Lösung SoSe 2014 - TU Bergakademie Freiberg

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1. Aufgabe:
a) Zeichnen Sie für folgende Daten den Box-Plot.
i
xi
1
0,25
2
0,4
3
0,55
4
0,7
5
0,95
6
1,6
7
2,25
8
3,3
9
6,7
10
8
b) Ist die Verteilung symmetrisch, rechtsschief oder linksschief?
Lösung:
a)
n = 10
n · 0, 5 = 5
n · 0, 25 = 2, 5
n · 0, 75 = 7, 5
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
Au = Vu − 1, 5 · d =
=⇒
A0 = Vo + 1, 5 · d =
=⇒
1
1
x̃ = x̃0,5 = (x(5) + x(6) ) = (0, 95 + 1, 6) = 1, 275
2
2
Vu = x̃0,25 = x(3) = 0, 55
Vo = x̃0,75 = x(8) = 3, 3
d = Vo − Vu = 3, 3 − 0, 55 = 2, 75
0, 55 − 1, 5 · 2, 75 = −3, 575 < 0, 25 = x(1)
Es gibt keine Ausreißer nach unten.
3, 3 + 1, 5 · 2, 75 = 7, 425 < 8 = x(10)
x(10) ist ein Ausreißer nach oben.
Box-and-Whisker Plot
0
2
4
x
6
8
b) Die Verteilung ist rechtsschief.
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2. Aufgabe: Bei einem Teeladen sind 70% der Kunden weiblich und 30% männlich.
Der Inhaber des Ladens weiß aus langer Erfahrung, welcher Kunde lieber Früchtetee und welcher lieber schwarzen Tee trinkt. Bei den weiblichen Kunden trinken
40% lieber Früchtetee und 60% lieber schwarzen Tee. Bei den männlichen Kunden
bevorzugen 55% Früchtetee und 45% schwarzen Tee.
Ein Kunde des Ladens serviert seinen Gästen Früchtetee, weil er diesen selbst bevorzugt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde weiblich ist?
Formulieren Sie vor der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit relevante
Ereignisse und geben Sie dafür die aus dem Text folgenden Wahrscheinlichkeiten an.
Lösung:
A - ein zufällig ausgewählter Kunde ist weiblich
Ac - ein zufällig ausgewählter Kunde ist männlich
B - ein zufällig ausgewählter Kunde trinkt lieber Früchtetee
B c - ein zufällig ausgewählter Kunde trinkt lieber schwarzen Tee
P (A) = 0, 7
P (B|A) = 0, 4
P (B|Ac ) = 0, 55
und
und
und
P (Ac ) = 0, 3
P (B c |A) = 0, 6
P (B c |Ac ) = 0, 45
P (A ∩ B)
P (B|A) · P (P (A)
=
P (B)
P (B|A) · P (A) + P (B|Ac ) · P (Ac )
0, 4 · 0, 7
=
= 0, 6292
0, 4 · 0, 7 + 0, 55 · 0, 3
P (A|B) =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3. Aufgabe: Es ist bekannt, dass 40% aller Menschen die Blutgruppe Null besitzen. Nach einem Aufruf zur Blutspende melden sich unabhängig voneinander 10
Studenten im Kreiskrankenhaus zur Spende.
a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Studenten mit Blutgruppe Null verteilt?
(Parameter nicht vergessen!)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Student die Blutgruppe
Null besitzt?
c) 120 Euro ist der Wert einer Blutspende bei der Blutgruppe Null, bei allen
anderen Blutgruppen sind es 10 Euro weniger. Wie groß ist der erwartete Wert
der Blutspenden der 10 Studenten?
