x q z α

Elektromagnetische Felder
1.
Klausur 10. September 2003
a) Wie sieht die Anordnung zur Definition des Ampere im SI-System aus? Bitte in
Worten und/oder Zeichnung darlegen sowie Angaben zu den Idealisierungen machen. Wie lautet die entsprechende Formel?
b) Wie lautet die Definition für 1 Ampere und was für ein Wert folgt entsprechend
für µ0 ?
(5 Punkte)
2. In der x, y-Ebene sei eine ideal leitende Metalloberfläche als Randbedingung vorgegeben,
die eine Oberflächenladungsdichte von σ = 1 mC2 sowie eine Oberflächenstromdichte von
~ = 1 A · (1, 0, 0) aufweist.
K
m
Im unteren Halbraum z < 0 sei kein Feld vorhanden. Der obere Halbraum ist frei von
~ und H
~ für den ganzen oberen Halbraum z > 0
Ladungen und Strömen. Geben Sie D
~ und B
~ im
vollständig an (Wert, Einheit und Richtung). Welche Komponenten von E
oberen Halbraum verschwinden?
(5 Punkte)
3. Eine positive Ladung q+ liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Berechnen Sie den
Verschiebungsfluss, der eine Kugelkappe durchdringt, die zu einer gedachten Kugel mit
dem Radius r und Mittelpunkt im Ursprung gehört.
In der Lösung soll der Winkel α1 (siehe Bild) als Parameter auftauchen.
z
Kugelkappe
y
a1
r
q+
x
gedachte Kugeloberfläche
Abbildung 1: Kugelkappe
~ über die TeilfläDer Verschiebungsfluss ist definiert als das Integral der Flussdichte D
che A:
RR
~ dA.
~
ψ= D
A
(6 Punkte)
Elektromagnetische Felder
4.
Klausur 10. September 2003
a) Geben Sie die Kontinuitätsgleichung an!
b) Aus welchem Naturgesetz lässt sie sich ableiten?
Prüfen Sie für die folgenden Paare aus Strom- und Ladungsdichten, ob und wenn
ja, unter welchen Voraussetzungen für ρ0 die Kontinuitätsgleichung erfüllt werden
kann (für alle Zeiten und im gesamten Raum):
−
(x−vt)2 +y 2 +z 2
−
(x−vt)2 +y 2 +z 2
2
2
r0
r0
· ~ex und ρ = ρ0 · e
in Kartesischen Koordinaten,
c) ~j = j0 · e
I
d) ~j = 2πR0 0 · δ(R − R0 ) · sin(ωt − kz) · ~ez und ρ = ρ0 · δ(R − R0 ) · sin(ωt − kz) in
p
Zylinderkoordinaten, mit R = x2 + y 2 als der radialen Koordinate,
r
r
−
−
e) ~j = j0 · e r0 · sin(ωt) · ~eϕ und ρ = ρ0 · e r0 · cos(ωt) in Kugelkoordinaten.
j0 , I0 , ρ0 , r0 , R0 , v, k und ω sind Konstanten, r0 , R0 , v, k und ω seien ferner positiv.
(8 Punkte)
5. Ein sehr dünner Draht liegt wie in der Abbildung im Inneren eines Plastikwürfels
(µr = 1) und bildet dort eine geschlossene Schleife. Der Draht ist aus Blei und wird
unter -270◦C abgekühlt, so dass er supraleitend wird. In diesem Zustand wird von außen ein konstanter Gleichstrom I induziert, der jetzt verlustfrei in dem Draht fließt.
z
a
I
y
a
P
a
x
Abbildung 2: Stromschleife
~ im Eckpunkt P?
a) Welche Richtung hat das durch I verursachte Magnetfeld H
~ im Punkt P?
b) Wie groß ist die magnetische Feldstärke |H|
Tipp: Beachten Sie bei der Berechnung die Symmetrie der Anordnung!
(10 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
6. Bei einem Elektro-Enzephalogramm (EEG) wird die Hirnaktivität in Form von elektrischen Spannungen gemessen. Im hier vorliegenden Fall sind zwei Elektroden über gut
leitende Kabel an den Kopf eines Patienten angeschlossen. Jedes Elektrodenkabel ist
über eine Impedanz Z mit der Erde verbunden. Die Impedanz Z besteht aus einem
ohmschen Widerstand RZ = 10 MΩ und einer Kapazität CZ = 1 pF.
