Mitschrieb zur Vorlesung: Physik jenseits des Standardmodells

Mitschrieb zur Vorlesung:
Physik jenseits des Standardmodells
Prof. Dr. Nierste
Vorlesung Wintersemester 2007/2008
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 14. August 2009
Mitschrieb der Vorlesung Physik jenseits des Standardmodells
von Herrn Prof. Dr. Nierste im Wintersemester 2007/2008
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Wiederholung des Standardmodells
1.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Appelguist-Carrazone-Theorem (Entkopplungstheorem)
1.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Symmetrien des Standardmodells . . . . . . . . . . . . .
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5
5
13
13
16
2 Custodiale SU(2)
2.1 Das Standardmodell als effektive Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 t’Hooft’sches Natürlichkeitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
21
22
3 Symmetrien und Anomalien
3.1 Beispiel für eine globale (also erlaubte) Anomalie . . . . . .
3.2 Beispiel: masselose QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exkursion: Ward-Identitäten und Renormierbarkeit . . . . .
3.4 Die Adler-Bell-Jackiw-Anomalie (ABJ-Anomalie) . . . . . .
3.4.1 Anomaliecheck des Standardmodells . . . . . . . . .
3.4.2 Ladungsquantisierungsproblem des Standardmodells
3.4.3 Drei Bemerkungen zu Anomalien . . . . . . . . . . .
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23
26
27
28
29
32
35
35
4 Das Zwei-Higgs-Dublett-Modell
4.0.4 Typ-I-2-HDM . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.5 Typ-II-2-HDM . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Higgs-Freiheitsgrade des 2HDM . . . . . . . . . . .
4.1.1 Beispiel: H ± -Kopplungen im Typ-II-Modell
4.1.2 Higgs-Massenmatrix . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Bemerkungen zum Potential . . . . . . . . .
4.1.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . .
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39
40
40
41
43
44
45
48
5 Große vereinheitlichte Theorie
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51
3
Kapitel 1
Wiederholung des Standardmodells
1.1
Zusammenfassung
Im Standardmodell gibt es die SU(2)-Dubletts
µ ¶
µ ¶
νL
uL
ψ=
und
.
eL
dL
Diese transformieren sich durch
¶¸
·
µ
σa
ψk mit j, k ∈ {1, 2}
ψj 7→ [exp(iαa I a )]jk ψk = exp iαa
2
jk
und den Pauli-Matrizen
µ
¶
µ
0 1
0
σ1 =
, σ2 =
1 0
i
¶
µ
−i
1
, σ3 =
0
0
(5)
¶
0
.
−1
(6)
Die Summe über a laufe von 1 bis 3. Die SU(3)-Tripletts
 r  r  r  r
dR
dL
uR
uL
ψL = ugL  , ugR  , dgL  , dgR 
dbR
dbL
ubR
ubL
(7)
transformieren wie
·
µ
¶¸
λa
ψj 7→ [exp(iαa T a )]jk ψk = exp iαa
ψk
2
jk
mit den Gell-Mann-Matrizen
µ j
¶
σ
j
λ =
für j = 1, 2, 3
0

0
λ4 = 0
1
0
0
0


1
0
0 , λ5 = 0
0
i

µ
0 −i
0
0 0  , λ6 =
0 0
¶
σ1
, λ7 =
µ
0
¶
σ2

1 0
1
, λ 8 = √ 0 1
3 0 0

0
0 .
−2
(8)
Die Fermionen der zweiten und dritten Generation haben dieselben Quantenzahlen in (2). Die unterschiedlichen
Quantenzahlen für links- und rechtshändige Felder in (2) verbieten Dirac-Massenterme
−mψψ = −mψ L ψR − mψ R ψL ,
denn beispielsweise ist eR eL nicht SU(2)-invariant. Majorana-Massenterme
c
m(ψ ψ + ψψ c ) mit ψ c = iγ 2 γ 0 ψ
|
sind nicht erlaubt wegen Y 6= 0 in (2), denn mit
(4)
ψyc −−→ exp(−iϕy )ψyc
5
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
folgt:
c
(4)
c
c
ψ ψ −−→ exp(2iϕy )ψ ψ 6= ψ ψ
GSM in (1) ist geeicht. ϕ = ϕ(x) in (1) und αa = αa (x) in (5), (6) führt auf die kovariante Ableitung:
Dµ = ∂µ − ig1 Bµ Y − ig2 Wµa I a − ig3 Aaµ T a
mit
½
a
I ψ=
und
½
T aψ =
σ a /2ψ
0
für Dubletts ψ
für Singuletts ψ
λa /2ψ
0
für Tripletts ψ
für Singuletts ψ
Elemente der Lie-Gruppen U(1), SU(2), SU(3) lassen sich schreiben als exp(iαa T a ) mit reellen Parametern αa
und hermiteschen Matrizen T a und zwar T a = 1, σ a /2, λa /2. Sie bilden die Lie-Algebren
[T a , T b ] = if abc T c
(10)
mit den Strukturkonstanten f abc . Für die u(1) gilt f abc = 0; also handelt es sich um eine abelsche Gruppe,
da alle Elemente miteinander vertauschen. Für die su(2) ist f abc = εabc , wobei εabc der Levi-Civita-Tensor ist.
(Die zu einer Lie-Gruppen gehörige Lie-Algebra wird mit kleinen Buchstaben bezeichnet.)
Jeder Satz von hermiteschen n×n-Matrizen TRa mit [TRa , TRb ] = if abc TRc bildet eine Darstellung der Lie-Algebra
(10). Die Matrizen TGa mit
[TGa ]bc = f abc
(11)
bilden die adjungierte Darstellung der Lie-Algebra. Die Eichbosonen W µ,a leben in der adjungierten Darstellung
der SU(2):
W µ,a 7→ W µ,b = [exp(iαa TGa )]bc W µ,c mit [TGa ]bc = εabc
Die Gluonen Aµ,a leben in der adjungierten Darstellung der SU(3). Für die SU(2) gilt dim[TG ] = 3, für die
SU(3) dim[TG ] = 8 und allgemein dim[TG ] = N 2 − 1.
Eichkopplungen (mit (2)) in GSM -invarianter Schreibweise:
Wµ
Li ,Qi
:
i
a µ
g2 σij
γ
2
Lj ,Qj
Bµ
f
: ig1 yf γ µ
f
Aµ
:
i
g3 λaαβ γ µ
2
qα
qβ
a
Feldstärke-Tensor Fµν :
a
[Dµ , Dν ] = −igFµν
F µν,a für g = g1 , g2 oder g3
(16)
Für die U(1) gilt
Fµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
(17)
und für die SU(N ):
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Abµ Acν
(18)
6
1.1. ZUSAMMENFASSUNG
a
a
a
Speziell für die SU(2) ist f abc = εabc und somit Fµν
= Wµν
. Für die SU(3) ist Fµν
= Gaµν . Für eine SU(N )Eichtheorie gilt
1
1 a µν,a
a
Leich = − Tr(Fµν
T a F µν,b T b ) = − Fµν
F
2
4
(19)
mit der Normierungskonvention
Tr[T a T b ] =
1 ab
δ
2
(20)
Der Vorfaktor 1/2 wird auch als Dynkin-Index bezeichnet. Speziell für das Standardmodell gilt also
1
1 a µν,a 1 a µν,a
Leich = − Fµν F µν − Wµν
W
− Gµν G
.
4
4
4
(21)
Leich erzeugt die kinetischen Terme der Eichbosonen und die Selbstwechselwirkung der Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung und der Gluonen. Schauen wir uns die Selbstwechselwirkung der SU(3)-Eichbosonen an:
k
: gf abc [g µν (k − p)% + g ν% (p − q)µ + g %µ (q − k)ν ]
p
q
: −ig 2 [f abe f cde (g µ% g νσ − g µσ g ν% ) + (b, ν) ↔ (c, %) + (b, ν) ↔ (d, σ)]
Für N = 2 vereinfacht sich (23) etwas wegen
f abe f cde = εabe εcde = δac δba − δad δbc
und (22) hat als einzigen nichtverschwindenden Vertex:
W3%
W2ν
W1µ
: g2 [g µν (k − p)% + . . .]
2
Die Eichinvarianz verbietet Massenterme MW
, Wµa W µ,a für die Eichbosonen. Der Higgsmechanismus führt zur
Brechung der SU(2)L ⊗ U(1)Y (L: links, Y : Hyperladung) zur U(1)em . Damit werden drei Eichbosonen massiv.
Die drei Goldstonebosonen werden zu longitudinalen Freiheitsgraden der massiven Eichbosonen W+ , W− und
Z. Higgs-Dublett:
µ + ¶
φ (x)
Φ(x) = ΦY =12 (x) =
(24)
φ0 (x)
Das Minimum des Higgspotentials
V (Φ) = −µ2 Φ† Φ + λ(Φ† Φ)2 mit λ, µ > 0
(25)
liegt bei
Φ† Φ =: v 2 =
µ2
mit v > 0
2λ
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt:
µ ¶
0
Φmin =
v
(26)
(27)
7
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
und dann gilt:
h(x)
G0 (x)
φ0 (x) = v + √ + i √
und φ+ (x) =: G+ (x)
2
2
(28)
h(x) beschreibt das physikalische Higgs-Boson. Wegen
µ ¶
µ ¶
0
a 0
Y
6= 0 6= Iw
v
v
a
wobei Iw
der schwache Isospin ist, bricht der Vakuumerwartungswert in (27) U(1)Y und SU(2)L . Mit Q :=
3
Y + Iw gilt:
¶
¸µ ¶ µ
¶µ ¶ µ ¶
µ ¶
· µ
1 3 0
1 1 0
1 0
0
0
0
+ σ
=
=
Q
=
0
1
v
0
1
v
0
v y=1
2
2
2
Damit ist also das Vakuum ungeladen bezüglich U(1)em und Q erzeugt die ungebrochene U(1)em . Die HiggsLagrangedichte ist gegeben durch:
Lφ = [Dµ Φ† ][Dµ Φ] − V (Φ)
Der kinetische Anteil [Dµ Φ† ][Dµ Φ] erzeugt die Massenterme für die Eichbosonen W± und Z. Mit dem WeinbergWinkel ϑw
g1
g2
tan ϑw =
sind die Photon- und Z-Boson-Felder gegeben durch:
Aµ = cos ϑw B µ + sin ϑw Wµ3 , Z µ = − sin ϑw B µ + cos ϑw Wµ3
Für die elektrische Ladung gilt:

 1
 1
Wµ
Wµ
0
3 
Wµ2  = i 1
Q Wµ2  = Iw
0
Wµ3
Wµ3
(32)

