7. Impuls

04.02.2013
7. Impuls
7.1 Definition und Impulserhaltung
Versuch: Rakete
Maß für die Schwierigkeit, den Bewegungszustand v eines Teilchens der Masse m zu
ändern.
Beispiel: Lastwagen oder Kleinwagen mit gleicher v abbremsen. Hängt ab von m und v.


p  mv
Umgangssprache: Große Wucht oder Schwung (engl. momentum) = großer Impuls
Ableitung nach der Zeit:



dv  dm
dp d
 m  v   m 
v
dt
dt
dt dt
speziell für m = const:
 dp
  dm
F
 ma  v 
dt
dt


 
dp
dv
 m
 ma  F
dt
dt
2. Newtonsche Gesetz (allgemeine Form)
System ohne äußere resultierende Kräfte (freie Körper oder abgeschlossenes System):

 Fext  0
 v  const

für Fext  0

1. Newtonsche Gesetz

dp
0 
dt

p  const
Impulserhaltung
Der Gesamtimpuls von miteinander wechselwirkenden Teilchen eines abgeschlossenen
Systems oder eines freien Teilchens bleibt zeitlich konstant.
Definition:
Zentraler Stoß: die stoßenden Körper bewegen sich in einer Linie
7-1
04.02.2013
Aufgabe:
vorher
nachher
Systemgrenze
Geg.: Zentraler Stoß zweier Schlittschuhfahrer ohne Reibung
- mM = 70 kg
vM = 0,3 m/s nach dem Abstoßen
- mJ = 35 kg
vJ = gesucht
- Abstoßen: System = Mann + Junge in Ruhe FJ = FM
Äußere Kräfte


Fext  0  p ges  const
Vorher

in Ruhe: vM  v J  0  p ges  0
Nachher:
p ges  mM  vM  mJ  v J  0
vJ 
Eisscholle unbewegt
abgeschlossenes System
Vorzeichen von v beachten
m
mM  v M
 2  v M  0,6
s
mJ
Beachte: Mechanische Gesamtenergie bleibt nicht erhalten; nicht konservative Kräfte
Vorher: Wmech = Wkin + Wpot = 0 ;
nachher:
Wpot = 0
Wmech 
1
1
2
mJ  v J2  mM  v M
 W pot  0
2
2
Wpot = 0
Gesamtenergie bleibt erhalten: Wmech wird erbracht durch chemische Energie der Beiden.
kein elastischer Stoß
7.2 Elastischer Stoß
Def.: Die kinetische Energie des abgeschlossenen Systems bleibt erhalten
Beispiel:
7-2
04.02.2013
Geg.: v1a , v2a , m1 , m2
Stoß für v1a > v2a ;
und keine Reibung, waagrechter Stoß
Ges.: v1e; v2e. Zwei Unbekannte  2 Gleichungen
1. Impulserhaltung:
m1  v1a  m2  v2 a  m1  v1e  m2  v2 e
2. Energieerhaltung (Wpot = 0):
1
1
1
1
m1  v12a  m2  v22a  m1  v12e  m2  v22e
2
2
2
2
Lösungsweg:
v2 e  v1e   v2 a  v1a 





Aus 1. und 2.


