Aufgabe: Schwingung

Aufgabe: Schwingung
An eine Stahlfeder wird eine Kugel mit der Masse 500g gehängt.
x
Federkraft:
F1 = -bx
(b = 50 N/m)
Gravitationskraft:
F2 = mg
(g = 9,8 m/s2)
m = 500g
x2
W = ∫ F ( x)dx
F = ma
Wkin = 12 mv 2
x1
x(t ) = A cos
(
b
m
)
t + ϕ = A cos(ωt + ϕ )
1. Um wie viel dehnt sich die Feder infolge des Gewichts der Kugel? (Gewicht der Feder
vernachlässigbar.)
2. Wie viel Kraft müssen Sie aufwenden, um die Kugel 5 cm weiter nach unten zu
ziehen?
3. Welche Arbeit leisten Sie, wenn Sie die Kugel 5 cm nach unten ziehen?
Welche potentielle Energie erhält die Kugel dabei?
4. Sie lassen die Kugel nun los. Wie groß ist die Beschleunigung der Kugel (gleich nach
dem Loslassen)?
5. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht die Kugel (Energieverluste vernachlässigbar)?
Wie groß ist die maximale kinetische Energie?
Wie weit nach oben bewegt sich die Kugel?
6. Wie groß ist die Periode der Schwingung, wie groß die Frequenz?
Von welchen Größen hängen Periode bzw. Frequenz ab?
Lösung:
1.
xo =
bx o = mg
F1 + F2 = 0
mg
= 9,8 ⋅ 10 − 2 m
b
2.
x1 = xo + 5 cm = 14,8 cm
F = F1 + F2 = mg − bx1 = −2,5 N
3.
x1
x1
x1
xo
xo
xo
W = ∫ Fdx = ∫ (mg − bx)dx = ∫ b( xo − x)dx = − 12 b( x1 − x o ) 2 = −625 ⋅ 10 − 4 Nm
W pot = − W
4.
a=
F
m
= −5 2
m
s
5.
Gesamtenergie bleibt erhalten: Wkin ,max = W pot ,max = 625 ⋅ 10 −4 Nm
1
2
2
mv max
= 12 b( x1 − xo ) 2
v max = ±
Anderer Lösungsweg:
x − x o = ( x1 − xo ) cos(ω t )
dx
v=
= −ω ( x1 − x o ) sin(ω t )
dt
b
m
( x1 − x o ) = ±5 ⋅ 10 −1
m
s
vmax erhält man für sin(ωt) = ±1
Bewegung nach oben bis x1 – 10 cm = 4,8 cm
6.
ω T = 2π
f =
T=
2π
b
m
= 0,63 s
1
= 1,6 Hz
T
Periode bzw. Frequenz hängen nur von Federkraft und Masse ab, nicht von der Auslenkung
(Amplitude).
Aufgabe: Kinetische Gastheorie
Wkin = 12 mv 2 = 32 kT
J drift = n vdrift = n μ F
J diff = D
dn
dx
pV = N k T
τ
μ= s
2m
D = kTμ
⎛ W pot ( x2 ) − W pot ( x1 ) ⎞
⎟⎟
n( x2 ) = n( x1 ) exp⎜⎜ −
kT
⎝
⎠
1. Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck ungefähr 1·105 Pa = 1·105 N/m2 (= 1 atm).
Wie groß ist die Dichte der Luftmoleküle bei einer Temperatur von 0° C = 273 K?
(k = 1,38·10-23 Nm/K)
2. Wie groß ist die mittlere thermische Geschwindigkeit (Wurzel des mittleren
Geschwindigkeitsquadrats) der Luftmoleküle bei T = 273 K? Für die Masse der
Luftmoleküle nehmen Sie deren durchschnittlichen Wert von 4,8·10-26 kg.
3. Wie groß ist die von der Gravitationskraft verursachte Driftgeschwindigkeit der
Moleküle, wenn die Zeit zwischen zwei Stößen 1·10-9 s beträgt?