  1 
Wµ
−iWµ2
−1 0
0 0 Wµ2  =  iWµ1 
0 0
Wµ3
0
W3 ist ungeladen. Wµ± = Wµ1 ∓ iWµ2 sind Eigenzustände zu Q:
QWµ± = ±Wµ±
Die Massen der Eichbosonen sind gegeben durch
2
MW
=
g22 v 2
g2 v2 1
und MZ2 = 2
2
2 cos ϑ2w
(34)
womit also gilt:
MW
= cos ϑw
MZ
(35)
Die elektrische Ladung ist gegeben durch
e = g1 cos ϑw = g2 sin ϑw
(36)
Wegen (2) brechen Fermion-Massenterme −mf f R fL die SU(2)L ×U(1)Y . Somit müssen die Massen proportional zum Symmetriebrechungsparameter v sein: mf ∼ v. Diese Tatsache schützt“ die Kleinheit der Masse. Es
”
gilt beispielsweise nicht mf ∼ MPlanck . Yukawa-Kopplungen:
LY = LcY + LuY + LdY
LeY = −
3
X
e
yjk
Lj ΦeR,k + h.c.
(37)
(38)
j,k=1
8
1.1. ZUSAMMENFASSUNG
wobei j und k Generationenindizes sind. Nur der Yukawa-Sektor kann Generationen unterscheiden! Generationen haben alle die gleiche Quantenzahlen, aber unterschiedliche Masse.
LdY = −
3
X
d
yjk
Qj ΦdR,k + h.c.
(39)
u
Qj Φc uR,k + h.c.
yjk
(40)
j,k=1
LuY = −
3
X
j,k=1
mit
µ
Φc = εΦ∗ =
¶
µ ¶
(φ0 )∗
v
c
=
,
Φ
min
0
−φ−
(41)
wobei
µ
ε = iσ 2 =
¶
0 1
−1 0
(42)
Φc transformiert auch wie die SU(2). (Wegen der symplektischen Struktur der SU(2) gilt dies nicht für andere
c
u
d
SU(N ). yjk
, yjk
und yjk
sind 3 × 3-Matrizen im Generationenraum. Schauen wir uns zur Wiederholung noch
einmal die Generationen an:
u
d
e
νe
c
s
µ
νµ
t
b
τ
ντ
rgb
Es gibt 2 × 15 Freiheitsgrade pro Generation: urgb
L,R , dL,R , eL,R , νe (15 Weyl-Spinoren bzw. chirale DiracSpinoren).
Der Eichsektor hat eine globale [U(3)]5 -Flavoursymmetrie. Mit U Q ∈ U (3) sind LF in (12), LEich in (19)
Q
und Lφ in (30) invariant unter Qj 7→ Ujk
Qk (43). Analog gilt dies für dR,j , uR,j , Lj und eR,j . LY bricht diese
e
d
u
Symmetrie explizit durch die Yukawa-Kopplungen yjk
, yjk
, yjk
. Ausnutzung der gebrochenen Symmetrien:
L
R
L 7→ Ujk
, lR,j 7→ Ujk
lR,k bewirkt (mit L = (L1 , L2 , L3 ) usw.):
(44)
LlY = −Ly l φlR + h.c. −−→ −L(U l )† y l U R φlR + h.c.
Durch geeignete Wahl von U L , U R ist ybl = diag(ye , yµ , yτ ) (45). Hieraus folgt, dass Lepton-Yukawa-Kopplungen
o.B.d.A. diagonal sind in einer geeigneten Basis im Flavourraum. Kommen wir nun zu den Quarks. Mit den
Q
U(3)-Transformationen Q 7→ Sd,R
Q, dR 7→ S d,R dR und uR 7→ S u,R uR (46) kann man y u diagonalisieren.
ybu = (S Q )† y u S u,R = diag(yu , yc , yt ) mit yu , yc , yt ≥ 0
(47)
Mit geeigneten S d,L , S d,R ergibt sich:
(S Q )† y d S d,R = (S Q )† S d,L (S d,L )† y d S d,R = V · ybd
{z
}
| {z } |
=:V
(48)
y
bd
mit ybd = diag(yd , ys , yb ), yd,s,b > 0 und der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix V . Mit (27) finden wir aus
(38) - (40) mit den Massenmatrizen
cl = vb
cu = vb
M
yl , M
y u , M d = vV ybd
(49)
die Fermion-Massenterme
cl lR − dL M d dR − uL M
cu uR + h.c.
Lferm = −eL M
(50)
cd dR (52) mit M
cd =
Um M d zu diagonalisieren, transformieren wir dL 7→ V dL (51), so dass dL M d dR 7→ dL M
diag(md , ms , mb ) (53). (51) vertauscht nicht mit SU(2)L -Transformationen. Die Fermionfelder in
cl lR − dL M
cd dR − uL M
cu uR + h.c.
Lferm = −lL M
9
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
heißen Masseneigenzustände. Die Fermionfelder in (37) bis (50) sind Wechselwirkungseigenzustände.
Sie sind nur bis auf U(3)-Transformationen (44), (46) eindeutig. Die Felder in (50) bilden die U-Basis, in der
die UL,j -Felder gleichzeitig Wechselwirkungs- und Masseneigenzustände sind. In der D-Basis, die man aus der
U-Basis via QL 7→ V QL gewinnt, ist anstelle von M u nur M d diagonal. Schließen wir nun die Konstruktion
der Lagrangedichte ab und blicken auf das Ergebnis:
LSM = LF + Leich + Lφ + LY
(54)
LSM ist die allgemeinste Lagrangedichte, die folgende Anforderungen erfüllt.
1.) SU(3) × SU(2) × U(1)-Eichsymmetrie
2.) Teilcheninhalt:
a.) Fermionen mit Spin 1/2 und Quantenzahlen in (2)
b.) Skalarfeld Φ mit Iw = 1/2 und Y = 1/2
3.) Renormierbarkeit: keine Kopplungen mit negativer Dimension
Schleifenkorrekturen können UV-divergent sein, wie beispielsweise:
q+p
0
q,s ,α
q
q,s,α
= ig32
4
· (−uα (p, s)γµ γα γ µ uα (p, s0 ) · I α + muα (p, s)γµ γ µ uα (p, s0 ) · I) (55)
3
Gearbeitet wird in der Feynman-Eichung. Der Faktor 4/3 rührt von T a T a = 4/31 her. m ist die Quarksmasse. Zu beachten ist, dass über α nicht summiert wird. Die zugehörigen Schleifenintegrale sind gegeben
durch:
Z
dD q
qα
α
I =
(56)
(2π)D i (q + p)2 [q 2 − m2 ]
Z
1
dD q
(57)
I=
D
2
(2π) i (q + p) [q 2 − m2 ]
UV-Divergenzen findet man mit dem Power-Counting. Die Massendimension der Schleifenintegrale
führt zum oberflächlichen Divergenzgrad“ [I α ] = D + 1 − 4 = D − 3 und [I] = D − 4. Hinreichend
”
für UV-Konvergenz ist, dass alle Schleifen des betrachteten Diagramms negative Dimension haben.
Beispielsweise hat das ganze Diagramm und der Teilgraph negative Dimension, aber der Teilgraph () ist
in vier Dimensionen divergent (Massendimension D−4 = 0). Physikalisch trägt die Selbstenergie in (55)
zur Masse des Quarks bei und zwar über den zweiten Term mit dem Schleifenintegral I. Die Divergenz
von I kann über eine Redefinition von m in der Lagrangedichte absorbiert werden (Massenrenormierung).
Lf m ⊃ −m(0) qq = −Zm m = −mqq + m(1 − Zm )qq
(58)
m(0) ist die unrenormierte Masse. Man bezeichnet m(1 − Zm ) auch als Gegenterm (Counterterm). Die
Renormierungskonstante ist eine Entwicklung in der Kopplungskonstanten:
µ 2 ¶2
g3
g 2 (1)
(2)
+
Zm
+ ...
(59)
Zm = 1 + 3 2 Zm
16π
16π 2
(1)
(2)
Zm , Zm , . . . sind divergent. Man kann beliebige endliche Anteile von I in den Gegenterm (1 − Zm )m
absorbieren. Diese Wahl definiert das Renormierungsschema. Ebenso kann man mit einer Renormierung der Kopplungskonstanten g (0) = Zg g (60) Divergenzen von Vertexdiagrammen auffangen.
10
1.1. ZUSAMMENFASSUNG
Physikalisch bedeutet dies, dass Ladungen durch Quanteneffekte abgeschirmt werden. Schließlich wird
die Divergenz aus I α in (55) durch q (0) = Zq q (61), also eine Reskalierung der Quarkfelder, absorbiert.
(61) heißt Feldrenormierung oder Wellenfunktionsrenormierung. (Analog zu (61) renormiert man
auch die Eich- und Higgsfelder.) Enthält L nur Kopplungen mit nichtnegativer Dimension, so ist die
Theorie renormierbar. Das heißt, alle Divergenzen können in Parameter der Lagrangedichte absorbiert
werden. Beispiel einer nicht renormierbaren Theorie ist die Fermi-Theorie für Elektronen und Myonen:
νµ
νe
e
νe
Es gilt [GF ] = −2.
GF X
0
L ⊃ −√
lL γµ νe l γ µ νl0 + h.c.
2 l,l0 =e,µ
l6=l0
e
νe
µ
νµ
µ
νµ
µ
νµ
µ
νµ
e
νe
Baumgraphenniveau:
µ
µ
e
νµ
νµ
νe
νe
1-Schleifen-Niveau:
νe
νe
e
νµ
µ
e
νe
νµ
µ
Der Gegenterm hat die Form
11
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
νe
µ
νµ
ν
νe
µ
und beschreibt eine neue Kopplung. Je mehr Kopplungen auftreten, umso höher ist der Divergenzgrad der
Schleifen.
• Jede n-Punkt-Greenfunktion wird in irgendeiner Ordnung (von GF ) divergent.
• Damit werden unendlich viele Gegenterme benötigt, was dazu führt, dass die Theorie keine physikalische
Aussagekraft mehr besitzt.
Jedoch beschreibt die Fermi-Theorie erfolgreich die schwache Wechselwirkung bei niedrigen Energien E.
µ
e
e
µ
W
νµ
νe
νµ
νe
E¿MW
−−−−−→
1
1
GF
g22
√
→
mit
=
2
2
2
q 2 − MW
MW
8MW
2
(62)
Nicht renormierte
Wechselwirkungen sind akzeptabel als effektive Theorie für kleine Energien, im Beispiel
√
für E ¿ 1/ GF . Die Sprechweise ist hierbei wie folgt:
GF
L⊃− √
µL γµ νµ eL γ µ νe +h.c.
{z
}
2 |
|{z}
Dimension-6-Term“
dim=2 ”
Die Fermi-Theorie ist eine effektive Theorie des W-Boson-Austausches.
νe
e
W
e
νe
νµ
µ
1
2
MW
µ
νµ
1
−−−→ 0
2 −
q 2 − MW
q 2 7→∞
Das zweite Diagramm besitzt ein besseres UV-Verhalten.
12
1.2. APPELGUIST-CARRAZONE-THEOREM (ENTKOPPLUNGSTHEOREM)
1.2
Appelguist-Carrazone-Theorem (Entkopplungstheorem)
Betrachte eine Lagrangedichte L mit großem Massenparameter M . Lleicht enthält nur Felder mit Massen
m ¿ M und
L = Lleicht + LM
(63)
LM und Lleicht seien renormierbar. Die Niederenergiephysik (E ¿ M ) von L wird dann reproduziert durch
Leff = L0leicht + L(5) + L(6) + . . .
(64)
wobei L0leicht aus Lleicht durch eine Renormierung der Parameter hervorgeht und l(d) Kopplungen der Diren
mension d enthält, die proportional zu 1/M d−4 sind. Man kann L so renormieren, dass L0ren
leicht = Lleicht ist.
Renormierungsschemen mit dieser Eigenschaft heißen Entkopplungsschemen.
1.2.1
Beispiele
1.) Entkopplung des Top-Quarks von der QED; Messung des Proton-Elektron-Vertex
e
e
t
t
Die Schleife skaliert wie
µ 2¶
mt
2
67→ 0 für mt 7→ ∞
(qµ qν − q gµν ) ln
g2
Der Gegenterm aus der Wellenfunktionsrenormierung
kann so angepasst werden, dass er außer der Divergenz auch den ln(m2t /g 2 )-Term weghebt (Entkopplungsschema, On-Shell-Schema). (Lleicht entspricht LQED ohne das Top-Quark.) mt ist nicht messbar und
verschwindet in δZt und letztendlich in der renormierten Kopplung e, die ein freier Parameter der QED
ist.
Licht-Licht-Streuung:
t
t
t
7→ 0 für mt 7→ ∞
t
Damit handelt es sich bei
13
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
also um eine höher-dimensionale Kopplung.
2.) Nichtentkopplung des Top-Quarks vom Standardmodell:
a.) mt = yt · v 7→ ∞ bedeutet yt 7→ ∞.
h0
∼
γ
mt
1
· yt −−−−−→ const.
mt 7→∞
mt
γ
Somit entkoppelt das Top-Quark nicht vom Yukawa-Sektor. Es existiert zu diesem Diagramm keinen
Counterterm, da es einen Higgs-Photon-Photon-Vertex auf Baumgraphenniveau nicht gibt, weil das
Photon masselos ist.
b.) Entfernt man das Top-Quark, so hat das b-Quark keinen SU(2)-Partner mehr. Die Niederenergietheorie L0leicht ist nicht SU(2)-invariant und damit nicht das Standardmodell. Die Top-Quark-Masse
wurde präzise auf LEP-Präzisionsdaten vorhergesagt. Aus (a) folgt, dass auch eine vierte Generation
nicht entkoppelt.
Das Fazit ist, dass eine fundamentale Feldtheorie renormierbar sein muss. Das Standardmodell ist renormierbar (und die allgemeine Theorie mit der vorgegebenen Symmetrie und dem Teilcheninhalt). Effekte
neuer Theorien mit großer Masse M sind in Experimenten mit Energie E ¿ M nur über nichtrenormierbare Terme L(5) , L(6) usw. sichtbar, also wie E/M , E 2 /M 2 usw. unterdrückt. Diese Potenzen können
mit Logarithmen multipliziert sein:
µ ¶
E
E n E
7→
ln
M
M
M
wenn der Term aus einem n-Schleifendiagramm stammt.
Man kann Modelle bauen der Form L = LSM + LNP , wobei LNP neue Physik“ beschreibt. Mit schweren
”
Teilchen in LNP gilt für E ¿ MNP :
Leff = LSM + L(5) + L(6) + . . .
Physikalische Effekte, die von L(5) + L(6) + . . . herrühren, können in Präzisionsexperimenten entdeckt
werden. Der modellunabhängige Zugang“ ist, alle SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y -invariante L(5) - und
”
L(6) -Terme zu konsturieren und diese experimentell einzuschränken. Eine andere Möglichkeit neue Physik
zu beschreiben, besteht darin, höhere Symmetrien von L im Vergleich zu LSM zu fordern. Daraus ergeben
sich Relationen zwischen den Parametern des Standardmodells. Betrachten wir hierzu als Beispiel die
SU(5)-GUT-Theorie:
SU(5)
g
⊃
SU(3)
g3
×
SU(2)
g2
×
U(1)
g1
U(1) beschreibt die relative Phasen zwischen den beiden Blöcken.
LSU(5) = LSM (mit g1 = g2 = g3 = g) + LRest
In LRest stecken Massen proportional zu MGUT À v. Die Niedernergietheorie bei der Energieskala µ =
O(v) wird beschrieben durch
Leff = L0SM + L(5) + L(6) + . . . mit gj0 = gZj
(65)
und einer endlichen Renormierungskonstanten
µ µ
¶¶
M
Zj = Zj ln
MGUT
gj0 hängt von der Renormierungsskala µ ab. Zunächst sei µ beliebig. Genauer:
"
#
¶
µ
2
g
(M
)
M
GUT
j
(j)
gj0 (µ) = gj (MGUT ) 1 +
β0 ln
+ O(gj4 )
16π 2
MGUT
(66)
14
1.2. APPELGUIST-CARRAZONE-THEOREM (ENTKOPPLUNGSTHEOREM)
(j)
β0 ist der erste Koeffizient der sogenannten β-Funktion. Der große Logarithmus (falls µ ¿ MGUT ) muss
zu allen Ordnungen renormiert werden. Aus (66) folgt:
µ
dgj0 (µ)
dgj0 (µ)
gj03 (j)
=
=
β + O(gj5 )
dµ
d ln(µ)
16π 2 0
(67)
(67) heißt Renormierungsgruppengleichung für gj0 (µ). gj0 (µ) wird auch als laufende Kopplung mit gj
als Anfangsbedingung bezeichnet. Warum die Kopplung läuft, lässt sich physikalisch durch Schleifenkorrekturen erklären, welche die Ladung abschirmen. Damit sind die g1 , g2 und g3 unterschiedlich, da die
β-Funktion verschieden ist. (66) und (67) gelten in Renormierungsschemen, in denen die Renormierungskonstanten Zi nicht von den Massen abhängen (massenunabhängige Schemen). (Entkopplungsschemen
haben diese Eigenschaft gerade nicht, weshalb man das Laufen hier noch nicht berechnen kann.) Ein in
der Praxis wichtiges Beispiel ist das sogenannte MS-Schema, bei dem die Kombinationen
1
4−D
− γE + ln(4π) mit ε =
ε
2
in die Zi absorbiert werden.
Wir wollen nun die Renormierungsgruppengleichung für die Eichkopplungen
αj =
gj2
gj2
αj
, aj =
=
4π
4π
16π 2
betrachten:
daj
(j)
= 2β0 a2j + O(a3j )
d ln(µ)
In der Leading-Log-Näherung“ (ohne a3j -Terme) ist deren Lösung gegeben durch
”
aj (µ) =
1−
aj (µ0 )
³ ´
(j)
2β0 aj (µ0 ) ln µµ0
(68)
Eine Entwicklung (mit µ0 = MGUT ) ergibt (66). Im Standardmodell gilt mit Ngen Generationen und
NHiggs Higgsdoubletts:
4
1
41
Ngen + NHiggs =
für Ngen = 3, NHiggs = 1
3
10
10
(1)
=
(2)
=−
β0
β0
(3)
β0
22 4
1
19
+ Ngen + NHiggs = −
3
3
6
6
4
= −11 + Ngen = −7
3
(69)
(1)
g2 und g3 sind asymptotisch frei. Aus (68) folgt aj (µ) 7→ 0 für µ 7→ ∞. Achtung: β0
die reskalierte U(1)Y -Kopplung
r
3
0
g1 =
g1
5
in (69) ist für
Die Normierung von U(1)Y -Kopplungen ist beliebig. Es gilt dann g 7→ λg und q 7→ q/λ mit λ ∈ R. (Es gibt
keinen Grund dafür, warum U(1)-Ladungen ganzzahlig sein sollen.) Die Normierung
p der U (1)y -Kopplung
ist festgelegt, sobald U (1)Y in eine nicht-abelsche Gruppe eingebettet ist. g10 = 3/5g1 ist die SU(5)“”
Normierung. (Ob sich Kopplungskonstanten treffen, hängt von der Normierung ab. Im Standardmodell
können sie sich auch treffen, da die Normierung beliebig ist, aber dieses Treffen hat keine Bedeutung.
Im MSSM treffen sie sich mit der obigen Normierung, aber dann nicht im Standardmodell.) Es gilt
(hep-ph/0001257):
α1 (MZ ) = 0, 017, α2 (MZ ) = 0, 034, α3 (MZ ) = 0, 119 ± 0, 003
Für die Yukawa-Kopplungen
Yk =
yk2
mit k = τ, b, t
16π 2
15
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
gilt in der Leading-Log-Näherung:
µ
¶
dYt
9
17
= −Yt 16a3 + a2 + a1 − 9Yt
d ln(µ)
2
10
µ
¶
dYb
9
1
= −Yb 16a3 + a2 + a1 − 3Yt
d ln(µ)
2
2
µ
¶
dYτ
9
9
= −Yτ
a2 + a1 − 6Yt
(70)
d ln(µ)
2
2
Bottom- und τ-Yukawa-Kopplung treffen sich ungefähr bei derselben Skala wie g2 und g3 . Ist MGUT ∼
1015 bis 1016 GeV? Die Kopplungen des Standardmodells weisen auf neue Physik hin und zwar auf eine
Vereinheitlichung in eine einfache Eichgruppe wie beispielsweise die SU(5). τ und b liegen anscheinend
im selben Symmetriemultiplett.
1.3
Symmetrien des Standardmodells
1.) Eichsymmetrie (Input): SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y
2.) Globale Symmetrien:
Der Eichsektor hat eine globale [U(3)]5 -Flavoursymmetrie (43), (44). Die Yukawa-Kopplungen brechen
sie zu [U(1)]4 .
– Baryon-Zahl U(1)B :
µ ¶
µ ¶
µ ¶
Q
Q
Q
Qi 7→ exp i
Qi , uR i 7→ exp i
uR i , dR i 7→ exp i
dR i
3
3
3
(71)
– Lepton-Zahl U(1)L j
Lj 7→ exp(iQj )Lj , eRj 7→ exp(iQj )eRj
(72)
Diese Quantenzahlen sind getrennt erhalten für jede Generation.
Diese [U(1)]4 -Symmetrie ist zufällig“; sie ist Konsquenz der Quantenzahlen der SM-Felder und der Forderung
”
der Renormierbarkeit. Die (Gesamt-)Leptonzahl ist L = L1 + L2 + L3 . B − L ist erhalten, aber B + L ist eine
sogenannte anomale Symmetrie, die durch Quanteneffekte gebrochen ist. Für Niederenergieexperimente
(terrestrische Experimente) ist (B + L)-Verletzung irrelevant, nicht jedoch für die Baryogenese im frühen
Universum. Angriffspunkt neuer Physik ist die Leptonzahlverletzung, die bei Neutrinooszillationen auftritt
((B + L)-Verletzung nicht-perturbativ im Standardmodell).
Zurück zur U(3)5 :

