Übung 9

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Übungen
Übung 9
1. Wo sind die folgenden Funktionen
Berechne dort die Ableitung.
√ differenzierbar?
√
(a) x !→ x3 − 2x + 1, (b) x !→ x, (c) x !→ x x und (d) x !→ |x|.
2. Finde eine allgemeine Formel für die Ableitung eines Polynoms
x !→ a0 + a1 x + . . . + an xn .
√
√
√
3. Leite ab: (a) x !→ a2 x3 − bx2 + 12 cx − 2, (b) x !→ ( x − q)(1 + x), (c)
x !→ (1 − x−4 )(x−1 + x2 ), (d) x !→ xx und (e) x !→ log(ax + b).
4. Finde eine Formel für die Ableitung von v1 , wo diese Funktion definiert ist.
(Bemerkung: v soll eine differenzierbare Funktion sein.)
5. An welchen Kurvenpunkten schneiden die Tangenten an den Graphen von f die
x-Achse in einem Winkel von π/4 (45◦ )? (a) f : x !→ x2 , (b) f : x !→ x3 ,
(c) f : x !→ x|3 − x| und (d) f : x !→ ex .
6. Zeige (tan x)′ = 1 + tan2 x.
7. Zeige (tan x)′ =
1
cos2 x .
8. Welchen Winkel bildet die Tangente
im Punkt (x0 , f (x0 )) an den
√ Graphen von
√
f mit der x-Achse? (a) f : x !→ x mit x0 = 1 und (b) f : x !→ x x mit x0 = 3.
9. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von
3
2
−3
(a) f (x) = 2x +3x
und (b) g(t) = t sin(4π) + cos(4t)
x
10. Differenziere folgende Funktionen einmal (a)
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ex −e−x
ex +e−x
und (b) log(log x)
Übungen
Übung 10
1. Eine Kugel, die im Ursprung nach oben abgeschossen wird, beschreibt eine Parabel, deren höchster Punkt (1, 2) ist. Wie gross war der Schusswinkel mit der
x-Achse?
2. Diskutiere die Graphen (Nullstellen, Extrema, Bild):
(a) x !→ x2 − x − 2, (b) x !→ x3 − x2 und (c) x !→ |x3 + 9x2 − 108|.
3. Bestimme die Extrema: (a) x !→ x2 − 2x + 3, (b) x !→
x
x2 +1
und (c) x !→ (x − a)4 .
4. Zerlege eine reelle Zahl a so in zwei Summanden a1 und a2 , dass deren Produkt
möglichst gross wird.
5. Zerlege eine positive reelle Zahl a so in zwei positive Faktoren a1 und a2 , dass
deren Summe möglichst klein wird.
6. Diskutiere die Graphen (Definitionsbereich, Polstellen, Nullstellen, Asymptote,
1
x2 +2x+1
4
und (c) x !→ (2x+1)
Extrema, Bild): (a) x !→ 1+x
2 , (b) x !→
2.
2x
7. Für welche Punkte auf der Kurve mit der Gleichung y = x−1 ist der Abstand
zum Nullpunkt minimal?
8. Schreibe einem gleichseitigen Dreieck ein möglichst grosses Rechteck ein. Dabei
soll eine Seite des Rechtecks auf einer Seite des Dreiecks liegen. Wie gross ist das
Flächenverhältnis von Dreieck zu Rechteck?
9. Eine Firma stellt Radiergummi her. Die Produktionsmaschinen können pro Tag
maximal 10000 Stück herstellen. Die Produktionskosten K(x) für x Mengeneinheiten zu 1000 Stück lassen sich mit folgender Formel berechnen:
K(x) = 2x3 − 18x2 + 60x + 32
Ein Paket zu 1000 Radiergummis wird an Papeterien für 50 Franken verkauft.
Wie viele Radiergummi sollte die Firma pro Tag herstellen um einen möglichst
grossen Gewinn zu machen? Es kann davon ausgegangen werden, dass alle produzierten Gummis auch wirklich verkauft werden.
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Übungen
Übung 11
1. Bestimme
(a) x !→ x3 − 5x2 + 7x − 2, (b) x !→ x23 ,
√ eine Stammfunktion:
2x
x+5
(c) x !→ x und (d) x !→ (x2 +1)2 . (e) x !→ (1−x
2 ) . Tipp: Gehe wie in Aufgabe 4
auf Blatt 5 vor um die Funktion in eine einfacher integrierbare Form zu bringen.
2. Berechne den Inhalt der durch die Graphen von x !→ x2 und x !→ x3 begrenzten
Fläche.
!3
!1
3. Berechne die folgenden bestimmten Integrale: (a) 2 dt und (b) −1 x23x
+1 dx.
4. Ein Polynom p ist gegeben durch p : y = ax − x3 . Sie soll im 1. Quadranten mit
der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 9 einschliessen. Bestimme den Wert von
a.
5. Welchen Inhalt hat das Flächenstück, das die Parabel p : y = 3x − x2 mit ihren
Tangenten in den Nullstellen umschliesst?
6. (a) Für welche x gilt sin x = cos x.
(b) Berechne die Fläche eines der von den Graphen von y = sin x und y = cos x
eingeschlossenen Flächenstücke.
7. Gegeben ist die Funktion f (x) = t22 x − t13 x2 . Beweise, dass die Fläche, die der
Graph von f (x) mit der x-Achse einschliesst, für alle Werte von t ̸= 0 gleich
gross ist.
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Übung 12
1. Berechne
2. Berechne
3. Berechne
4. Berechne
!
π
2
!
π
2
−π
2
sin x cos x dx (Tipp: Partielle Integration).
0
!
π
2
sin2 x cos x dx (Tipp: Substitution t = sin x).
0
!e
1
x3 cos x dx.
log x dx (Tipp: log x = 1 · log x).
5. Die Punkte einer Ellipse sind gegeben durch
y2
x2
+
=1
a2
b2
(a) Finde eine Funktion deren Graph die Punkte der Ellipse im 1. Quadranten
sind.
(b) Finde die Fläche zwischen Graph und x-Achse, indem du das Integral von
x = 0 bis x = s berechnest, wobei s die Nullstelle der Funktion ist. Verwende
dabei die Substitution x = a sin t.
(c) Berechne die Fläche der Ellipse.
!∞
6. Berechne 1 x12 dx.
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