Differenz nachher > 0 = Differenz vorher < 0
Entfernungsgeschwind. = Annäherungsgeschw.
v1e 
m1v1a  m2 2v2 a  v1a 
m1  m2
v2 e 
Versuch: Luftkissenbahn (Video #11)
1. Elastischer Stoß
Geg.: v2 a  0; m1  m2  m
v1e 
m  v1a  m  v1a
0
2m
v2 e 
0  m  2  v1a
 v1a
2m
7-3
Vorzeichenumkehr v2e > v1e
m2v2 a  m1 2v1a  v2 a 
m1  m2
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7.3 Inelastischer Stoß (plastisch)
Def.: Die gesamte kinetische Energie des abgeschlossenen Systems bleibt nicht erhalten
Vereinfachung:
vollständiger inelastischer Stoß, gemeinsame Bewegung nach dem Stoß
d.h. Relativgeschwindigkeit nach dem Stoß = 0, d.h. v1e  v2e
abgeschlossenes System: waagrecht, keine Reibung  Impulserhaltung
pa  m1  v1  m2  v2
pe  ( m1  m2 )  ve
=
ve 
m1  v1  m2  v2
m1  m2
Versuch Luftkissenbahn (Video #12)
2. Inelastischer Stoß
ve 
mit m1  m2  m und v2  0 :
m1
1
 v1   v1
m1  m2
2
Energiebetrachtung (mit Wpot = 0, wg. waagrechter Stoß):
Vorher
1
1
Wkin,a  m1v12  m2 v22
2
2
Wkin  Wkin ,a  Wkin ,e 
nachher
Wkin ,e 
1 m1  m2
v1  v2 2
2 m1  m2
1
( m1  m2 ) ve2
2
keine mechanische Energieerhaltung
nur für v1 = v2  kein Stoß
Gesamtenergie bleibt aber erhalten !
Differenz Wkin  0 → Thermische Energie, Verformungsenergie
In der Praxis: meist weder vollständig elastisch noch vollständig inelastisch
7-4
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7.4 Stöße in mehreren Dimensionen
kein zentraler Stoß:  vektorielle Form
Zur Vereinfachung Sonderfall:
Vollständig inelastischer Stoß (veränderte Wkin )
 nur mges bewegt sich  nur ein ve
Beispiel:




p ges  m1  v1  m2  v2  (m1  m2 )  ve
Beispiel 1: Zwei Autos mit rechtwinkeligem vollständig inelastischen Stoß:
Geg.:


v1  v1  ex


v2  v 2  e y
vorher:
nachher:

ve 
1
m1  m2


p1  m1  v1  ex


p2  m2  v2  e y

   m v 
p ges  p1  p2   1 1 
 m2  v2 

p ges
 m1  v1 

1



ve 
m1  m2 m1  m2  m2  v2 
m1v1 2  m2v2 2

p2 m2 v2
tg    
p1
m1v1
Lösung:
2 Gleichung für 2 Unbekannte vex , vey
7-5

ges: ve
 lösbar
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Beispiel 2: Schiefer vollständig elastischer Stoß auf eine Wand
Geg:



p1a und v2 a  v2 e  0 d.h. unverrückbare Wand; Wkin = const.  keine Reibung
Stoß: p x :
py :
ohne Reibung unverändert, kein Abbremsen  v x  const kein Stoß
aus 7.2: v1e 
m1v1a  m2 2v2 a  v1a 
m1  m2
mit v2 a  0 und v1a  v ya

v ye 
v2 e 
m2 v2 a  m1 2v1a  v2 a 
m1  m2

m1v ya  m2  v ya
m1  m2

v ye
unverrückbare Wand v2e  0 
m1
v ya   v ya
m2

m1
1
m2
m1
 0 oder m2  
m2


und v2e 


m1 2v ya
m1  m2

und
v2 e
m1
2v ya
m2

m1
1
m2
 v ye  v ya

v y  const und p y  p ya  p ye  m1 v ya  v ya  2 p y
und mit p x  const    
7.5 Kraftstoß
Der Gesamtimpuls bleibt erhalten, der Impuls der einzelnen Körper ändert sich aber.
Wie groß ist er? Zeitlicher Verlauf?


dpt 
F (t ) 

dt
pe
t
 e 
d
p

  F t   dt
pa
ta
t


 e 
pe  pa   p   F (t )  dt
Kraftstoß oder Impulsübertrag
ta
7-6


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typischer Kraftverlauf für Stoß:
te
t  t a vorher:
ta
t  t e nachher: F = 0

F
 (t )  dt
F = 0
t
Kontaktzeit sehr klein (ms-Bereich)
Fmax
oft sehr groß.
Beispiel: Finger einzwicken in Türe:
Finger ist Sensor für p der Türe