 

yu 0 0
0 0 0
Yu =  0 yc 0  ≈ 0 0 0 da yc ≈ 0, 01
0 0 yt
0 0 1

 

yd 0 0
0 0 0
Yd = V ·  0 ys 0  ≈ 0 0 0  mit yb ≈ 0, 03
0 0 yb
0 0 yb
Ebenso gilt y e ≈ diag(0, 0, 0). In der Näherung, dass nur yt 6= 0 betrachtet wird, besteht LY nur aus LY ≈
e R (73) und die U(3)-Symmetrie von Lj , lR , dR bleiben ungebrochen. Mit (73) bleiben für
−yt (tL , bL )φt
j
j
die ersten beiden Generationen noch U(2)-Symmetrien der Qj und URj übrig. Die Baryonzahl der dritten
Generation B3 ist in (73) ebenfalls ungebrochen. U-Basis:

 
 

Vud Vus Vub
yd 0
0
0 2 · 10−4
10−4
0  ≈ 0
10−3
10−3 
Yd =  Vcd Vcs Vcb  ·  0 ys
(74)
Vtd Vts Vtb
0 0 0yb
0
0
3 · 10−2
yt ≈ 1 bricht die Symmetrie des Eichsektors:
yt ≈1
yb 6=0
yt 6=0
[U(3)]5 −−−→ [U(3)]3 ×[U(2)]2 ×U(1)B3 −−−→ [U(3)]2 ×[U(2)]3 ×U(1)B3 −−−→ [U(2)]5 ×U(1)B3 ×U(1)L3 (75)
Die letztere ist eine gute Symmetrie zur Genauigkeit von yc ≈ 10−2 . Im Symmetrielimes von (75) gibt es keine
Generationen-ändernden Übergänge. Deswegen stellt Flavourphysik ein mächtiges Instrument dar, um neue
Physik zu messen. Schließlich gibt es partielle Symmetrien“, die nur ein Teil von LSM hat, wie beispielsweise
”
die [U(3)]5 .
16
1.3. SYMMETRIEN DES STANDARDMODELLS
I.) Der Sektor von LSM , der Übergänge zwischen Quarks gleicher Ladung beschreibt, enthält keine Flavourverletzung (Abwesenheit von FCNCs, also flavour-changing neutral currents“). Dies bedeutet, dass es
”
0
in LSM keine q L/R γµ q 0L/R · {Aµ , Zµ , Aaµ }- und q L/R qR/L
k 0 -Kopplungen mit q 6= q 0 ! Das bedeutet, dass
der Neutrale-Strom-Sektor der Quarks eine [U(1)]6 -Symmetrie hat. Dieser Zufall resultiert aus
a.) identische SU(3) × SU(2) × U(1)-Quantenzahlen der drei Generationen: U† i½
DU = i½
D. Würde man
eine vierte Generation theoretisch einführen, so würde U nicht mehr mit der kovarianten Ableitung
vertauschen.
b.) dem Teilcheninhalt von nur einem Higgs-Dublett.
Der Geladene-Strom-Vektor erzeugt FCNCs über Schleifen.
s
b
s
b
W
W
t,c,u
b,c,u
g
W
c
u
W
u,s,b
g
Diese Schleifen sind zusätzlich durch kleine CKM-Elemente unterdrückt und verschwinden im Limes gleicher
Fermionmassen (GIM-Mechanismus). Das heißt, die kleinen Yukawa-Kopplungen unterdrücken FCNCs weiter.
17
KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG DES STANDARDMODELLS
18
Kapitel 2
Custodiale SU(2)
Der Name kommt vom lateinischen Wort Custos und bedeutet Wächter. Gehen wir aus von Gleichung (30):
(25)
Lφ = [Dµ φ† ][Dµ φ] − V [φ] mit V (φ) = −µ2 φ† φ + λ(φ† φ)2
Mit (9) ergibt sich:
µ
¶
jg3 a a ig1
Dµ φ = ∂µ −
σ Wµ −
Bµ φ
2
2
Aus
φ=
µ +¶
φ
φ0
und
µ
c
∗
Φ = εΦ =
(φ0 )∗
−φ−
¶
kann man ein Bidublett bilden.
µ 0 ∗
b := √1 (Φc , Φ) = √1 (φ )−
Φ
2
2 −φ
(76)
φ+
φ0
¶
(77)
Unter SU(2)L (mit UL ∈ SU(2)L ) und exp(iϕ) ∈ U(1)Y gilt:
b 7→ UL Φ
b
Φ
(78)
µ
¶
µ
¶ µ
¶
0
b 7→ Φ
b · exp − i σ3 ϕ mit exp − i σ3 ϕ = exp(−i/2ϕ)
Φ
0
exp(i/2ϕ)
2
2
(79)
(30) wird zu
b † (Dµ Φ)]
b − V (Φ)
b
Lφ = Tr[(Dµ Φ)
(80)
b = −µ2 Tr(Φ
b † Φ)
b + λ(Tr(Φ
b † Φ))
b 2
V (Φ)
(81)
b = ∂µ Φ
b − i g3 σ a W a Φ
b + i g1 Bµ Φσ
b 3
Dµ Φ
µ
2
2
(82)
mit
und
Die dritte Paulimatrix
µ
¶
1 0
σ3 =
0 −1
taucht auf, weil εφ∗ und φ entgegengesetzte Hyperladung haben. Im Limes g1 = 0 hat Lφ in (80) eine globale
b 7→ ΦU
b † (83) ist Dµ (ΦU
b † ) = (Dµ Φ)U
b † (84), so dass
SU(2)-Symmetrie. Mit UR ∈ SU(2)R und Φ
R
R
R
b 7→ −µ2 Tr(UR Φ
b † ΦU
b † ) + λ[Tr(UR Φ
b † ΦU † )] = −µ2 Tr[Φ
b † Φ] + λ[Tr(Φ
b † Φ)]2
V (Φ)
R
R
19
KAPITEL 2. CUSTODIALE SU(2)
b † )(Dµ Φ)
b ist wegen (84) ebenfalls invariant. Diese globale SU(2)R -Symmetrien von Lφ ist durch
gilt. Tr(Dµ Φ
g1 6= 0 explizit gebrochen, weil (84) wegen [σ3 , UR† ] 6= 0 im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Aus (79) folgt
µ
¶
i
exp − σ3 ϕ ∈ SU(2),
2
so dass U (1)Y ⊂ SU(2)R (85). Der Higgs-Vakuumerwartungswert
µ
¶
1 v 0
b
Φmin = √
2 0 v
(86)
b 7→ U ΦU † (87)
bricht SU(2)L und SU(2)R , lässt aber SU(2)L+R ⊂ SU(2) × SU(2)R mit U ∈ SU(2)L+R : Φ
†
b
b
invariant: U Φmin U = Φmin (88). Diese SU(2)L+R heißt custodiale SU(2). Quark-Yukawa-Sektor (U-Basis)
im Limes V = 1:
µ u
¶µ
¶
X
X √
(39),(40)
c
u Rj
b yj 0d
= −
[yja Qj Φ URj + yjd Qj ΦdRj ] = −
LuY + LdY
2Qj Φ
(89)
d Rj
0 yj
j=1,2,3
j=1,2,3
(89) wäre SU(2)L × SU(2)R -invariant (und SU(2)L+R -invariant) mit
µ
¶
µ
¶
uRj
uRj
SU(2)R :
7→ UR
dRj
dRj
(90)
wenn ybju = ybjd gelten würde. SU(2)L+R ist durch mt − mb , mc − ms , mu − md (und V 6= 1) gebrochen. Im
SU(2)L+R -Limes impliziert (82) den W-Z-Massenterm
¶
µ
¶
µ
Wµ1 − iWµ2
Wµ3
2v
b min = −i g2 σ a Wµa √1 v 0 = −i g√
(91)
Dµ Φ
1
2
−Wµ3
2
2 0 v
2 2 Wµ + iWµ
gerade:
b † )(Dµ Φ)]
b =
LW−Z−mass = Tr[(Dµ Φ
3
g22 v 2 X a µ a
W W
4 a=1 µ
(92)
und soweit:
g22 v 2
2
Mit g1 =
6 0 ist cos ϑw 6= 1 und (siehe (35)) es ist
2
MW
= MZ2 =
% :=
2
MW
= 1 auf Baumgraphenniveau
cos2 θw
MZ2
(93)
Diese Größe nennt man %-Parameter“. Definiert man
”
g2
,
cos θw = p 2
g1 + g22
so ist die Relation (93) auf Schleifenniveau verletzt, aber eben nur durch SU (2)L+R -verletzende Terme! Wir
definieren
% = 1 + ∆%Eich + ∆%Yuk ,
wobei die erste Korrektur aus dem Eichsektor gegeben ist durch
µ 2¶
µ 2¶
11GF M 2 sin2 θw
mh
mh
∆%Eich = − √ √ Z
ln
=
−0,
00074
ln
MZ2
MZ2
24 2 2 π 2
im MS-Schema. Die erste Korrektur im Yukawa-Sektor lautet:
·
µ 2 ¶¸
m2 m2
3GF
mt
√ m2t + m2b − 2 2 t b 2 ln
∆%Yuk =
= 0, 0091
mt − mb
m2b
8π 2 2
(94)
(95)
(96)
Das heißt, % kann aus vier Messgrößen bestimmt werden: MW , MZ , α1 , GF (aus α1 und GF folgt g1 , g2 ), wobei
in der Relation GF 7→ MW , g2 auch Schleifen mitgenommen werden müssen. %−1 ist dann wegen (96) und (95)
sensitiv auf mt und mh . Vor 1994 war das Top neue Physik“, aber mt war durch (96) eingeschränkt. Heute
”
setzt man Schranken an mh durch (95). Damit werden leichte Higgs-Bosonen mit mh < 200 GeV bevorzugt.
Bester Fit für mh ≈ 85 GeV ist in Konflikt zur experimentellen Grenze mh ≥ 114 GeV (LEP-II). Modelle neuer
Physik, welche de custodiale SU(2) schon auf Baumgraphenniveau verletzen, sind stark eingeschränkt [Scott
Willenbrock: Symmetries of the SM“ (hep-ph/0410370)]!
”
20
2.1. DAS STANDARDMODELL ALS EFFEKTIVE THEORIE
2.1
Das Standardmodell als effektive Theorie
Welche SU(3)×SU(2)L ×U(1)Y -invariante Dimension-5-Terme können wir zu LSM hinzufügen? Nur ein Term ist
möglich! Herleitung: Li Φc ist SU(2)-Singulett mit Y = 0 und Dimension 5/2. Wir suchen nun ein rechtshändiges Objekt X mit Dimension 5/2, so dass Li Φc X Singulett ist. Durch Ladungskonjugation ändert sich die
Chiralität:
µ c ¶
eLj
|
Lcj := iγ 2 γ 0 εLj = iγ 2 εL∗j =
(97)
−νjc
Dieses SU(2)-Dublett ist rechtshändig und hat Y = 1/2. Φ+ Lcj ist somit rechtshändig, SU(2)- und U(1)Y Singulett. Hieraus ergibt sich, dass
(5)
LSM =
1 y5ij
Li Φc Φ+ Lcj + h.c.
2M
(98)
Singulett bezüglich GSM und L ist. M ist eine neue Massenskala mit M À v und y5ij sind dimensionslose
Kopplungen. Li Φc ΦLcj ist symmetrisch unter Vertauschen der Indizes i und j. Dies bedeutet, dass wir ohne
(5)
Beschränkung der Allgemeinheit y5ij = ygji annehmen können. LSM verletzt die Leptonzahlen L1 , L2 , L3 und
L, da der obige Operator Leptonzahl −2 hat. Feynman-Diagramme:
φ−
φ−
li lj
φ−
φ0
φ−
li lj
φ0
φ0
φ0
νi νj
lj li
(5)
LSM induziert einen Majorana-Massenterm
µ ¶
µ c ¶
i
v 2 h ij
1 y5ij
e
v
(ν i , eL,i )
(0, v) L,jc + h.c. = −
y5 ν i νjc + (y5ij )∗ νjc νi
0
−νj
2M
2M
LMaj =
(99)
mit der Majorana-Massenmatrix
ij
=
MMaj
v 2 ij
y
M 5
(100)
(100) führt mit M À v zum See-Saw-Mechanismus für kleine Neutrino-Massen der Größe v 2 /M . Aus y5 6= 1
folgt die Existenz von Neutrinooszillationen. Für y5ij ≈ 1 implizieren die gemessenen Neutrinomassendifferenzen
(unter der Annahme, dass mνi ≈ O(mνi − mνj )) M ≈ O(1014 GeV). Ist dies der zweite Hinweis auf die GUT(5)
Skala? Wo könnte LSM herkommen? Beispielsweise sind schwere νR Singuletts unter GSM .
c
R
LνMaj
= −Mj [ν Ri νR
+ ν cj νi ]
j
Für M À v ist erlaubt:
φ
φ
|M |Àv
φ
−−−−→
νR
li
φ
lj
li lj
21
KAPITEL 2. CUSTODIALE SU(2)
Die Existenz einer großen Skala M führt zu einem Stabilitätsproblem der elektroschwachen Skala v. HiggsEichboson,M
Masse:
+
νR
+
|
{z
}
φ0
φ0 ,∼ M 2
νL
Gegenterm
Um die Schleifenbeiträge durch den Counterterm wegzuheben, ist eine Feinabstimmung auf etwa 26 Stellen
notwendig.
δm2h ≈ −
g2
g2
2
O(M
)
mit
≈ 10−4 und O(M 2 ) ≈ 1030
16π 2
16π 2
(101)
Man spricht dabei vom Feinabstimmungsproblem oder auch Natürlichkeitsproblem. Dies stellt kein
Problem für die massiven Eichbosonen W und Z dar, weil deren Massen durch die Eichsymmetrie geschützt
2
, MZ2 ∝ v 2 . Ebenso gilt dies für die Fermionmasse: mf = yf · v. Welche neue Symmetrie schützt mh ?
sind: MW
Oder: Higgs-Feld ist nicht elementar, sondern ein Bindungszustand!
2.2
t’Hooft’sches Natürlichkeitsprinzip
Eine Größe x darf nur klein sein, wenn man im Limes x 7→ 0 eine Symmetrie gewinnt. Das heißt, x ist propor”
tional zu einem kleinen Symmetriebrechungsparameter.“ Kleine Yukawa-Kopplungen sind durch die chiralen
U(1)-Symmetrien geschützt, die man für y 7→ 0 gewinnt. Betrachten wir dazu die fermionische Largangedichte
für ein Fermion:
DfL + f R i½
DfR
Lf,eich = f L i½
Diese Dichte ist invariant unter U (1)L × U (1)R ∈ [U (3)]5 mit fL/R 7→ exp(iRL/R )fL/R . y · f L φ0 fR ist jedoch
nur unter U (1)L+R =: U (1)V mit fL/R 7→ exp(iϕ)fL/R invariant. Das Feinabstimmungsproblem ist der einzige
Grund, warum man an neue Physik bei (maximal) der TeV-Skala glaubt (LHC). Diese neue Physik könnte man
(6)
2
mit LSM ∼ 1/MTeV
mit MTeV ≤ O(1 TeV) parametrisieren. Man bekommt jedoch dann zu viele Operatoren.
22
Kapitel 3
Symmetrien und Anomalien
Kontinuierliche Symmetrien: Symmetrietransformationen bilden eine Lie-Gruppe G. Äußere Symmetrien betreffen zusätzlich die Raum-Zeit. Dazu gehört beispielsweise die Poincare-Transformation:
xµ 7→ x0µ = Λµν xν + aµ
ψ 7→ ψ 0 = S(Λ, a)ψ
Innere Symmetrien lassen die Raum-Zeit außen vor:
xµ 7→ x0µ = xµ
ψ 7→ ψ 0 = U ψ
Das Noether-Theorem besagt, dass zu einer kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom gehört. Betrachten
wir als Beispiel die SU(N )-Symmetrie (vergleiche (7)):
ψ 7→ exp(iαa T a )ψ
(102)
mit der Lie-Algebra
[T a , T b ] = if abc T c
und den Strukturkonstanten f abc . Der Noether-Strom ist hierbei gegeben durch
jµa = ψ(x)γµ T a ψ(x)
(104)
Es gilt also ∂ µ jµa (x) = 0 (105). Gleichung (105) gilt für klassische Felder. In der Quantenfeldtheorie müssen
wir Greenfunktionen von j µ betrachten
Gµj (x; y, . . . , z) := h0|T j µ (x)ϕ(y) . . . ϕ(z)|0i
wobei ϕ irgendwelche Felder sind.
(106)
y
µ,x
z
Schleifenkorrekturen können (105) zerstören. Die Symmetrie ist dann auf Quantenniveau gebrochen. Man
spricht dann von einer anomalen Symmetrie.
23
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
Beispiel:
Betrachten wir ein U(1)-Eichfeld: Aµ 7→ Aµ + ∂ µ α bzw. δα Aµ = ∂ µ α mit der Wirkung
Z
S = d4 x Aµ (x)jµ (x)
Die Variation der Wirkung muss verschwinden:
Z
Z
!
!
4
µ
0 = δα S = d x (∂ α)jµ (x) = − d4 x α · ∂ µ jµ (x) ⇔ ∂ µ jµ = 0
Die Eichfelder müssen somit an erhaltene Ströme koppeln. Globale Symmetrien dürfen anomal sein. Dann
treten nämlich interessante Effekte auf.
Die Konsequenz von Symmetrien für Greenfunktionen heißen Ward-Identitäten. Ward-Identitäten nichtabelscher Theorien heißen Slavnov-Taylor-Identitäten.
Beispiel:
Betrachten wir die φ4 -Theorie für ein komplexes Skalarfeld:
L = (∂µ φ† )(∂ µ φ) − m2 φ† φ −
λ † 2
(φ φ)
4
(107)
Dieses hat die U(1)-Symmetrie φ 7→ φ exp(iα) mit Noether-Strom
j µ (x) = i[(∂ µ φ† )φ − φ† (∂ µ φ)]
(108)
Die Vertauschungsrelationen
[φ(x), φ(y)]x0 =y0 = [φ† (x), φ† (y)]x0 =y0 = [∂0 φ(x), φ(y)]x0 =y0 = [∂0 φ† (x), φ† (y)]x0 =y0 = 0
[∂0 φ† (x), φ(y)]x0 =y0 = −iδ (3) (~x − ~y )
(109)
implizieren:
(108)
[j 0 (~x, t), φ(~y , t)] = i[∂ 0 φ† (~x, t), φ(~y , t)]φ(~x, t) = δ (3) (~x − ~y )φ(~x, t)
[j 0 (~x, t), φ† (~y , t)] = −δ (3) (~x − ~y )φ† (~x, t)
(110)
Klar wegen Noetherladung:
δφ = iαφ = iα[Q, φ]
Dreipunkt-Funktion (vergleiche (106)):
φ
p
µ
q
p+q
Z
e µ (p, q)
G
j
=
Z
4
d x
Z
eµ = i
qµ G
j
µ
†
φ†
d y exp(iqx + ipy)h0|T j (x)φ(y)φ (0)|0i
Z
d4 x
Z
4
d4 y exp(iqx + ipy)
(111)
∂
h0|T j µ (x)φ(y)φ† (0)|0i =
∂xµ
£
d4 d4 y exp(iqx + ipy) h0|T ∂µ j µ (x)φ(y)φ† (0)|0i + δ(x0 − y 0 )h0|T [j 0 (x), φ(y)]φ† (0)|0i
¤
δ(x0 )h0|T [j 0 (x), φ† (0)]φ(y)|0i
=i
24
Die letzten beiden Terme in (112) stammen aus der Zeitableitung des T-Produkts. Beispielsweise gilt nämlich:
∂
[θ(x0 − y 0 ) θ(y 0 )j µ (x)φ(y)φ(0) + . . .]
0
∂x
|
{z
}
=δ(x0 −y 0 )
Mit (110) ist
δ(x0 − y 0 )h0|T [j 0 (x), φ(y)]φ† (0)|0i = δ (4) (x − y)h0|T φ(x)φ† (0)|0i = δ (4) (x − y)G2 (x)
(113)
Analog gilt:
δ(x0 )h0|T [j 0 (x), φ† (0)]φ(y)|0i = −δ (4) (x)G2 (y)
e µ (113)
qµ G
j = i
Z
d4 x d4 y exp(iqx + ipy)h0|T ∂µ j µ (x)φ(y)φµ (0)|0i
Z
Z
4
+ i d x exp(i(q + p)x)G2 (x) − i d4 y exp(ipy)G2 (y)
(114)
Es ist also
h0|T ∂µ j µ (x)φ(y)φ† (0)|0i = 0
genau dann erfüllt, wenn
eµ = G
e 2 (q + p) − G
e 2 (p)
−iqµ G
j
(115)
erfüllt ist. (115) ist die Vektorstrom-Ward-Identität für unsere φ4 -Theorie. Wir überprüfen das Ganze auf
Baumgraphenniveau. Betrachten wir hierzu die Feynmanregeln:
j µ (x) = i(∂ µ φ† φ − φ† ∂ µ φ)
p1
q
p2
i∂ µ wird durch den einlaufenden Impuls ersetzt. Feynmanregel: pµ2 − pµ1 = −2pµ1 − q µ .
i
i
q 2 + 2pq
qµ (−q µ − 2pµ ) 2
= −i
=
2
2
2
2
(q + p) − m
p −m
[(p + q) − m2 ][p2 − m2 ]
[(q + p)2 − m2 ] − [p2 − m2 ]
i
i
= −i
=− 2
+
[(q + p)2 − m2 ][p2 − m2 ]
p − m2
(q + p)2 − m2
−iqµ Gµj = −i
und erfüllt (115).
Für die ϕ4 -Theorie ist (115) auch auf Schleifenniveau erfüllt; j µ ist also kein anomaler Strom. In Eichtheorien koppelt der zur Eichsymmetrie gehörende Strom j µ ans Eichfeld, so dass man Ward-Identitäten für
die Greenfunktionen mit Eichfeld betrachten kann. In der QED ist j µ = ψγ µ ψ der elektromagnetische Strom.
Betrachte die Vertex-Funktion:
V µ (y, x) = h0|T Aµ ψ(x)ψ(y)|0i
γ
+ Strahlungskorrekturen
25
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
Die QED-Ward-Identität im Impulsraum ist dann
1
− q 2 q µ V (p, q) = eS(p + q) − eS(p)
ξ
wobei S(p) und S(p, q) die Propagatoren sind. Wir überprüfen (116) auf Baumgraphenniveau:
·
¸
i
qµ qν
−1
ν
−1
Vµ (p, q) = 2 gµν + (ξ − 1) 2 i[p
¢ + ¢q − m] (−ieγ )[p
¢ − m]
q
q
(116)
(117)
Mit
·
¸
qµ qν
q µ gµν + (ξ − 1) 2 = ξ · qν
q
vereinfacht sich der Ausdruck:
(117)
q µ Vµ (p, q) = iξ
ª
e
ξe ©
[p
+ ¢q − m]−1 ¢q[p
− m]−1 = i 2 [p
− m]−1 − [p
+ ¢q − m]−1
¢
¢
¢
¢
2
q
q
Damit gilt also
−
q2 µ
q Vµ (p, q) = eS(p + q) − eS(p)
ξ
und Gleichung (116) ist erfüllt. In höheren Ordnungen schränkt (116) die Renormierung via beispielsweise ξ
ein. Die Ward-Identitäten schreiben also bestimmte Relationen zwischen den Renormierungskonstanten vor.
Allgemein gilt: Findet man ein Renormierungsschema, in dem die Ward-Identitäten der Eichsymmetrie erfüllt
sind, so ist die Eichtheorie anomaliefrei.
3.1
Beispiel für eine globale (also erlaubte) Anomalie
Die Skaleninvarianz (Invarianz unter Dilatation) ist die Invarianz der Theorie unter der Transformation
x 7→ x0 = exp(−α)x
(118)
wobei exp(−α) der Skalenfaktor ist. Enthält L keine dimensionsbehafteten Größen (inbesondere keine Massen),
so ist (118) eine Symmetrie von L, wenn sich die Felder wie p 7→ exp(dφ α)ϕ mit dφ = 1 für Bosonen und
dφ = 3/2 für Fermionen, also über
µ ¶
3
ϕ 7→ exp(α)ϕ, ψ 7→ exp
α ψ und Aµ 7→ exp(α)Aµ , Dµ 7→ exp(α)Dµ
(119)
2
transformieren.
·
µ ¶
µ ¶¸
Z
Z
3
3
Dψ + . . .] 7→ i d4 x exp(−4α) exp
α ψ exp(α)i½
D exp
α
=S
S = i d4 x [ψi½
2
2
Der zu (118) gehörende Noether-Strom, der Dilatationsstrom ist:
X
µ
Πµϕ · dφ ϕ(x) + xν T µν
jDil
=
(120)
Felder ϕ
mit
Πµϕ =
∂L
∂(∂µ ϕ)
und dem Energie-Impuls-Tensor


