderen Worten, LA ist
eine Streckung um den Faktor λ und A = λE.
Ist dim Lλ = 1, dann ist A nicht diagonalisierbar. Wir wählen jetzt einen Eigenvektor
v1 und ergänzen mit einem weiteren Vektor v2 zu einer Basis B von R2 . Ist etwa
Av2 = xv1 + yv2 , so gilt für S = (v1 , v2 ):
λ x
−1
S AS = MB (LA ) =
.
0 y
Die Spur einer Matrix bleibt bei Basiswechseln unverändert. Daher gilt Spur(S −1 AS) =
λ + y = Spur(A) = 2λ, und daraus folgt y = λ. Für die Basis B′ = (v1′ , v2 ) mit
v1′ = xv1 schliesslich gilt: Av1′ = λv1′ und Av2 = v1′ + λv2 . Also erhalten wir für
S ′ = (v1′ , v2 ):
λ 1
′ −1
′
.
(S ) AS = MB′ (LA ) =
0 λ
Ist λ = 1, so handelt es sich bei A um eine Scherung längs der v1 -Achse.
3. Fall: (Spur A)2 < 4 det A. Dann hat pA zwei konjugiert komplexe Nullstellen,
λ1 = s + it und λ2 = s − it, wobei s = 21 Spur(A) und t2 = det A − 14 (Spur A)2 =
det A − s2 .
Behauptung: In diesem Fall existiert eine Basis B = (v1 , v2 ) von R2 mit
s −t
MB (LA ) =
.
t s
2.3. Jordannormalformen für kleine Matrizen
45
Falls s2 + t2 = 1 und (v1 , v2 ) = (e1 , e2 ), handelt es sich also um eine Drehung.
Beweis. Weil λ2 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, hat das lineare
Gleichungssystem (A − (s − it)E)v = 0 eine Lösung 0 6= v ∈ C2 , wenn wir
mit komplexen statt
mit reellen Zahlen rechnen. Es gibt also einen komplexen
z
Eigenvektor v =
von A zum Eigenwert s − it. Wir schreiben v in der Form
w
v = v1 + iv2 , wobei v1 , v2 ∈ R2 sind. Dann gilt:
Av = Av1 + iAv2 = (s − it)(v1 + iv2 ) = (sv1 + tv2 ) + i(−tv1 + sv2 ) .
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
Av1 = sv1 + tv2
Daraus folgt direkt die Behauptung.
und Av2 = −tv1 + sv2 .
q.e.d.
Wir können die Ergebnisse der bisherigen Überlegungen so zusammenfassen:
2.35 Satz Jede reelle 2 × 2-Matrix ist ähnlich zu einer der folgenden Typen (den
sogenannten reellen Jordannormalformen):
λ1 0
•
(λ1 > λ2 ) - diese Matrizen haben genau zwei Eigenrichtungen 0 λ2
λ 0
•
= λE (λ ∈ R) - hier bleiben sämtliche Ursprungsgeraden stabil
0 λ
λ 1
•
(λ ∈ R) - hier gibt es genau eine Eigenrichtung
0 λ
s −t
•
(s, t ∈ R, t 6= 0) - hier gibt es keine Eigenrichtung
t s
3 2
2.36 Beispiele
• Die Matrix
hat zwei verschiedene Eigenwerte und
1 4
5 0
.
ist deshalb vom ersten Typ, nämlich ähnlich zu
0 2
3
2
• Die Matrix A =
hat das charakteristische Polynom pA (λ) =
−2 −1
λ2 −2λ+1 = (λ−1)2 . Also hat A den doppelten Eigenwert 1. Da A offensichtlich
keine Skalarmatrix ist, muss A vom dritten Typ sein.
1 −2
• Für die Matrix A =
gilt Spur(A) = 0 und det A = 1, es handelt sich
1 −1
2
hier also um den vierten Typ. Das charakteristische Polynom
pA (λ) = λ +1
1
1
hat die komplexen Nullstellen ±i. Für die Vektoren v1 =
und v2 =
0
1
46
Kapitel 2. Lineare Algebra II
gilt Av1 = v2 und Av2 = −v1 , also wird die Abbildung LA bezogen auf die
Basis B = (v1 , v2 ) durch die folgende Matrix beschrieben:
0 −1
MB (LA ) =
.
1 0
Die Abbildung LA hat zwar keine Eigenrichtung, aber sie lässt die Ellipsen in
R2 , gegeben durch eine Gleichung der Form y 2 + (x − y)2 = c (c > 0) stabil.
Das entsprechende Resultat für 3 × 3-Matrizen sieht folgendermassen aus:
2.37 Satz

λ1
• 0
0

λ1

•
0
0

s

t
•
0

λ
• 0
0
Jede reelle 3 × 3-Matrix ist ähnlich zu einer der folgenden Typen:

0 0
λ2 0  (λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 )
0 λ3

1 0
λ1 0  (λ1 , λ2 ∈ R)
0 λ2

−t 0
s 0  (s, t, λ ∈ R, t 6= 0)
0 λ

1 0
λ 1  (λ ∈ R)
0 λ
Beweis. Das charakteristische Polynom pA einer 3 × 3-Matrix A hat Grad 3 und
daher mindestens eine reelle Nullstelle. Hat pA drei verschiedene reelle Nullstellen,
so ist A diagonalisierbar und es handelt sich um den ersten Typ. Hat pA eine einfache
und eine doppelte reelle Nullstelle, dann sind der erste und der zweite Typ möglich.
Das ergibt sich entsprechend wie im Fall n = 2. Weiter könnte pA eine reelle und zwei
konjugiert komplexe Eigenwerte haben. Dann handelt es sich um den dritten Typ.
Hat schliesslich pA eine dreifache reelle Nullstelle λ, dann hängt der Typ von der
Dimension des zugehörigen Eigenraums ab. Ist dim Lλ = 3, ist A diagonalisierbar
und also vom ersten Typ. Ist dim Lλ = 2, so ist A vom zweiten Typ, und ist
schliesslich dim Lλ = 1, so erhalten wir den letzten Typ. Auf die Begründung wird
hier verzichtet.
q.e.d.

1

2.38 Beispiele
• Sei A = 2
3

λ−1
pA (λ) = det  −2
−3

2 3
3 1 . Dann ist
1 2

−2
−3
λ − 3 −1  = λ3 − 6λ2 − 3λ + 18 .
−1 λ − 2
2.3. Jordannormalformen für kleine Matrizen
47
 
1
Der Vektor v =  1  ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 6. Also hat
1
pA die Nullstelle 6. Wenn wir pA durch (λ − 6) √
teilen,√erhalten wir: pA (λ) =
(λ − 6)(λ2 − 3). Also hat A die Eigenwerte 6, 3, − 3 und ist ähnlich zur
Diagonalmatrix


6 √0
0
0
3
0 .
√
0 0 − 3


1 0 1
• Die Matrix B =  0 1 0  hat λ = 1 als dreifachen Eigenwert. Der Eigenraum
0 0 1
dazu ist zweidimensional, denn
 L1 = lin(e
 1 , e2 ). Also ist die Matrix B vom
1 1 0
zweiten Typ und ähnlich zu  0 1 0 .
0 0 1