Lösung 8

Dr. M. Dettling
Dr. Daniel Haase
[email protected]
30.04.2009
FS 2009
Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U)
Lösung 8
Zur Übungsstunde vom 30.04.2009
Aufgabe 22 (Die Dreiecksverteilung)
Gegeben sei die Funktion

0
falls



a + 14 x falls
f (x) =
a − 14 x falls



0
falls
−2
0
2
≤
≤
≤
x ≤
x ≤
x ≤
x
−2
0
.
2
(a) Berechne die Konstante a ∈ R, so dass f (x) eine Dichtefunktion ist, und skizziere diese Funktion.
(b) Die stetige Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f (x), berechne ihre Verteilungsfunktion F (x).
(c) Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X.
Lösung
Zu a): Für eine Dichtefunktion muss gelten, dass das Integral über die Funktion Eins ist. Wir berechnen das
Integral:
Z∞
Z0
f (x)dx =
−∞
1
(a+ x)dx+
4
−2
Z2
1
(a− x)dx =
4
0
Damit dieser Wert Eins ist, muss a =
1
2
0 2
1 2
1 2
1
1
ax + x
+ ax − x
= −a(−2)− ·4+2a− ·4 = 4a−1.
8
8
8
8
−2
0
gelten, also ist die gesuchte Dichtefunktion

0
falls
x ≤ −2


1 1
+
x
falls
−2
≤
x
≤ 0
2
4
f (x) =
.
1
1
−
x
falls
0
≤
x
≤ 2

2 4

0
falls 2 ≤ x
Zu b): Wenn man die Dichtefunktion f (x) kennt, kann man die kumulative Verteilungsfunktion berechnen
über
Zx
f (t)dt .
F (x) =
−∞
Bei der Berechnung von F (x) muss man das Integral gemäß der Fallunterscheidungen aufteilen: Ist x ≤ −2, so
ist f (x) = 0 für t = −∞ . . . − 2, also ist auch das entsprechende Integral Null. Für −2 ≤ x ≤ 0 ist
x
Zx
Zx
1 1
1
1 2
1
1 1
( + t)dt =
f (t)dt =
F (x) =
t+ t
+ x + x2 .
=
2 4
2
8 −2
2 2
8
−∞
−2
Am Endpunkt x = 0 des Teilintervalls gilt F (0) = 21 . Für den Bereich 0 ≤ x ≤ 2 gilt dann
Z0
Zx
F (x) =
f (t)dt =
−∞
1 1
( + t)dt+
2 4
Zx
−2
1 1
( − t)dt = F (0)+
2 4
0
Zx
0
Am Endpunkt x = 2 des Teilintervalls gilt F (2) =
ausgeschöpft, also F (x) = 1 für alle x ≥ 2. Damit gilt