X
T µν = 
Πµϕ ∂ ν ϕ(x) − g µν L
(121)
Felder ϕ
µ
∂µ jDil
ist etwas sperrig. Die Verletzung der Skaleninvarianz (118) ist in allen UV-divergenten Theorien einfacher
direkter zu sehen.
26
3.2. BEISPIEL: MASSELOSE QCD
3.2
Beispiel: masselose QCD
LQCD =
X
q=u,d,s
1
qi½
Dq − Gaµν (Gµν )a
4
(122)
Gaµν ist der Gluon-Feldstärketensor. Dimensionale Regularisierung:
Z
S = dD x LQCD
LQCD besitzt die Dimension D = 4 − 2ε.
[Aµ,a ] =
D−2
D−1
, [q] =
2
2
(123)
[g bare Aaµ qT a γ µ q] = D
D−2
D
− (D − 1) = 2 −
=ε
2
2
Für die renormierte Kopplung gilt [g] = 0, also
[g bare ] = D −
(124)
g bare = Zg · g · µε
(125)
mit der Renormierungsskala µ. Schleifendiagramme hängen logarithmisch von µ ab, wie beispielsweise
p1
Abare =
+
+
+ ... =
q
p2
·
µ 2 2 ¶¸
p1 p2
1 + g 2 µ2ε (q 2 )−2ε f
,
q2 q2
=
Die Funktion f ist dimensionslos und die Schleifenkorrekturen haben die Dimension D − 4.
½
bare
A
=
µ
1+g
½
∝g
bare
·
1+g
2
fdiv
+ fdiv ln
ε
2
µ
µ2
q2
µ2
q2
¶
¶ε ·
fdiv
+ fendl
ε
µ
p21 p22
,
q2 q2
¶¸¾
∝
¸¾
+ fendl + O(ε)
fdiv /ε wird vom Gegenterm in Zg aufgehoben.
·
µ 2¶
½
¸
¾
µ
2
ren
ε
2
A ∝ gµ 1 + g fdiv ln
+ fendl + O(εg )
q2
(126)
Die Unabhängigkeit von Aren von der unphysikalischen Skala µ bestimmt die µ-Abhängigkeit von g(µ).
!
0=µ
d ren
dg
A = µ1+ε
+ εgµε + 2fdiv µε g 3 + O(g 5 , εg 3 )
dµ
dµ
27
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
dg
= −εg − 2fdiv g 3
dµ
Ein Vergleich mit (67) liefert:
⇒µ
β0 = −32π 2 fdiv < 0 in QCD
Die laufende Kopplung (für ε = 0) ist gegeben durch:
µ
dg
β0 3
=
g + O(g 5 )
dµ
16π 2
(127)
Diese Differentialgleichung hat die Lösung (68), die man mit (a = g 2 /(16π 2 ))
µ
¶
1
ΛQCD
=: 2β0 ln
a(µ0 )
µ0
(128)
umschreiben kann in
a(µ) =
1
³
´ + O(a2 )
µ
−2β9 ln ΛQCD
(129)
ΛQCD ist der Skalenparameter der QCD. Eine sinnvolle Definition erfordert, dass man die O(a2 )-Terme in
(129) mitnimmt:
³ ³ 2 ´´
β
ln
ln Λ2µ
1
1
³ 2 ´+
³ QCD
´ + O(a3 )
(130)
a(µ) = −
2
β0 ln Λ2µ
β03 ln2 Λ2µ
QCD
QCD
Invertiert:
β1
2
ΛQCD = µ (−β0 a(µ)) 2β0 exp
µ
1
2β0 a(µ)
¶
[1 + O(a)]
(131)
Die O(a)-Korrekturen verschwinden im Limes µ 7→ ∞. ΛQCD hängt vom Renormierungsschema ab und der
Zahl f der aktiven Quarkflavours. Im MS-Schema gilt:
(f =6)
= 97 MeV
ΛMS
(f =5)
= 238 MeV
(f =4)
ΛMS
(f =3)
ΛMS
= 339 MeV
ΛMS
= 445 MeV
(132)
Man fordert Stetigkeit bei der Top-Quark-Masse. Die Quarkmassen spielen keine Rolle für (132) und NiederenergiePhysik. Das Auftreten eines Skalenparameters ΛQCD in einer skalenlosen Theorie heißt dimensionale Transmutation.
Fazit:
Die Anomalie der Skaleninvarianz (118) hat sich auf Ein-Schleifen-Niveau gezeigt in der Generierung der neuen
Skala ΛQCD .
3.3
Exkursion: Ward-Identitäten und Renormierbarkeit
1/2
Die Ward-Identität (115) ist für unrenormierte Felder hergeleitet. Mit ϕ = Zϕ ϕren und j = Zj j ren ist
ren
Gren
(y)ϕren (x)|0i = Zϕ−1 G2
2 (y − x) = h0|T ϕ
und
Gren,µ
= Zj−1 Zϕ−1 Gµj
j
Aus (115) folgt:
e µ,ren = G
e ren
e ren
−iZj qµ G
2 (q + p) − G2 (p)
e µ,ren (p, q), G
e ren und G
e ren folgt die Endlichkeit von Zj . Ohne Beschränkung der
Aus der Tatsache, dass G
2
2
Allgemeinheit kann man Zj ≡ 1 wählen. Solche Renormierungsschemata erhalten die Ward-Identitäten“.
”
Erhaltene Ströme werden nicht renormiert.
28
3.4. DIE ADLER-BELL-JACKIW-ANOMALIE (ABJ-ANOMALIE)
Beispiel:
In der Quantenelektrodynamik wird j µ = ψγ µ ψ renormiert durch
1
Alle Divergenzen verschwinden via ψ = Zϕ2 ψ ren .
In der QED wird die elektrische Kopplungskonstante renormiert über
ebare = Ze eren
und das Photonfeld durch
1
Abare
= ZA2 Aren
µ
µ
Kopplung:
(x)j µ (x) mit Zj = 1
LQED ⊃ ebare Abare
µ
1
−1
Damit ist Ze · ZA2 endlich. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir Ze = ZA 2 (133). Aus dem
Selbstenergiebeitrag
allein ist somit Ze und ZA bestimmbar.
3.4
Die Adler-Bell-Jackiw-Anomalie (ABJ-Anomalie)
Wir betrachten eine Eichtheorie mit Fermionfeldern f1 und f2 . Die chirale U(1)-Symmetrie ist gegeben durch
fL/R 7→ exp(iϕL/R )fL/R (134). Die klassisch erhaltenen Fermionströme für zunächst zwei Fermionspezies sind
gegeben durch
µ
= f R γ µ fR
jLµ = f L γ µ fL und jR
(135)
Alternativ können wir auch den Vektorstrom und Axialvektorstrom betrachten:
µ
jVµ = jLµ + jR
= f γµf
(136)
µ
µ
jA
= jR
− jLµ = f γ µ γ5 f
(137)
Ein Massenterm −mf f bricht die axiale U(1)-Symmetrie
f 7→ exp(iϕγ5 )f
(138)
29
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
und es gilt
µ
∂µ jA
= 2imf γ5 f =: 2imjp
jp wird auch als pseudoskalarer Strom bezeichnet. Ist eine Symmetrie durch einen Parameter mit positiver
Massendimension gebrochen, so spricht man von weicher Brechung. Die axiale U(1)-Symmetrie in (138) ist
weich gebrochen durch m 6= 0. Ein Theorem von Kurt Symanzik besagt, dass die Nichtrenormierung
eines erhaltenen Stroms (also Zj = 1) gültig bleibt, wenn die Symmetrie weich gebrochen ist. In unserem
Fall (139) gilt:
mbare jpbare = mren Zm Zp jpren = mren jpren mit Zm Zp = 1
µ
Das heißt, die rechte Seite ist konvergent und ZjA = 1 bleibt intakt. Also ist ZjA 6= 1 äquivalent dazu, dass jA
anomal ist. Betrachte die VVA“-Greenfunktion:
”
k1
jVν
q
Z
T µν,A (k1 , k2 ) := i
und ( VVP“):
”
T
µν
Z
d4 x1
jVµ
k2
λ
d4 x2 h0|T jVµ (x1 )jVν (x2 )jA
(0)|0i exp(−ik1 x1 − ik2 x2 )
(140)
Z
(k1 , k2 ) = i
d4 x1 d4 x2 h0|T jVµ (x1 )jVν (x2 )jp (0)|0i exp(−ik1 x1 − ik2 x2 )
(141)
Analog zu (115) findet man die VVA-Ward-Identitäten
k1,µ T µνλ = k2,ν T µνλ = 0 und qλ T µνλ = 2mT µν
(142)
Die Beiträge niedrigster Ordnung zu T µνλ sind gegeben durch
k2
k2
+
k1
(145)
k1
Es ist ersichtlich, dass D2 (k1 , k2 ) = D1 (k2 , k1 ) gilt. Um die Diagramme in (143) auszurechnen, muss man γ5
in D Dimensionen neu definieren.
γ5 = γ 5 = −
i
εαβγδ γ α γ β γ γ γ δ 6= iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
24
(144)
Die γ-Matrizen haben wir im D-dimensionalen Raum definiert. Das Levi-Civita-Symbol ist jedoch ein intrinsisch vierdimensionales Objekt. In vier Dimensionen findet man nämlich kein anderes antisymmetrisches
Objekt, das durch eine Zahl, nämlich beispielsweise ε0123 = 1, charakterisiert ist. Eine wichtige Eigenschaft ist
{γ5 , γ µ } = O(D − 4) 6= 0.
γ5 in (144) ist die ’t-Hooft-Veltman-Definition von γ5 . Mit ihr ist
Tr(γ5 γ α γ β γ γ γ δ ) = −4iεαβγδ
(145)
und die Diagramme in (143) ergeben (bei Kontraktion mit k1,µ , k2,ν , qλ ):
k1,µ T µνλ = k2,ν T µνλ ≡ 0
(146)
30
3.4. DIE ADLER-BELL-JACKIW-ANOMALIE (ABJ-ANOMALIE)
und
qλ T µνλ = 2mT µν −
1 µν%σ
ε
k1,% k2,σ
2π 2
(147)
Damit ist also die dritte Ward-Identität in (142) verletzt. Man kann andere Definitionen von γ5 als (144)
wählen und kann
qλ T µνλ = 2mT µν
retten. Dann ist jedoch die Vektor-Ward-Identität verletzt:
kµ T µνλ 6= 0 6= k2,ν T µνλ
Das heißt, Gleichung (146) bedeutet, dass die Vektorstromerhaltung intakt bleibt. Der Axialvektorstrom ist
wegen (147) anomal. Betrachten wir QED mit externen Photonfeldern, also
µ
jVµ 7→ −ejem
= −ef γ µ f und jp 7→ −ejp
so ist (147) im Ortsraums gegeben durch:
µ
jµ jA
= 2imjp −
1
α αβγδ
e2
ε
Fαβ Fγδ mit α =
≈
2
4π
4π
137
{z
}
|
die Anomalie“
”
Die Anomalie überlebt im Limes m 7→ 0. Insbesondere führt die Anomalie dazu, dass das Diagramm
jA
divergent ist. Somit gilt ZjA 6= 1. Eine erste Beobachtung globaler ABJ-Anomalie liefert die große Zerfallsrate
π0 7→ γγ über
γ
q
q
π0
q
γ
Dies hat auch zur Bestimmung von Nc = 3 geführt.
µ
Wegen (148) können wir kein Eichfeld an jA
koppeln. Was ist mit den z-Kopplungen des Standardmodells?
g
r
b |
Bei nicht-abelschen Theorien sind Fermionen in Symmetrie-Multipletts à la (qR
, qR
, qR
) ∈ SU(3) oder L =
|
(νL , eL ) ∈ SU(2) eingebettet.
k1 ,b
c µ
½
T γ PL/R
mit T a =
c
σ a /2 für SU(2)
λa /2 für SU(3)
k2 ,a
31
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
Nun ist nicht mehr D2 (k1 , k2 ) = D1 (k2 , k1 ), weil Sp(T a T b T c ) 6= Sp(T b T a T c ) gilt. Der zweite Term rechts in
(147) wird modifiziert zu
−
1 µν%σ
ε
kµν k%σ Dabc
2π 2
(149)
mit
Dabc =
3.4.1
1
Sp[{T a , T b }T c ]
2
(150)
Anomaliecheck des Standardmodells
(Nachlesen kann man das Folgende beispielsweise in Cheng, Li: Gauge Theory of Elementary Particle Physics“
”
in Kapitel 11.2.) Weil links- und rechtshändige Felder unterschiedliche SU(2)L - und U(1)Y -Quantenzahlen
haben, enthalten die Diagramme
µ
mit äußeren W1,2,3
- oder Bµ -Feldern VVA-Anteile aus γ µ PL = γ µ ± γ µ γ5 .
1.) Nur SU(2):
Waµ
(150)
Dabc =
Wcλ
1
1
Sp[{σ a , σ b }σ c ] = δ ab Sp(σ c ) = 0
16
8
(151)
Wbν
2.) Zwei SU(2)-Eichfelder, U(1)-Eichfeld
B µ ,Y
1
1
Sp[{Y, σ b }σ c ] = Sp(Y ) · 2Sp[σ b σ c ] =
8
8
1
1 bc
bc
= Sp(Y ) · 4δ = δ Sp(Y )
8
2
DY bc =
Wcλ
Wbν
(152a)
oder:
Waµ
B
DabY =
µ
1
1
Sp[{σ a , σ b }Y ] = δ ab Sp(Y )
8
2
(152b)
Wbν
32
3.4. DIE ADLER-BELL-JACKIW-ANOMALIE (ABJ-ANOMALIE)
Jedoch gilt:
X
Sp(Y ) =
X
Yj =
fermion j
lepton j
Dubletts
Yj = 3 · 3 · 2 ·
quark j
Dubletts
X
Yj mit
Yj =
lepton j
Dubletts
quark j
Dubletts
µ
¶
1
=3·2· −
= 3 · (−1)
2
X
X
Yj +
(153)
1
=3·1
6
(154)
Hieraus folgt Sp(Y ) = 0.
Die U(1)Y -SU(2)L -SU(2)L -Anomalie ist durch Auslöschung ( cancellation“) der Lepton- mit den Quark”
Beiträgen abwesend. Die Anomaliefreiheit ist Konsequenz des Teilcheninhalts und der Quantentahlen.
Die Zahl der Generationen ist unerheblich. (Das Ganze liefert ein besseres Verständnis der Hyperladung.
Diese wurde nämlich ursprünglich so gewählt, dass alles stimmt.)
3.) Drei U(1)-Felder
3
Sp(Y ) =
"
X
Yj3
fermion j
"µ ¶
µ
¶3 #
µ
¶3
µ ¶3 #
3
1
2
1
1
= 3 · (−1) + 2 · −
+3
+ −
+2·
=
2
3
3
6
3
µ
¶
4
=3· −
6= 0
9
3
Ist das Standardmodell also anomal? Es gilt jedoch nach (29) Y = Q − Iw
und somit:
X¡
X³
¢
σ3 ´
Bµ
F L γ µ Y FL + f R γ µ Y fR = B µ
qf f L γ µ fL + qf f R γ µ fR − F L γ µ FL =
2
f
f
´
X³
σ3
= Bµ
qf f γ µ f − F L γ µ FL
2
f
Es existiert also kein Axialvektorstrom in elektromagnetischer Kopplung und das Photonfeld hat nur
eine Vektorkopplung. Also gilt:
3 3
3
3 2
3 3
Y 3 = [Q − Iw
] = Q3 − 2Q2 Iw
+ 3Q(Iw
) − (Iw
)
– 1.Term Q3 : keine Vektorströme
3
– 2.Term −3Q2 Iw
: Beitrag zum VVA-Diagramm
3 2
– 3.Term 3Q(Iw
) : Beitrag zum VVA-Diagramm
"µ ¶2 #
σ3
1 X
3 2
Sp(Q(Iw ) ) = Sp
· Sp(Q) =
2
2
qf
Dubletts f
Sp(Q) =
X
Dubletts f
(29)
qf =
X
3
(YfL + (Iw
)fL )
(153),(154)
=
0
linkshändige
Dubletts fL
Also gilt:
3 2
Sp[Q(Iw
) ]=0
33
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
3 3
– 4.Term −(Iw
) :
3 3
Sp[(Iw
) ]=
1
1
Sp[(σ 3 )3 ] = Sp(σ 3 ) = 0
8
8
Es tritt somit keine VVA-Anomalie auf in
Bµ
Bµ
Bµ
Die Quellen der Anomaliefreiheit (oben: Gruppenstruktur und Hyperladung, jetzt: gleiche Ladung)
rühren vom Teilcheninhalt und den Quantenzahlen her. Es gilt nämlich qfR = qfL und somit:
½
1
upartige f
YfR = YfL ± für
(158)
downartige f
2
Korollar:
In der QED müssen die links- und rechtshändigen Felder gleiche Ladungen haben. Sonst gäbe es anomale
Axialvektorströme mit
e
LQED ⊃ − Aµ (qeR − qeL )eγ µ γ5 e
2
4.) Zwei Gluonen und ein Eichboson:
g
q
B µ oder W3µ
q
q
g
Sp(Y ) =
X
Yj 6= 0
quark j
Aber wegen Y = Q−Iw3 gibt es keinen Beitrag. Der erste Term liefert keinen Beitrag, da er nur VVV. Der
zweite Term verschwindet für qR und für QL wegen Sp(σ 3 /2) = 0. Der Grund für die Anomaliefreiheit
sind die gleichen SU(3)-Darstellungen für qL und qR (vektorartige SU(3)L ).
3
Wir hatten die U(1)Y -Quantenzahlen der SM-Fermionen phänomenologisch bestimmt, so dass über Q = Y +Iw
die beobachteten elektrische Ladungen richtig herauskamen. Kann man die Hyperladungen aus der Forderung
nach Anomaliefreiheit bestimmen? Wir nehmen an, dass SU(3)c und SU(2=)L -Quantenzahlen wie im Standardmodell die Anomalien auslöschen in jeder Generation. Wir betrachten im Folgenden nur eine Generation.
Start:
L=ε−
1
∈ R also qνL = ε
2
Brauche νR (wegen (158)) mit yνR = ε. Aus (158) ergibt sich qeL = −1 + ε und qeR = yrR = −1 + ε. Mit
yL = ε − 1/2 und Gleichung (154) folgt:
X
Quark−Dubletts
!
yQ = 3yQ =
1 ε
1
− ε ⇒ yQ = −
2
6 3
34
3.4. DIE ADLER-BELL-JACKIW-ANOMALIE (ABJ-ANOMALIE)
Die Hyperladungen sind über die Bedingung (158) festgelegt:
yuR =
2 ε
1 ε
− und ydR = − −
3 3
3 3
Die elektrischen Ladungen der Teilchen wären
ν
ε
e
−1 + ε
d
−1/3 − ε/3
u
2/3 − ε/3
und die Brechung GSM 7→ U (1)em funktioniert mit dem Higgsfeld. Das H-Atom ist neutral, aber nicht 2 H = D.
• Fall ε = 1: CP-konjugiertes Standardmodell
C
(L 7→ εL∗ usw.) : νL 7→ eC
R , eR 7→ νL
U(1)-Quantenzahlen sind a priori reelle Zahlen. Die Antwort auf die Frage, ob man ... bestimmen kann ist
Nein!“.
”
3.4.2
Ladungsquantisierungsproblem des Standardmodells
Warum ist ε = 0 und zwar für alle drei Generationen? Könnte ε 6= 0 klein sein? Vielleicht, aber: Die drei
Generationen mischen (VCKM 6= 1), haben also identische Hyperladung. Das heißt, es gilt:
ε(1. Generation) = ε(2. Generation) = ε(3. Generation)
3.4.3
Drei Bemerkungen zu Anomalien
• Ist die ABJ-Anomalie abwesend, so auch
die im Allgemeinen zur rechten Seite von (147) beitragen.
• Die Anomalie
−
α αβγδ
α
ε
Fαβ Fγδ = − Fαβ Feαβ
2π
2π
erhält keine Korrekturen aus Zwei- und Mehrschleifendiagrammen.
• Definiert man
α µν%σ
µ
µ
b
jA
ε
Aν F%σ ,
:= jA
+
2π
µ
so ist ∂µb
j µ = 2imjp . Jedoch ist b
jA
nicht eichinvariant. Die ABJ-Anomalie hat eine dramatische Konsequenz für das Standardmodell. Noetherströme zur Baryonzahl und Leptonzahl (eine Generation):
µ
jB
=3·
¤
1£
QL γ µ QL + uR γ µ uR + dR γ µ dR
3
Hier wird mit der Anzahl nc = 3 der Farben multipliziert und durch die Baryonzahl = 3 dividiert.
¤
£
jLµ = 1 · Lγ µ L + lR γ µ lR
(160)
Hier bedeutet 1 die Leptonzahl.
35
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
Wµb
Wλc
ν
jB
Wir berechnen den Anomaliekoeffizienten (pro Generation):
·½
¾ ¸
1
σ b σc
1
1
Bbc
D
= Sp 1,
= δ bc · 3 ·
2
2
2
2
3
Damit ist der Baryonzahlstrom anomal.
Wµb
Wλc
jLν
1 bc
δ
2
Somit ist auch der Leptonzahlstrom anomal. Eine anomaliefreie Größe ist die Differenz der beiden Ströme,
ν
also jB
− jLν . Ebenso gilt:
DLbc =
Bµ
Bλ
ν
jB
− jLν
Unter Ausnutzung von Y = Q − Iw3 findet man, dass B − L anomaliefrei ist bezüglich U (1)Y . B − L
ist erhalten und B + L ist anomal gebrochen! Einen B + L-verletzenden Prozess sieht man nicht in
der Störungstheorie. Diesen nichtperturbativen Effekt (∼ exp(−1/α2 )) (Tunneln zwischen Zuständen
mit unterschiedlicher B + L-Quantenzahlen durch sogenannte Instantonen) kann man in semiklassischen
Rechnungen reproduzieren.
Im Standardmodell gibt es eine einzige globale Symmetrie, nämlich U(1)B−L . ε in (159) ist Linearkombination
(5)
aus Y und B − L. LSM , unser Neutrino-Massenterm, bricht L (und Le , Lµ , Lτ ), also auch B − L und wegen
B + L auch B ( Baryogenese durch Leptogenese“).
”
Die Anomaliefreiheit der Eichsymmetrie ist ein wichtiges Kriterium für den Modellbau.
Anomaliefreie Gruppen (also Dabc = 0 für die Fundamentaldarstellung) mit
Dabc =
1
Sp[{T a , T b }T c ]
2
heißen sichere Gruppen. Dazu gehören:
• SU(2) = Sp(2) ' SO(3)
• SO(N ) außer SO(6) ' SU(4)
• alle symplektischen Gruppen Sp(2N )
36
3.4. DIE ADLER-BELL-JACKIW-ANOMALIE (ABJ-ANOMALIE)
Alle anderen Gruppen heißen gefährlich. Dazu gehört SU(N ) mit N ≥ 3. Hier müssen die Darstellungen der
Fermionen so gewählt werden, dass Dabc = 0 ist wie beispielsweise im Fall der U(1)Y via Sp(Y ) = 0, wobei
die Spur so zu verstehen ist, dass über alle Fermionen summiert wird. Hinreichend für Dabc = 0 ist, dass (bei
kompakten Gruppen) eine Darstellung reell ist. Das heißt, es gibt ein unitäres U mit
U † T a U = −(T a )∗
(161)
wobei die (T a )∗ die komplex konjugierte Darstellung bilden.
(161)
Dabc = Sp[{T a , T b }T c ] = −Sp[{(T a )∗ , (T b )∗ }, (T c )∗ ] = −Sp[{T a , T b }, T c ]∗ = −Sp[T c {T b , T a }] = −Dabc
wegen (T a )† = T a . Damit ist Dabc = 0. Für die SU(3) sind nur die 8 und 3 + 3∗ anomaliefrei!
37
KAPITEL 3. SYMMETRIEN UND ANOMALIEN
38
Kapitel 4
Das Zwei-Higgs-Dublett-Modell
Wir betrachten zwei SU(2)-Dubletts:
µ +¶
µ 0 ∗¶
(hu )
hd
,
Φ
=
Φu =
d
−h−
h0d Y =+1/2
u
Y =−1/2
(162)
Die ladungskonjugierten Higgsfelder ergeben sich über
Φci = εφ∗i für i = u, d
µ +¶
h
Φcu = − u0
hu
Erlaubte Yukawa-Wechselwirkung für Quarks:
X©
ª
d
d
u
u
yjk
LqY = −
Qj Φd dR k − yejk
Qj Φcu dR k + yjk
Qj Φu uR k + yejk
Qj Φcd uR k + h.c.
(163)
(164)
j,k
Vakuumerwartungswerte:
µ ¶
µ ¶
vu
0
φu,min =
, φd,min =
0
vd
(165)
Wir schauen uns den eich-kinetischen Term an:
[Dµ Φu ]† Dµ φu + [Dµ Φd ]† Dµ Φd
p
1 2
1
(166)
g2 (|vu |2 + |vd |2 ) = g22 v 2 mit v := |vu |2 + |vd |2 = 174 GeV
2
2
Die Phasentransformation φi 7→ exp(−iarg(vi ))φi macht vu und vd reell. Damit nehmen wir ohne Beschränkung
der Allgemeinheit an, dass vu , vd ∈ R sind.
2
⇒ MW
=
vu
=: tan β und vu = v sin β, vd = v cos β
vd
(167)
(164) führt zu den Massenmatrizen
d
d
d
u
u
u
Mjk
= yjk
vd + yejk
vu und Mjk
= yjk
vu + yejk
vd
