2. Vorlesung

Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Grundbegriffe
Zufallsexperiment
• unter gleichen Bedingungen wiederholbarer Vorgang
(geplant, gesteuert, beobachtet oder auch nur gedanklich)
• Menge der möglichen Versuchsausgänge ist bekannt
• konkreter Ausgang ist ungewiss
Das Ergebnis eines Zufallsexperiments nennt man (zufälliges) Elementarereignis,
die Chance des Eintretens bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit.
Ein Ereignis ist eine Menge von solchen Elementarereignissen.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses erfordert ein Modell.
Ein Modell enthält folgende Aspekte
1. die Menge der möglichen Versuchsausgänge
2. Ereignisse, die den praktisch relevanten Fragestellungen entsprechen
3. die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
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Prof. Dr. J. Schütze, FB GW
Wkt.1
1
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Grundbegriffe
Diesen Aspekten entsprechen folgende Bausteine des gesuchten
mathematischen Modells:
Grundraum/
Merkmalsraum/
Ereignisraum Ω
Menge aller möglichen Versuchsausgänge /
Elementarereignisse ω
Ereignis
Teilmenge von Ω, Menge bestimmter Elementarereignisse
Ereignissystem 
Menge der beobachtbaren Ereignisse
Teilmengen von Ω mit bestimmten Eigenschaften
Wahrscheinlichkeit P
Wahrscheinlichkeiten der beobachtbaren Ereignisse
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Wkt.1
2
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Merkmalsraum
Man sagt, das Ereignis A tritt ein, wenn ein Wert ω als Versuchsausgang
beobachtet wird, der zu A gehört.
Beispiel 1
3 Komponenten sind wie nebenstehend verschaltet,
K1
jede einzelne Komponente kann die Zustände
0 (defekt) bzw. 1 (ok.) haben.
Versuchsausgang [0 1 0] steht z.B. für K1 und K3 defekt, K2 ok.
Praktisch relevant ist das Ereignis W: ‚Schaltung funktioniert‘.
K2
K3
Beobachtet man das Elementarereignis [1 0 1], dann ist W eingetreten.
Beispiel 2
Energiesparlampen sollen nach Herstellerangabe eine Mindestbrenndauer
von 6000 Stunden als Normwert haben. Für dieses Kriterium sind also relevant
die Ereignisse
N enthält alle Brenndauern ab 6000 h.
N: Norm erfüllt
A enthält alle Brenndauern unter 6000 h.
A: Norm nicht erfüllt
Messergebnis 5500: Ereignis A eingetreten
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Wkt.1
3
3.1
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Ereignisse
Besondere Ereignisse
A = ∅ unmögliches Ereignis, weil kein Elementarereignis ω enthalten ist
A = Ω sicheres Ereignis, da alle Elementarereignisse in Ω enthalten sind
Elementarereignisse sind alle einelementigen Ereignisse A = {ω}
Ereignissystem  : Teilmenge von Ereignissen mit den Eigenschaften
(1) ∅ ∈ , (2) A ∈  → 𝐴𝐴̅ ∈  , (3) A1 , A2 ,... ∈  →  Ai ∈ 
Die Potenzmenge als Gesamtheit aller Teilmengen von Ω ist ein solches Ereignissystem.
Die Potenzmenge ist aber als Ereignissystem nicht immer geeignet,
Bsp.2 der Energiesparlampen: Brenndauern = Ω =,+ Potenzmenge ist unnötig groß.
Dann sucht man ein kleineres System mit den Eigenschaften (1), (2), (3).
Beispiel 3
Ω = {0, 1, 2}, dann ist ein mögliches Ereignissystem die Menge aller Teilmengen
 = {∅, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} } = (Ω)
Hat Ω n Elemente, dann hat die Potenzmenge 2n Elemente.
Ein Modell bestimmt für jedes dieser Elemente seine Wahrscheinlichkeit P.
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Wkt.1
4
3.2
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Verknüpfungen von Ereignissen - Mengenoperationen
Das Verknüpfen von Ereignissen entspricht den Operationen mit Mengen.
Ereignis A ∪ B (Vereinigung) tritt ein,
wenn mindestens eins der Ereignisse A,
B eintritt, logisch A ∨ B
Ereignis A ∩ B (Durchschnitt) tritt ein,
wenn beide Ereignisse A, B eintreten,
logisch A ∧ B
Ereignis A \ B (Differenz) tritt ein,
wenn A eintritt, B nicht eintritt.
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Wkt.1
5
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Verknüpfungen von Ereignissen - Mengenoperationen
Komplementärereignis A tritt genau dann ein,
wenn A nicht eintritt.