0


1 1
1 2
+
x
2
2 + 8x
F (x) =
1
1
+ x − 18 x2


2 2
1
x
1 1
1
1
1 2
1
1 1
( − t)dt = + t − t
= + x− x2 .
2 4
2
2
8 0
2 2
8
1, damit ist schon die ganze Wahrscheinlichkeitsmasse
insgesamt
falls
falls
falls
falls
−2
0
2
x ≤ −2
x ≤ 0
.
x ≤ 2
x
≤
≤
≤
Zu c): Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f (x) ist
0
2
Z∞
Z0
Z2
1 1
1 1
1 2
1 3
1 2
1 3
E[X] =
xf (x)dx =
x( + x)dx + x( − x)dx =
x + x
+ x − x
= 0
2 4
2 4
4
12
4
12
−2
0
−∞
−2
0
wie man es für die zum Nullpunkt symmetrische Funktion f (x) auch erwartet. Die Varianz ist
Z∞
Var[X] =
Z∞
2
(x − E[X]) f (x)dx
=
Z0
2
x f (x)dx =
(E=0)
−∞
−∞
=
1 3
1
x + x4
6
16
−2
0
+
−2
1 1
x ( + x)dx +
2 4
2
1 3
1
x − x4
6
16
Z2
0
2
=
0
2
.
3
1 1
x2 ( − x)dx
2 4
Die Standardabweichung ist σ =
q
2
3.
Aufgabe 23 (Normalverteilung)
Die Länge eines Werkstücks sei normalverteilt mit Mittelwert µ = 10m und Varianz σ 2 = 1m2 . Ein Werkstück
ist Ausschuss, wenn seine Länge ≤ 9.5m oder ≥ 10.2m ist.
(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkstück Ausschuss ist.
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkstück nur um 1mm vom Mittelwert abweicht?
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkstück exakt 10 Meter lang ist?
Verwende zur Lösung der Aufgabe nicht Mathematica, sondern die Tabellen von der Vorlesungshomepage.
Lösung
Zu a): Ein Werkstück mit Länge ist Ausschuss, wenn x ≤ 9.5m oder x ≥ 10.2m ist, die Wahrscheinlichkeit dafür
ist
P (x ≤ 9.5) + P (x ≥ 10.2) = F (9.5) + (1 − F (10.2))
wobei F (x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X ∼ N (10, 1) ist. Auf der Tabelle findet sich aber nur
die Verteilungsfunktion für N (0, 1). Aus dieser gewinnt man die Verteilungsfunktion für X, indem man die
Funktion um 10 nach rechts schiebt, so dass der Mittelwert bei 10 liegt und nicht bei 0, also F (x) = Φ(x − 10).
Um an den Wert von Φ für negative x zu kommen verwendet man die Formel Φ(x) = 1 − Φ(−x), die aus der
Symmetrie der Gaußverteilung folgt. Wir erhalten
P (x ≤ 9.5) + P (x ≥ 10.2) = F (9.5) + (1 − F (10.2)) = Φ(−0.5) + (1 − Φ(0.2)) = 1 − Φ(0.5) + 1 − Φ(0.2)
=
Tabelle
1 − 0.6915 + 1 − 0.5793 = 0.7292 .
Also sind in etwa 3 von 4 Werkstücken Ausschuss.
Zu b): Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit P (9.999 ≤ x ≤ 10.001), und die ist
10.001
Z
f (x)dx = F (10.001) − F (9.999) = Φ(0.001) − Φ(−0.001) = 2Φ(0.001) − 1
9.999
=
Tabelle
2 · 0.50039894 − 1 = 0, 00079788 ≈ 0.0008 .
Die Tabelle von der Vorlesungshomepage ist für diese Abschätzung zu ungenau: entweder berechnet man diesen
Wert mit Mathematica, oder sucht eine genauere Tabelle im Internet. Rundung ist auch in Ordnung, nur darf man
nicht vergessen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht Null wird nur weil man die Nachkommastellen abschneidet.
Zu c): Formale Rechnung ergibt hier
Z10
f (x)dx = F (10) − F (10) = 0 .
10
Das ist für stetige Zufallsvariablen immer der Fall: Jeder Einzelpunkt im Werteintervall hat die Wahrscheinlichkeit Null, es ist (von der Mathematik her) also unmöglich, ein Werkstück mit der exakten Länge 10m
zu bekommen. Das gilt obwohl f (10) 6= 0 ist, denn f (x) ist nur die Wahrscheinlichkeitsdichte, und nicht die
Wahrscheinlichkeit selbst.
Aufgabe 24 (Normalverteilung mit Mathematica)
Ein Gerät zur Messung des pH-Wertes einer Lösung gibt Werte aus die fehlerhaft sind, und durch eine normalverteilte Zufallsvariable modelliert werden mit Mittelwert µ (der tatsächliche pH-Wert) und Varianz σ 2 = 1.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der gemessene pH-Wert ≤ 1 ist, wenn der tatsächliche pH-Wert
2 ist.
(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man einen Wert ausserhalb der Skala erhält (≤ 0 oder ≥ 14),
wenn man neutrale Flüssigkeiten misst (µ = 7).
(c) Plotte die Dichtefunktion für die Werte µ = 7 sowie µ = 13.
(d) Begründe mit Teil (c) und der Definition des pH-Werts, warum N (µ, 1) aus Sicht der Chemie kein
sehr gutes Modell für eine Messung ist.
Löse die Teile (a)-(c) nicht mit den Tabellen, sondern mit Mathematica. Die notwendigen Befehle lauten:
• Auswahl der Verteilung für die Zufallsvariable X durch X = NormalDistribution[mu,sigma], wobei
mu der Mittelwert, und sigma die Standardabweichung ist. Statt NormalDistribution kann hier auch
eine andere Verteilung stehen.
• Die kumulative Verteilungsfunktion (Englisch: cumulative distribution function) von X ist CDF[X],
beispielsweise berechnet CDF[X][2] den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x = 2.
• Die Dichtefunktion (probability density function) von X erhält man ebenso mit PDF statt CDF.
• Mathematica berechnet das Integral über die Glockenfunktion, d.h. man erhält einen algebraischen
Ausdruck. Da hier aber nach konkreten Zahlen gefragt ist muss man die Funktionen mit Kommastellen
aufrufen, also CDF[X][1.0] statt CDF[X][1].
• Eine Funktion plottet man im Intervall [a, b] mit dem Befehl Plot[Funktion[x],{x,a,b}].
Lösung
Zu a): Hier ist X ∼ N (µ, σ 2 ) mit σ = σ 2 = 1 und µ = 2, und gefragt ist nach P (X ≤ 1) = F (1) für die
kumulative Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X. Der entsprechende Mathematica-Code lautet
X = NormalDistribution[2,1] ⇒
CFT[X][1.0]
⇒
0.158655
Zu b): Hier ist X ∼ N (µ, σ 2 ) mit σ = σ 2 = 1 und µ = 7, und gefragt ist nach P (X ≤ 0) + P (X ≥ 14) für die
kumulative Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X. Der entsprechende Mathematica-Code lautet
X = NormalDistribution[7,1] ⇒
CFT[X][0.0]+(1-CFT[X][14.0])
⇒
2.55967×10−12
Zu c): Die Plots sind im nb-File zur Musterlösung auf der Homepage.
Zu d): Der pH-Wert ist eine logarithmische Größe, d. h. damit der pH-Wert um 1 sinkt muss sich die Anzahl
der aktiven H + -Ionen verzehnfachen. Ein Messgerät, dass den pH-Wert durch Zählung der Ionen bestimmt, hat
keinen normalverteilten Fehler, denn am Rand der Verteilung müssen sehr viel mehr Fehlzählungen passieren
als in der Mitte um den pH-Wert um den gleichen Wert zu verändern. Eine geeignete Verteilung wäre eine,
deren Standardabweichung zum Rand hin abnimmt, bei N (µ, 1) ist die Breite der Glocke aber immer gleich,
wie man auch an den Plots sieht.