Übungen zur Stochastik für nichtmathematische

Prof. Dr. V. Schmidt
Dipl.-Math. oec. J. Rumpf
Dipl.-Math. D. Meschenmoser
SS 2008
19.05.2008
Übungen zur Stochastik für nichtmathematische Studiengänge
Blatt 5
(Abgabe: Montag, 26.05.2008, vor den Übungen)
Aufgabe 1
Der Zufallsvektor (X, Y ) sei deniert auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) und absolutstetig verteilt mit der gemeinsamen Dichte
f(X,Y ) (x, y) =
xe−x(y+1) für x > 0, y > 0
0
sonst
(a) Bestimme die Randdichte fX (x) von X .
(2)
(b) Bestimme die Randdichte fY (y) von Y .
(2)
(c) Bestimme die (gemeinsame) Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl X als auch Y
nicht gröÿer als 1 ist.
(2)
Aufgabe 2
Bei der Untersuchung eines genetischen Merkmals wurde festgestellt, dass in
• 5% aller Familien sowohl Vater als auch Sohn Träger dieses Merkmals sind
• 7,9% aller Familien der Vater Träger des Merkmals ist, aber der Sohn nicht
• 8,9% aller Familien der Vater nicht Träger des Merkmals ist, aber dafür der Sohn
• 78,2% aller Familien weder Vater noch Sohn Träger des Merkmals sind.
Bestimme den Einuss der (Nicht-)Ausprägung dieses Merkmals beim Vater auf den Sohn,
d. h. berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A | B), P (A | B c ), P (Ac | B),
P (Ac | B c ). Dabei bezeichne das Ereignis A die Tatsache, dass der Sohn einer Familie
Träger des Merkmals ist und das Ereignis B die Tatsache, dass der Vater der Familie
Träger des Merkmals ist.
(5)
Aufgabe 3
Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit Parameter p ∈ (0, 1)
(Schreibweise: X ∼ Geo(p)). Zeige:
P (X ≥ n0 + k | X > n0 ) = P (X ≥ k) ∀k ∈ N, ∀n0 ∈ N0
(4)
Aufgabe 4
Nach jahrelanger Erfahrung hat Taxifahrer M. herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeit
für eine Überlandfahrt stark von der Anzahl der Koer abhängt, die ein Fahrgast bei sich
trägt. Dabei hat er beobachtet, dass folgende Zusammenhänge gelten:
Bei Passagieren ohne Koer ist die Wahrscheinlichkeit für eine Überlandfahrt 0.1. Bei
Passagieren mit genau einem Koer beträgt sie 0.3, bei Passagieren mit 2 oder mehr Koern
sogar 0.6.
Ferner weiÿ er, dass mit Wahrscheinlichkeit 0.2 ein Passagier ohne Koer kommt, mit
Wahrscheinlichkeit 0.3 einer mit genau einem Koer, und mit Wahrscheinlichkeit 0.5 hat
ein Fahrgast mehr als einen Koer.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die nächste Fahrt eine Überlandfahrt ist. (2)
(b) Angenommen M. macht eine Überlandfahrt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hatte
der Passagier beim Einsteigen keinen Koer dabei?
(3)
Hinweise:
• Aktuelle Informationen zur Vorlesungen sind unter
http://www.uni-ulm.de/index.php?id=8919
zu nden. Dort stehen u. a. auch die Übungsblätter zum Download bereit.
• Die Lösungen der Übungsblätter müssen zu zweit abgegeben werden. Bitte die Namen
und deutlich schreiben! Bitte auch den Studiengang und den angestrebten Abschluss auf dem Blatt vermerken!
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