Zwei Ereignisse A, B heißen unvereinbar
oder disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen
Elementarereignisse besitzen, A ∩ B = ∅.
Ereignis A zieht Ereignis B nach sich,
wenn A ⊆ B gilt.
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Wkt.1
6
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Rechenregeln für Mengenverknüpfungen
Es gelten folgende Gesetze:
Kommutativität:
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
Assoziativität:
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Distributivität:
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
Regeln von de Morgan
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
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Wkt.1
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Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Wahrscheinlichkeit P bestimmt die Chance des Eintreten eines Ereignisses.
Es gibt verschiedene Ansätze zum Bestimmen von P.
Beispiel 4
Eine bestimmte Sorte von Energiesparlampen erreicht in bisherigen Beobachtungen
mit einem Anteil von 10% die Brenndauer von 4000 h nicht.
Man sagt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer < 4000 ist, liegt bei 0.10.
Solche Aussagen beruhen auf der Analyse der Brenndauern in der Vergangenheit.
Die beobachtete relative Häufigkeit wird als (geschätztes) Maß für die
Wahrscheinlichkeit des Ausfalls vor 4000h genommen.
Eine Wahrscheinlichkeit von 0.10 besagt aber nicht, dass unter 10 Lampen stets
genau eine mit Brenndauer < 4000 ist (zu kurze Beobachtungsserie!)
Relative Häufigkeiten (beobachtet) beziehen sich auf den Anteil in der Stichprobe,
Wahrscheinlichkeiten (Modell) beziehen sich auf die Grundgesamtheit.
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Wkt.1
8
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Experimentelle Wahrscheinlichkeit
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment zur Beobachtung eines Ereignisses A n-mal
unter gleichen Bedingungen wiederholt, dann stabilisieren sich die
relativen Häufigkeiten
1
⋅ ( Anzahl des Auftretens von A) für n → ∞
n
Es gilt hn(A) ≈ P(A).
hn ( A)=
Dieser experimentelle Zugang zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten
liefert 'nur' Schätzwerte (im Experiment ist n stets endlich).
Bezeichnung: Experimentelle/ statistische Wahrscheinlichkeit
Nachteil: die Folge der hn stabilisiert sich nicht immer zu einem Grenzwert
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Wkt.1
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Experimentelle Wahrscheinlichkeit
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
n=100
n=10
20
7
18
Simulation des Würfelns
mit n Wiederholungen
6
16
5
14
12
4
10
3
8
6
2
4
1
0
2
0
1
2
3
4
5
6
1
2
n=500
3
4
5
6
n=1000
100
Zufallsgenerator rand
erzeugt Zufallszahlen
zwischen 0 und 1
Mit hist erhält man
Häufigkeitsauszählung
180
90
MATLAB-Simulation von n Würfen
und Darstellung als Histogramm
160
80
140
70
120
60
100
50
40
80
30
60
20
40
10
20
0
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1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
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5
6
outcomes = [];
n = 1000
for i = 1:n
outcomes = [outcomes ceil(6*rand)];
end
hist(outcomes,6)
Wkt.1
10
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Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Laplace: 1749-1824
Voraussetzungen:
nur endlich viele Elementarereignisse
alle mit gleicher Chance (z.B. idealer Würfel)
Definition
Laplace - Wahrscheinlichkeit für Eintreten des Ereignisses A ⊆ Ω
Anzahl der Elementarereignisse von A A
P ( A) =
Anzahl der Elementarereignisse von Ω Ω
Wahrscheinlichkeiten nach Laplace können somit durch Auszählen
der Elementarereignisse berechnet werden.
Für komplizierte Sachverhalte braucht man kombinatorische Formeln.
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Wkt.1
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Kombinatorische Formeln (Auswahl)
Zählprinzip
Menge M enthalte m verschiedene, Menge N enthalte n verschiedene Elemente, dann
enthält die Menge der geordneten Paare M × N genau m·n verschiedene Elemente.
Permutationen ohne Wiederholung
Für n verschiedene Objekte gibt es genau
n!
Möglichkeiten der Anordnung, wenn jedes Element verwendet werden muss.
Kombinationen ohne Wiederholung
Aus einer n-elementigen Menge verschiedener Objekte werden k ausgewählt
ohne Wiederholung
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Man erhält für die Anzahl solcher k - elementigen Teilmengen
n
n!
genau   =
 k  k !(n − k )!
SS 2017
Möglichkeiten.
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Wkt.1
12
3.3
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Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die folgenden Axiome für Wahrscheinlichkeiten gehen zurück auf Kolmogorov.
