Document

§2
2.1
2.3
2.4
2.5
2.7
2.8
Angeordnete Körper
Grundrechenregeln für < in einem angeordneten Körper
Weitere Rechenregeln für < und ≤
Positive und negative Elemente
Ungleichung des arithmetischen Mittels
Betrag und dessen Grundeigenschaften
Folgerungen aus den Betragsregeln
In diesem Paragraphen sei K immer ein angeordneter Körper. Es werden also
nur die in 1.14(i), (ii) und (iii) angegebenen Bedingungen vorausgesetzt. Alle
Ergebnisse dieses Paragraphen gelten damit jedoch insbesondere für den Körper
R der reellen Zahlen.
Als erstes werden die Grundrechenregeln für die Kleiner-Relation <“ hergelei”
tet. <“ war nach 1.9 mit Hilfe von ≤“ definiert worden. Die Beweise für die
”
”
Rechenregeln für <“ werden daher aus den Regeln für das Rechnen mit ≤“
”
”
in einem angeordneten Körper hergeleitet.
2.1
Grundrechenregeln für < in einem angeordneten Körper
(i)
Für a, b ∈ K gilt genau eine der drei Beziehungen:
a < b,
Sind a, b, c ∈ K, so gilt:
(ii)
(iii)
(A)
(M)
a = b,
a > b.
a < b ∧ b < c ⇒ a < c.
a < b ⇒ a + c < b + c,
a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc.
Beweis. In einem angeordneten Körper ist ≤ eine lineare Ordnung (siehe (ii)
der Definition 1.14 eines angeordneten Körpers). Nach 1.10 gelten daher (i)
und (ii) .
(iii) Nach 1.14(iii)(A) folgt aus a < b zunächst a+c ≤ b+c. Wäre a+c = b+c,
so folgte a = b, im Widerspruch zu a < b.
C1
[2]–1
Kapitel I
Reelle Zahlen
Nach 1.14(iii)(M) folgt aus a < b und 0 < c zunächst ac ≤ bc. Wäre ac = bc, so
folgte wegen c 6= 0, daß a = b wäre, im Widerspruch zu a < b.
2.2
< und Positivität
Für a, b ∈ K gilt:
(i)
a < b ⇐⇒ b − a > 0;
a ≤ b ⇐⇒ b − a ≥ 0.
a > 0 ⇐⇒ −a < 0;
a ≥ 0 ⇐⇒ −a ≤ 0.
a < 0 ⇐⇒ −a > 0;
(ii)
(iii)
a ≤ 0 ⇐⇒ −a ≥ 0.
a < b ⇐⇒ −b < −a;
(iv)
a ≤ b ⇐⇒ −b ≤ −a.
Beweis. Wir beweisen zunächst die strikten Ungleichungen, d.h. die Beziehungen mit < oder >.
a < b =⇒ 0 = a + (−a) < b + (−a) = b − a
(i)
2.1(iii)
b − a > 0 ⇒ 0 < b − a =⇒ a < (b − a) + a = b.
2.1(iii)
(ii) Setze b := 0 in (i).
(iii) Folgt aus (ii), wenn man a durch −a ersetzt und berücksichtigt, daß
−(−a) = a gilt.
(iv) a < b ⇐⇒(−a) − (−b) = b − a > 0 ⇐⇒ −b < −a.
(i)
(i)
Die Beziehungen mit ≤ folgen nun unmittelbar aus den Beziehungen mit < .
Z.B. gilt
a ≤ b ⇐⇒ (a = b ∨ a < b) ⇐⇒(b − a = 0 ∨ b − a > 0) ⇐⇒ b − a ≥ 0.
(i)
Wir schreiben im folgenden abkürzend:
•
2.3
a ≤ b ≤ c für (a ≤ b ∧ b ≤ c).