(F = mg mit g = 9,8 m/s2)
4. Leiten Sie aus den Gleichungen für die Drift- und Diffusionsstromdichten die
Differenzialgleichung ab, welche die Verteilung der Moleküle im thermischen
Gleichgewicht ergibt (Boltzmann’sches Gesetz).
5. Berechnen Sie, wie der Luftdruck (prozentual) mit zunehmender Höhe abnimmt.
(Näherungen: Gleichgewicht mit konstanter Temperatur 273 K, mittlere Masse der
Luftmoleküle m = 4,8·10-26 kg)
Betrachten Sie folgende Höhen:
a) 2000 m
b) 4000 m
c) 8000 m
Lösung:
1.
n=
N
p
=
= 2,65 ⋅ 10 25 m −3
V kT
2.
v=
3kT
m
= 485
m
s
3.
v drift = μ F =
τs
2m
mg = 12 τ s g = 5 ⋅ 10 −9
m
s
4.
J drift + J diff = 0
D
dn
= − nμ F Lösung der Gl. ergibt Boltzmann’sches Gesetz
dx
5.
p ( h) n( h)
⎛ mgh ⎞
=
= exp⎜ −
⎟
p (0) n(0)
⎝ kT ⎠
Boltzmann’sches Gesetz
a) 2000 m:
p ( h)
= exp(−0,25) = 0,8
p(0)
b) 4000 m:
p ( h)
= exp(−0,5) = 0,61
p(0)
c) 8000 m:
p ( h)
= exp(−1) = 0,37
p(0)
Aufgabe: Bohr’sches Atommodell
p = mv =
h
Fq = −
λ
h = 6,626·10-34 Js
m = 9·10-31 kg
q2
4π ε 0 r 2
q = 1,6·10-19 As
c = 3·108 m/s
v2
Fz = m
r
ε0 = 8,85·10-12 As/Vm
1. Nach den Theorien von Bohr und de Broglie ist eine stabile Elektronenbahn im Atom
dadurch bestimmt, dass der Umfang der Bahn (2πr) gleich der Wellenlänge des
Elektrons oder ein ganzzahliges Vielfaches davon ist. Außerdem gilt natürlich die
Bedingung, dass die elektrostatische Anziehung zwischen Elektron und Atomkern von
der Zentrifugalkraft kompensiert wird.
a) Leiten Sie aus diesen Bedingungen die Gleichung für die Radien der stabilen
(kreisförmigen) Elektronenbahnen des Wasserstoffatoms ab.
b) Der kleinste Radius beträgt 0,0529·10-9 m (n = 1).
Berechnen Sie die Bahnradien für die Quantenzahlen n = 2 bis 5.
2. Wie lautet die Gleichung, welche die kinetische Energie der Elektronen (½ mv2) als
Funktion der Bahnradien beschreibt (2 Möglichkeiten)?
3. Die potentielle Elektronenenergie ist gegeben durch (Integration über
Anziehungskraft):
W pot = −
q2
4π ε 0 r
a) wie lautet die Gleichung für die gesamte Elektronenenergie?
b) Die Elektronenenergie für n = 1 beträgt -2,18·10-18 J.
Berechnen Sie die Elektronenenergien für die Quantenzahlen n = 2 bis 5.
4. Wie groß sind die Frequenzen und Wellenlängen (W = hf, λf = c) der Strahlung, die
bei Übergängen eines Elektrons zwischen folgenden Zuständen emittiert wird:
a) von n = 3 nach n = 2
b) von n = 4 nach n = 2
c) von n = 5 nach n = 2
(Welche Farben hat das emittierte Licht?)
Lösung:
1.a)
p=
h
nλ = 2π r
λ
Fq + Fz = 0
p=
nh
r
q2
mv 2 m ⎛ nh ⎞
=
= ⎜
⎟
r
r ⎝ mr ⎠
4πε o r 2
v=
2
r=
p nh
=
m mr
4πε o
(nh )2
2
mq
1.b)
rn = r1 n 2
r2 = 4r1 = 0,212 ⋅ 10 −9 m
r3 = 9r1 = 0,48 ⋅ 10 −9 m
r4 = 16r1 = 0,85 ⋅ 10 −9 m
r5 = 25r1 = 1,3 ⋅ 10 −9 m
2.