Sie sind verträglich mit der Laplace- und der statistischen Wahrscheinlichkeit,
sie gelten ganz allgemein, auch bei Modellen mit unendlich vielen und nicht
gleichwahrscheinlichen Versuchsausgängen.
Axiom 1
Jedem zufälligen EreignisA ⊆ Ω
ist eine Zahl P(A) zugeordnet mit
0 ≤ P ( A) ≤ 1 , die man Wahrscheinlichkeit von A nennt.
Axiom 2
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
P (Ω) =
1
Axiom 3
Für disjunkte EreignisseA1 ∩ A2 =
∅
P ( A1 ∪ A2 )= P ( A1 ) + P ( A2 )
gilt
Bei einer unendlichen Ergebnismenge ist Axiom 3 auf unendlich viele paarweise
disjunkte Mengen zu erweitern:
∞  ∞
P   Ai  = ∑ P( Ai )
 i =1  i =1
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Wkt.1
13
3.4
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Wahrscheinlichkeitsbegriffe
(1) Laplace-Modell
Voraussetzungen:
nur endlich viele Elementarereignisse
alle mit gleicher Chance (z.B. idealer Würfel)
(2) Statistische/experimentelle Wahrscheinlichkeit
1
P( A) ≈ ⋅ ( Anzahl des Auftretens von A) für n → ∞
n
(3) Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov
Die nach Laplace-Modell berechneten bzw. experimentell gewonnenen
Wahrscheinlichkeiten sind konform zu den Axiomen von Kolmogorov.
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Wkt.1
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Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Rechengesetze
Sicheres Ereignis Ω
Unmögliches Ereignis Ø
Monotonie
Additionssatz
Spezialfall: disjunkte
Ereignisse
Spezialfall: Ω diskret
Komplementäres Ereignis
Differenz
P (Ω) =1
P(∅) =0
A ⊂ B → P( A) ≤ P( B)
P( A ∪ B)= P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
P( A ∪ B) =
P( A) + P( B ), falls A ∩ B =
∅
P( A) =Σ P(ω)
ω∈A
P( A) = 1 − P( A)
P( A \ B) = P( A) − P( A ∩ B)
3.5
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Wkt.1
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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Beispiel 4
Lostrommel enthalte 500 Lose, davon seien 200 weiß, die restlichen 300 blau.
Unter den weißen Losen seien 10 Gewinne, unter den blauen seien 20 Gewinne.
Welche Losfarbe würden Sie nach dieser Kenntnis ziehen?
W: zufällig gezogenes Los weiß
B: zufällig gezogenes Los blau
G: zufällig gezogenes Los ist ein Gewinn
P(G) = 30/500= 0.06
Gewinnchance ohne Farbinfo
Nur weiße Lose
Nur blaue Lose
G∩W : Los ist weiß und ein Gewinn
G∩B :
P(G∩W) = 10/500 = 0.02
P(G∩B) = 20/500 = 0.04
P(B) = 300/500 = 0.6
P(W) = 200/500 = 0.4
G ∩ W ) 10 / 500
Gewinnchance P(=
= 0.05
P(W )
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200 / 500
Los ist blau und ein Gewinn
Gewinnchance
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P(G ∩ B) 20 / 500
= = 0.06
P( B)
300 / 500
Wkt.1
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B
P( A ∩ B)
P( A / B) =
P( B)
Dabei ist A, B ⊆ Ω und P ( B ) > 0
Interpretation
Die Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit bedeutet die Einschränkung
der gesamten Ergebnismenge Ω auf die durch die Bedingung definierte
Teilmenge B.
Im Beispiel:
Gewinnchance unter der Bedingung ‚blau‘:
P(G ∩ B)
= 0.06
P( B)
P (G ∩ W )
Gewinnchance unter Bedingung ‚weiß‘
=
P (G / W ) = 0.05
P (W )
Totale Wahrscheinlichkeit für Gewinn aus bedingten Wahrscheinlichkeiten
P (G )= P (G ∩ W ) + P (G ∩ B )= P (G / W ) P(W) + P (G / B ) P(B)
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=
P(G / B )
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Wkt.1
3.6
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Totale Wahrscheinlichkeit
Die Formel des Beispiels kann auf eine Zerlegung von Ω in n disjunkte Mengen
verallgemeinert werden.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Ω= B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn , alle Bk seien paarweise disjunkt
Dann gilt
=
P ( A)
n
∑ P( A / B ) ⋅ P( B )
k =1
k
k
Bedeutung des Satzes
Das Ereignis A kann zunächst in Subpopulationen beobachtet werden.
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht daraus die Berechnung der
Wahrscheinlichkeit für die Gesamtpopulation.