Lösung:
a) X ist binomialverteilt (X ∼ Bin(n, p)) mit n=10 und p=0,4.
b)
P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1)
= 1 − (P (X = 0) + P (X = 1))
µµ ¶
µ ¶
¶
10
10
0
10
1
9
= 1−
· 0, 4 · 0, 6 +
· 0, 4 · 0, 6
0
1
= 1 − (0, 00605 + 0, 04031) ≈ 0, 954
c) 120 e · X = Wert der Blutspenden mit Blutgruppe Null.
110 e · (10 − X) = Wert der Blutspenden bei allen anderen Blutgruppen.
W =
=
EW =
=
=
120 e · X + 110 e · (10 − X)
10 e · X + 1100 e
10 e · EX + 1100 e
10 e · 4 + 1100 e
1140 e
Dabei ist
EX = n · p = 10 · 0, 4 = 4
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4. Aufgabe: Die Firma Schoko stellt Schokoladentafeln her. Auf der Verpackung wird
das Gewicht mit 100 g angegeben. Durch zufällige Schwankungen im Produktionsprozess bedingt, wiegt nicht jede Tafel exakt 100 g. Das Füllgewicht ist normalverteilt mit Erwartungswert 101 g und Standardabweichung 0,8 g.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tafel weniger als 100 g wiegt?
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tafel mehr als 100 g wiegt soll 99,5% sein.
Wie groß muss bei einer Standardabweichung von 0,8 g der Erwartungswert
sein, damit diese Forderung erfüllt wird.
Lösung:
X ∼ N (µ, σ 2 )
mit EX = µ = 101 g
und
√
VarX = σ = 0, 8 g
a)
µ
¶
100 − 101
P (X < 100) = Φ
= Φ(−1, 25)
0, 8
= 1 − Φ(1, 25) = 1 − 0, 8944 = 0, 1056
b)
P (X > 100)
µ
¶
100 − µ
1−Φ
0, 8
µ
¶
100 − µ
Φ
0, 8
100 − µ
0, 8
µ
!
= 0, 995
= 0, 995
= 0, 005
= z0,005 = −z0,995 = −2, 5758
= 100 + 2, 5758 · 0, 8 ≈ 102, 06
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5. Aufgabe: Ein Student geht davon aus, dass die Dauer X seiner Handygespräche
exponentialverteilt ist mit Erwartungswert 50 s.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handygespräch mehr als 2 Minuten dauert?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert ein Gespräch weniger als 30 s?
c) Die jeweilige Dauer seiner letzten 5 Gespräche ergibt die folgende Stichprobe:
x1 = 100 s, x2 = 18 s, x3 = 36 s, x4 = 142 s und x5 = 27 s
Schätzen Sie daraus den Parameter λ der Exponentialverteilung.
Lösung:
X ∼ Exp(λ)
EX =
1
= 50 s
λ
=⇒
λ=
1
= 0, 02 s−1
50 s
a)
P (X > 120) = 1 − FX (120)
= 1 − (1 − e−0,02·120 )
= e−2,4 ≈ 0, 091
b)
P (X < 30) = FX (30) = 1 − e−0,02·30
= 1 − e−0,6 ≈ 0, 451
c)
5
X
xi = 323 s
=⇒
x=
323 s
= 64, 6 s
5
=⇒
λ̂ =
1
1
=
≈ 0, 0155 s−1
x
64, 6 s
i=1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
6. Aufgabe: Für eine Stichprobe stehen maximal 510 e zur Verfügung. Die Grundgesamtheit wurde in 3 Schichten aufgeteilt. Für diese Schichten sind die folgenden
Werte bekannt:
Schicht i
1
2
3
Anteil pi
0,5
0,2
0,3
Standardabweichung σi
7
3
5
Kosten ci
9
16
4
Bestimmen Sie die Stichprobenumfänge für eine kostenoptimal geschichtete Stichprobe.
