Universität des Saarlandes Fachrichtung 7 – Physik ( ) ( )

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 7 – Physik
Prof. Dr. J. Petersson
1948
Dr. P. Huber
Universität des Saarlandes
Technische Physik, Bau 38
Postfach 151150
66041 Saarbrücken
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Theoretische und rechnerische Ergänzungen zur Experimentalphysik I WS 2001/2002
8. Übung - 13.12.2001
36. Bahnkurve des 3-dimensionalen, harmonischen Oszillators I
Ein
Teilchen
der
Masse
m
bewege
sich
auf
der
Bahn
r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) ) = ( a sin ωt , b cos ωt , c cos ωt ) , wobei ω,a, b und c Konstanten sind und t die
Zeit bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass die Bahnkurve in einer Ebene liegt und geben Sie diese Ebene an.
b) Zeigen Sie, dass sich das Teilchen auf einer elliptischen Bahn bewegt.
c) Formulieren Sie das Analogon zum ersten Keplergesetz der Planetenbahnen für dieses
Teilchen
!
!
d) Zeigen Sie, dass die Kraft auf das Teilchen durch F = − mω 2 r gegeben ist.
e) Wählen Sie ein neues Koordinatensystem in dem die Bahnkurve die Form
r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) ) = (a sin ωt , d cos ωt ,0) annimmt.
37. Bahnkurve des 3-dimensionalen, harmonischen Oszillators II
a) Beweisen Sie das zweite Keplergesetz für dieses Teilchen.
1
!
b) Zeigen Sie, dass die potentielle Energie durch W p = mω 2 r 2 gegeben ist, wobei W p = 0
2
für r = 0 ist.
c) Zeigen Sie, dass die Gesamtenergie WG = W p + Wk des Teilchens zeitunabhängig ist, und
bestätigen Sie damit den Energieerhaltungssatz.
d) Formulieren Sie ein Analogon zum dritten Keplergesetz für die Bewegungen in dem gegebenen Potential
38. Drehmatrix
!
Gegeben sei der Vektor r = ( x, y ) .
a) Geben Sie die Drehmatrix für eine Drehung um den Winkel α an.
!
b) Berechnen Sie r im gedrehten Koordinatensystem.
!
c) Drehen Sie r nochmals um den Winkel β.
d) Geben Sie die Gesamtdrehmatrix und einen Ausdruck für sin(α+β) und cos(α+β) an.
39. Drehbewegung im Weltraum
Eine Kreisscheibe (Radius R = 0.5 m, Masse M = 20 kg) befinde sich frei schwebend im Weltraum. An einem Seil, das um den Umfang der Kreisscheibe aufgerollt ist, greife nun eine konstante Kraft senkrecht zur Achse der Scheibe an. Bestimmen Sie die Beschleunigung, die
Geschwindigkeit und den zurückgelegten Weg des Schwerpunkts sowie die Winkelbeschleunigung, die Winkelgeschwindigkeit und den Drehwinkel der Scheibe als Funktionen der Zeit.
Formulieren Sie den Energiesatz.
Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Punktes P auf dem abgerollten Seil?
40. Energieübertragung auf Feder
Ein Körper der Masse m gleite reibungsfrei auf einer schiefen
Ebene (Neigungswinkel α) auf eine am Ende der schiefen Ebene
befestigte Feder zu (Federkonstante k). Die Entfernung zwischen
Federanfang und Startpunkt sei l. Die Anfangsgeschwindigkeit
des Körpers sei v0 = 0.
α
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Körpers, wenn er die Feder berührt.
b) Ist die Geschwindigkeit in a) die maximale Geschwindigkeit während der Bewegung (qualitative und quantitative Antwort)?
c) Berechnen Sie die maximale Deformation der Feder als Funktion von m, g, k und l (Energiesatz) unter der Annahme, daß die maximale Geschwindigkeit diejenige von a) ist!
d) Geben Sie die Zahlenwerte für a) und c) an für m = 0.5 kg, l = 3 m, α = 45o und k =
400 Nm
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