Genauer Verlauf F (t ) häufig nicht bekannt.
Näherung: Mittlere zeitlich konstante Kraft <F>
te
Flächengleichheit:



 F t   dt   p   F  t
ta


 F  t   p
tatsächliche noch größer in der Spitze, hat aber die selbe Wirkung
Beispiel: Ei rollt vom Tisch h = 1 m
m = 50 g
Ges.: mittlere Kraftstoß beim Aufprall  F    p / t
1
m v2
2
Geschwindigkeit:
m g h 
Impuls:
pa  m  v  0,22
 v  2 gh  4,4 m/s
kgm
s
kurz vor Aufprall
pe  0
p  0,22
Aufprallzeit:
(ohne Reibung)
nach dem Aufprall
kgm
s
Bremsweg = ½ Eidurchmesser; Massenmittelpunkt  2 cm = h
Annahme: Abbremsung = a = const
7-7
04.02.2013
mittlere Kraft:
Gewichtskraft Ei:
h 
1
v  t
2
t 
2h 2  0,02 m

 9 ms
4,4 m/s
v
F 
p 0,22 kgm

 24 N
t 9  10  3 s 2
G  0,05  9,81  0,5N
Aufprallkraft ̂ ca. 50 fachen „Gewicht“ ̂ 2,4 kg
allgemein:
F 
p m  Δ v 2 Wkin


2  h
t
Δh
F Δh  „Zerstörungsarbeit“
Bremsweg ~ 1 m (Knautschzone = h)
Anderes Beispiel: Sicherheitsgurt
Amaturenbrett ~ 10 cm
7.6 Raketenantrieb
Gesucht: FS Schubkraft
Ausgestoßene Masse dm  0
dm
0
dt
u Ausstoßgeschw. rel. zur Rakete
v-u
Ausstoßgeschw. rel. zum
Bezugssystem
p1  m  v
p2  (m  dm)  (v  dv)  dm  (v  dv  u )
Gesamtimpuls des Systems
vgl. 2 Schlittschuhfahrer vor und nach der Trennung (7.1); entgegengesetzte Richtung
p2  m  v  m  dv  v  dm  dv dm  v dm  dvdm  u dm  p1  m dv  u dm
p1
p2  p1  dp  m dv  u dm
 dt
7-8
04.02.2013
dp
dv
dm
 m u
 Fext
dt
dt
dt
Raketengleichung
keine Impulserhaltung, wenn Fext  0
FS  u 
mit
m
dm
dt
Schub oder Schubkraft mit
dm
 0  FS entgegen u
dt
dv
  FS  Fext   F
dt
Berechnung der Endgeschwindigkeit ve nach Brennschluß te:
a) Startphase: Fext = - m· g: (g entgegengesetzt zu y)
Start:
v0 = 0 Startgeschwindigkeit
t0 = 0 Zündzeitpunkt
Brennschluß:
m
m0
Startmasse = Nutzlast + Treibstoff
me
Masse nach Brennschluß = Nutzlast
te
Brenndauer = Beschleunigungsdauer
dv
dm
 m  g  u
dt
dt
dv
u dm
 g 
dt
m dt
ve
te
me
0
0
m0
 dv    gdt   u
 dt
dm
m
mit Annahme: g = const. und u = const.
v e   g  t e  u  ln
me
m0
Bremsen Beschleunigung
ln
me
0
m0
7-9
wg. me < m0
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b) für Fext = 0 (im Weltall im schwerelosen Zustand): Summe der äußeren Kräfte = 0
ve  u  ln
typ.
m0
me
m0
 10
me
d.h. Nutzlast = 10% vom Startgewicht
 ve  2,3  u
ln-Funktion begrenzt die Endgeschwindigkeit
Eine weitere Reduzierung der Nutzlast bringt keinen wesentlichen Gewinn mehr.
Für 1 % Nutzlast  v  4,6  u
Nutzlast Faktor 10 kleiner, nur doppelte Geschwindigkeit
u optimieren: durch Düse, Treibstoff und mehrstufige Raketen
7-10