Man rotiert die beiden Felder φd und φcu mittels des zuvor definierten Winkels β.
µ ¶ µ
¶µ
¶
φ
cos β
sin β
φd
=
φ0
− sin β cos β
−φcu
(168)
(169)
Hieraus folgt, dass
µ +¶
φ
Φ=
φ0
den Vakuumerwartungswert
¶ µ ¶
µ
0
0
=
φmin =
v
v cos2 β + v sin2 β
(170)
39
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
und
µ 0+ ¶
φ
Φ =
φ00
0
hat keinen Vakuumerwartungswert. Die Kopplungen der neuen Felder an Quarks sind
X©
d
d
d
d
LqY = −
Qjk [yjk
cos β + yejk
sin β]ΦdR k + Qj [−yjk
sin β + yejk
cos β]Φ0 dR k
j,k
u
u
u
u
+ q j [e
yjk
cos β + yjk
sin β]Φc uR k + Qj [−e
yjk
sin β + yjk
cos β]Φ0c uR k + h.c.
)
(
u
d
X Mjk
Mjk
q (168)
c
0
c
e
LY = −
Qj ΦdR k +
Qj Φ uR k + Kjk Qj Φ dR k + Kjk Qj Φ uR k
v
v
(171)
(172)
j,k
mit
d
d
u
u
e jk = yjk
Kjk = −yjk
sin β + yejk
cos β und K
cos β − yejk
sin β
(173)
d
u
Wie im Standardmodell können wir Mjk
und Mjk
diagonalisieren und erhalten Quarkmassen und CKM-Matrix.
Aber es gilt im Allgemeinen
e
[M d , K] 6= 0 6= [M u , K]
e sind in der Massen-Eigenzustand-Basis nicht diagonal. Somit hat φ00 FCNC-Kopplungen wie beiund K, K
spielsweise −K12 · dL φ00 sR . Im Zwei-Higgs-Dublett-Modell gibt es im Allgemeinen große Beiträge zur K0 − K0 Mischung. Eine Ad-Hoc-Lösung des FCNC-Problems besteht darin, diskrete Symmetrien einzuführen, um zwei
der vier Kopplungen in (164) zu verbieten.
4.0.4
Typ-I-2-HDM
Φu bekommt die Quantenzahl +1 und Φd , Qj , dR k , uR k die Quantenzahl 0. Damit koppelt nur Φd an Fermionen.
d
u
Es gibt keine FCNS’s, denn es gilt yejk
= yjk
= 0, so dass
Kjk = −
tan β d
Mjk
v
und
e jk = − tan β M u
K
jk
v
gilt.
4.0.5
Typ-II-2-HDM
dR und Φd erhalten +1 und φu , uR die Quantenzahl −1. Hieraus folgt:
X©
ª
d
u
Qj φd dR k + yjk
Qj φu uR k
LqY = −
yjk
(174)
j,k
und (mit (168)):
d
d
u
u
Mjk
= yjk
v cos β und Mjk
= yjk
v sin β
⇒
mt(µ)
yt
=
tan β
mb(µ)
yb
(175)
(176)
Vereinigen sich yd und yb , also (bei der elektroschwachen Skala) yd ≈ yb , so muss
tan β =
mt (µ)
≈ 53
mb (µ)
sein. Aber es gilt
mc (µ)
≈ 14
ms (µ)
und
1
mb (µ)
≈ .
md (µ)
2
40
4.1. HIGGS-FREIHEITSGRADE DES 2HDM
• Typ-I-2HDM: φu ↔ −φu , alle anderen Felder:
Φd , Qj , dR k , uR k ↔ Φd , Qj , dR k , uR k
• Typ-II-2HDM: φd ↔ φd , dR k ↔ dR k , φu ↔ −φu , uR k ↔ −uR k
4.1
Higgs-Freiheitsgrade des 2HDM
Es gibt vier neutrale und vier geladene Felder. Davon sind drei Goldstone-Bosonen G0 und G± . Also liegen
drei neutrale Higgs-Bsonen H10 , H20 und H30 vorund zwei geladene H ± . Aus (siehe (169), (170)) hφ0 i = v und
hφ00 i = 0 folgt sofort:
µ
¶
G+
Φ=
(177)
v + √12 (h0 + iG0 )
denn [Dµ Φ]† Dµ Φ ist identisch zum Eich-Higgs-Sektor des Standardmodells und φ0min = (0, 0), so dass keine
Komponente masselos sein kann und zu G± , G0 beitragen könnte.
µ
¶
H+
0
Φ = √1 00
(178)
(h + iA0 )
2
H10 , H20 und H30 sind Linearkombination von h0 , h00 und A0 , die man findet, wenn man aus dem Higgs-Potential
die (h0 , h00 , A0 )-Massenmatrix bestimmt und diese diagonalisiert. Kommen wir nun zum Higgs-Potential:
∗
V (Φu , Φd ) = m211 Φ†d Φd + m222 Φ†u Φu − m212 Φ†u εΦ∗d +m212 Φ†d ε Φu
|{z}
|{z}
Φcd
−Φcd †
λ1 †
λ2
(Φd Φd )2 + (Φ†u Φu )2 + λ3 (Φ†u Φu )(Φ†d Φd ) + λ4 (Φ†u Φd )(Φ†d Φu )
2
½2
¾
λ5 † ∗ 2
+
(Φu εΦd ) − λ6 (Φ†d Φd )(Φ†u εΦ∗d ) − λ7 (Φ†u Φu )(Φ†u εΦ∗d ) + h.c.
2
+
Dabei sind m212 , λ5 , λ6 und λ7 komplex; die anderen Parameter sind reell. Die diskrete Symmetrie Φu ↔ −Φu
verbietet λ6 , λ7 und m212 und wir setzen λ6 = λ7 = 0. m212 ist als weicher Brechungsparameter tolerabel. Für
λ6 = λ7 = 0 sind die Vakuumerwartungswerte reell für arg(m212 ) = arg(λ5 ). Wir führen die Ladungskonjugation
ein durch die Operation
CΦ = Φ∗
(179)
Das Vorzeichen der U(1)Y -Ladung und der U(1)em (und von Uw3 ) wechselt unter C. Also gilt Φc = εCΦ. (179)
bedeutet (siehe (177)).
c
v−
→v
(180)
c
(181)
0 c
(182)
h0 −
→ h0
G −
→ −G0
0
Für Φ hat man mehr Freiheit:
CΦ0 = exp(iϕCP )Φ0∗
(183)
mit beliebigem ϕCP . In (179) ist exp(iϕCP ) nicht erlaubt, weil sonst (180) verletzt wäre. Zunächst betrachten
wir die J P C -Eichbosonen. Das Photon ist ein 1−− -Feld. Damit sind Bµ , Wµ (und Zµ ) ebenfalls 1−− -Felder
c
c
Bµ −
→ −Bµ , Wµ3 −
→ −Wµ3
(184)
Wenn Kopplungen an Fermionen vernachlässigt werden. Betrachten wir den Feldstärketensor:
a
Wµν
= ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + gεabc Wµb Wνc
C-Invarianz von
1 a µν a
Leich = − Wµν
W
4
41
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
c
c
a
a
3
3
erfordert Wµν
−
→ ±Wµν
. Aus (184) folgt Wµν
−
→ −Wµν
, also
c
Wµ1 , Wµ2 −
→ −Wµ1 Wµ2
Es gibt also zwei Möglichkeiten, die äquivalent sind. Wir entscheiden uns für
c
c
c
Wµ1 −
→ −Wµ1 , Wµ2 −
→ Wµ2 ⇒ Wµ± −
→ −Wµ∓
(185)
(Nebenbemerkung: Drei Gluonen haben C = +1 und fünf Gluonen C = −1. Gluonen haben jedoch keine
C-Quantenzahlen, weil diese invariant unter SU(3)c sind und als Oktett transformieren. Es macht keinen Sinn,
bestimmte Elemente des Oktetts auszuzeichnen, weil diese ununterscheidbar sind.) Mit (185) ist
Dµ = ∂µ − ig2
σa a
σa ∗ a
c
Wµ − ig1 Y Bµ −
Wµ + ig1 Y Bµ = Dµ∗
→ ∂µ + ig2
2
2
(186)
Also ist
c
[Dµ Φ]† Dµ Φ −
→ [Dµ∗ Φ∗ ]† [Dµ ∗ Φ∗ ] = [Dµ Φ]† Dµ Φ
und [Dµ Φ]† Dµ Φ ist invariant unter C. Ebenso ist [Dµ Φ0 ]† Dµ Φ0 invariant mit (183). Betrachtet man also nur
de Eichwechselwirkungen der Bosonen, so kann man allen Boson-Feldern C- und P-Quantenzahlen zuordnen,
so dass alle Wechselwirkungen C-, P- (und damit auch T-)invariant sind.
A
Z
h0 , h00
A0
1−−
1−−
0++
0+−
W ± , 1−
H± , 0 +
c
H± →
− H∓
Diese Quantenzahlen sind für ϕCP = 0. Für ϕCP = π ändern sich die C-Quantenzahlen von h00 , A0 und
c
H± −
→ −H ∓ . Beispielsweise gibt es keinen ZZG0 -Vertex, der ja C verletzt. In der Tat käme dieser Vertex aus
[Dµ Φ]† Dµ Φ ⊃
g22
Zµ Z µ (v − iG0 )(v + iG0 )
2
wo sich vG0 herauskürzt. Ebenso gilt
c
− h00 (−A0 )Wµ− W µ +
h00 A0 Wµ+ W µ − →
Daraus folgt, dass es keine Kopplung der Form
W
h00
W
A0
gibt. Außerdem gibt es wegen
[Dµ Hu ]† Dµ Hu + [Dµ Hd ]† Dµ Hd = [Dµ φ]† Dµ φ + [Dµ φ0 ]† Dµ φ0
keine Eichwechselwirkung mit sowohl Teilchen aus φ und φ0 . Beispielsweise existiert kein Vertex
Z
G0 ∈ φ
Z
A0 ∈ φ 0
42
4.1. HIGGS-FREIHEITSGRADE DES 2HDM
der jedoch C-erlaubt wäre. Kommen wir nun zur Selbstwechselwirkung aus V (mit zunächst λ6 = λ7 =
0). V ist C-invariant für ϕCP = 0 und reelles m212 und λ5 . Dann mischt A0 nicht mit h0 , h00 und A0 ist
Masseneigenzustand. Aus (169) folgen mit (177) die Gleichungen (178) und (162). Aus (169) folgt mit (177),
(178) und (162) sofort:
G0 = h0d cos β + h0u sin β
A0 = −h0d sin β + h0u cos β
±
G± = h±
d cos β + hu sin β
±
H ± = −h±
d sin β + hu cos β
(188)
Einsetzen von (siehe (169))
µ
¶ µ
¶µ ¶
φd
cos β − sin β
φ
=
−φcu
sin β
cos β
φ0
(189)
in LqY in (171) liefert direkt die Yukawa-Kopplungen von G0 , A0 , G± , H ± wie im Standardmodell.
Beispiel: H ± -Kopplungen im Typ-II-Modell
4.1.1
Schauen wir uns Gleichung (174) an, wobei die Up-Basis mit (47), (48) verwendet wird:
LqY
(189)
= −
3
X
©
ª
Vjk ykd Qj [Φ cos β − Φ0 sin β] dRk + YRu QR [Φc sin β + Φ0c cos β] uRk + h.c.
(190)
k=1
Wegen (siehe (178))
Ã
!
+
H
Φ0 = h00 +iA0
√
2
folgt aus (190):
LqY ⊃
3 n
o
X
u 0
Vjk ykd uL j H + dR k sin β + yR
dL k H − uR k cos β + h.c.
(191)
k=1
mit dem Wechselwirkungseigenzustand
µ ¶
uj
Qj =
d0j
Um die Down-Quark-Massenmatrix zu diagonalisieren, muss man (siehe (51)) noch
0
∗
dL k = Vkj
dL j
transformieren und findet (inklusive h.c.):
LqY ⊃
3
X
©
∗ d
Vjk ykd uL j H + dR k sin β + Vjk
yk dR k H − uL j sin β
k=1
∗ u
+ Vkj
yk dLj H − uRk cos β + Vkj yku uRk H + dLj cos β
ª
(192)
Relation zwischen ykq und mq : In (190) setzt man φ 7→ φmin = (0, v):
Lqm = −
3
X
©
3
X
© d
ª !
ª
mdR dLk dRk + muR uLk uRk + h.c. = −
yk vdLk dR k cos β + yku uLk uRk sin β
k=1
(198)
k=1
0
Aus dL V Ŷ d = dL V † V Ŷ d ergibt sich
ykd =
mu R
md R
und yR u =
v cos β
v sin β
(194)
43
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
und die H + -Feynmanregeln aus (192) sind:
uL j
dR k
H
(194)
:
iVjk sin(β)ykd PR = iVjk
:
iVjk cos(β)yju PL = iVjk
+
uR j
md k
tan(β)PR
v
(195)
dLk
H
+
mu j
cot(β)PL
v
(196)
Vereinheitlichung von yb und yt bedeutet tan β ≈ 52. Dann sind die Kopplungen des H + an bR und τR um den
Faktor tan β in (195) verstärkt und man wird eine Veränderung (Verringerung) des Verzweigungsverhältnisses
von B− 7→ τ− ντ sehen.
b
b
u
W
τ
u
H
ντ
τ
ντ
Die Kopplungen hier sind zwar ähnlich groß, besitzen aber entgegengesetztes Vorzeichen.
4.1.2
Higgs-Massenmatrix
Um das Minimum des Potentials zu finden, betrachten wir komplexe vd und vu .
¯
∂V (φu , φd ) ¯¯
0=
¯ h0d =vd
∂h0d
0
hu =vu
h±
u =0
Hieraus folgt:
0 = m211 vd∗ − m212 vu∗ + λ1 |vd |2 vd∗ + (λ3 + λ4 )|vu |2 vd∗ + λ∗5 vu∗ 2 vd − λ∗6 vd ∗ vu − 2λ∗b |vd |2 vu∗ − λ∗7 |vu |2 vu∗
∗
Die Bedingung 0 = ∂V /∂h0d liefert die komplex konjugierte Gleichung (197).
¯
∂V (φu , φd ) ¯¯
0=
¯ 0
∂h0u
h =vd h0 =vu h±
u =0
d
u
0 = m222 vu∗ − m212 vd ∗ + λ2 |vu |2 vu∗ + (λ3 + λ4 )|vd |2 vu∗ + λ5 vd∗ 2 vu − λ6 |vd |2 vd∗ − λ∗7 vu∗ 2 vd − 2λ7 |vu |2 vd∗ (198)
Ist (vu , vd ) eine Lösung von (197) und (198), so auch (vu exp(iϕ), vd exp(iϕ)) mit beliebigem ϕ. Daraus folgt
U(1)Y -Invarianz. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei vu = |vu | und vd = |vd | exp(−iξ). Außerdem gilt:
vu2 + |vd |2 = v 2 = (174 GeV)2
Hier wollen wir die kubischen Gleichungen (197) und (198) für den Fall großer tan β lösen, aso für |vd | ¿ vu .
Betrachten wir nur lineare Terme in vd , so können wir vu2 = v 2 − vd2 ≈ v 2 verwenden. Dann folgt aus (197)
•
0 = m211 vd∗ − m∗12 2 vu + (λ3 + λ4 )v 2 vd∗ + λ∗5 v 2 vd − λ∗7 v 2 vu
(199)
44
4.1. HIGGS-FREIHEITSGRADE DES 2HDM
und aus (198):
•
0 = m222 vu − m212 vd∗ + λ2 v 2 vu − λ∗7 v 2 vd − 2λ7 v 2 vd∗
(200)
Aus der Linearkombination λ∗7 (199) + λ∗5 (200) (für (λ5 , λ7 ) 6= (0, 0)) folgt:
exp(iξ) cot(β) =
vd∗
λ∗ (m∗ 2 + λ∗7 v 2 ) − λ∗5 (m222 + λ2 v 2 )
= ∗ 72 12
+ O(cot2 β)
vu
λ7 (m11 + (λ3 + λ4 )v 2 ) − λ∗5 (m212 + 2λ7 v 2 )
(201)
Einsetzen in (200) oder (199) liefert die Relation zwischen v 2 und m21 , m22 , m212 (und den λ’s). Ist (λ5 , λ7 ) =
(0, 0), so folgt aus (199), (200)
2
2
vd∗ (199)
m∗12 2
(200) m22 + λ2 v
+ O(cot2 β)
=
=
2
2
2
vu
m11 + (λ5 + λ7 )v
m12
(202)
was auch v 2 bestimmt.
4.1.3
Bemerkungen zum Potential
1.) Damit spontane Symmetriebrechung auftritt, darf V bei φu = φd = 0 kein Minimum haben. Also muss
m211 < 0 oder m222 < 0 oder m211 m222 − |m212 |2 < 0 sein.
2.) Die Brechung SU(2) × U(1)Y 7→ U(1)em ist nicht automatisch so gegeben wie im Standardmodell. Es
könnten Vakuumerwartungswerte wie
µ ¶
µ ¶
0
vu
φd,min =
, φu,min =
vd
vu−
auftreten, wenn die Parameter in V falsch gewählt sind. Das heißt, im Minimum muss
¯
∂V ¯¯
>0
−¯
∂h+
u ∂hu h+
u =0
erfüllt sein.
Wir betrachten das allgemeinste SU(2)L × SU(2)R × U(1)B−L × P -invariantes Higgs-Potential:
o
n
o
n
V (∆L , ∆R , φ) = −µ21 Sp(φ† φ) − µ22 Sp(φc φ† ) + Sp(φc † φ) − µ23 Sp(∆L ∆†L ) + Sp(∆R ∆†R )
o
n
+ λ1 [Sp(φφ† )]2 + λ2 [Sp(φc φ† )]2 + [Sp(φc † φ)]2
+ λ3 Sp(φc φ† )Sp(φc † φ) + λ4 Sp(φφ† )[Sp(φc φ† ) + Sp(φc † φ)]
n
o
+ %1 [Sp(∆L ∆†L )]2 + [Sp(∆R ∆†R )]2
n
o
+ %2 Sp(∆L ∆L )Sp(∆†L ∆†L ) + Sp(∆R ∆R )Sp(∆†R ∆†R )
+ %3 Sp(∆L ∆†L )Sp(∆R ∆†R )
n
o
+ %4 Sp(∆L ∆L )Sp(∆†R ∆†R ) + Sp(∆†L ∆†L )Sp(∆R ∆R )
n
o
+ α1 Sp(φφ† ) Sp(∆L ∆†L ) + Sp(∆R ∆†R )
n
o
+ α2 Sp(φφc † )Sp(∆R ∆†R ) + Sp(φc φ† )Sp(∆L ∆†L )
n
o
+ α2∗ Sp(φc φ† )Sp(∆R ∆†R ) + Sp(φφc † )Sp(∆L ∆†L )
n
o
n
o
+ α3 Sp(φφ† ∆L ∆†L ) + Sp(φ† φ∆R ∆†R ) + β1 Sp(φ∆R φ† ∆†L ) + Sp(φ† ∆L φ∆†R )
n
o
n
o
+ β2 Sp(φc ∆R φ† ∆†L ) + Sp(φc † ∆L φ∆†R ) + β3 Sp(φ∆R φc † ∆†L ) + Sp(φ† ∆L φc ∆†R )
(258)
Alle Parameter außer α2 sind reell. Exemplarisch führen wir das Ganze für den β2 -Term durch. Sp(φc ∆R φ† ∆†L )+
h.c. transformiert sich folgendermaßen:
45
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
• SU(2)L × SU(2)R :
Sp(UL φc UR† UR ∆R UR† UR φ† UL† UL ∆†L UL† ) + h.c. = Sp(φc ∆R φ† ∆†L )
⇒ Invarianz
• U(1)B−L : φc ∆R φ† ∆†L Quantenzahlen:
P
= 0 + 2 + 0 − 2 = 0 (Invarianz)
• P : 7→ Sp(φc † ∆L φ∆†R ) = h.c.
• C: 7→ Sp(φ∆cR φc † ∆cL † ) = Sp(φε∆∗R ε† εφ∗ ε† ε∆†L ε† )
Sp(X)=Sp(X | )
−−−−−−−−−−→ Sp(ε∆L φ† ∆†R ε† φ| ) = Sp(φc † ∆L φ† ∆†R ) = h.c.
V ist invariant unter C für α2 ∈ R. Das Minimieren von V ist handhabbar, wenn man in δ = v/vR entwickelt.
¯
©
ª
∂V ¯¯
2
] + vR %3 |vL |2 + α1 (vu2 + |vd |2) + 4vu Re(α2 vd ) + α3 |vd |2
0=
= vR [−µ23 + 2%1 vR
∗¯
0
∂δR VEV
n
o
+ vL β1 vu vd∗ + β2 vu2 + β3 vd∗ 2
(259)
(259) bedeutet
2
vR
=
µ23
(1 + O(δ 2 ))
2%1
(260)
was vR bestimmt.
0 = Im(259) = β1 vu Im(vL vd∗ ) + β2 vu2 Im(vd∗ ) + β3 Im(vL vd∗ 2 )
(260a)
(260a) setzt die Phasen von vL und vd zueinander in Beziehung.
0=
©
ª
∂V
2
2
2
2
3
∗ = (−µ3 + %3 vR )vL + (β1 vu vd + β2 vu + β3 vd )vR (1 + O(δ ))
0
∂δL
(261)
(261) impliziert
vL vR =
β1 vu vd + β2 vu2 + β3 vd2
µ23
2
vR
(262)
− %3
womit also gilt:
µ 2¶
v
|vL | = O
vR
(263)
(263) ist eine See-Saw-Relation für VEVs; man spricht vom Typ-II-See-Saw-Mechanismus.
νL
φ
v
v
νR
νL
MνL =
M02
=O
MνR
µ
v2
vR
¶
vL
0
δL
νL
νL
46
4.1. HIGGS-FREIHEITSGRADE DES 2HDM
µ
¶
v2
vR
Hier ist keine Dirac-Yukawa-Kopplung involviert!
(263)
MνL = h2 vL = O
0=
⇒
2
vd
µ2 − α1 vR
= 1 2
+ O(δ 2 )
vu
2α2 vR − µ22
0=
⇒
©
ª
∂V
2
2
= −µ21 vu − µ22 vd + α1 vu [vR
+ |vL |2 ] + 2vd [α2 vR
+ α2∗ |vL |2 ] (1 + O(δ 3 ))
∂φ01
∂V
2
2
2
∗
2
2
3
∗ = [−µ1 vd − µ2 vu + α1 vd vR + 2α2 vu vR + α3 vd vR ][1 + P(δ )]
∂φ02
2
vd
µ22 − 2α2∗ vR
=
+ O(δ 3 )
2
vu
(α1 + α3 )vR − µ21
(264)
(265)
(266)
(267)
Setzt man (265)=(267), so findet man eine Feinabstimmungsbeziehung zwischen µ21 , µ22 , α1,2,3 :
2 2
2
2
|µ32 − 2α2 vR
| = (µ21 − α1 vR
)(µ21 − (α1 + α3 )2 vR
)[1 + O(δ 3 )]
(268)
Nur, wenn die unnatürliche Beziehung (268) erfüllt ist, findet man vR À v. Im Allgemeinen erfüllt man
(268), indem man µ21 = O(v 2 ) und µ22 = O(v 2 ) und α1,2,3 = O(δ 2 ) wählt. Wähle alternativ µ23 = O(v 2 )
und %1 = O(δ 2 ) in (260). Dann ist vR durch (268) definiert und (259) definiert die elektroschwache Skala v.
Berechnet man die Higgs-Massen, so findet man als Niederenergietheorie nur dann das Standardmodell, wenn
2
(268) mit µ2 := O(vR
), d := O(1) feinabgestimmt ist.
Ansonsten findet man im Entkopplungslimes vR À v ein 2-HDM (mit gefährlichen FCNCs) oder ein zusätzliches leichtes Higgs-Triplett, das LEP-I gefunden hätte. Der Beitragvon vL zum %-Parameter berechnet sich
aus (93):
%=
2
MW
= 1 + ∆%SM + ∆%NP
MZ2 cos2 θw
∆%SM rührt von Schleifenbeiträgen und ∆%NP von neuer Physik her. Durch Messungen folgt ∆%SM = 0, 0098.
Man kann eine konservative Abschätzung der Form machen, dass |∆%NP | maximal das Dreifache der Standardmodell-Higgs-Beiträge (0,0007) sein. Damit gilt dann |∆%NP | ≤ 0, 002. ∆L koppelt an WL und ZL und trägt
zu MW und MZ bei. Eine THeorie mit mehreren Higgs-Multipletts φj mit Quantenzahlen (IL j , Yj ) und dem
Vakuumerwartungswert vj hat den Baumgraphen-%-Parameter :
X
[IL j (IL j + 1) − Yj2 ]|vj |2 cj
½
j
1 wenn φj komplexes Feld ist
X
%tree =
wobei cj =
2
2
1/2
wenn φj reelles Feld ist
2
Yj |vj |
j
Im Standardmodell mit c1 = 1, IL 1 = 1/2 und Y1 = 1/2 gilt tatsächlich %tree = 1. Im LR-Modell gilt:
• j = 1, 2:φu , φd ∈ Φ: IL j = 1/2; Yj = ±1/2; v1 = vu , v2 = vd
0
• j = 3: δR
: IL 3 = 0, Y3 = 0; v3 = vR
• j = 4: ∆L : IL4 = 1; Y4 = (B − L)/2 = 1; v4 = vL
Es gilt weiterhin cj = 1 für j = 1, 2, 3 und 4. Damit folgt:
%tree
1 2
(vu + |vd |2 ) + |vL |2
2|vL |2
2
'1−
=
1 2
v2
(vu + |vd |2 ) + 2|vL |2
2
2
Aus der Schranke |∆NP
% | ≤ 0, 002 folgt |vL | ≤ 0, 03v = 5, 5 GeV. Dann ergibt sich aus |vL | ∼ v /vR folgt
3
vR > 5, 5 · 10 GeV. Im LR-Modell gibt es weitere Korrekturen zum %-Parameter, weil WL und WR keine
Masseneigenzustände sind, sondern
µ 2¶
v
WR
W1 = WL + O
2
vR
µ 2¶
v
W2 = WR + O
WL
2
vR
Ebenso mischen ZL und ZR .
47
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
4.1.4
Zusammenfassung
Im LR-Modell
• versteht man die Hyperladung als
3
Y = IR
+
B−L
2
und U (1)B−L ist geeicht,
• ist die Parität spontan gebrochen und spontane C-Brechung ist ebenfalls möglich,
• mit Triplett-Feldern ∆R , ∆L
– gibt es die See-Saw-Mechanismen der Typen I und II, die beide zu Neutrino-Massen der Ordnung
v 2 /vR führen. Hieraus folgt vR = O(1013 GeV).
– findet man im Allgemeinen mehr als ein leichtes (also mit Massen ∼ u oder ∼ vL ) Higgs-Boson.
Ist das Ladungsquantisierungsproblem gelöst? Wählt man andere B − L-Quantenzahlen und ersetzt beispielsweise B − L durch (B − L)(1 + ε) für alle Fermionen, so findet man wieder die lebensfeindlichen Quantenzahlen von (159) ff. Damit muss der U(1)B−L -Faktor in einer nichtabelschen Gruppe aufgehen! Schreibe
SU(3)c × U(1)B−L -Transformationen als 4 × 4-Matrix. Mit U3 ∈ SU(3) als 4 × 4-Matrix: Mit U3 ∈ SU(3)c und
exp(iϕ(B − L)) ∈ U(1)B−L ist
 r
 r
QL
¶ QL
µ
g
Q  SU(3)c ×U(1)B−L U3 exp(iϕ/3)
Qg 
0
 L