Weitere Rechenregeln für < und ≤
Sind a, b, c, d ∈ K, so gilt:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
[2]–2
a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d;
a < b ∧ c ≤ d ⇒ a + c < b + d;
Insbesondere: a > 0 ∧ b ≥ 0 ⇒ a + b > 0;
(0 ≤ a ≤ b) ∧ (0 ≤ c ≤ d) ⇒ ac ≤ bd;
(0 ≤ a < b) ∧ (0 < c ≤ d) ⇒ ac < bd;
Insbesondere: a > 0 ∧ b > 0 ⇒ ab > 0;
a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc;
C1
Angeordnete Körper
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc;
(a2 := a · a ≥ 0) ∧ (a 6= 0 ⇒ a2 > 0);
1 > 0 ∧ (a + 1 > a);
0 < a ⇒ 0 < 1/a;
0 < a < b ⇒ 1/b < 1/a;
a < b ∧ c > 0 ⇒ a/c < b/c.
Beweis. (i)
a≤b
1.14(iii)(A)
=⇒
a + c ≤ b + c,
c≤d
1.14(iii)(A)
=⇒
c + b ≤ d + b.
Aus der Transitivität von ≤ folgt a + c ≤ b + d.
(ii) Ist c = d, so folgt die Behauptung aus 2.1(iii)(A). Im Fall c < d aus der
Transitivität von < (siehe 2.1(ii)) und
a<b
c<d
=⇒
a + c < b + c;
=⇒
b + c < b + d.
2.1(iii)
2.1(iii)
Setze a := 0 und c := 0 in (ii); dann folgt aus 0 < b ∧ 0 ≤ d auch 0 < b + d.
(iii)
a≤b∧0≤c
1.14(iii)(M)
=⇒
ac ≤ bc;
c≤d∧0≤b
1.14(iii)(M)
=⇒
cb ≤ db.
Aus der Transitivität von ≤ folgt daher ac ≤ bd.
(iv)
a<b∧0<c
2.1(iii)(M)
=⇒
ac < bc,
c≤d∧0≤b
=⇒
bc ≤ bd.
1.14(iii)(M)
Aus der Transitivität von < folgt somit ac < bd.
Setze a := 0 und c := d in (iv), so folgt: b > 0 ∧ c > 0 ⇒ bc > 0.
a ≤ b ∧ c ≤ 0 =⇒ a ≤ b ∧ 0 ≤ −c,
(v)
2.2(ii)
=⇒
1.14(iii)(M)
a(−c) ≤ b(−c) ⇒ −ac ≤ −bc =⇒ bc ≤ ac.
2.2(iv)
a < b ∧ c < 0 =⇒ a < b ∧ 0 < −c
(vi)
2.2(ii)
=⇒
2.1(iii)(M)
−ac < −bc =⇒ bc < ac.
2.2(iv)
(vii) Ist a = 0, so ist a2 = 0 ≥ 0. Sei a 6= 0.
a > 0 =⇒ a2 > 0;
(iv)
C1
a < 0 ⇒ −a > 0 ⇒ a2 = (−a)2 > 0.
(iv)
[2]–3
Kapitel I
Reelle Zahlen
(viii) Aus 1 =
6 0 folgt nach (vii), daß 1 = 12 > 0 ist. Aus 0 < 1 folgt
a = 0 + a < 1 + a.
2.1(iii)
(ix) Wegen a 6= 0 existiert 1/a 6= 0. Wäre 1/a < 0, so würde aus 0 < a folgen:
1 = a · 1/a < 0; im Widerspruch zu (viii).
2.1(iii)
0 < a < b =⇒ 0 < 1/a ∧ 0 < 1/b ∧ a < b
(x)
(ix)
=⇒ 0 <
(iv)
(xi)
1
ab
∧a<b⇒
1
b
=a·
1
a·b
< b·
2.1(iii)
1
a·b
= a1 .
a < b ∧ c > 0 =⇒ a < b ∧ 0 < 1/c =⇒ a/c < b/c.