Lösung:
√
p1 · σ1 · c1 = 0, 5 · 7 · 3 = 10, 5
√
p2 · σ2 · c2 = 0, 2 · 3 · 4 = 2, 4
√
p3 · σ3 · c3 = 0, 3 · 5 · 2 = 3
= 15, 9
pi · σi ·
c
ni = P3
√ ·
ci
cj
j=1 pj · σj ·
510
15, 9
510
=
15, 9
510
=
15, 9
n1 =
n2
n3
√
ci
i = 1, .., 3
10, 5
= 37, 42 =⇒ praktisch: n1 = 37
9
2, 4
·
= 4, 81 =⇒ praktisch: n2 = 5
16
3
· = 24, 06 =⇒ praktisch: n3 = 24
4
·
Überprüfung, ob die Kosten eingehalten werden:
3
X
ni · ci = 37 · 9 + 5 · 16 + 24 · 4 = 509 < 510
i=1
Die Kosten von 510 e werden eingehalten. Für 1 e können keine weiteren Stichproben gekauft werden.
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7. Aufgabe:
a) Aus den Bilanzsummen einer Bank über 5 Jahre ergeben sich wie folgt die
Wachstumsfaktoren:
Jahr Nr. i
Bilanzsumme xi in Mrd e
Wachstumsfaktor qi
0
15
1
18
1,2
2
24
1,333
3
20
0,833
4
24
1,2
Bestimmen Sie einen geeigneten Mittelwert der Wachstumsfaktoren.
Lösung:
geometrische Mittel:
1
xg = (1, 2 · 1, 333 · 0, 833 · 1, 2) 4 = 1, 1245
12,45% Wachstum im Mittel
b) Für die Zufallsvariable X gilt P (0 ≤ X ≤ 4) = 1. Welche der folgenden beiden
Funktionen F1 und F2 kann die Verteilungsfunktion von X sein und welche
nicht? (Beide oder keine von beiden oder die eine und die andere nicht?) (Kurze
Begründung!)
Lösung:
Die Funktion F1 kann die Verteilungsfunktion von X sein, da F1 im angegebene
Bereich alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion erfüllt. So gilt:
• F1 ist monoton wachsend.
• F1 (0) = 0 und F1 (4) = 1.
• F1 ist linksseitig stetig, da F1 überall stetig ist und im Punkt t = 4 linksseitig stetig ist.
(Bemerkung: Hier liegt keine reine stetige ZV oder reine diskrete ZV, sondern
eine Mischung von beiden vor. In t = 3 ist F1 nicht stetig, aber stetig von links
(was in der Zeichnung leider nicht klar zu sehen ist).)
Lösung: Die zweite Funktion F2 kann nicht die Verteilungsfunktion von X sein,
da diese im Bereich 2 ≤ t ≤ 2, 5 nicht monoton wachsend ist.
c) Man benötigt dringend eine Blutspende der Blutgruppe Null. Es ist bekannt,
dass 40% aller Menschen die Blutgruppe Null besitzen. Alle Blutspender sind
neu und deren Blutgruppen unbekannt. Man testet solange nach und nach
die neuen Blutspender auf ihre Blutgruppe, bis man den ersten Spender mit
Blutgruppe Null hat (um die dringend benötigte Spende zu erhalten). Wie ist
die zufällige Anzahl X der Tests verteilt? (Parameter nicht vergessen!)
Lösung:
X ist geometrisch verteilt (X ∼ Geo(p)) mit Parameter p = 0, 4.
d) Der Erwartungswert einer Zufallsvariable soll geschätzt werden.
i. Unter welcher Voraussetzung ist der Stichprobenmedian ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert?
ii. Die Schätzung mit dem Stichprobenmedian hat Vor- und Nachteile gegenüber der Schätzung mit dem Stichprobenmittelwert. Welchen Vorteil hat
die Schätzung mit dem Stichprobenmedian gegenüber der Schätzung mit
dem Stichprobenmittelwert?
Lösung:
i. Falls die Zufallsvariable symmetrisch verteilt ist.
ii. Der Stichprobenmedian ist robust gegenüber Ausreißern.