 L
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
QbL 
0
exp(−iϕ) QbL 
|
{z
} L
L
U4
Ebenso kann man dies für QR und R tun. U4 ist offensichtlich unitär. Wegen det(U4 ) = 1 ist U4 ∈ SU(4)! Diese
Einbettung SU(3)c × U(1)B−L ⊂ SU(4) ist nur möglich, weil


1/3 0
0
0
 0
1/3 0
0
=0
Sp(B − L) = Sp 
 0
0 1/3 0 
0
0
0 −1
ist, die B − L-Quantenzahlen von Quarks- und Lepton-Dubletts der gleichen Chiralität sich also zu Null
summieren. Das LR-Modell lässt sich also einbetten in das Pati-Salam-Modell mit Eichgruppe SU(4) ×
SU(2)L × SU(2)R (270), wobei SU(4) ⊃ SU(3)c × U(1)B−L ist. vR führt zur Brechung SU(3)c × U(1)Y × SU(2)L
und v bricht dies zu SU(3)c × U(1)em . (J. Pati und A. Salam, PR D, no.1 (1974) 275: Lepton number as
the forth color“). SU(4) hat 42 − 1 = 15 Generatoren. Die ersten acht kann man als
”
µ a
¶
λ /2 0
a
T =
(271)
0
0
mit den Gell-Mann-Matrizen λa wählen. (271) ist so normiert, dass
Sp[T a , T b ] =
1 ab
δ
2
(272)
wobei der Faktor 1/2, welcher die Normierung festlegt, der sogenannte Dynkin-Index ist. Die SU(4)-Kopplung
ist gleich der SU(3)c -Kopplung g3 . Der B − L-Generator in SU(4) ist