Der Kopf des Patienten liegt jetzt zusätzlich in einem räumlich begrenzten, von außen
~ die mit der Frequenz
anliegenden Magnetfeld mit einer magnetischen Flussdichte B,
f = 400 Hz zeitlich sinusförmig variiert. Die Amplitude beträgt B̂ = 5 mT und das Feld
steht senkrecht zum Aufbau, d.h. in der Abbildung senkrecht zur Zeichenebene.
Im Folgenden wird die Hirnaktivität selber vernachlässigt und der Kopf als passives
Element mit einem rein ohmschen Widerstand von RK = 10 kΩ betrachtet.
20 cm
10 cm
~
B(t)
RK
Voltmeter
RZ
CZ
RZ
CZ
Abbildung 3: Anordnung für ein EEG
a) Wie groß ist die Amplitude der elektromotorischen Kraft EMK , die in der Schleife
Erde—Z—Kabel—Kopf—Kabel—Z—Erde induziert wird?
b) Wie groß sind die Amplitude und der Effektivwert des induzierten Stroms in
1. Näherung? Vernachlässigen Sie dabei die Eigeninduktivität der Schleife.
c) Welche effektive Spannung zeigt ein Voltmeter an, das wie in der Abbildung zwischen den beiden Elektrodenkabeln angeschlossen wird? Rechnen Sie für diese und
die folgenden Teilaufgaben mit der in b) gemachten Näherung.
d) Welche effektive Spannung liegt am Kopf des Patienten an?
e) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den Teilen c) und d). Begründen Sie dabei
eventuelle Übereinstimmungen oder Unterschiede zwischen den Ergebnissen!
Hinweis: Rechnen Sie hier mit π ≈ 3 und
(8 Punkte)
√1
2
≈ 0,7.
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
7. Gegeben ist ein torusförmiger Kondensator (siehe Abbildung) mit dem Radius RT ,
bestehend aus einem innenliegenden Torus mit dem Querschnittsradius R2 und einem
außenliegenden mit dem Querschnittsradius R. Die Permittivität im Inneren ist in dem
hier vorliegenden Fall nicht konstant, sondern variiert mit zunehmendem Abstand vom
Innentorus mit der Funktion εr (r) = Rr von εr,innen = 2 auf εr,außen = 1 am äußeren
Torus.
Wie groß ist die Kapazität der Anordnung?
H
RT
H
r
H
R/2
R
Abbildung 4: Torusförmiger Kondensator
(6 Punkte)
8. Gegeben sei folgende Anordnung mit drei
unterschiedlichen Dielektrika (µr = 1). Für
die Dielektrika gelten folgende Impedanzangaben:
Z1 = Z0 , Z2 =
1
Z
3 1
, Z3 =
1
Z.
2 1
Hierbei sei Z0 die Freiraumwellenimpedanz.
Medium I ist unendlich weit ausgedehnt entlang der negativen z-Achse, Medium III ist
unendlich weit ausgedehnt im Bereich z > d.
Eine ebene elektromagnetische Welle befindet
sich im eingeschwungenen Zustand und trifft
senkrecht auf die Grenzschichten bei z = 0
und z = d.
Z1
Z2
Z3
II
III
Pk
I
0
d
z
Abbildung 5: Dielekrika
a) Bestimmen Sie die einzelnen relativen Dieletrizitätskonstanten εr der drei Medien.
b) Berechnen Sie die zwei Reflexions- und die zwei Transmissionsfaktoren an der
Grenzfläche bei z = 0 und den Reflexions- und Transmissionsfaktor für eine nach
rechts laufende Welle bei z = d.
c) Berechnen Sie den Betrag des Wellenvektors im Medium II als Funktion des Betrags des Wellenvektors |~k| im Medium I.
d) Geben Sie unter Verwendung der in b) berechneten Faktoren den Gesamtreflexionsfaktor Rgesamt als Funktion von der Breite d an (Rgesamt = f (d)). Bei der
Berechnung ist ein Ergebnis mit eingesetzten Zahlenwerten anzustreben, das nur
von der Breite d und dem Betrag des Wellenvektors |~k| im Medium I abhängt.
e) Existiert ein Fall, bei dem der Bereich II für die einfallende Welle transparent
erscheint, d.h. die gesamte einfallende Welle transmittiert wird?
(11 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
9. Gegeben sei ein unendlich langer, gerader, idealer Leiter entlang der z-Achse mit Radius
R. Er trage eine Ladung pro Längeneinheit der Stärke τ .
a) Wie ist die Ladung im Leiter verteilt? Geben Sie die Raumladungsdichte ρ in den
Zylinderkoordinaten r, ϕ und z an!