Fz = -Fq ergibt:
p=
nh
ergibt:
r
Wkin = 12 mv 2 =
Wkin =
q2
8πε o r
1 ⎛ nh ⎞
p2
=
⎜ ⎟
2m 2m ⎝ r ⎠
2
3.a)
W = W pot + Wkin = −
q2
8πε o r
3.b)
W
q2
= 21
Wn = −
2
8πε o r1 n
n
W1
= −5,4 ⋅ 10 −19 J
4
W
W4 = 1 = −1,4 ⋅ 10 −19 J
16
W1
= −2,4 ⋅ 10 −19 J
9
W
W5 = 1 = −8,7 ⋅ 10 − 20 J
25
W2 =
4.
f =
W j − Wi
h
λ=
W3 =
c
f
a) von n = 3 nach n = 2:
f = 4,5 ⋅ 1014 s −1
λ = 660 ⋅ 10 −9 m
b) von n = 4 nach n = 2:
f = 6 ⋅ 1014 s −1
λ = 500 ⋅ 10 −9 m
blaugrün
c) von n = 5 nach n = 2:
f = 6,8 ⋅ 1014 s −1
λ = 440 ⋅ 10 −9 m
blau
rot
Aufgabe: Tunneln durch Barriere
Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen eine schmale Energiebarriere
durchtunneln.
W
Ψ ( x) = C exp(ikx)
Wpot (x)
W
x1
x2
k=
x
2mWkin
p
=
h
h
h = 6,626·10-34 Js
m = 9·10-31 kg
1. Wie sieht die Funktion Ψ(x) des Elektrons in dem Bereich aus, in welchem die
Elektronenenergie W kleiner als die potentielle Energie Wpot ist (x1 ≤ x ≤ x2)?
2. Berechnen Sie das Verhältnis der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten |Ψ(x2)|2 / |Ψ(x1)|2 für
eine Energiedifferenz
Wpot – W = 3 eV = 3·1,6·10-19 J (Nm)
und für folgende Barrierebreiten:
a) x2 – x1 = 5·10-9 m
b) x2 – x1 = 1·10-9 m
Lösung:
1.
2.
⎛
2m(W pot − W ) x ⎞
⎟
Ψ = C exp⎜ −
⎜
⎟
h
⎝
⎠
Ψ2
2
Ψ1
2
⎛ 2 2m(W pot − W ) ( x 2 − x1 ) ⎞
⎟
= exp⎜ −
⎜
⎟
h
⎝
⎠
-9
a) x2 – x1 = 5·10 m
-9
b) x2 – x1 = 1·10 m
Ψ2
2
Ψ1
2
= exp(−88,1) = 5,5 ⋅ 10 −39
Ψ2
2
Ψ1
2
= exp(−17,6) = 2,2 ⋅ 10 −8
Aufgabe: Elektronengeschwindigkeiten
E=−
Φ
dφ
dx
F = −qE = ma
U=1V
vdrift = − μ n E
x
0
1 µm
Wkin = 12 mv 2 = 32 kT
Bei einem linear mit x ansteigendem elektrischen Potential betrage die Potentialdifferenz
(Spannung) 1 Volt über einer Strecke von 1 µm.
1) Betrachten Sie zunächst die Wirkung dieses Potentialverlaufs auf ein Elektron, das sich im
Vakuum befindet. Welche Geschwindigkeit erreicht das Elektron bei x = 1 µm, wenn es
bei x = 0 in Ruhe war (Elektronenmasse m = 9·10-31 kg, q = 1,6·10-19 As)?
