Lösungen zur linearen Algebra II, Blatt 5

Lösungen zur linearen Algebra II, Blatt 5
Aufgabe 1: Wie man leicht nachrechnet, gilt A2 =
nur durch die folgende Matrix gegeben sein:

[0] [1]
[0] [0]
[0] [0]
0. Die Jordansche Normalform kann daher

[0]
[0] .
[0]
Aufgabe 2:
Behauptung. Die Fitting-Zerlegung von A ist R3 = N ⊕ U mit
N = he1 , e2 i,
U = h4e1 + 2e2 + e3 i.
Die Einschränkung von A auf N ist nilpotent, und die Einschränkung auf U invertierbar.
Beweis. Es gilt

0
A2 = 0
0
0
0
0

8
4 .
2
Setze also N = ker A2 = he1 , e2 i und U = im A2 = h4e1 + 2e2 + e3 i. Daraus folgt, dass N
und U invariant unter A sind. Außerdem gilt A2 |N = 0, d.h. die Einschränkung von A auf
N ist nilpotent von der Ordnung 2, und A2 |U = 2 · idU , die Einschränkung von A auf U ist
also invertierbar. Weiterhin gilt N ⊕ U = R3 , und damit ist gezeigt, dass diese Unterräume
die Fitting-Zerlegung realisieren.
Aufgabe 3:
Behauptung. Hat F ∈ End R2 keinen Eigenvektor ¡in R2¢\ {0}, so gibt es eine Basis von
R2 bezüglich welcher F durch eine Matrix der Form ab −ba beschrieben wird.
Beweis. Die Abbildung F wird zunächst bezüglich der Standardbasis durch eine reelle Matrix
beschrieben, und diese Matrix definiert wiederum über die Inklusion M2 (R) ⊂ M2 (C) eine
Abbildung F C ∈ End C2 .
Sei λ = a + bi ein Eigenwert von F C mit a, b ∈ R. Nach Voraussetzung hat das charakteristische Polynom von F keine rellen Nullstellen, also ist λ nicht rell. Sei w ∈ C2 ein Eigenvektor
zum Eigenvektor λ. Wie wir auf Blatt 2 gesehen haben, ist dann w̄ ein Eigenvektor von F C
zum Eigenwert λ̄. Wegen λ 6= λ̄ sind w und w̄ linear unabhängig, und die Vektoren
1
v1 = √ (w + w̄),
2
i
v2 = √ (w − w̄).
2
bilden eine Basis von C2 . Die Matrix von F C bezüglich dieser Basis ist von der gesuchten
Form, und da v1 , v2 reelle Vektoren sind, ist die Behauptung bewiesen.
Aufgabe 4:
Behauptung. Für jedes A ∈ M2 (R) gilt genau eine der folgenden Aussagen.
1. Der Vektorraum R2 hat eine Basis aus Eigenvektoren von A, d.h. A ist diagonalisierbar.
2. Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar, und es gibt eine Basis von R2 , bezüglich welcher
A durch eine Matrix der Form ( a0 cb ) beschrieben wird.
3. Die Matrix hat keinen Eigenvektor.
1
Beweis. Falls A keinen Eigenvektor hat, so ist die Matrix vom dritten Typ nach Aufgabe 3.
Nehmen wir also an, es gibt einen Eigenvektor v1 zum Eigenwert a. Dann sind die folgenden
zwei Fälle zu unterscheiden:
1. Es gibt einen Eigenvektor v2 zu einem Eigenwert c, so dass v1 , v2 linear unabhängig
sind. Dann ist (v1 , v2 ) eine Basis von R2 , bezüglich welcher A durch die Matrix ( a0 0c )
beschrieben wird.
2. Kein Vektor aus R2 \ hv1 i ist ein Eigenvektor. Dann ergänze man v1 beliebig zu einer
Basis (v1 , v2 ). Nach Voraussetzung ist dann Av2 = bv1 + cv2 für irgendwelche b, c ∈ R
mit b 6= 0, d.h. die Matrix bezüglich dieser Basis ist ( a0 cb ).
Wir setzen
M1 =
M2 =
M3 =
© ¡ λ1
¢
¯
0
∈ M2 (R) ¯ λ1 ≥ λ2
0 λ
¯
© ¡ λ 1 ¢2
ª
¯
0 λ ∈ M2 (R) λ ∈ R ,
¯
© ¡ a −b ¢
ª
∈ M2 (R) ¯ b > 0 .
b a
ª
,
Behauptung. Jede relle 2×2-Matrix ist zu genau einer Matrix aus M1 ∪M2 ∪M3 konjugiert,
und zwar ist A genau dann zu einem Element aus Mi konjugiert, wenn A vom Typ i aus der
letzten Behauptung ist.
Beweis. Wir haben bereits bemerkt, dass jede Matrix zu genau einer der drei Klassen aus
der letzten Behauptung gehört. Wir überlegen uns zuerst, dass die Matrizen aus Mi zu der
i-ten Klasse gehören. Dann ist klar, dass eine beliebige Matrix nicht zu Matrizen aus zwei
verschiedenen Mengen Mi und Mj konjugiert ist.
• Offenbar gibt es für jede Matrix aus M1 eine Basis aus Eigenvektoren, also gehören alle
Elemente von M1 der ersten Klasse an.
• Ist A ∈ M2 , so hat R2 keine Basis aus Eigenvektoren. Andernfalls müssten x, µ ∈ R
existieren mit A(xe1 + e2 ) = µxe1 + µe2 , aber man sieht sofort an der Definition von
M2 , dass das nicht geht.
• Ist A ∈ M3 , so hat A keinen Eigenwert, denn das charakteristische Polynom χA ∈ R[T ]
hat keine Nullstellen: χA = (T − a)2 + b2 mit b 6= 0. Also ist A weder vom ersten noch
vom zweiten Typ, wir haben bereits bewiesen, dass A dann vom dritten Typ ist.
Für festes i ist eine Matrix in Mi eindeutig durch ihr charakteristisches Polynom bestimmt.
Da das charakteristische Polynom invariant unter Konjugation ist, sind daher keine zwei
Matrizen aus Mi konjugiert. Wir haben damit bewiesen, dass jedes Matrix in M2 (R) zu
höchstens einem Element aus M1 ∪ M2 ∪ M3 konjugiert ist.
Wir müssen noch zeigen, dass jede Matrix zu mindestens einem Element aus M1 ∪ M2 ∪ M3
konjugiert ist. Sei also A ∈ M2 (R) beliebig.
• Hat R2 eine Basis aus Eigenvektoren von A, so ist A offenbar konjugiert zu einer Matrix
aus M1 .
• Hat A einen Eigenwert λ und ist nicht diagonalisierbar, so ist das charakteristische
¡
¢
Polynom (T − λ)2 . Der Satz zur Jordannormalform (Satz 6.22) zeigt, dass λ0 λ1 die
einzig mögliche Jordannormalform für A ist.
• Hat A keinen Eigenwert, so ist A nach Aufgabe 3 konjugiert zu einem Element aus M3 .
2