Es erfolgt dabei eine Wichtung der Subpopulationswahrscheinlichkeiten mit dem
Anteil der Subpopulation an der Gesamtpopulation.
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Wkt.1
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel 5
Eine Fußballmanschaft spielt mit 2 Stürmern A und B.
Von Stürmer A kommen 50% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrscheinlichkeit 70% .
Von Stürmer B kommen 40% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrscheinlichkeit 80% .
Die restlichen Spieler R haben eine Trefferwahrscheinlichkeit von 30%.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Schuss auf das Tor ein Treffer?
Ergebnismenge Ω : alle Schüsse auf das Tor
Ereignis T :
Schüsse auf das Tor, die ein Treffer sind
Ereignisse A, B, R: Schüsse auf das Tor von Stürmer A, B bzw. vom Rest
P(A) = 0.5
P(B) = 0.4
P(R) = 0.1
P(T/A) = 0.7 Trefferwahrscheinlichkeit von A
P(T/B) = 0.8 Trefferwahrscheinlichkeit von B
P(T/R) = 0.3 Trefferwahrscheinlichkeit von R
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
P (T=
) P (T / A) ⋅ P ( A) + P (T / B ) ⋅ P ( B ) + P (T / R ) ⋅ P ( R )
P (T ) = 0.7 ⋅ 0.5 + 0.8 ⋅ 0.4 + 0.3 ⋅ 0.1 = 0.7
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Wkt.1
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Bayessche Formel
Veränderter Fragestellung in Beispiel 5:
Ein Tor wurde erzielt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam der Schuss von Stürmer B?
d.h. Einschränkung der Grundgesamtheit auf die Schüsse mit Torerfolg T.
durch die Bedingung ‚ein Tor wurde erzielt‘
Ereignis ist nun ‚Schüsse von B , die zu einem Tor führten‘ (gelbe Fläche).
Eingeschränkte Grundgesamtheit T :
Schüsse auf das Tor, die ein Treffer sind
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist der
gelbe Anteil P(B/T) in der Gesamtfläche T.
P (T / B ) ⋅ P ( B )
P (T / A) ⋅ P ( A) + P (T / B ) ⋅ P ( B ) + P (T / R ) ⋅ P ( R )
0.8 ⋅ 0.4
0.8 ⋅ 0.4
P=
(B / T )
= = 0.457
0.7 ⋅ 0.5 + 0.8 ⋅ 0.4 + 0.3 ⋅ 0.1
0.7
P( B / T ) =
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Wkt.1
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Bayessche Formel
Satz (Bayessche Formel)
Ω= B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn , alle Bk seien paarweise disjunkt
Dann gilt
=
P ( Bi / A)
P ( A / Bi ) ⋅ P ( Bi )
=
P ( A)
P ( A / Bi ) ⋅ P ( Bi )
n
∑ P( A / B ) ⋅ P( B )
i =1
i
i
Bedeutung des Satzes
Es erfolgt in gewissem Sinn die Umkehr von Ursache-Wirkungs-Beziehungen.
Man kennt die Wahrscheinlichkeit P(Wirkung/Ursache), mit der eine Ursache eine
bestimmte Wirkung nach sich zieht.
Oft fragt man beim Beobachten einer Wirkung, mit welcher Wahrscheinlichkeit
eine bestimmte Ursache vorgelegen hat, d.h. man sucht P(Ursache/Wirkung).
So wird in der Medizin oft aufgrund einer Wirkung (Testergebnis, Befund) auf das
Vorhandensein einer Krankheit geschlossen.
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Wkt.1
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Totale Wahrscheinlichkeit
Alternativ:
Berechnung mit Pfaddiagramm
Aufbau eines Pfaddiagramms
Wahrscheinlichkeiten nach einem Knoten summieren sich stets zu 1.
Pfad symbolisiert den Durchschnitt der Ereignisse, die er durchläuft.
Pfadwahrscheinlichkeit = Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads, z.B.
P( A) ⋅ P(T / A) =
P( A ∩ T )
Totale Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit eines Endereignisses =
Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten zu diesem Endereignis, z.B.
P(T=
) P(T / A) ⋅ P( A) + P(T / B) ⋅ P( B) + P(T / C ) ⋅ P(C )
Im Beispiel
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P (T ) = 0.7 ⋅ 0.5 + 0.8 ⋅ 0.4 + 0.3 ⋅ 0.1 = 0.7
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Wkt.1
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Bayessche Formel
Bayessche Formel mit Pfaddiagramm
Einschränkung der Grundgesamtheit auf ein Endereignis: man betrachtet nur die
Pfade zu diesem Endereignis
P (T / B ) ⋅ P ( B )
=
P (T )
P (T / B ) ⋅ P ( B )
P (T / A) ⋅ P ( A) + P (T / B ) ⋅ P ( B ) + P (T / R ) ⋅ P ( R )
P( B / T )
=
P(B/T) ist der Quotient der Pfadwahrscheinlichkeit des Pfades nach T über B
und der Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten nach T .