(ix)
2.1(iii)
Aus 2.3 folgt insbesondere: Die Gleichung
t2 + 1 = 0
besitzt keine Lösung t in einem angeordneten Körper K. Denn für jedes t ∈ K
gilt t2 ≥ 0 (siehe 2.3 (vii)) und somit wegen 0 < 1 (siehe 2.3(viii))
0 < 1 + t2 .
2.3(ii)
i2 + 1
(Da in den komplexen Zahlen
= 0 gilt, können die komplexen Zahlen auf
keine Weise zu einem angeordneten Körper gemacht werden.)
2.4
Positive und negative Elemente
Ein a ∈ K heißt positiv, wenn a > 0 ist.
K+ := {a ∈ K : a > 0}
ist also die Menge der positiven Elemente von K.
a ∈ K heißt negativ, wenn a < 0 ist.
K− := {a ∈ K : a < 0}
ist also die Menge der negativen Elemente von K.
Ein a ∈ K heißt nicht-negativ, wenn a ≥ 0 ist. Ein a ∈ K heißt
nicht-positiv, wenn a ≤ 0 ist.
(i)
a · b > 0 ⇐⇒
die Faktoren a, b sind entweder beide positiv oder beide negativ.
(ii)
(iii)
a · b < 0 ⇐⇒ einer der Faktoren ist positiv, der andere negativ.
Für b 6= 0 gilt: a/b > 0 ⇐⇒
a und b sind entweder beide positiv oder beide negativ.
Beweis. (i) ⇒“: 0 < ab ∧ a > 0 =⇒ 0 <
”
2.3(xi)
ab
a
0 < ab ∧ b > 0 =⇒ 0 <
2.3(xi)
[2]–4
= b;
a·b
b
= a.
C1
Angeordnete Körper
Ist also einer der beiden Faktoren a, b positiv, so auch der andere. Aus a · b > 0
folgt a · b 6= 0 und somit a 6= 0, b 6= 0.
Ist also keiner der beiden Faktoren positiv, so müssen beide negativ sein.
⇐“: Sind a, b > 0, so folgt a · b > 0 nach 2.3(iv).
”
Sind a, b < 0, so folgt: (a · b) = (−a) (−b) > 0.
(ii) a · b < 0 ⇐⇒ a · (−b) > 0 ⇐⇒ a, −b ∈ K+ ∨ a, −b ∈ K− ⇐⇒ einer der
2.2(ii)
(i)
Faktoren ist positiv, der andere negativ.
(iii) a · 1/b = a/b > 0 ⇐⇒[(a, 1/b ∈ K+ ) ∨ (−a, −1/b ∈ K+ )] ⇐⇒
(i)
2.3(ix)
[(a, b ∈ K+ ) ∨ (−a, −b ∈ K+ )] ⇐⇒ [(a, b ∈ K+ ) ∨ (a, b ∈ K− )].
2.5
Ungleichung des arithmetischen Mittels
Es seien a, b ∈ K und a < b. Ferner sei λ ∈ K mit 0 < λ < 1. Dann gilt:
a < λa + (1 − λ)b < b.
Insbesondere gilt mit 2 := 1 + 1
a<
a+b
2
< b.
Ist umgekehrt c ∈ K mit a < c < b gegeben, so gibt es ein λ ∈ K mit
0 < λ < 1 und
c = λa + (1 − λ)b.
Beweis. Es ist λ > 0 und 1 − λ > 0 (benutze 2.1(iii)(A)). Da a < b ist, gilt
daher nach 2.1(iii)(M):
λa < λb und (1 − λ)a < (1 − λ)b.
Hieraus folgt durch zweimalige Anwendung von 2.1(iii)(A):
a = λa + (1 − λ)a < λa + (1 − λ)b < λb + (1 − λ)b = b.