1 0 0 0
r
1 0 1 0 0 
 = 3 (B − L)
T 15 = √ 
(273)
8
2 6 0 0 1 0 
0 0 0 −3
In der SU(4)-Normierung ist die B − L-Kopplung g 0 aus (220) durch
r
3
0
g =
g3
2
(274)
48
4.1. HIGGS-FREIHEITSGRADE DES 2HDM
gegeben. Sei i = 1, 2 der Isospinindex und a = 1, 2, 3, 4 der Farbindex, so gilt:
½
QL ai für a ≤ 3
L
ψia
:=
Li
für a = 4
(275)
R
Analog ψi,a
(Generationenindex hier unterdrückt) also:
µ
L
ψ =
ULr
drL
ULg
dgL
ULb
dbL
νL
eL
¶
(276)
Und mit UL ∈ SU(2)L und U4 ∈ SU(4):
SU(2)L ×SU(4)
ψ L −−−−−−−−−→ UL ψL U4|
(277)
Eichkinetischer Term der Fermionen:
¸
3 X
4 ·
X
Lj
Rj
Lj
Rj
LF =
ψ a i½
Dab ψb ψ b + ψ a i½
Dab ψ b
j=1 a=1
b=1
j
Die erste Summe läuft über die Generationen; ψ L b ist ein SU(2)L -Dublett (278). Die kovariante Ableitung
lautet:
j
j
j
c L
ψ b − igL WL cµ
Dµ ab ψ L b = ∂µ ψ L a − ig3 Acµ Tab
σc L j
ψ a
2
(279)
j
c
Tab
folgt aus (271). Analog gilt das für Dµ ab ψ R b .
49
KAPITEL 4. DAS ZWEI-HIGGS-DUBLETT-MODELL
50
Kapitel 5
Große vereinheitlichte Theorie
 