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Wkt.1
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Unabhängigkeit von Ereignissen
A, B sind unabhängig, wenn
P=
( A / B ) P=
( A / B ) P ( A)
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist
P( A ∩ B)
P( A / B) =
, somit muss gelten P ( A) ⋅ P ( B ) =P ( A ∩ B )
P( B)
Definition
A, B sind paarweise stochastisch unabhängig, wenn gilt
P ( A ∩ B )= P ( A) ⋅ P ( B )
A1,…,An sind total unabhängig, wenn für alle k ≤ n und An1,…Ank gilt
P ( An1 ∩ ... ∩ A=
P ( An1 ) ⋅ ... ⋅ P ( Ank )
nk )
Multiplikationssatz
P ( A ∩=
B) P( A / B) ⋅ P( B)
P ( A ∩ B )= P ( A) ⋅ P ( B ), falls A, B unabhängig
3.7
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Wkt.1
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Unabhängigkeit von Ereignissen
K2
Wahrscheinlichkeit für Funktionieren W der Schaltung aus Bsp.1,
wenn die Komponenten unabhängig mit den Wahrscheinlichkeiten
0.9, 0.8 und 0.7 funktionieren
K1
K3
P ( K 2 ∪ K 3) =
1 − P ( K 2 ∪ K 3)
W =K1 ∩ ( K 2 ∪ K 3)
P (W ) = P ( K1) ⋅ P ( K 2 ∪ K 3)
= 0.9 ⋅ (1 − (1 − 0.8 ) ⋅ (1 − 0.7 ) ) = 0.846
=
1 − P( K 2 ∩ K 3)
=
1 − P( K 2) ⋅ P( K 3)
Wahrscheinlichkeit für Funktionieren W folgender Schaltung,
wenn alle Komponenten unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit
0.9 funktionieren
W = K1 ∪ K 2 ∪ ( K 3 ∩ K 4)
P (W ) =
1 − P (W ) =
1 − P K1 ∪ K 2 ∪ ( K 3 ∩ K 4)
(
(
)
)
K1
K2
K3
K4
=1 − P K1 ∩ K 2 ∩ ( K 3 ∩ K 4) =1 − (1 − P (K1) ⋅ (1 − P(K 2) ⋅ (1 − P ( K 3) ⋅ P ( K 4) )
3.8
=1 − 0.1 ⋅ 0.1 ⋅ (1 − 0.9 ⋅ 0.9) =09981
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Wkt.1
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Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
P ( A ∩ B ) , falls P(B)>0
P( B )
P ( A / B ) = P ( A)
P( A ∩ B) =
P( A / B) P( B)
P ( A ∩ B )= P ( A) ⋅ P ( B ) falls A, B unabhängig
P( A / B ) =
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unabhängigkeit
Multiplikationssatz
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
=
P ( A)
Ω = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn , paarweise disjunkt
Bayessche Formel
Ω = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn , paarweise disjunkt
n
∑ P( A / B ) ⋅ P( B )
k
k =1
P ( Bi / A) =
P ( A / Bi ) ⋅ P ( Bi )
n
∑ P( A / B ) ⋅ P( B )
k =1
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k
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k
k
Wkt.1
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Simulation
Wenn eine Komponente K mit Wahrscheinlichkeit p funktioniert, wird man in einer
Versuchsreihe der Länge n (n groß) k = p∙100% mal das Funktionieren beobachten.
Computer erzeugen (Pseudo-)Zufallszahlen, die zwischen zwischen 0 und 1 liegen
und dort gleichverteilt sind, z.B. MATLAB mit dem Kommando rand.
Setzt man in einem Vektor X der Länge n jede Komponente auf 1, die einer Zufallszahl
kleiner als p entspricht, die anderen auf Null, enthält dieser Vektor etwa p∙100% Einsen
bzw. es gilt P ( X= 1) ≈ p .
Der Vektor X enthält die Realisierungen von n unabhängigen ‚Zufallsexperimenten‘.
n = 10000
p = 0.9
X = zeros(n)
for i = 1: n
u=rand;
X(i) = (u < p);
end
Sum(X)/n
* Kontrolle: sollte gleich p sein
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Wkt.1
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