Nun ist 2 = 1 + 1 > 1 > 0. Also folgt 0 < 1/2 < 1. Daher ergibt
2.3(viii)
2.3(viii)
2.3(ix)
2.3(x)
sich die Aussage über das arithmetische Mittel aus dem eben Bewiesenen mit
λ := 1/2.
Sei c ∈ K mit a < c < b. Dann folgt 0 < b − c
<
b − a. Aus 2.4(iii)
2.2(i)
und 2.3(xi) folgt dann 0 <
(b−c)a+(c−a)b
b−a
2.6
b−c
b−a
< 1. Setze λ :=
2.2(iv),2.1(iii)
b−c
b−a . Dann ist
= c.
λa + (1 − λ)b =
Dazwischenliegen
Sind a, b, c ∈ K, so sagt man c liegt zwischen a und b, wenn gilt:
min({a, b}) < c < max({a, b})
Zwischen zwei verschiedenen Elementen von K liegt stets ein weiteres
Element von K.
C1
[2]–5
Kapitel I
Reelle Zahlen
Beweis. Man bezeichne das kleinere der beiden Elemente mit a, das größere
mit b. Dann folgt mit c := a+b
2 ∈ K nach 2.5: a < c < b.
2.7
Betrag und dessen Grundeigenschaften
Für a ∈ K heißt
|a| := max({−a, a}) =
der Betrag von a.
½
a, falls a ≥ 0,
−a, falls a < 0,
Für alle a, b ∈ K gilt:
(i)
(ii)
(iii)
|a| ≥ 0, wobei |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
|a · b| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
(Definitheit);
(Multiplikativität);
(Dreiecksungleichung).
Beweis. Ist a ≥ 0, so ist −a ≤ 0 und daher max({−a, a}) = a(≥ 0). Ist a < 0,
so ist −a > 0 und daher max({−a, a}) = −a(≥ 0). Dies beweist die Darstellung
von max({−a, a}).
(i) Die Vorüberlegung zeigt, daß |a| = max({−a, a}) ≥ 0 ist. Sei |a| = 0.
Wäre a > 0, so wäre |a| = a > 0. Wäre a < 0, so wäre |a| = −a > 0. Also muß
a = 0 sein. Ist a = 0, so gilt |a| = a = 0.
(ii) Ist a · b = 0, so folgt a = 0 oder b = 0 und somit |a| = 0 oder |b| = 0. Also
(i)
(i)
gilt:
|a · b| = 0 = |a||b|.
(i)
Ist a · b > 0, so sind a > 0 und b > 0 oder a < 0 und b < 0 (siehe 2.4(i)). Es
folgt daher:
½
|a| · |b|,
für a, b > 0,
|a · b| = a · b =
(−a) · (−b) = |a| · |b|, für a, b < 0.
Ist a · b < 0, so sind a > 0 und b < 0 oder a < 0 und b > 0 (siehe 2.4(ii)). Es
folgt daher
½
a · (−b) = |a| · |b|, falls a > 0, b < 0,
|a · b| = −(a · b) =
(−a) · b = |a| · |b|, falls a < 0, b > 0.
(iii) Es sind −a, a ≤ |a| und −b, b ≤ |b|. Also gilt
−(a + b), a + b ≤ |a| + |b|.
2.3(i)
Also ist |a + b| = max({a + b, −(a + b)}) ≤ |a| + |b|.
[2]–6
C1
Angeordnete Körper
2.8
Folgerungen aus den Betragsregeln
Für a, b ∈ K gilt:
(i)
|−a| = |a|;
(iii)
|a − b| = |b − a|;
½
|a − b|,
||a| − |b|| ≤
|a + b|;
(iv)
b 6= 0 ⇒ | ab | =
(ii)
|a|
|b| .
Beweis. (i) |−a| = |(−1)a| = |−1||a|
2.7(ii)
=
2.3(viii)
1|a| = |a|.
(ii) |a − b| = |−(a − b)| = |b − a|.