(Hinweis: AsV = Nm = kgm2/s2)
2) Betrachten Sie nun die Bewegung eines Leitungselektrons in einem Halbleiterkristall.
a) Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit des Elektrons, wenn seine Beweglichkeit
µn = 1000 cm2/Vs beträgt?
b) Wie groß ist die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen bei einer Beweglichkeit von
µn = 1000 cm2/Vs und einer effektiven Elektronenmasse meff = 2,25·10-31 kg?
c) Welche mittlere freie Weglänge ergibt sich aus der Zeit zwischen zwei Stößen und der
thermischen Geschwindigkeit der Elektronen in x-Richtung bei T = 300 K
(kT = 4,14·10-21 Nm)?
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Abstand der Atome des Kristallgitters, der
ungefähr 10-10 m beträgt.
Ist das Driftmodell noch gut für Halbleiterdimensionen, die kleiner als die mittlere freie
Weglänge sind?
Lösung:
1.
F = −qE = ma
a=−
d = 12 at 2 =
v = at
1
2
qE
m
v2
a
qE
m
⎛ qEd ⎞
= 6 ⋅ 10 5
v = 2ad = 2⎜ −
⎟= 2
m
s
⎝ m ⎠
2.a)
E=−
U
V
V
= −1
= −1 ⋅ 10 4
d
μm
cm
v drift = − μ n E = 1000
cm 2
V
cm
⋅ 10 4
= 10 7
Vs
cm
s
2.b)
v drift = 12 aτ s = − 12 τ s
τs =
2meff μ n
=
q
qE
= −μ n E
meff
4,5 ⋅ 10 −31 kg ⋅ 1000 ⋅ 10 − 4
1,6 ⋅ 10
2.c)
l = v xτ s
vx =
v x2 = 13 v 2
1
2
−19
kgm 2
Vs 2
μn =
1
2
τ sq
meff
2
m
Vs = 2,8 ⋅ 10 −13 s
meff v x2 = 12 kT
kT
m
= 1,36 ⋅ 10 5
meff
s
l = 38 ⋅ 10 −9 m
Freie Weglänge deutlich größer als Atomabstand.
Für Halbleiterdimensionen unterhalb der freien Weglänge ist das Driftmodell nicht mehr gut
geeignet, da die Elektronen dann kaum durch Stöße gebremst werden.
Aufgabe: Fermienergie und Ladungsträgerdichten
Gegeben ist ein Si-Halbleiter mit einer Donatordotierung ND = 1 · 1016 cm-3 und einer
Akzeptordotierung NA = 5 · 1012 cm-3 .
⎛ W − Wi ⎞
po = ni exp⎜ − F
⎟
kT ⎠
⎝
⎛ W − Wi ⎞
no = ni exp⎜ F
⎟
kT
⎝
⎠
ni = CT
F (W ) =
3
2
⎛ Wg
exp ⎜⎜ −
⎝ 2 kT
⎞
⎟⎟
⎠
mit C = 3 · 1015 cm-3 Wg = WC – WV = 1,1 eV
1
⎛ W − WF ⎞
1 + exp⎜
⎟
⎝ kT ⎠
1. Berechnen Sie für Raumtemperatur (T = 300K, kT = 0,026eV):
die intrinsische Dichte und die Löcherdichte,
den Abstand des Ferminiveaus vom Intrinsicniveau.
2. Berechnen Sie für T = 500K (kT = 0,0433eV):
die intrinsische Dichte und die Löcherdichte,
den Abstand des Ferminiveaus vom Intrinsicniveau.
3. a) Wie groß ist bei T = 300K die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen das Energieniveau
WC besetzen?
b) Wie groß ist bei T = 300K die Wahrscheinlichkeit, dass Löcher das Energieniveau WV
besetzen?
4. a) Wie groß ist bei T = 500K die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen das Energieniveau
WC besetzen?
b) Wie groß ist bei T = 500K die Wahrscheinlichkeit, dass Löcher das Energieniveau WV
besetzen?
Warum sind diese Berechnungen für sehr kleine (T < 100K) und sehr hohe Temperaturen
(T > 600K) nicht mehr möglich?
