Differentialtopologie SS 11 Blatt 2

Prof. Dr. B. Hanke
Differentialtopologie SS 11
Blatt 2
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für eine (eventuell berandete) C k -Mannigfaltigkeit N n (k ≥ 1) und eine Teilmenge A ⊂ N die folgenden Aussagen äquivalent sind:
• A ist eine saubere m-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit von N .
• Für alle p ∈ A gilt:
– Falls p ∈
/ ∂N , so existiert eine offene Umgebung U ⊂ N von p sowie eine C k -Abbildung
f : U → Rn−m , so dass A ∩ U = f −1 (0) und rk(Dp f ) = n − m.
– Falls p ∈ ∂N , so existiert eine offene Umgebung U ⊂ N von p sowie eine C k -Abbildung
f : U → Rn−m , so dass A ∩ U = f −1 (0) und rk(Dp (f |∂N )) = n − m.
Dabei soll die Bedingung an den Rang der Jacobimatrix bezüglich einer beliebigen lokalen Karte gelten.
Folgern Sie: Es sei M m eine weitere C k -Mannigfaltigkeit (eventuell mit Rand) und f : N → M eine C k Abbildung. Es sei q ∈ M ein Punkt, der regulärer Wert für f und für f |∂N ist. Dann ist f −1 (q) ⊂ N eine
saubere (n − m)-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit.
Aufgabe 2. Es sei M m eine C k -Mannigfaltigkeit (eventuell mit Rand), wobei k ≥ 1. Man zeige, dass die
in der Vorlesung auf T M betrachtete Topologie (vgl. Aufgabe 3 auf Blatt 1) Hausdorffsch ist und das zweite
Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Aufgabe 3. Es seien M und N Mannigfaltigkeiten der Klasse C k , k ≥ 0, und f : M → N eine Abbildung.
Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
• f ist glatt von der Klasse C k .
• Es sei W ⊂ Rd eine offene Teilmenge, d ≥ 0, und g : W → M von der Klasse C k . Dann ist auch
f ◦ g : W → N von der Klasse C k .
Aufgabe 4. Es seien M m und N n glatte C k -Mannigfaltigkeiten (eventuell mit Rand) und f : M → N eine
saubere C k -Einbettung. Man zeige, dass dann f (M ) eine saubere Untermannigfaltigkeit von N ist.
Abgabe am Mittwoch, den 18. Mai 2011, in der Vorlesung.