(i)
(iii)
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|, also ist |a| − |b| ≤ |a − b|.
2.7(iii)
Folglich ist auch −(|a| − |b|) = |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|. Also gilt
(ii)
||a| − |b|| = max{|a| − |b|, −(|a| − |b|)} ≤ |a − b|.
Die zweite Ungleichung in (iii) folgt aus der ersten, indem man für b den Wert
−b einsetzt und (i) berücksichtigt.
(iv) Für b 6= 0 ist |a · 1/b| |b| = |(a · 1/b) · b| = |a|, also gilt (iv).
2.7(ii)
2.9
Betrag und Kleiner-Relation
Sei ε ∈ K+ . Dann gilt für a, b ∈ K :
(i)
(ii)
(iii)
|a| < ε ⇐⇒ −ε < a < ε;
|b − a| < ε ⇐⇒ a − ε < b < a + ε.
Die Aussagen (i) und (ii) bleiben richtig, wenn überall < durch
≤ ersetzt wird.
Beweis. (i) |a| < ε
⇐⇒ −ε < a < ε.
⇐⇒
|a|=max({−a,a})
(a < ε ∧ −a < ε) ⇐⇒ (a < ε ∧ −ε < a)
2.2(iv)
(ii) |b − a| < ε ⇐⇒ −ε < b − a < ε ⇐⇒ a − ε < b < a + ε.
(i)
(iii) Wegen |b − a| ≤ ε ⇐⇒ (|b − a| < ε ∨ |b − a| = ε) folgt (iii) aus (ii) bzw.
aus (i).
Ist T eine Teilmenge der linear geordneten Menge (M :=)K, so läßt sich die
Beschränktheit, die in 1.3 definiert war, mit Hilfe des Betrages ausdrücken.
C1
[2]–7
Kapitel I
2.10
Reelle Zahlen
Beschränktheit von Teilmengen von K
Sei T ⊂ K. Dann gilt: T ist beschränkt
⇐⇒ (∃r ∈ K+ ) mit |t| ≤ r für alle t ∈ T.
Beweis. ⇒“ Nach Definition 1.3 gibt es s1 , s2 ∈ K mit s1 ≤ t ≤ s2 für alle
”
t ∈ T. Also gilt mit r := |s1 | + |s2 | + 1 ∈ K+ für t ∈ T :
−r ≤ −|s1 | − |s2 | ≤ s1 ≤ t ≤ s2 ≤ |s1 | + |s2 | ≤ r,
d.h. |t| ≤ r nach 2.9(iii).
⇐“ Nach 2.9(iii) gilt −r ≤ t ≤ r für alle t ∈ T. Also besitzt T eine untere und
”
obere Schranke.
Wir wollen diesen Paragraphen mit einigen Bemerkungen zur Bedeutung und
zum Wert von Beweisen schließen:
1) Beweise ermöglichen es, sich davon zu überzeugen, daß Aussagen gültig sind.
2) Sie zeigen, wie Definitionen und andere Sätze angewandt werden; in diesem
Sinne können sie selbst als Beispiele für die Vorlesung aufgefaßt werden.
3) Sie verdeutlichen den Ablauf der Veranstaltung, und ermöglichen daher, sich
besser an den Inhalt der Veranstaltung zu erinnern.
4) Sie zeigen, welche Techniken immer und immer wieder angewandt werden
und lassen daher die grundlegenden Ideen besser hervortreten.
5) Sie ermöglichen es auch, die Gegenstände der Veranstaltung auf andere Situationen anzuwenden, z.B. oftmals durch Beweismodifikationen oder Beweisverallgemeinerungen.
6) Sie sollen als Muster dienen und in die Lage versetzen, selbst die Beweise
korrekt durchzuführen bzw. selbst Beweisideen zu finden.
7) Beweise sind ein Teil des intellektuellen Reizes und Inhaltes der Mathematik.
[2]–8
C1