ψ1
ψ2 
 

ψc = 
ψ3 
ψ4 
ψ5
Die ersten drei Komponenten bilden ein Farb-Triplett und ein SU(2)-Singulett, die unteren beiden ein FarbSingulett und ein SU(2)-Dublett. Damit gilt:
   r
dR
ψ1
1
ψ2  = dgR  ;
Y =−
3
ψ3
dbR
Es gibt zwei Möglichkeiten für die Wahl von ψ4 und ψ5 mit rechtshändigen Feldern.
µ ¶
µ c¶
µ ¶
µ c ¶
ψ4
νL
ψ4
eL
| c
c
= ε L = c oder
=L =
ψ5
eL
ψ5
−νLc
In beiden Fällen gilt Y = 1/2. Die erste Möglichkeit kann nicht funktionieren, weil die Felder die gleiche
Chiralität haben müssen. Ansonsten wird die Eichinvarianz gebrochen. (286) erfordert, dass die Hyperladung
der fünf Felder ψi sich zu Null summieren: Sp(Y ) = 0. Nach Möglichkeit (2) gilt:
 r
dR
dg 
c
R
ψ =
(287)
dbR 
Lc
Die andere Möglichkeit (1) führt zu flipped SU(2). Mit (ψ1 , ψ2 , ψ3 )| = (urR , ugR , ubR )| gilt nicht Sp(Y ) = 0.
Die Aufgabe besteht nun darin, SU(3) × SU(2)L × U(1)Y in SU(5) einzubetten. Mit U(5) ∈ SU(5) soll sich ψ
wie
ψ c 7→ U5 ψ c
(288)
transformieren. ψ gehört also zur definierenden Darstellung 5 der SU(5). Üblich ist, dass alle betrachteten
Felder linkshändig sind; das heißt, anstelle von dR betrachtet man
|
dc = CdR
(289)
und erhält:


dc r
 dc b 
 g
∗
c 
ψ=
d ∈5
 eL 
−νL
(290)
Was ist mit den anderen zehn Fermionen? Kommen wir nun zur Darstellungen der SU(5):
Mij ∈ 5 × 5
51
KAPITEL 5. GROSSE VEREINHEITLICHTE THEORIE
Man zerlegt das Tensorprodukt der Darstellungen in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil. Aus
der Darstellungstheorie folgt, dass beide Anteile irreduzibel sind.
Mij =
Mij − Mji Mij + Mji
+
2
2
|
{z
} |
{z
}
∈10
∈15
χ ∈ 10 transformiert sich also wie
¡
SU(5)
χ −−−−→ U5 χU5|
χij 7→ χi0 j 0 = U5 i0 i U5 j 0 j χij

Farbe
Farbe
 kein IL
und IL

χ=
Farbe
könnte IL
und IL
keine Farbe
| {z } |
{z
}
3
¢
(291)

¾
0
−uc b
3


 ¾ = √1  uc g

2
 −ur
2
L
−drL
uc b
0
−uc r
−ugL
−dgL
−uc g
uc r
0
−ubL
−dbL
urL
ugL
ubL
0
−ec

drL
dgL 

dbL 

ec 
0
(292)
2
Wegen
SU(2)
ec ε −−−−→ ec U2 εU2 = ec ε
ist ec ein SU(2)-Singulett. (290) und (292) entsprechen den Zerlegungen
5∗ = (3∗ , 1)
(1, 2∗ ) ,
⊕
10 = (3∗ , 1)
⊕
(3, 2)
⊕
(1, 1)
(293)
Der Hyperladungsoperator ist gegeben durch
µ
¶
1 1 1 1 1
Y = diag − , − , − , ,
3 3 3 2 2
denn es gilt:
µ 1 ¶
− 3 dR
Y ·ψ =
1 c
2L
Wegen (291) misst man die Hyperladung
µ 2
− 3 χ3×3
|
Y χ + χY = Y χ + χY =
1
6 χ2×3
1
6 χ3×2
χ2×2
¶
Das sind die korrekten Hyperladungen der Felder in (292). Die SU(5)-Symmetrie legt die Normierung der
Hyperladung fest. Die SU(5) besitzt 24 Generatoren λa /2 mit
µ a
¶
λGM
0
λa =
für a = 1, . . . , 8
0
12×2
µ
¶
0 0
λ20+a =
für a = 1, 2, 3
0 σa
Hierbei werden mit λaGM (a = 1, . . . , 8) die Gell-Mann-Matrizen bezeichnet. Durch schlichten Vergleich finden
wir (und weil die Normierung aller Generatoren festgelegt ist) aus (294):
r
3
Y
(295)
λ24 = −2
5
Also ist die U(1)Y -Transformation
µ 24 ¶
λ
exp i
= exp(iY )
2
Die kovariante Ableitung mit den Eichbosonen Gaµ in der SU(5) ist gegeben durch:
Dµ = ∂µ − igGaµ
λa
2
(296)
52
Durch Vergleich mit (9) (und (294)) ist erkennbar, dass Gaµ für a = 1, . . ., 8 den Gluonen entsprechend.
Weiterhin gilt G20+a
= Wµa für a = 1, 2, 3 und G24
µ
µ = Bµ .
r
(295)
(296)
g2 = g3 = −
3
g1 =: g10 = g
5
(297)
g10 wird auch als g1 in SU(5)-Normierung“ bezeichnet. Wie in (69) ff. gesehen, treffen sich g10 , g2 und g3 fast
”
bei etwa 1015 GeV.
Die Vereinheitlichung des Standardmodells in eine SU(5)-GUT passt fast genau, braucht aber Korrekturen wie
beispielsweise
i.) mehr Teilchen mit Masse mi ¿ MGUT , welche die β-Funktionen in (69) abändern. Dies ist in Supersymmetrie realisiert (de Boer, Fürstenau, Amaldi).
ii.) g10 und g2 treffen sich zuerst bei etwa 7 · 1012 GeV. Dort könnten sich U(1)Y und SU(2)L vereinigen. Die
große Vereinheitlichung findet später statt.
(ii) klappt nicht mit
GLR = SU(3) × SU(2)L × SU(2)R × U(1)B−L
und SU(5), denn es gilt
Rang(SU(5)) = Rang(GSM ) = 4, Rang(GLR ) = 5
so dass die Symmetriegruppe des Links-Rechts-Modells keine Untergruppe von SU(5) sein kann.
Kommen wir zum Anomaliecheck:
b
a
R (Darstellung R)
c
Man kann zeigen, dass der Anomaliekoeffizient für Fermionen in der Darstellung R die Form
abc
=
DR
A(R) abc
1
Sp[{TRa , TRb } · TRc ] =
d
2
2
hat, wobei dabc durch
½ a b¾
λ λ
λc
,
= dabc
2 2
2
(298)
(299)
definiert ist. Dabei gilt
A(5) = 1
(300)
Wegen (298) Wegen (298) können wir A(10) beispielsweise mit a = b = c = 24 berechnen, denn es gilt:
µ
d24,24,24 = Sp
abc
⇒ D10
=
λ24
2
¶3
A(10) abc
d
2
1
=− √
4 15
h
i
(298) 1
a
b
c
=
Sp {T10
, T10
}, T10
2
Ã
r !
h
i
√
3 3
24
24
24 (295)
⇒ A(10) = 24,24,24 Sp {T10 , T10 }T10 = −4 15 · −
Sp[{Y10 , Y10 }Y10 ] =
d
5 5
" µ
#
¶3
µ ¶3
X
36
36
36
2
1
(292)
3
=
Sp(Y10
)=
yf3 =
3· −
+6·
+ 13 = 1
5
5
5
3
6
(301)
1
(302)
f ∈10
53
KAPITEL 5. GROSSE VEREINHEITLICHTE THEORIE
Wegen A(5∗ ) = −A(5) (denn Ladungskonjugation dreht alle Hyperladungen um) finden wir A(5∗ )+A(10) = 0.
Das bedeutet, dass unsere SU(5)-GUT anomaliefrei wegen der gewählten Darstellungen 5∗ und 10 ist. Dadurch
ist der Anomaliecheck abgeschlossen.
Schauen wir uns nun die Eichbosonen an:


Xµr Yµr
√
Ga λa + 2/ 15Bµ 13×3

Xµg Yµg
24
 µ GM

a
X
λ
1
b
b


Xµ Yµ
= 
(303)
Gaµ
 ∈ 24
√
+


2
2
+
a=1
Wµ3 − 3/ 15Bµ
Xµg + Xµb
Wµ+√
 Xµr

+
Wµ−
−Wµ3 − 3/ 15Bµ
Yµr + Yµg + Yµb
In (303) lesen wir die Zerlegung (bezüglich SU(3) × SU(2)). Wir können dann die folgende Zerlegung ablesen:
24 = (8, 1)
| {z }
⊕ (3, 2∗ )
⊕
(3∗ , 2)
⊕
(1, 3)
| {z }
Ga
µ
⊕
(1, 1)
| {z }
Wµ
Bµ
Neu sind die X- und Y-Bosonen mit Farbindex:
µ j¶
µ j+ ¶
Xµ
Xµ
und
Yµj
(Xµj )+
Xµj und Yµj können Quarks in Antiquarks und Quarks in Leptonen umwandeln. In der SU(5)-GUT ist die
(ungeeichte) U(1)B−L ungebrochen. Die X-Bosonen haben die elektrische Ladung Q = 4/3 und die B −
L-Quantenzahl 2/3. Die Y-Bosonen haben Q = 1/3 und ebenfalls B − L-Quantenzahl 2/3. Beiträge zum
Protonzerfall:
uL
χ
X
uL
uL
eL
χ
ψ
dR
Y
χ
uR
dL
d
eR
d
Beide Diagramme tragen also zum Zerfall p → e+ π0 bei.
uL
χ
Y
νL
ψ
dR
dL
u
Damit ist auch der Zerfall p → νπ+ möglich. Für drei Generationen braucht man entsprechend drei Quintupletts ψ I für I = 1, 2, 3 und drei Dekupletts χI . Dann ist auch beispielsweise p → e+ K0 mit K0 → π+ π− ein
möglicher Zerfall (mit schöner experimenteller Signatur).
54