~ im Raum außerhalb des Leiters!
b) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D
Tipp: betrachten Sie die in einem geeigneten Zylinder eingeschlossene Ladung und
nutzen Sie die Symmetrie des Problems aus.
~ innerhalb des Leiters?
c) Wie groß ist D
d) Auf der Oberfläche des Leiters soll das elektrostatische Potential Φ den Wert 1 V
haben. Wie groß ist Φ im gesamten Raum inklusive dem Inneren des Leiters?
(8 Punkte)
10. Die komplexe Funktion w = f (z) = ez ist eine konforme Abbildung und soll auf ihre
Abbildungseigenschaften hin untersucht werden.
a) Führen Sie den entsprechenden Koeffizientenvergleich durch.
b) In der Bildebene w sollen u = const. Äquipotentiallinien und v = const. Feldlinien
darstellen. Gesucht sind nun dazugehörige Linien in der physikalischen Ebene z,
wobei der z−Bereich −5 ≤ x ≤ 0 und −π/2 ≤ y ≤ π/2 betrachtet werden soll.
Entwerfen Sie eine genügend große Skizze mit den folgenden Merkmalen:
- In welche Feldlinie der z-Ebene geht die Feldlinie der w-Ebene mit v = 0 über?
- In welche beiden Potentiallinien der z-Ebene geht die Potentiallinie der wEbene mit u = 0 über?
Bitte kennzeichnen Sie die Linien mit den Parametern der w-Ebene.
c) Konstruieren Sie zwei zusätzliche Punkte, in die alle Potentiallinien mit u 1 für
x → 0 angenähert zulaufen (mit Begründung!).
d) An welchen Punkten schneiden die Potentiallinien mit u = e−2 und u = e−4 die
x-Achse?
e) In welcher Richtung müssen die Potentiallinien aus d) die x-Achse schneiden? Tipp:
Was für eine Linie stellt die x-Achse in b) dar?
f) Welche zusätzlichen Punkte für die Linien aus d) und e) können Sie ableiten aus
den Angaben:
e−4 = ex cos(π/4) ⇒ x ≈ −3,5 sowie
e−2 = ex cos(π/4) ⇒ x ≈ −1,7 ?
g) Zeichnen Sie die beiden Potentiallinien nach c) – f) ein, unter der genäherten
Voraussetzung, dass für beide gilt u 1.
h) Wie könnte eine zugehörige Konfiguration mit geradlinigen Elektroden auf den
Potentialen ϕ = 0 und ϕ = U aussehen, wenn die Skizze eine gute Näherung für
Bereiche nicht zu nah“ an x = 0 darstellt (kleine zusätzliche Skizze)?
”
i) Weisen die Bereiche bei Annäherung an x = 0, insbesondere um y = ±π/2, hohe
oder niedrige Feldstärken auf? Was müsste man bzgl. der Diskretisierung dieses
Bereiches beim alternativen Einsatz diskret-numerischer Rechenverfahren tun, um
die Genauigkeit zu erhöhen?
(13 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
11. Bekanntermaßen verursacht ein durch einen Ohmschen Widerstand fließender Strom
eine Verlustleistung. Schaltet man parallel zu diesem Ohmschen Widerstand einen ideal
leitenden Draht in den Stromkreis, so wird der Stromfluss durch diese Parallelschaltung
im Gleichstromfall verlustfrei sein. Wieso gilt dies, also die Verlustfreiheit, prinzipiell
nicht mehr bei Wechselstrom? Abstrahlung soll hierbei vernachlässigt werden.
Tipp: Was verursacht der sich ändernde Strom, der im ideal leitenden Draht fließt?
(3 Punkte)
12.
a) Wie lautet die allgemeine differentielle Form der Energieerhaltung mit 4 Termen
im linearen Fall und welche Bedeutung haben die einzelnen Terme in Worten?
b) Über welche beiden Gleichungen ist es möglich, die Kapazität C bzw. die In~ H
~ zu
duktivität L für vorgegebene Volumina V aus in V bekannten Feldern E,
bestimmen? Welche Terme aus a) werden dabei vernachlässigt?
(8 Punkte)
13. Gegeben ist ein Rechteck-Hohlleiter mit konstantem Querschnitt in der x-y-Ebene und
unendlicher Ausdehnung in Längsrichtung z. Die Seiten haben die Breiten a und b, wobei a > b gilt. Das Koordinatensystem liegt so, dass sich der Hohlleiter in x-Richtung
im Bereich [0, a] und in y-Richtung im Bereich [0, b] erstreckt. Bestimmen Sie die Feldverteilung entsprechend den Teilaufgaben a) bis e).
a) Gegeben sei die allgemeine homogene Wellengleichung:
~ − εµ ∂ 22 Π
~ = ~0.
