Theoretische Physik II Mechanik

Theoretische Physik II
Mechanik
Prof. Dr. Stefan Scheel
Aufgaben Sommersemester 2013
Abgabe: 13.05.2013
Kontrollfragen
K20 Wie lauten die Bilanzgleichungen mit Nebenbedingungen?
K21 Erläutern Sie die Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren.
K22 Wie lauten die Lagrange’schen Gleichungen 1. Art? Welche Größen müssen für die
Lösung des Bewegungsproblems in diesem Fall bestimmt werden?
K23 Was sind generalisierte Koordinaten?
Übungsaufgaben
A14 Schiefe Ebene (4 Punkte)
Ein Massenpunkt bewegt sich unter Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei über eine geneigte Ebene (Neigungswinkel α bezüglich der Oberfläche, g = g(0, 0, −1)T ).
Lösen Sie das Bewegungsproblem unter Verwendung des d’Alembertschen Prinzips.
Berechnen Sie die auftretenden Zwangskräfte.
A15 Gewölbte schiefe Ebene (6 + 3 Punkte)
Eine Rinne mit konstanter Krümmung κ = const. ist unter einem Winkel α zum
Erdboden geneigt. Ein Massepunkt der Masse m wird bei der Anfangshöhe h0 mit
der Geschwindigkeit v(t = 0) = v0 in die Bahn gelassen. Lösen Sie das Bewegungsproblem mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen I. Art.
a) Lösen Sie das Problem in Zylinderkoordinaten. Die z-Achse liegt parallel zur
Rinne (parallel zur Hangabtriebskraft). Zeigen Sie zunächst, dass die Gewichtskraft FG = mg die folgende Form annimmt
FG (%, ϕ, z) = cos α cos ϕ mge% − cos α sin ϕ mgeϕ + sin α mgez .
b) Zeigen Sie, dass das transformierte Kraftfeld weiterhin konservativ ist. Welche
Folgerungen ergeben sich damit für Lagrange-Funktion?
c) Lösen Sie das Bewegungsproblem unter Zuhilfenahme der Erkenntnis aus Aufgabenteil b) und in der Näherung kleiner Winkel ϕ. Skizzieren Sie die Bahnkurve ϕ(z) graphisch und diskutieren Sie das Ergebnis.
d) Zeigen Sie die Lösungen der Grenzfälle für α = 0◦ und α = 90◦ aus der
Lagrange-Gleichung.
ZA e) Bestimmen Sie die ortsabhängige Kreisfrequenz ω̄(z) der Bahnkurve ϕ(z) =
sin(ω̄(z)z). In Analogie zur Wellenmechanik gilt für dispersive Medien dω̄(z)
6=
dz
0. Wie wirkt sich die Dispersivität auf die Bahnkurve der Masse auf der gewölbten Ebene aus? Welche Bahnkurve würde sich im Fall eines nicht-dispersiven
Verhalten des Massenpunktes ergeben?