Lösung:
1. T = 300K:
⎛ W
exp ⎜⎜ − g
⎝ 2 kT
ni = 1 ⋅ 1010 cm −3
ni = CT
3
2
⎞
⎟⎟
⎠
Dotierung NA gegenüber ND vernachlässigbar, no = ND
WF − Wi = kT ln
po =
ni2
= 10 4 cm −3
no
no
= 0,360eV
ni
2. T = 500K:
ni = 1 ⋅ 1014 cm −3
po =
ni2
= 1012 cm −3
no
WF − Wi = kT ln
no
= 0,200eV
ni
3. T = 300K:
a)
WC − WF = WC − Wi − (WF − Wi ) = 12 W g − (WF − Wi ) = 0,55eV − 0,36eV = 0,190ev
1
= 6,7 ⋅ 10 − 4
⎛ 0,19 ⎞
1 + exp⎜
⎟
⎝ 0,026 ⎠
WF − WV = WF − Wi + Wi − WV = WF − Wi + 12 W g = 0,360eV + 0,550eV = 0,910eV
F (WC ) =
b)
1 − F (WV ) =
⎛
⎛ 0,910 ⎞ ⎞
≈ 1 − ⎜⎜1 − exp⎜ −
⎟ ⎟⎟ = 6 ⋅ 10 −16
⎛ 0,910 ⎞
⎝ 0,026 ⎠ ⎠
⎝
1 + exp⎜ −
⎟
⎝ 0,026 ⎠
Reihenentwicklung, da exp( ) sehr klein!
1
4. T = 500K:
F (WC ) = 3 ⋅ 10 −4
1 − F (WV ) = 3 ⋅ 10 −8
Bei sehr kleinen und sehr hohen Temperaturen kann die Elektronendichte no nicht mehr gleich
der Dotierung gesetzt werden.
Aufgabe: Halbleiterströme
In einen n-Typ Halbleiter werden Löcher injiziert. Es entstehen die unten gezeigten Verläufe
der Dichten von Löchern und (Leitungs-) Elektronen.
16
Elektronen
12
2⋅10 + 2⋅10
q = 1,6⋅10-19 As
n
kT/q = 0,026 V
n, p
[cm-3]
2⋅1016
μp = 300cm2/Vs
Löcher
12
2⋅10
μn = 900cm2/Vs
p
A = 1⋅10-4 cm2
5⋅103
x
0
dn
dx
dp
I p = qAμ p pE − qAD p
dx
I n = qAμn nE + qADn
1 μm = 1⋅10-4 cm
kT
μn
q
kT
μp
Dp =
q
Dn =
1. Berechnen Sie die Diffusionsströme von Löchern und Elektronen.
2. Der Gesamtstrom, der durch den Halbleiter fließt, ist 5 μA ( = 5⋅10-6 A).
Wie groß ist das elektrische Feld im Halbleiter?
(Hinweis: Achten Sie auf die Vorzeichen der einzelnen Stromkomponenten!
Bei den Driftströmen ist eine Komponente vernachlässigbar, bei der anderen Komponente
muss die Ortsabhängigkeit der Ladungsträgerdichte nicht berücksichtigt werden).
3. Tragen Sie in obiger Skizze ein, in welche Richtung Elektronen und Löcher fließen.
Lösung:
1.
I p ,diff = −qA
2 ⋅ 1012 cm −3
dp p( x 2 ) − p( x1 )
=
=−
dx
x 2 − x1
10 − 4 cm
kT
dp
μp
q
dx
I p ,diff = 2,5 ⋅ 10 −6 A = 2,5μA
I n ,diff
2 ⋅ 1012 cm −3
dn n( x 2 ) − n( x1 )
=
=−
dx
x 2 − x1
10 − 4 cm
kT
dn
= qA
μn
q
dx
I n ,diff = −7,5 ⋅ 10 −6 A = −7,5μA
2.
I = I p ,diff + I n ,diff + I p ,drift + I n ,drift = 5μA
Driftstrom der Löcher vernachlässigbar, da Löcherdichte sehr viel kleiner als
Elektronendichte.
I n ,drift = 5μA − 2,5μA − (−7,5μA) = 10μA
E=
I n ,drift
qAμ n n
= 3,5 ⋅ 10 − 2
V
cm