∇2 Π
∂t
~ (x,y,z,t) = Π
~ (x,y) · ej(ωt−kz z) .
Der harmonische Ansatz zur Lösung der DGL ist Π
Berechnen Sie hieraus die an das Hohlleiterproblem angepasste Wellengleichung.
b) Gegeben sei nun folgender spezieller Lösungsansatz:
~ e = Π0 · sin(kx x) · sin(ky y) · ej(ωt−kz z) · ~ez ,
Π
welcher die Randbedingung Πez = 0 an den Hohlleiterwänden erfüllt. Um welchen
Modentyp (TE oder TM) muss es sich handeln?
c) Geben Sie kx und ky explizit, in Abhängigkeit der Geometrie, für den hier vorliegenden Modentyp an.
d) Was muss zusätzlich für kx , ky , kz gelten, damit die Wellengleichung erfüllt wird?
Zeigen Sie dies durch Einsetzen des unter b) gegebenen Ansatzes.
e) Die elektrischen und magnetischen Felder lassen sich bei Kenntnis des Hertzschen
~
Vektors vollständig ermitteln. Berechnen Sie alle H-Feldkomponenten
für den hier
vorliegenden Modentyp, der in b) bestimmt wurde und zeichnen Sie die transversale
~
H-Feldverteilung
für die entsprechende Mode des Typs X31 in einem geeigneten
Hohlleiterquerschnitt und zu einem geeigneten Zeitpunkt.
(14 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
14. Die Zeichnung zeigt einen Schnitt durch einen Plattenkondensator mit unendlicher Ausdehnung in x- und z-Richtung. Die y-Achse steht senkrecht auf den Platten. Parallel
zur z-Achse verläuft ein ungeladener, ideal leitender Hohlstab mit quadratischem Querschnitt (schwarzes Quadrat, innen εr = 8) sowie ein dielektrischer Stab mit elliptischem
Querschnitt (weiß, εr = 8). Der übrige Zwischenraum ist mit einem Dielektrikum ausgefüllt (εr = 4). An dem Plattenkondensator liegt eine Gleichspannung von U = 5 V
an.
y
Φ = +5 V
εr = 8
εr = 4
εr = 8
x
Φ = 0V
Abbildung 6: Plattenkondensator
Zeichnen Sie sorgfältig in die Zeichnung für die ganze Breite den Verlauf der Äquipotentialflächen, sowie den Verlauf des elektrischen Feldes ein. Benutzen Sie hierfür die
Zeichnung auf dem separaten Blatt am Ende der Klausur und keinen Bleistift! Wenn
Ihre Zeichnung wichtige Eigenschaften der Feldverläufe nicht deutlich erkennen lässt,
können Sie diese auch mit einigen Sätzen niederschreiben.
(8 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 10. September 2003
Formelsammlung:
Z
+c
−c
√
2
3 =
|c|
(x2 + c2 ) 2
c dx
~ =∇
~ × (∇
~ ×Π
~ e)
E
Z
~ ×Π
~ e)
~ = ε ∂ (∇
H
∂t
dx
(ax2 + bx + c)
2(2ax + b)
√
(4ac − b2 ) ax2 + bx + c
=
3
2
~ = −µ ∂ (∇
~ ×Π
~ m)
E
∂t
~ =∇
~ × (∇
~ ×Π
~ m)
H
für |x| < 1 :
1 + x + x2 + x3 + . . . =
1
1−x
1
1 − x2
1 + x2 + x4 + x6 + . . . =
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + . . . =
1
(1 − x)2
Grenzfläche
Reflexion und Brechung an Grenzflächen:
x
~ senkrecht zur Einfallsebene
E
qt
e
Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans )
Erefl
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
kt
Ht
n
ebe
alls
qe
f
Ein
Et
qe
Hr
kr
m2
diu
e
M
ke
m1
diu
e
M
E r He
Ee
z
x
~ parallel zur Einfallsebene
E
Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf )
Erefl
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Grenzfläche
y
Et
qe
He
Hr
kt
qt
ne
ebe
s
l
l
Er
fa
Ein
kr
Ht
Ee
m2
diu
e
M
qe
ke
m1
diu
e
M
z
y